Dipendenza ed indipendenza
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- Leopoldo Antonelli
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1 PROBABILITA
2 Dipendenza ed indipendenza Estrazioni senza reimmissione DIPENDENZA INDIPENDENZA Estrazioni con reimmissione o lancio di (dadi/monete)
3 Dipendenza ed indipendenza Estrazioni senza reimmissione DIPENDENZA estendiamo! INDIPENDENZA Estrazioni con reimmissione o lancio di (dadi/monete)
4 Dipendenza ed indipendenza Realtà Test positivo (gravidanza) Test farmacia Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11
5 Dipendenza ed indipendenza Realtà Test positivo (gravidanza) Test farmacia Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11 MEGLIO L INDIPENDENZA O LA DIPENDENZA TRA L ESITO DELLE DUE DIAGNOSI?
6 Dipendenza ed indipendenza Realtà Test positivo (gravidanza) Test farmacia Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11 Campione di 99 donne. Scegliendoa caso una donna nel campione, qual è la prob. cheiltest siapositivo?
7 Dipendenza ed indipendenza Test farmacia Realtà Test positivo (gravidanza) Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11 Campione di 99 donne. Scegliendoa caso una donna nel campione, qual è la prob. cheiltest siapositivo? + 99 =0.838 ogni donna delle 99 ha la stessa probabilità di essere estratta di qualunque altra
8 Dipendenza ed indipendenza Test farmacia Realtà Test positivo (gravidanza) Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11 Campione di 99 donne. Scegliendo a caso una donna nel campione, qual è la prob. chesiaincinta? + 99 =0.858
9 Dipendenza ed indipendenza Realtà Test positivo (gravidanza) Campione di 99 donne. Scegliendo a caso una donna nel campione, qual è la prob. chesiaincintae cheiltest sia positivo? 99 =0.808 Test farmacia Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11
10 Dipendenza ed indipendenza Realtà Test positivo (gravidanza) Test farmacia Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11 Campione di 99 donne. Scegliendo a caso una donna nel campione, qual è la prob. chesiaincintasapendocheiltest è positivo?
11 Dipendenza ed indipendenza Realtà Test positivo (gravidanza) Campione di 99 donne. Scegliendo a caso una donna nel campione, qual è la prob. chesiaincintasapendocheiltest è positivo? =0.964 Test farmacia Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11
12 Dipendenza ed indipendenza Realtà Test positivo (gravidanza) Test farmacia Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11 Campione di 99 donne. Scegliendo a caso una donna nel campione, qual è la prob. chesiaincintasapendocheiltest è positivo? = =0.964 P(che una donna sia incinta & abbia test positivo) P(che una donna abbia test positivo)
13 Dipendenza ed indipendenza Realtà Test positivo (gravidanza) Test farmacia Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11 Campione di 99 donne. Scegliendo a caso una donna nel campione, qual è la prob. chesiaincintasapendocheiltest è positivo? =. >. =85 99 prob. che sia incinta
14 Dipendenza ed indipendenza Realtà Test positivo (gravidanza) Test farmacia Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11 Campione di 99 donne. Scegliendo a caso una donna nel campione, qual è la prob. chesiaincintasapendocheiltest è positivo? =0.964>0.858=85 99 prob. a posteriori (prob. che sia incinta) prob. a priori
15 Dipendenza ed indipendenza Realtà Test positivo (gravidanza) Test farmacia Test negativo (no gravidanza) Incinta 80 5 Non incinta 3 11 Campione di 99 donne. Scegliendo a caso una donna nel campione, qual è la prob. cheiltest siapositivosapendo che è incinta? prob. a posteriori =0.941>0.838 (prob. che test +) prob. a priori
16 Dipendenza ed indipendenza Test positivo (gravidanza) Test negativo (no gravidanza) Marginale gravidanza Incinta Non incinta Marginale test Prob. che donna sia incinta + 99 =0.858 prob. a priori
17 Dipendenza ed indipendenza Test positivo (gravidanza) Test negativo (no gravidanza) Marginale gravidanza Incinta Non incinta Marginale test Prob. che donna sia incinta sapendo che il test è positivo Prob. che donna sia incinta = =0.858 prob. a posteriori prob. a priori
