ESERCIZIO 1.1. Definire il significato della notazione secondo la teoria degli insiemi e i principi del calcolo delle probabilità

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1 ESERCITAZIONE CORSO STATISTICA PER LE AZIENDE B - PROFESSORESSA ANTONELLA BITETTO 25 e 26 MARZO 2019 TEORIA DEGLI INSIEMI APPLICATA AL CALCOLO DELLE PROBABILITA ESERCIZIO 1.1. Definire il significato della notazione secondo la teoria degli insiemi e i principi del calcolo delle probabilità NOTAZIONE TEORIA DEGLI INSIEMI CALCOLO DELLE PROBABILITA S Insieme Universo Spazio Campionario a S a è un elemento di S { a } è un evento elementare A S A è un sottoinsieme di S A è un evento (composto) A S A è l insieme universo A è l evento certo A Ø A è il sottoinsieme vuoto A è l evento impossibile A A è il complementare di A A è l evento negazione (contrario) di A X = A B X è l unione di A e B X è un evento di A o B X = A B X è l intersezione di A e B X è un evento A e B ESERCIZIO 1.2 Stabilire quale delle seguenti affermazioni sono vere e quali false. Il complemento dell unione di due eventi è l intersezione dei loro complementari La somma delle probabilità di eventi collettivamente esaustivi deve valere 1 Se un evento e il suo complementare hanno la stessa possibilità di verificarsi, la probabilità è pari a 0,5 Se A e B sono mutuamente esclusivi, allora A e B devono essere mutuamente esclusivi vero x x falso x x SPAZIO PROBABILIZZABILE e PROBABILITA UNIONE E COMPLEMENTARE ESERCIZIO 2.1 Si consideri il lancio di un dado con gli eventi A, E 1, E2 ed E3 definiti come: A = {2,4,6} E 1 = {1,2} E 2 = {3,4} E 3 = {5,6} Dimostrare che E 1 A E 1 A ed E 1 A sono mutualmente esclusivi e che la loro unione è A Gli eventi sono esclusivi e la loro unione è: (E 1 A) (E 2 A) (E 3 A) = {2,4,6} = A Infatti: (E 1 A) = {2}, (E 2 A) = {3} ed (E 3 A) = {6}

2 ESERCIZIO 2.2 Dati uno SPAZIO CAMPIONARIO definito come segue: S={E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10}, I. per A = {E1, E3, E6, E9} definire Ā II. per A = {E1, E3, E7, E9} e B = {E2, E3, E8, E9} definire l evento intersezione di A e B (A B); l evento unione di A e B ( A B);. I due eventi sono collettivamente esaustivi? III. per Ā = {E1, E3, E7, E9} e B = {E2, E3, E8, E9}, definire l evento A B e l evento A B I. Ā = {E2, E4, E5, E7, E8, E10} II. A B = {E3, E9} ed A B {E1, E2, E3, E7, E8, E9} ; A B S per cui non è esaustivo III. A = {E2, E4, E5, E6, E8, E10} e B = {E1, E4, E5, E6, E7, E10} A B = {E4, E5, E6, E10} ed A B { E1, E2, E4, E5, E6, E7, E8,E10} ESERCIZIO 2.3 Siano A e B eventi con P(A)=3/8; P(B)=1/2; P(A B)=1/4. Calcolare: i. P(A B), ii. P(A ) e iii. P(B ). i. P(A B)= P(A) + P(B) - P(A B) = 3/8 +1/2 + 1/4 = 5/8 ii. P(A )= 1- P(A) = 1-3/8 =5/8 iii. P(B )= 1- P(B) = 1-1/2=1/2 ESERCIZIO 2.4 Calcolare la probabilità che al lancio di 3 monete: i. esca la «prima moneta testa», ii. escano «tre Teste», iii. «una delle monete sia testa». Se consideriamo distintamente le 3 monete in cui l uscita di testa o croce siano equiprobabili gli eventi casuali possibili sono: S = = {TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC,CCT,CCC} i. «la prima moneta è testa»: TTT, TTC, TCT, TCC = =4/8 = 0,5 ii. «tre teste» = 1 / 8 = 0,125 iii. almeno una delle monete è testa : TTT, TTC, TCT, TCC, CTC, CTT, CTC = 7/8 = 0,875 ESERCIZIO 2.5 Un dado viene lanciato 100 volte ottenendo i seguenti risultati per ciascuno dei sei numeri: Numero: Frequenza:

