Analisi dei Dati e Statistica a.a. 2011/2012. Prof. Giuseppe Espa. 0461/ Probabilità (prima parte) Perchè la

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1 a.a. 0/0 046/857 robabilità (prima parte) erchè la Statistica resentare e descrivere i dati Inferire su una sulla base di dati da C Migliorare i processi revedere variabili di interesse Raccolta dati robabilità e distribuzioni di probabilità Applicazioni per la qualità e la produttività Correlazione e regressione lineare semplice Grafici e tabelle Decisioni Analisi delle serie storiche Statistica descrittiva Distribuzioni campionarie Regressione multipla Stima Verifica di ipotesi

2 rova: lancio una moneta 7 volte. i) T T T T C C C ii) C T T C T C C iii) C C C C C C C Ordine delle preferenze ) ) 3) 3 ILLUSIONE COGNITIVA iù tipico iù probabile 4

3 Legge dei piccoli numeri o illusione del giocatore d azzardo rova: lancio di un dado: 4V e R. i) R V R R R ii) V R V R R R iii) V R R R R R Sequenze sbilanciate sul rosso meno probabili! 5 Ordine delle preferenze: ) meno sbilanciata! ) 3) ) ) primo lancio ) ha probabilità di 3 inferiore di )!!!! idem con la roulette, con il lotto, etc. 6

4 Dov è l illusione? Serie corte Serie lunghe Serie infinite 7 aradosso di Monthy Hall 3 scatole identiche 3 ) 000 in una scatola; ) scegliete una scatola; 3) mostro il contenuto vuoto di una delle due non scelte; 4) offro di cambiare la vostra con la rimanente chiusa. 8

5 Immaginiamo un numero n grande di scommesse Che fare? 3 Iª scelta indifferente : ( ) ( ) ( 3) 3 9 Scegliamo, ad esempio, la scatola

6 Cambiare sempre!!! Una verifica empirica (ne seguirà una formale) Scelta della scatola No Si No Si No Si

7 Se si cambia, volte su 3 si vincono i soldi. Se non si cambia si vincono i soldi volta su 3!!! dunque è verificato che la strategia vincente è quella di cambiare sempre!!! 3 Alcuni Elementi di Calcolo Combinatorio Definizione: Dato un insieme I n, con n si indica il numero di tutte le possibili permutazioni semplici di I n. ( n )... 3 n! n n 4

8 Esempio: in quanti modi diversi si possono disporre tre palline colorate (B, N, R) sui vertici di un triangolo? B R N N B R N R N B R B B R R N B N 3 3! 6 5 Definizione: dati n elementi distinti si dicono disposizioni semplici di n elementi presi a k a k ( k n) tutti i possibili sottoinsiemi di k elementi distinti e totalmente ordinati presi dagli n dati. D n, k n! ( n k)! 6

9 Esempio: dati i tre elementi a, b, c, scrivere tutte le possibili disposizioni di classe. a,b a,c b,c b,a c,a c,b 3! D3, 3! 6! ( 3 ) 7 Esempio: quanti sono i numeri naturali aventi cifre distinte che si possono ottenere con le cifre,, 3, 4, 5? D 5, + D5, + D5,3 + D5,4 + D5,5 35 8

10 Definizione: dati n elementi distinti, si dicono combinazioni semplici di n elementi presi a k a k tutti i possibili sottoinsiemi di k elementi distinti presi dagli n dati. C n, k D n, k k! ( n k) n! n! k! k ( k n) N.B.: C n, k Dn, k perché C n, k non tiene conto dell ordine. 9 Esempio: dati i tre elementi a, b, c, scrivere tutte le combinazioni di classe. a,b a,c b,c C 3 3!!! 3, 3 0

11 Concetti base di probabilità Teoria degli insiemi Teoria della probabilità L esito di un fenomeno (processo, prova) è un evento A sottoinsieme di S. L insieme di tutti i possibili eventi è lo spazio campionario (S). Un evento semplice (elementare) può essere descritto da una singola caratteristica; si tratta del sottoinsieme {a} S costituito da un solo punto.