18 La probabilità condizionata A = evento che ci interessa B = evento collegato, P(B) 0 A W Probabilità condizionata: B P(A B) = P(A» B) P(B)
19 La probabilità condizionata A = evento che ci interessa B = evento collegato, P(B) 0 Probabilitàcondizionata: P(A B) = P(A» B) P(B) A w B W = A = B Test positivo (gravidanza) Test negativo (no gravidanza) Incinta Non incinta B=spazio degli esiti
20 La probabilità condizionata A = evento che ci interessa B = evento collegato, P(B) 0 A W Probabilitàcondizionata: P(A B) = P(A» B) P(B) B Gli eventi A e B si definiscono (stocasticamente) indipendenti se P(A B) = P(A) P(A» B)=P(A)P(B) P(B A) P(B A)= =P(B) P(A) P(A B) non coincide con P(B A)
21 La probabilità condizionata A = evento che ci interessa B = evento collegato, P(B) 0 A W Probabilitàcondizionata: P(A B) = P(A» B) P(B) B Gli eventi A e B si definiscono (stocasticamente) indipendenti se P(A B) = P(A) P(A» B)=P(A)P(B)
22 La probabilità condizionata A = evento che ci interessa B = evento collegato, P(B) 0 A W Probabilitàcondizionata: P(A B) = P(A» B) P(B) B Gli eventi A e B si definiscono (stocasticamente) indipendenti se P(A B) = P(A) P(A» B)=P(A)P(B) P(A» B)=P(A B)P(B)
23 La probabilità condizionata A = evento che ci interessa B = evento collegato, P(B) 0 A W Probabilitàcondizionata: P(A B) = P(A» B) P(B) B Gli eventi A e B si definiscono (stocasticamente) indipendenti se A P(A B) = P(A) B Test positivo (gravidanza) Test negativo (no gravidanza) Marginale gravidanza Incinta Non incinta Marginale test
24 La probabilità condizionata A = evento che ci interessa B = evento collegato, P(B) 0 A W Probabilitàcondizionata: P(A B) = P(A» B) P(B) B Gli eventi A e B si definiscono (stocasticamente) indipendenti se = =. A P(A B) = P(A) B Test positivo (gravidanza) = =. Test negativo (no gravidanza) Marginale gravidanza Incinta Non incinta Marginale test
25 La probabilità condizionata A = evento che ci interessa B = evento collegato, P(B) 0 A W Probabilitàcondizionata: P(A B) = P(A» B) P(B) B Gli eventi A e B si definiscono (stocasticamente) indipendenti se = =. A P(A B) = P(A) B Test positivo (gravidanza) = =. Test negativo (no gravidanza) Marginale gravidanza A e B indipendenti! Il test non permettedi fare previsione sulla gravidanza Incinta Non incinta Marginale test
26 A Il Teorema di Bayes Test positivo (gravidanza) Test negativo (no gravidanza) Marginale gravidanza Incinta Non incinta Marginale test B Scegliendoa caso una donna nel campione, qual è la prob. che siaincintasapendocheiltest è positivo? =0.964
27 A Il Teorema di Bayes Test positivo (gravidanza) Test negativo (no gravidanza) Marginale gravidanza Incinta Non incinta Marginale test B Scegliendoa caso una donna nel campione, qual è la prob. che sia incinta sapendo che il test è positivo? =0.964 Scegliendoa caso una donna nel campione, qual è la prob. che sia incinta sapendo che il test è negativo? =0.312
28 A Il Teorema di Bayes Test positivo (gravidanza) Test negativo (no gravidanza) Marginale gravidanza Incinta Non incinta Marginale test B Scegliendoa caso una donna nel campione, qual è la prob. che sia incinta sapendo che il test è positivo? =0.964 P(A)=? Scegliendoa caso una donna nel campione, qual è la prob. che sia incinta sapendo che il test è negativo? =0.312
29 A Il Teorema di Bayes Test positivo (gravidanza) Test negativo (no gravidanza) Marginale gravidanza Incinta Non incinta Marginale test B Scegliendoa caso una donna nel campione, qual è la prob. che sia incinta sapendo che il test è positivo? =0.964 P(A)= + =P(A B)P(B)+P(A B )P(B ) Scegliendoa caso una donna nel campione, qual è la prob. che sia incinta sapendo che il test è negativo? =0.312
30 Il Teorema di Bayes Probabilità condizionata: P(A B) = P(A» B) P(B) P(A B) = P(A» B) P(B) = P(B A)P(A) P(B A)P(A)+P(B A )P(A )
31 Il teorema delle prob. totali Probabilità condizionata: P(A B) = P(A B), P(B) 0 P(B) Teorema delle probabilità totali H 1, H 2,, H n eventi a due a due incompatibili tali che» i H i = W P(A)=P(A H 1 )+ P(A H 2 )+ + P(A H n )= =P(A H 1 )P(H 1 )+ P(A H 2 )P(H 2 )+ + P(A H n )P(H n ) H 5 H 4 H 2 W H 7 A H 1 H 6 H 3
32 I test diagnostici Test positivo Test negativo Marginale gravidanza Incinta Non incinta Marginale test ma è un test affidabile?!?