3 Calcolare la probabilità : i. P(3); ii. P(Pari); iii. P(Numero primo). I. P(3)=20/100=0,20; II. P(Pari)= =0,51; III. P(Numero primo) = = 0,52 ESERCIZIO 2.6 Calcolare la probabilità di estrarre una pallina bianca o una pallina azzurra da un urna contenente 4 palline bianche, 3 rosse, 5 azzurre. Nell urna (S) vi sono = 12 palline P(b) = estrazione pallina bianca = 4/12 P(a)= estrazione pallina azzurra = 3/12 P(b) P(a) = P(b) + P(a) = 4/12 + 3/12 = 7/12 Allo stesso risultato si può giungere con il calcolo combinatorio: Combinazione 1 pallina bianca e 1 pallina azzurra: ( 4 1 ) (3 1 ) = 7 P(b) P(a) = 7/12 ESERCIZIO 2.7 Una lotteria di beneficenza vende 1000 biglietti, ci sono 10 premi principali e 100 di consolazione. Calcolare la probabilità di vincere: I. un «premio principale» II. un «premio di consolazione» III. «almeno un premio» IV. «nessun premio» Soluzione I. P (A o premio principale ) = 10/1000=0,01; II. P(B o premio di consolazione ) = 100/1000 =0,1 III. P(A) P(B)= P almeno un premio = 0,01+0,1=0,11 IV. P (A ) = P nessun premio, per P (A) = P almeno un premio ; 1- P (A) = = 1 0,11 = 0,89 ESERCIZIO 2.8 Un azienda deve effettuare l installazione e i controlli di un nuovo macchinario. Il responsabile sa che non ci vorranno più di 7 giorni per effettuare queste operazioni. Siano l evento A occorreranno più di 4 giorni e l evento non ci vorranno più di 6 giorni, definire:

4 i. A B; A ; A B; ii. Verificare se eventi gli A e B sono mutuamente esclusivi e collettivamente esaustivi. iii. Dimostrare che (A B) (A B) = B e che A (A B) = A B i. A B = {1,2,3,4,5,6,7}; A = {1,2,3} ; A B = {4,5,6} ii. Non sono esclusivi perché A B = {4,5,6} ma sono esaustivi perché A B = {1,2,3,4,5,6,7} = S iii. A (A B) = A B perché A = {4,5,6,7} e (A B) = {1,2,3}. Quindi A (A B) = A B = {1,2,3,4,5,6,7} = S ESERCIZIO 2.9 Un rivenditore di auto usate ha a disposizione 2 Toyota e 3 Mercedes. De clienti arrivano insieme al salone e acquistano un auto: non si conoscono né comunicano. I. Definire gli eventi A: i clienti scelgono almeno una Toyota ; B: i clienti scelgono due auto della stessa marca ; A. II. Verificare se (A B) (A B) = B e se A (A B) = A B I. A = {M1T1 ; M1T2 ; M2T1 ; M2T2 ; M3T1 ; M3 T2 ; T1T2 } ; B = {M1M2 ;M1M3 ;M2M3 ; T1T2 }; A = {M1M2 ;M1M3 ;M2M3}; II. (A B) (A B) = (T1T2)+(M1M2 ;M1M2 ;M2M3) = (M1M2 ;M1M3 ;M2M3 ; T1T2) = B A (A B) = (M1T1 ; M1T2 ; M2T1 ; M2T2 ; M3T1 ; M3 T2 ; T1T2)+ (M1M2 ;M1M2 ;M2M3) = (M1T1 ;M1T2 ;M2T1;M2T2;M3T1;M3T2 ; T1T2;M1M2 ;M1M3 ;M2M3) = A B PROBABILITA CONDIZIONATA ED INDIPENDENZA ESERCIZIO 3.1 In un fast food il 75% dei clienti usa ketchup (PA) e l 80% maionese (PB); il 65% le usa entrambe. I. Calcolare la probabilità che chi usa ketchup usi la maionese. II. Verificare se I due eventi utilizzo ketchup e utilizzo maionese sono indipendenti. I. P(A B)= P(A B)/P(B)=0,65/0,80=0,81 II. P(A) P(A B), i due eventi sono dipendenti ESERCIZIO 3.2 Un indagine condotta in una facoltà di Economia Aziendale ha evidenziato che il 25% degli studenti dell ultimo anno sono preoccupati per i voti, il 30% per le prospettive lavorative e il 20% per entrambi i motivi. Calcolare la probabilità che: I. uno studente scelto a caso sia preoccupato almeno per uno dei due motivi; II. uno studente preoccupato per le prospettive lavorative dato che è preoccupato per i voti; I. P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) = 0,25 + 0,30 0,20= 0.35 II. P(B A)= P(A B)/P(A) =0,20/0,30 = 0,06

