Probabilità. . Probabilità condizionata. Esempi di probabilità condizionata

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1 . Probabilità condizionata Probabilità Dati due eventi A ed BB, compatibili tra loro (cioè AA BB Ø), si dice probabilità condizionata di AArispetto a B la probabilità che AAsi verifichi dopo che BBsi è già verificato, questo si indica con: pp(aa BB). Per calcolare la probabilità condizionata, dell evento A rispetto all evento BB, si usa la formula: pp(aa BB) = pp(aa BB) = pp(bb) n= numero elementi dell insieme U rr nn = rr r= numero eventi favorevoli insieme AAnell ipotesi che B si sia verificato k= numero eventi favorevoli al verificarsi di BB kk nn kk Esempi di probabilità condizionata Un urna contiene 2 palline uguali numerate da a 2. Sappiamo che lo spazio dei campioni é indicato come: UU = {,2,3,4,5,6,7,8,9,0,,2} consideriamo l evento EE = estrazione di una pallina con un numero divisibile per 3, e l evento: EE = estrazione di una pallina con un numero maggiore di 7. Calcolare la probabilità pp(ee EE).

2 EE ={ 8,9,0,,2} =k I casi favorevoli sono i 2 elementi dell insieme EE EE = {9,2}=r Quindi pl probabilità è pp(ee EE ) = Consideriamo l evento EE2 = estrazione di una pallina con un numero pari EE 2= { 2,4,6,8,0,2} =k In questo caso EE EE2 = {6,2} = rr La probabilità è pp(ee EE ) = Consideriamo l evento EE3 = estrazione di una pallina con un numero minore di 8, EE3= {,2,3,4,5,6,7 } =k l insieme EE EE3 = {3,6} = rr La probablità è pp(ee EE 3 ) = PP (2) = =

3 Il problema delle Prove Ripetute (o Teorema di Bernoulli) In molti problemi di applicazione si debbono considerare le prove indipendenti ripetute di un esperimento. Per ogni prova sia p la probabilità che la prova dia esito positivo (o successo) e sia q=-p la probabilità contraria (o fallimento). Supponiamo che l esperimento abbia successo nelle prime k prove e fallimento nelle successive n-k. Per il principio delle probabilità composte, la probabilità p di quest'evento è data da: p. p. p. p. p kk. q. q. q nn kk = pp kk. qq nn kk Il numero degli eventi formati da k successi e da n-k fallimenti è dato da tutte le combinazioni semplici delle n prove a k a k. Quindi CC(nn, kk) = nn! (nn kk)!kk! La probabilità che, su n prove bernoulliane, k e solo k abbiano successo è data da: Esempio : PP(EE) = CC(nn, kk) pp kk qq nn kk Dati 3 dadi, calcoliamo la probabilità che esca il numero 6 solo una volta. Le combinazioni possibili C(n,k) sono: CC(3,) = 3! = 3 (3 )!! 5 La probabilità p che si verifichi l evento è 6 mentre l evento contrario è 6 L evento deve verificarsi volta sola su 3 dadi (quindi le altre due volte deve verificarsi l evento contrario): La probabilità quindi è : ppkk = qq nn kk = PPkk = = 26

4 4. Il teorema di disintegrazione Consideriamo uno spazio campionario e supponiamo che E, E2, E3,.. En siano una partizione di, cioè che E, E2, E3,.. En siano eventi di probabilità non nulla di, a due a due disgiunti, la cui unione è : = EU E2 U E3 U.. U En Considerato un qualsiasi evento, gli insiemi EE, E E2,..,EEn risultano a loro volta disgiunti a due a due e la loro unione è E : E = (EE)U( E E2)U..(EEn). Poiché gli eventi E E, E2 E, E3 E En E sono disgiunti, abbiamo l uguaglianza : p(e)= p(e E) + p(e2 E) +.p.( En E) che si può scrivere nella forma : p(e) = p(e) p(e E) + p(e2) p( E E2) p(en ) p(e En) p(e)= p(e E) + p(e 2 E) + p(e 3 E) + p(e 4 E) = = p(e ) p(e E ) + p(e 2) p( E E 2) + p(e ) p(e E ) + p(e 2) p( E E 2) Se l evento deve accadere: Teorema della disintegrazione : Sia E, E2, E3,.. En una collezione di eventi che forma una partizione dello spazio campionario. Allora, per ogni evento E, vale l uguaglianza : p(e) = p(e E)p(E) + p( E E2) p(e2) +.. p(e En)p(En ) E, E2, E3,.. En prendono anche il nome di alternative, perché se ne può verificare uno ed uno solo. L utilità del teorema sta nel fatto che spesso è difficile calcolare p(e), mentre è più facile calcolare p(e E), perché ciò significa calcolare p(e) con una informazione aggiuntiva proveniente dal sapere che si è verificato E.