12 La probabilità: definizioni alternative Definizione classica ( A) # casi favorevoliad A # casi possibili roblema: equiprobabilità 3 Definizione frequentista ( A) n lim A n n roblema: ripetitività dell esperimento. Molti eventi che non possiedono tale requisito sono valutabili probabilisticamente! 4

13 Definizione soggettivista La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento. Non esiste una misura obiettiva di ma vi sono casi in cui le singole valutazioni coincidono. 5 Definizione assiomatica Una misura di probabilità è una funzione di insieme a valori reali definita nello spazio campionario S (: S R): i) ( A) 0 A ii) ( S ) iii) ( A A ) ( A ) + ( A ) per ogni successione finita o infinita di eventi disgiunti. 6

14 Dai tre assiomi seguono i teoremi fondamentali del calcolo delle probabilità: ) A B S,, ( B A) ( B) ( A B), ( A) ( A) ) A S 3) (Ø) 0 4) B, A ( A) ( B) 5) A S, 0 ( A) 6) A, A S allora A A A + ( ) ( ) ( A ) ( A ) A 7 Se ( A) 0 ( A) A evento impossibile A evento certo Un evento congiunto è un evento che dispone di due o più caratteristiche. Esempio: si consideri la prova: lancio di un dado e osservazione del numero che si presenta. S {,, 3, 4, 5, 6} 8

15 Alcuni eventi: A si presenti un numero pari B si presenti un numero dispari C si presenti un numero primo A B C {, 4, 6} {, 3, 5} {,, 3, 5} A B { si verifica A e/o B} { si presenta un numero pari o dispari} {,, 3, 4, 5, 6} 9 A C {,, 3, 4, 5, 6} { si presenta un numero pari o primo} B C { si verifica B e C} { si presenta un numero primo dispari} {, 3, 5} C { non si presenta un numero primo} { 4, 6} A B Ø A e B incompatibili o disgiunti 30

16 Si indichi quale delle seguenti coppie di eventi sono incompatibili (disgiunti): a) Essere fumatore, essere minorenne b) Essere studente universitario, essere coniugato c) Estrarre una carta di cuori, estrarre una carta di quadri da un mazzo di carte da poker d) Osservare un numero pari, osservare un numero dispari nel lancio di un dado 3 3

17 Esempio: in una indagine su 300 famiglie che possiedono un televisore a grande schermo viene chiesto se il TV è HDTV e se hanno acquistato un DVD negli ultimi mesi DVD Tot TV SÌ NO HDTV Non HDTV Tot Quale è la probabilità che una famiglia scelta a caso abbia acquistato un TV HDTV? 33 ( HDTV ) E (HDTV e DVD)? ( HDTV DVD ) 0. 7 Due eventi sono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente. 34

18 E (HDTV o DVD)? ( HDTV DVD) La legge delle probabilità totali per eventi qualunque ( A B) ( A) + ( B) ( A B) e per eventi incompatibili ( A B) ( A) ( B) + 35 Quindi, dati due eventi A e B, l evento A B (evento unione) è l evento che si verifica quando si verifica A o B (oppure entrambi) A B S mentre, dati due eventi E e H, l evento E H (evento intersezione) è l evento che si verifica quando si verificano E e H contemporaneamente. E H S 36

19 Riepilogando Dati due eventi E e H incompatibili E H E H S ( E H ) ( E) + ( H ) 37 Se invece E e H sono compatibili E H E H S ( E H ) ( E) + ( H ) ( E H ) 38

20 robabilità condizionata ( DVD HDTV ) ( A B) ( A B) ( B)? 38 0, ( B) 0, con > Applicando questa espressione: ( DVD HDTV ) ( DVD HDTV ) ( HDTV ) , Esempio: Si lanci per tre volte una moneta non truccata. Definiti gli eventi I(Nessuna testa) e G(meno di due teste), si calcoli (I G) Lo spazio campionario è il seguente: (T, T, T) e (T, T, C) e (T, C, T) e 3 (T, C, C) e 4 (C, T, T) e 5 (C, T, C) e 6 (C, C, T) e 7 (C, C, C) e 8 40