5 ESERCIZIO 3.3 Una ricerca di mercato riscontra che nel Nord Italia durante una settimana il 18% segue alla televisione trasmissioni su argomenti di economia finanziaria, il 12% legge una certa rivista di argomento economico finanziario e il 10% fa entrambe le cose. Calcolare la probabilità che un intervistato scelto a caso: I. segua trasmissioni di economia, dato che legge la rivista di argomento economico finanziario; II. legga la rivista la rivista di argomento economico finanziario, dato che segue trasmissioni di economia. I. P(A B)= P(A B)/P(A) = 0,10/0,18= 0,55 II. P(B A)= P(A B)/P(B) =0,10/0,12 = 0,83 ESERCIZIO 3.4 Un azienda di vendite per corrispondenza registra 3 possibili inconvenienti nell evasione di un ordine: A: viene spedito l articolo errato; B: l articolo viene smarrito durante la spedizione; C: l articolo viene danneggiato durante la spedizione. Assumendo che A sia indipendente sia da B che da C, che B e C siano mutualmente esclusivi e che le probabilità dei singoli eventi sono P(A)=0,2, P(B)=0,01 e P(C)=0,04, trovare la probabilità che si verifichi almeno uno di questi inconvenienti in un ordine scelto a caso. P almeno uno degli eventi corrisponde alla probabilità unione dei tre eventi: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) - (B C) Dato che A e B e A e C sono indipendenti è possibile calcolare la probabilità delle intersezioni di A B e di A C a partire dalle probabilità dei singoli eventi secondo la seguente formula derivata dalla probabilità condizionata: P(A B) = P(A) P(B) e P(A C) = P(A) P(C) da cui P(A B)= = 0,0002 e P(A C)= = 0,0008. P(B C)= 0 dato che B e C sono mutualmente esclusivi. Pertanto P(A B C)=0,02 + 0,01 + 0,04 0,001 = 0,069. ESERCIZIO 3.5 Il 30% di persone che entrano in un grande magazzino compiono un acquisto. Il 12% compie un acquisto e lascia la macchina in un parcheggio convenzionato. Qual è la probabilità che un cliente abbia lasciato la macchina nel parcheggio dato che ha compiuto un acquisto? P (A Park) P(A Park) = = 0.12 = 0,26 P (Park) 0.3 ESERCIZIO 3.6 Per essere assunto in un ufficio di statistica di un ente pubblico un laureato deve superare un test di statistica e uno in diritto amministrativo. La probabilità che superi la prima prova è di 0,85, mentre la probabilità che superi la seconda prova è 0,38. Se gli esiti delle prove sono indipendenti, qual è la probabilità che il laureato sia assunto?