5 N.B. un applicazione semplice, ma utile, del teorema riguarda il caso in cui consideriamo E = B, E2 = B,dove B è un evento. In questo caso la formula diventa : p(e) = p(e B)p(B) + p( E B ) p(b). Esempio: Abbiamo due urne A e B che contengono: A: 3 palline bianche e 2 nere B: 4 palline bianche e 5 nere Ora, calcoliamo la probabilità che, scegliendo a caso un urna ed effettuando l estrazione di una pallina, questa sia bianca. Per scegliere l urna ci affidiamo al lancio di un dado: EE =un numero minore di 3 estrazione dall urna A EE2 =un numero maggiore o uguale a 3 estrazione dall urna B Sono quindi due eventi incompatibili ed esauriscono tutte le possibilità del dado. pp(ee ) = 2 numeri su 6 del dado pp(ee ) = 2 4 numeri su 6 del dado 3 Gli eventi condizionati relativi all estrazione della pallina bianca, avendo scelto l urna, sono: pp(ee EE ) = 3 5 pp(ee EE ) = 4 9 Applicando il teorema della probabilità composta abbiamo quindi che: pp(ee EE) = pp(ee) pp(ee EE) = 3 = pp(ee2 EE) = pp(ee2) pp(ee EE2) = 2 4 = Calcoliamo la probabilità totale dell evento E, ovvero la somma degli eventi composti: 8 67 pp(ee) = pp(ee) pp(ee EE) + pp(ee2) pp(ee EE2) = = 35

6 Il teorema di Bayes Formula di disintegrazione: pp(ee) = pp(ee ) pp(ee EE ) + pp(ee 2 ) pp(ee EE 2 )+... +pp(ee nn ) pp(ee EE nn ) Il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità che un determinato evento (o causa) EE ii abbia preceduto l evento E che si è verificato. La probabilità che l evento EE ii sia stato la premessa al verificarsi dell evento E è: pp(ee EE ii ) = pp(ee ii) pp(ee EE ii ) pp(ee) Esempi: - Una fabbrica ha due macchinari; il primo produce 500 pezzi al giorno di cui il 2% difettosi; il secondo produce 300 pezzi al giorno di cui l % difettosi. Facendo un controllo a caso su tutta la produzione giornaliera si trova un sacchetto difettoso; qual è la probabilità che provenga dal primo macchinario? E = il sacchetto è difettoso E = il sacchetto proviene dal primo macchinario E2 = il sacchetto proviene dal secondo macchinario considero la somma dei rami positivi:

7 p(e) = p(e)p(e E)+p(E2)p(E E2) =5/8*2/00+3/8*/00= 3/ Una malattia colpisce persona su 00. Un test dà esito positivo nel 98% dei casi su persone effettivamente malate e nello 0,5% dei casi su persone che invece stanno bene. Se una persona fa il test, che probabilità ha di essere davvero malata se il test dà esito positivo? Soluzione : E = test dà esito positivo E = Persona Malata E2 = Persona sana 3- Supponiamo che un urna contenga 20 palline rosse, 30 palline bianche e 40 palline nere; una seconda urna contenga invece 0 palline rosse, 5 bianche e 35 nere ed infine una terza urna contenga 8 palline rosse, 2 bianche e 20 nere. Estraiamo una pallina e chiediamoci, nel caso in cui questa risulti nera, quale sia la probabilità che provenga dalla prima urna. Osserviamo subito che se la pallina estratta fosse rossa o bianca il problema non ci interesserebbe più; dobbiamo supporre quindi che si sia verificato l evento N : la

8 pallina estratta è nera. N è quindi l effetto prodotto dall esperimento aleatorio di estrazione di una pallina da un urna a scelta fra 3. Lo spazio ΩΩ è l insieme delle 3 urne; gli eventi AAiisono nel nostro caso i seguenti: AA: la pallina proviene dalla prima urna AA2: la pallina proviene dalla seconda urna AA3: la pallina proviene dalla terza urna e rappresentano le cause che hanno prodotto N. Il teorema di Bayes ci consente di calcolare la probabilità che N sia stato causato da AA: pp(aa NN) = pp(nn AA) pp(aa) pp(nn AA) pp(aa) + pp(nn AA2) pp(aa2) + pp(nn AA3) pp(aa3) Calcoliamo tutte le probabilità che intervengono nella formula: pp(nn AA) è la probabilità che, estraendo una pallina dalla prima urna, questa sia nera: pp(nn AA ) = 40 = pp(nn AA2) è la probabilità che, estraendo una pallina dalla seconda urna, questa sia nera: pp(nn AA ) = 35 = pp(nn AA3) è la probabilità che, estraendo una pallina dalla terza urna, questa sia nera: pp(nn AA ) = 20 = pp(aa), pp(aa2)e pp(aa3) sono le probabilità di scegliere la prima, la seconda e la terza urna. Possiamo ritenere equiprobabili i tre eventi e quindi ciascuna probabilità vale 3. Allora, pp(aa NN), cioè la probabilità che la pallina nera provenga dalla prima urna, è data da

9 4 pp(aa NN) = = 0,328

10 equo e il giocatore, facendo tante partite, perde in media,8 EURO a partita.