21 oiché gli otto eventi elementari di S sono equiprobabili e poiché G 8 i 8 ( ) e i ( e ) i,..., 8 i { ottenere meno di T} ( e e e e ) Che conseguenze ha su S il fatto di sapere che si è realizzato G? 4 e e e e e e e e 8 S ( I G) 4 4

22 i) G va assunto come spazio campionario (lo spazio dei risultati che interessa si riduce a G) ii) i soli elementi di I che interessano sono quelli che appartengono anche a G ( I G) A e B sono indipendenti A B A se ( ) ( ) 43 Soddisfatti dell acquisto Tot TV SÌ NO HDTV Non HDTV Tot ( Soddisfatti HDTV ) ( Soddisfatti )

23 Regola del prodotto A B A B ( ) ( ) ( B) Regola del prodotto per eventi indipendenti A B A B ( ) ( ) ( ) 45 OSSERVAZIONE: Siano E e G due eventi; ( E G) può essere calcolata in quattro differenti modi:. Se è nota la probabilità condizionata si può ricorrere al principio delle probabilità composte: ( E G) ( E G) ( G). Se è nota la probabilità dell evento unione: ( E G) ( E) + ( G) ( E G) ( E G) ( E) + ( G) ( E G) 46

24 3. Se è noto che E ed G sono indipendenti, si ottiene per prodotto, cioè; ( E G) ( E) ( G) 4. Se è noto che E ed G sono incompatibili ( E G ): ( E G) 0 47 Una soluzione analitica per il problema del paradosso di Monthy Hall 3 S S S 3 Dove si considerano gli eventi: S {i soldi sono nella scatola i} i A {viene aperta la scatola i} i 48

25 Avevamo scelto la scatola. Se si cambia la probabilità di vincere i soldi è: [( A S ) ( A )] 3 3 S (incompatibilità) ( A S ) + ( A ) 3 3 S ( S ) ( A S ) + ( S ) ( A ) S Ritardi nel gioco del lotto Facile accettare l indipendenza di estrazioni successive, difficile concludere che la probabilità di un evento qualsiasi in una certa estrazione non possa essere modificata da qualsiasi evento verificatosi in una precedente estrazione. Sia θ la probabilità che un prefissato numero si verifichi ad una data estrazione del lotto. Si tratta di calcolare la probabilità che non essendosi verificato per t estrazioni, si verifichi alla (t+) ma. 50

26 E k {il numero esce alla k-ma estrazione} ( E E E E E ) t +... t t t ( θ ) ( θ ) θ θ t ( E ) t + 5 Diagrammi ad albero Si lancia una moneta truccata (T)/3 e (C)/3. Se esce T viene scelto a caso un numero tra e 9; se esce C si sceglie a caso un numero tra e 5. Si determini la probabilità che venga scelto un numero pari. /3 T 5/9 4/9 D /3 C 3/5 /5 D 4 ( )

27 La scatola A contiene nove carte numerate da a 9, la B cinque carte numerate da a 5. Viene scelta una scatola a caso e da questa si estrae una carta. Il numero è pari. Calcolare la probabilità che la carta venga dalla scatola A. 5/9 D / A 4/9 3/5 D / B /5 ( A )? 53 Dall esame del diagramma: 4 ( A ) 9 i casi favorevoli sono individuati dai due cammini che conducono ad un numero pari. 4 9 ( ) ( A ) 9 ( A ) ( )

28 Reverendo Thomas Bayes Londra, 70 Tunbridge Wells, Kent (Inghilterra) La formula di Bayes C A C C 3 C 6 C 5 C 4 Un evento A è l effetto di k possibili cause: gli eventi C,..., C i,..., Ck necessari ed incompatibili. 56