6 P (assunzione) = 0,85 x 0,38. ESERCIZIO 3.8 Calcolare la probabilità di estrarre 4 carte nella sequenza cuori, quadri, picche, fiori (P c,q,p,f), da un mazzo di 52 carte P(E) senza rimessa. P(c) va calcolata come risultato di una prima estrazione e si trova come rapporto tra 13 carte seme cuori su 52 elementi del mazzo. P(q c) va calcolata come esito della seconda estrazione senza rimessa ed è data dal rapporto tra le 13 carte seme q su 52-1 elemento estratto dal mazzo e così via per le estrazioni successive. Pertanto, P(c,q,p,f)= P(c) P(q c) P(p c,q) P(f c,q,p) = = 0, ESERCIZIO 3.9 Calcolare la probabilità di estrarre 3 prodotti «non difettosi» da un lotto di 12 elementi di cui 4 «difettosi» senza remissione. pezzi difettosi (se i e il pezzo «integro»): P(i, i, i) = = 0,2545 *Prima estrazione: P si trova come 8 elementi non difettosi (12-4) su 12 elementi totali **Seconda estrazione: P si trova come 7 elementi restanti non difettosi su 11 elementi restanti totali (sottratto al numeratore e denominatore 1 elemento estratto) e così via per la terza estrazione TEOREMA DI BAYES: ESERCIZIO 4.1 Un analista di banca sa che nella sua zona il 67% della clientela è segmentata «Personal» e il 33% classificata «Family». Viene a sapere che il 35% dei clienti «Personal» è disposto ad acquistare un prodotto assicurativo. Dal lato delle famiglie ben l 80% è disposto a fare l acquisto di un prodotto assicurativo e solo il 20% non mostra interesse. Calcolare la probabilità che avendo venduto una polizza questa sia stata acquistata da un cliente «Personal». P(A Ps) = verosimiglianza che un cliente personal acquisti l assicurazione = 0,35 P(A F) = verosimiglianza che un cliente family acquisti l assicurazione = 0,8? = P (Ps A) o probabilità a posteriori che un cliente faccia un acquisto dato che è personal P (A Ps) P (Ps) P (Ps A)= = 0,35 0,67 = 0,47 P (A Ps) P (Ps) +P (A F) P (F) 0,35 0,67 + 0,33 0,80 P(F A) = 1 P (P A) = 1-0,47 = 0,53 ESERCIZIO 4.2 Un editore invia materiale pubblicitario relativa ad un testo di contabilità all 80% dei titolari del corso di contabilità. Il 30% dei docenti che hanno ricevuto il materiale ha poi adottato il libro. Anche l 10% dei docenti che non hanno ricevuto il libro, lo adottano. Qual é la probabilità che un docente cha adottati il libro abbia ricevuto il materiale pubblicitario.