33 I test diagnostici + Test positivo Test negativo Marginale gravidanza Incinta Non incinta Marginale test Sensitività (sensitivity) del test: = + Specificità (specificity) del test: =
34 I test diagnostici + Test positivo Test negativo Marginale gravidanza Incinta Non incinta Marginale test Sensitività (sensitivity) del test: = + =80 85=0.941 Specificità (specificity) del test: = =11 14=0.786 Valore predittivo positivo (positive predictive value): + = 80 83=0.964 Valore predittivo negativo (negative predictive value): = 11 16=0.687
35 I test diagnostici p= P(M) prevalenza : prob. che ad un certo tempo t una persona scelta a caso nella popolazione sia malata Unoa caso si sottopone al test T con + = e =
36 I test diagnostici p= P(M) prevalenza : prob. che ad un certo tempo t una persona scelta a caso nella popolazione sia malata Unoa caso si sottopone al test T con + = e = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) + = + + ( + )
37 I test diagnostici p= P(M) prevalenza : prob. che ad un certo tempo t una persona scelta a caso nella popolazione sia malata Unoa caso si sottopone al test T con + = e = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
38 I test diagnostici p= P(M) prevalenza : prob. che ad un certo tempo t una persona scelta a caso nella popolazione sia malata Unoa caso si sottopone al test T con + = e = ( )( ) ( ) + =0.845 =0.998 =0.10 =0.98 =0.98 valore predittivo positivo o negativo
39 I test diagnostici p= P(M) prevalenza : prob. che ad un certo tempo t una persona scelta a caso nella popolazione sia malata Unoa caso si sottopone al test T con + = e = ( )( ) ( ) + =0.845 =0.998 =0.10 =0.98 = = +(1 )(1 )=0.116
40 I test diagnostici p= P(M) prevalenza : prob. che ad un certo tempo t una persona scelta a caso nella popolazione sia malata Unoa caso si sottopone al test T con + = e = p = 0.10 a = 0.98 b = = =0.845 =0.998 p = 0.01 a = 0.98 b = = =0.331 = 1
41 I test diagnostici p= P(M) prevalenza : prob. che ad un certo tempo t una persona scelta a caso nella popolazione sia malata Unoa caso si sottopone al test T con + = e = p = 0.10 a = 0.98 b = = =0.845 =0.998 p = 0.01 a = 0.98 b = = =0.331 = 1 p = 0.01 a = 0.98 b = = =0.497 =0.9998
42 I test diagnostici p= P(M) prevalenza : prob. che ad un certo tempo t una persona scelta a caso nella popolazione sia malata Unoa caso si sottopone al test T con + = e = p = 0.10 a = 0.98 b = = =0.845 =0.998 p = 0.01 a = 0.98 b = = =0.331 = 1 p = 0.01 a = 0.98 b = = =0.497 = p = 0.01 a = 0.99 b = = =0.5 =0.9998
43 I test diagnostici p= P(M) prevalenza : prob. che ad un certo tempo t una persona scelta a caso nella popolazione sia malata Unoa caso si sottopone al test T con + = e = p = 0.10 a = 0.98 b = = =0.845 =0.998 p = 0.01 a = 0.98 b = = =0.331 = 1 + = =0.90 =0.999 p = 0.01 a = 0.90 b = p = 0.01 a = 0.98 b = 0.99 p = 0.01 a = 0.99 b = = =0.497 = = =0.5 =0.9998
44 I test diagnostici p= P(M) prevalenza : prob. che ad un certo tempo t una persona scelta a caso nella popolazione sia malata Unoa caso si sottopone al test T con + = e = screening p = 0.10 a = 0.98 b = = =0.845 = p = 0.80 a = 0.98 b = = =0.994 =0.924 p = 0.01 a = 0.90 b = = =0.90 =0.999
45 RIASSUNTO 0 P(A) 1 qualunque sia A A W P(W) =1 P( ) =0 B P(A ) = 1-P(A) Se A B => P(A) P(B) regola della somma Se A B = «=> P(A» B)=P(A)+P(B) se A B «=> P(A» B)=P(A)+P(B)-P(A B)