29 ( C A)? i Notare la particolarità del problema! rima: le probabilità degli eventi venivano determinate prima degli esperimenti. Adesso: situazione rivoltata: si conosce il risultato dell esperimento e si vuole calcolare la probabilità che sia dovuto ad una certa causa. 57 Soluzione: C i, i,..., k costituiscono una partizione di S: S C C... C k A A S A ( C... Ck ) ( A C )... ( A C ) k ( A C i ), i,, k sono disgiunti 58

30 ( A) ( A C ) ( A ) oppure C k ( A) ( C ) ( AC ) +... ( C )( A ) + k C k Ma per definizione: ( C A) i ( Ci A) ( A) 59 ( C A) ( A) C i k j ( C ) ( AC ) i ( ) ( AC ) C i probabilità a posteriori ( C i ) probabilità a priori ( AC i ) probabilità probative o verosimiglianza Il verificarsi di A modifica la probabilità di Ci facendola passare da ( C i ) a ( C i A) ; a determinare tale modifica sono le probabilità probative. j i j 60

31 Esempio: 4 B 6 N 3 B 5 N U U Si estrae a sorte un urna con ( U ) ( U ) 0. 5 A { pallina è bianca} ( A)? U 6 ( A) C i k j i ( C ) ( AC ) i ( ) ( AC ) C j i j ( A) U ( U) ( AU) ( ) ( AU ) + ( U ) ( AU ) U

32 Distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta Distribuzione delle ipoteche sulle case per settimana: Ipoteche Tot robabilità Una distribuzione di probabilità per una variabile aleatoria discreta è l elenco di tutti i possibili esiti per quella particolare v.c. A tali esiti è associata la probabilità di verificarsi. Esperimento: lancio di 3 monete X numero totale delle T X è una variabile casuale ( X x) distribuzione di probabilità 64

33 TTT x ( x) TTC 0 /8 TCT 3/8 TCC 3/8 CTT 3 /8 CTC tot CCT CCC 3/8 /8 /8 ( x) 0 3 x 65 N.B.: ( x) può essere rappresentata in forma di: i) Tabella ii) Grafico iii) Formula Definizione più formale: Una variabile casuale è una funzione che associa ad ogni evento elementare di S uno ed un solo numero reale. 66

34 Scopo: assare da S ad uno spazio numerico molto più semplice. i) S ( x) ii) iii) rocedura logica: Dimentichiamo S Lavoriamo molto più semplicemente sul nuovo spazio. Es.: robabilità di avere al più una testa? ( X ) ( 0) + ( ) 67 X è una variabile casuale discreta se è definita in uno spazio campionario discreto X può assumere un numero finito o un infinità numerabile di valori X è una variabile casuale continua se è definita in uno spazio campionario continuo X può assumere un numero tutti i valori di un intervallo (t, T) 68

35 Definizione: Data una variabile casuale X discreta ( x) ( X x) p si chiama funzione di probabilità di X. E chiaro che: p ( x) 0 x p X x ( ) 69 µ E Valore atteso: ( X ) x p( ) i i x i er la tabella delle ipoteche sulle case: µ Varianza e deviazione standard: σ Var σ ( X ) [ x E( X )] p( ) i i x i [ x E( X )] p( ) i i x i 70

36 er l esempio delle ipoteche sulle case: σ + ( 0.8) 0.+ (.8) ( 6.8) σ Esempio: costruire un foglio EXCEL per i calcoli di prima Discrete Random Variable robability Distribution X (X) X*(X) [X-E(X)]^ [X-E(X)]^*(X) Statistics 0 0, 0 7,84 0,784 Expected value,8 0, 0, 3,4 0,34 Variance,46 0, 0,4 0,64 0,8 Standard deviation,57 3 0,3 0,9 0,04 0,0 4 0,5 0,6,44 0,6 5 0, 0,5 4,84 0, ,05 0,3 0,4 0,5 cfr. anche file distribuzione di probabilità discreta.xls 7