7 P(A) = P docente riceve materiale pubblicitario =0,80 P(B) = P docente adotta il libro P (B A) = P adotta il libro dato che ha ricevuto il materiale pubblicitario = 0.30 P(B Ᾱ) = P adotta il libro senza aver ricevuto il materiale pubblicitario = 0.10 P (B A) P (A) P(A B) = P (B A) P (A) +P(B Ᾱ) P (Ᾱ) = 0,30 0,80 = 0,24/0,26= 0,9231 (0,30 x 0,80) +(0,10 (1-0,80)) ESERCIZIO 4.3 In una data popolazione i fumatori sono il 35%. Si sa anche che il 20% dei fumatori e il 6% dei non fumatori sono affetti da una qualche malattia respiratoria cronica. Si vuole determinare la probabilità che un soggetto scelto a caso tra i fumatori sia affetto da una malattia respiratoria cronica. P(F) = P fumatore = 0,35 P(F ) = P non fumatore = 1 0,35 = 0,65 P (Malato F) = 0,20 P (Malato F ) = 0,06 P (Malato F) P (F) P (F Malato) = P (Malato F) P (F) +P(Malato F = 0,20 0,35 ) P (F ) (0,20 x 0,35) +(0,06 (1-0,35)) 0,07/0,07 + 0,039 = 0,6412 ESERCIZIO 4.4 Un azienda vinicola produce sia vino da tavola che sia vino DOC. La sua produzione è distribuita attraverso due canali: il 65% è destinata ai supermercati e la parte restante alle enoteche. La probabilità che sia richiesto vino DOC, dato che l ordine proviene da un supermercato è 0,25; mentre la probabilità che sia richiesto vino DOC da un enoteca è 0,80. Calcolare la probabilità che: I. sia richiesto vino DOC II. l ordine provenga da un enoteca, dato che è stata richiesta la qualità DOC III. l ordine provenga da un supermercato, dato che è stata richiesta la qualità DOC P (E) = 1-0,65=0,35 I. P(DOC) = P (DOC S) x P (DOC S) = (0,25 x 0,65) + (0,35 x 0,8) = 0,4425 II. P (E DOC) = P (E) x P (DOC E) = 0,35 0,8 = 0,6328 P (E) x P (DOC E) + P (E ) P(DOC E ) (0,35 x 0,8) +(0,65 0,25) III. P (S DOC) = 1 0,6328 = 0,3672 PROBABILITA CONGIUNTE: ESERCIZIO 5.1 In un gruppo di viaggiatori costituito da 53 persone, 24 sono maschi e 29 femmine. In generale 18 hanno la patente di cui 10 sono maschi e 8 donne. Calcolare la probabilità che : I. un viaggiatore maschio scelto a caso sia senza patente II. un viaggiatore scelto a caso sia senza patente III. un viaggiatore scelto a caso sia di sesso femminile IV. una viaggiatrice donna sia con la patente

8 maschio femmina totale patente Senza patente Totale I. P (M P ) = 14/53 = 0,264 II. P(P-) = 35/53 = 0,66 III. P(F) = 29/53 = 0,55 IV. P(F P)= 8/53 = 0,15 ESERCIZIO 5.2 Un agenzia di marketing conduce uno studio sulle abitudini relative all utilizzo della televisione e trova i seguenti risultati in relazione al reddito della famiglia: R Alto R Medio R Basso Totale regolare 0,1 0,15 0,05 0,3 occasionale 0,1 0,2 0,1 0,4 mai 0,05 0,05 0,2 0,3 Totale 0,25 0,4 0,35 1 Calcolare le seguenti probabilità congiunte: I. reddito alto e mai II. reddito basso e regolare III. reddito medio dato occasionale IV. regolare dato Reddito elevato i II III. 0.20/0.40=0.5 III. 0.10/0.25=0.4 CALCOLO COMBINATORIO: ESERCIZIO 6.1 Un comitato studentesco ha 6 componenti: 4 sono diplomati e 2 laureati. Dovendo costituire un sottocomitato di 3 membri qual è la probabilità che non ci sia nessun laureato? prima bisogna calcolare tutte le combinazioni possibili di comitati. L ordine non è pertinente al quesito per cui si userà la regola della combinazione. COMITATI POSSIBILI = ( ) = 3 = 120 = Quindi con lo stesso metodo si valutano le possibili combinazioni dei 4 studenti ancora solo diplomati. COMITATI DI DIPLOMATI = ( ) = 3 = P (3 MEMBRI SENZA LAUREA) = 4 = 0,2 20

9 ESERCIZIO 6.2: Lo spettacolo di un prestigiatore è seguito da 50 spettatori di cui 30 di sesso maschile. Il prestigiatore chiede che due persone vadano sul palco, contemporaneamente, per collaborare a un gioco. La scelta avviene a caso. I. Qual è la probabilità che sul palco vadano due donne? II. Qual è la probabilità che sul palco vadano due uomini? III. Qual è la probabilità che sul palco vadano una donna e un uomo? casi possibili= ( 50 2 ) = = 2450/2 = Combinazione due donne = ( 20 2 ) = =190 P (due donne) = 190/1225 = 0, Combinazione due uomini = ( 30 2 ) = =435 P (due uomini)= 435/1225 = 0, Combinazione uomo e una donna = ( 20 1 ) (30 ) = 600 P (un uomo e una donna) = 600/1225 = 0,4898 1