46 RIASSUNTO 0 P(A) 1 qualunque sia A P(W) =1 P( ) =0 P(A ) = 1-P(A) Se A B => P(A) P(B) Se A B = «=> P(A» B)=P(A)+P(B) se A B «=> P(A» B)=P(A)+P(B)-P(A B) P(A B) = P(A» B) = P(B) P(B A)P(A) P(B A)P(A)+P(B A )P(A ) P(A» B)=P(A)P(B) indipendenza A B W regola della somma prob. condizionata & Teo. Bayes P(A» B)=P(A B)P(B) regola del prodotto
47 X=1 X=0 Marginale Y Y= Y= Marginale X Tabella di contingenza, o a doppia entrata Analisi dell associazione (assenza di indipendenza) tra le variabili categoriche X e Y
48 Compiti 1. Qual è la probabilità di ottenere almeno una testa lanciando tre volte una moneta equilibrata? 2. Qual è la probabilità che lanciando successivamente una moneta equilibrata, la prima volta di T sia al quinto lancio? 3. Se al quarto lancio non è ancora uscita T, qual è la probabilità che esca al quinto? 4. Esercizio seguente
49 Esercizio Un test immunochimico (definisce la presenza/assenza di una sostanza ad un definito valore di soglia) viene somministrato ai dipendenti di un azienda per verificare che non usino sostanze stupefacenti (in caso il test risulti positivo, si deve seguire un test cromatrografico perchè l esito abbia valore medico legale). Il test utilizzato ha una percentuale del 2% di falsi positivi e del 0.5% di falsi negativi. Qual è la probabilità che un dipendente positivo al test non faccia realmente uso di sostanze stupefacenti, se secondo studi recenti la percentuale di utilizzatori di s.s. è del 5%?
50 Soluzioni 1. Qual è la probabilità di ottenere almeno una testa lanciando tre volte una moneta equilibrata? TCC, CTC,CCT, TTC, TCT, CTT, TTT = =1 1 8 =7 8 tutte croci 2. Qual è la probabilità che lanciando successivamente una moneta equilibrata, la prima volta di T sia al quinto lancio? = 1 2 = Se al quarto lancio non è ancora uscita T, qual è la probabilità che esca al quinto? 0.5
51 Esercizio Un test immunochimico (definisce la presenza/assenza di una sostanza ad un definito valore di soglia) viene somministrato ai dipendenti di un azienda per verificare che non usino sostanze stupefacenti (in caso il test risulti positivo, si deve seguire un test cromatrografico perchè l esito abbia valore medico legale). Il test utilizzato ha una percentuale del 2% di falsi positivi e del 0.5% di falsi negativi. Qual è la probabilità che un dipendente positivo al test non faccia realmente uso di sostanze stupefacenti, se secondo studi recenti la percentualedi utilizzatoridi s.s.è del 5%? S=uso di sostanze s. + =0.02 =0.005 =0.05 +
52 Esercizio Un test immunochimico (definisce la presenza/assenza di una sostanza ad un definito valore di soglia) viene somministrato ai dipendenti di un azienda per verificare che non usino sostanze stupefacenti (in caso il test risulti positivo, si deve seguire un test cromatrografico perchè l esito abbia valore medico legale). Il test utilizzato ha una percentuale del 2% di falsi positivi e del 0.5% di falsi negativi. Qual è la probabilità che un dipendente positivo al test non faccia realmente uso di sostanze stupefacenti, se secondo studi recenti la percentuale di utilizzatori di s.s. è del 5%? + =0.02 =0.005 = = ( +) ( +) = + ( ) ( ) = = =0.276
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