STATISTICA A K (63 ore)

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1 STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani mriani@unipr.it Esercizi Dati i tre insiemi A={x: 0 x 4} B={x: 3 x 10} C={x: -1 x 3} Si determinino gli eventi A U B U C A B C A B C c 1

2 A={x: 0 x 4} B={x: 3 x 10} C={x: -1 x 3} Soluzione A U B U C={x: -1 x 10} A B C={x: x =3} A B C c ={x: 3<x 4} Generalizzazione di intersezione ed unione ad una collezione numerabile di insiemi o ad un numero numerabilmente infinito di insiemi (p. 148) Es. Intersezione 2

3 A 1 A 2 A 3 [1 3) [1/2 5/2) [1/3 7/3) Intersezione [ /3) A 1 A 2 A 3 A n [1 3) [1/2 5/2) [1/3 7/3) [1/n 2+1/n) Intersezione [ ] 3

4 A 1 A 2 A 3 [1 3) [1/2 5/2) [1/3 7/3) Unione [1/ ) A 1 A 2 A 3 A n [1 3) [1/2 5/2) [1/3 7/3) [1/n 2+1/n Unione ( ) 4

5 Esercizio Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità P(A)? P(A)=1-p(A c )=1-0,3=0,7 P(A B)? P(A U B)? P(A B c )=0,5 P(A)=0,7 noti Che cos è P(A B c )? Obiettivo P(A B)? Ω A B P(A B c )=P(A)-P(A B) P(A B)=P(A)-P(A B c )=0,7-0,5=0,2 5

6 P(A U B)? P(A U B)=P(A) +P(B) -P(A B) P(A)=0,7 P(B)=0,4 P(A B)=0,2 P(A U B)=0,7+0,4-0,2=0,9 Esempi Lancio di una moneta 3 volte Spazio degli eventi? Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} Probabilità degli eventi: A= Croce nel primo lancio B= Almeno due volte testa C =A U B = Croce nel primo lancio o almeno due volte testa 6

7 Probabilità dell evento A= Croce nel primo lancio Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} P(A) = 4/8=0,5 Probabilità dell evento B= Almeno due volte testa Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} P(B) = 4/8=0,5 7

8 Probabilità dell evento C= A Croce nel primo lancio o B almeno due volte testa Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} P(C) =P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A)=0.5 P(A B)=1/8 P(C)=7/8 P(B)=0.5 Esercizio Calcolare la probabilità che l esito del secondo lancio sia un numero doppio dell esito del primo lancio Casi favorevoli coppie: (1,2) (2,4) (3,6) Casi possibili 36 Prob(esito del secondo lancio sia un numero doppio dell esito del primo lancio)= 3/36 8

9 Soluzione Probabilità che l esito del secondo lancio sia un numero doppio dell esito del primo lancio (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Ω Casi favorevoli=3 Casi possibili =36 Prob richiesta = 1/12 Esempio Titolari di patente classificati per sesso e per l obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 0,4 Tot 0,3 0,7 1 Prob. degli eventi P(M N)? P(M U N) 9

10 Esempio Titolari di patente classificati per sesso e per l obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 0,4 Tot 0,3 0,7 1 P(M N)=0,4 Esempio Titolari di patente classificati per sesso e per l obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 0,4 Tot 0,3 0,7 1 P(M U N)= P(M)+P(N)-P(M N)= 0,6+0,7-0,4=0,9 10

11 Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure un re? Soluzione Pr(carta di quadra U un re)= Pr (carta di quadri) +Pr(re) -P(carta di quadri un re) 13/52+4/52-1/52=16/52=0,31 11

12 Eserciziario p. 153 Premessa: a volte elencare tuttti i possibili risultati di un esperimento diventa proibitivo se non impossibile Regole di enumerazione (combinazioni, disposizioni, permutazioni ) Targhe italiane: 2 lettere, 3 cifre, 2 lettere Quante sono le diverse targhe possibili? Quanto sono le targhe possibili se nessuna cifra e nessuna lettera può essere ripetuta? Ip. Alfabeto da 21 lettere 12

13 Targhe italiane: 2 lettere, 3 cifre, 2 lettere Quante sono le diverse targhe possibili? (cifre e lettere possono ripetersi) Ip. Alfabeto da 21 lettere = Targhe italiane: 2 lettere, 3 cifre, 2 lettere quante sono le diverse targhe possibili? (cifre e lettere non possono ripetersi) Ip. Alfabeto da 21 lettere =

14 Esempio: superenalotto Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} Prob di fare 6? Esempio: superenalotto Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} Prob di fare 6? Casi favorevoli =1 Casi possibili = Combinazioni di 90 elementi di classe 6 = C 90,6 C 90,6 =90*89*88*87*86*85/(6*5*4*3*2*1)= C 90,6 =90!/(6! 84!)=

15 Esempio: superenalotto Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} Prob di fare 6? E i = indovino il numero i-esimo della combinazione P(E 1 )=6/90 P(E 2 )=5/89 P(E 3 )=4/88 ( ) /( ) = 1 / Esercizio Un docente di statistica ha distribuito un elenco di 20 domande da cui sceglierà a caso quattro domande per l esame finale. Avendo poco tempo lo studente x prepara solo 4 domande. Qual è la probabilità che proprio queste costituiscano la prova di esame 15

16 Soluzione Casi favorevoli = 1 Casi possibili C 20,4 =4845 Pr = 1/4845=0,00021 Poker Mazzo da 52 carte L ordine non è importante Numero mani possibili? 16

17 Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Estraendo 5 carte a caso, qual è la probabilità di avere due carte di quadri, due di cuori e una di fiori? Soluzione Casi favorevoli due carte di quadri=c 13,2 Casi favorevoli due carte di cuori=c 13,2 Casi favorevoli una carta di fiori=c 13,1 =13 Casi possibili =C 52,5 Pr richiesta = C 13,2 C 13,2 13 / C 52,5 =79092/ =0,03 17

