Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 2

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2 Espermento aleatoro : espermento l cu esto, non noto a pror, appartene ad un determnato nseme d est plausbl. Spazo degl est W : nseme d tutt possbl est d un espermento aleatoro. Spazo degl event : ogn sottonseme F d (W) che soddsf le seguent condzon: ) W w F ) WF ) E F E F v) E,E, F E F

3 Evento elementare : ogn elemento d W Evento : ogn elemento d F Evento certo : W Evento mpossble : ø Event ncompatbl : E E ø W E E Evento elementare

4 Esemp Espermento: durata (n ore) d una lampadna W=R + F= (W) E ={00} evento elementare E = [0 ; 500] evento Espermento: 3 lanc d una moneta W={CCC, CCT, CTC, TCC, CTT, TCT, TTC, TTT} F= (W) E ={ottenere tre croc} ={CCC} evento elementare E = {ottenere almeno due croc}={cct, CTC, TCC, CCC} evento

5 W spazo degl est F spazo degl event : F 0 ; è una funzone d probabltà se: ) [W]= ) E, E, successone d event ncompatbl E E (W, F, [.]) spazo d probabltà

6 ropretà d [.] ) E E ) ø 0 ) E E E E E E W E E

7 Esempo Espermento : estrazone d una pallna da un urna contenente due pallne rosse, una verde e una blu. W F= (W) [ { } ] = / [ { } ] = /4 [ { } ] = /4 [ {, } ]=3/4 [ {, } ]=3/4 [ {, } ]=/ [W]= [ ]=0 (W, F, [.]) spazo d probabltà

8 Esempo Espermento : lanco d un dado. W={,, 3, 4, 5, 6} F= (W) A={ottenere un numero >4} B= {ottenere un numero par} [ A] = [ {5,6} ] = /3 [ A ] = [ {,,3,4} ] = /3 [A B] = [A]+[B]-[A B] = [ {5,6} ] + [ {, 4, 6} ] - [ {6} ] = /3+/ -/6=/3

9 (W, F, [.]) spazo d probabltà A, B F [B]>0 [ A B ] = probabltà d A a condzone d B A B B [A] = 4/ [A B] = /5

10 La funzone [. B] è una funzone d probabltà, n quanto soddsfa gl assom rchest: W B B ) W B B B ) E, E, successone d event ncompatbl : E E B B B E B B E B B E B B E B Qund (W, F, [. B]) è uno spazo d probabltà.

11 Esempo Espermento : 3 lanc d una moneta. A = {almeno una T} B = {meno d due T} A T T T T C T T T C C T T C T C T C C C C T C C C W B 7 8 A A B 3 4 AB 3 / 8 B /

12 Teorema delle probabltà total Sano: (W, F, [.]) spazo d probabltà B, B,, B n F tal che [B ]>0, j B B j =, W n B A F Allora: n A A B B B A B 3 Dmostrazone B B 4 n A n A B A A B A B A B B n n

13 Esempo Espermento : due estrazon successve senza remmssone d pallne da un urna contenente due pallne rosse, una verde e una blu. A={ la seconda pallna estratta è rossa} R={la prma pallna estratta è rossa} V={la prma pallna estratta è verde} B={la prma pallna estratta è blu} Event ncompatbl e tal che W = R B V [A] = [A R] [R]+ [A V] [V]+ [A B] [B]=

14 a estrazone a estrazone

15 Teorema d Bayes Sano: (W, F, [.]) spazo d probabltà B, B,, B n F tal che [B ]>0, j B B j =, W n B A F Allora: B A k A Bk Bk A n A B B k A B B k

16 Esempo Espermento : due estrazon successve senza remmssone d pallne da un urna contenente due pallne rosse, una verde e una blu. A={ la seconda pallna estratta è rossa} R={la prma pallna estratta è rossa} V={la prma pallna estratta è verde} B={la prma pallna estratta è blu} V A 3 4 A V V A 3

17 a estrazone a estrazone

18 (W, F, [.]) spazo d probabltà A, B F [A], [B]>0 A e B stocastcamente ndpendent A B A B Equvalentemente: A e B stocastcamente ndpendent [A B]=[A] o [B A]=[B] Nota A e B ndpendent A e B ndpenden t A e B ndpenden t A e B ndpenden t

19 Esempo Espermento : 3 lanc d una moneta truccata, con [T] = 0.5 [C] = 0.75 A = {esce sempre lo stesso rsultato} = {T T T, C C C} B = {esce al pù una T} = {T C C, C T C, C C T, C C C} A B={C C C} [A] = = 0,4 [B]=3(0.5)(0.75) = 0,659 [A B]= 0,0565 (0,4) (0,659) qund A e B sono dpendent Se la moneta fosse equlbrata: [A] = 0.5 [B] = 0.5 [A B]= 0.5 = (0.5) (0.5) qund A e B ndpendent.