18 Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure una carta rossa? Soluzione Pr (carta di quadri U carta rossa) = Pr (carta di quadri) +Pr(carta rossa) -P(carta di quadri carta rossa)= 13/52+26/52-13/52=26/52=1/2 18

19 Pr. Mani del poker v. eserciziario Esercizio Un dado viene lanciato 2 volte. Si calcoli la probabilità che l esito del primo lancio sia 5, se la somma dei punteggi è 7 19

20 Soluzione (senza usare la regola della prob. condizionata) Probabilità che l esito del primo lancio sia 5, se la somma dei punteggi è 7 Spazio degli eventi Ω:{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} Casi possibili = 6 Casi favorevoli =1 Prob richiesta =1/6 Soluzione (usando la regola della prob. condizionata) Probabilità che l esito del primo lancio sia 5, se la somma dei punteggi è 7 A= esito del primo lancio sia 5 B = somma dei punteggi è 7 Ob. P(A B)? P(A B)=P(A B) /P(B) B:{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} P(B)= 1/6 P(A B) =1/36 P(A B) = 1/36 / 1/6 = 1/6 20

21 Esempio Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? A= Il primo boero contiene il buono B= Il secondo boero contiene il buono P(A B)= entrambi i boeri contengono il buono Esempio Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? A= Il primo boero contiene il buono B A= Il secondo boero contiene il buono dato che il primo buono è già stato estratto P(A B) = P(A) P(B A)= (2/30) (1/29)=0,

22 Legge della probabilità totale (p. 167) Proprietà distributiva B = B Ω = 22

23 Assioma dell additività per eventi incompatibili P(AUB)=P(A)+P(B) Legge della probabilità condizionata 23

24 Esempio totocalcio Gioco la schedina mettendo a caso i segni 1 X 2 Qual è la prob. di fare 14? Esempio Gioco la schedina mettendo a caso i segni (1 X 2). Qual è la prob. di fare 14? E i = indovino il segno della partita i=1, 2,, 14 P(E i )= 1/3 Prob. di fare 14=P(E 1 E 2 E 3 E 14 )= P(E 1 ) P(E 2 ) P(E 3 ) P(E 14 )=(1/3) 14 = 2,09075E-07 =1/

25 Esercizio Dati due eventi incompatibili A e B tali che P(A) =0,35 e P(B)=0,40 si trovino le seguenti probabilità P(A c ) P(A B ) P(A U B) P(A c U B c ) P(A c B c ) Soluzione P(A c )=1-0,35=0,65 P(A B ) = 0 P(A U B) = 0,35+0,4 =0,75 P(A c U B c ) =1-P(A B )=1 P(A c B c )=1- P(A U B) = 0,25 25

26 Esercizio Per i due eventi A e B sono note le probabilità P(A)=0,48 P(B)=0,39 P(A B )=0,18 si determinino le probabilità nella tabella che segue B B c A A c E si calcolino P(A B c ) e P(A c B c ) Esercizio Per i due eventi A e B sono note le probabilità P(A)=0,48 P(B)=0,39 P(A B )=0,18 si determinino le probabilità nella tabella che segue A B 0,18 0,21 0,39 B c 0,30 0,31 0,61 0,48 0,52 1 P(A B c )=0,3 e P(A c B c )=0,31 A c 26

27 Esercizio Si calcoli la probabilità di ottenere un 2 almeno una volta in tre lanci consecutivi di un dado. Soluzione Pr (un due almeno una volta in tre lanci)=1-pr(nessun due in tre lanci) Pr(nessun due in tre lanci)= (5/6) 3 Pr (un due almeno una volta in tre lanci)=1- (5/6) 3 =0,42 27

28 Esercizio Delle 80 confezioni di yogurt esposte nel bancone di un supermercato, 10 scadono fra una settimana, 50 fra due settimane e le restanti 20 fra tre settimane. Si calcoli la probabilità che su 5 confezioni scelte a caso due scadano tra una settimana, due scadano fra due settimane e una fra tre settimane 10 1sett Soluzione 50 2sett Casi favorevoli due che scadono tra una settimana =C 10,2 Casi favorevoli due che scadono tra due settimane= C 50,2 Casi favorevoli 1 che scade tra 3 settimane= C 20,1 Casi possibili =C 80,5 20 3sett Pr richiesta = C 10,2 C 50,2 C 20,1 / C 80,5 =0,

29 Esercizio Si calcoli la probabilità che estraendo a sorte due carte da un mazzo di 40 appaiano 2 assi. Nel caso che la prima sia reinserita nel mazzo prima dell estrazione della seconda Nel caso che la prima non sia reinserita nel mazzo prima dell estrazione della seconda Soluzione Nel caso che la prima sia reinserita nel mazzo prima dell estrazione della seconda A = asso prima estrazione B = asso seconda estrazione P( A B) = P(A) P(B) Pr richiesta = 0.1*0.1 =

30 Soluzione Nel caso che la prima non sia reinserita nel mazzo prima dell estrazione della seconda A = asso prima estrazione B = asso seconda estrazione P( A B) = P(A) P(B A) (4/40) (3/39) = 0,0077 Oppure Casi favorevoli due assi =C 4,2 Casi possibili =C 40,2 Pr richiesta = C 4,2 C 36,0 / C 40,2 =0,0077 Esercizio Si dimostri che se due eventi A e B sono indipendenti, allora A e l evento complementare di B (B c ) sono indipendenti 30

31 Esercizio Si dimostri che se due eventi A e B sono indipendenti, allora A e l evento complementare di B (B c ) sono indipendenti Soluzione Ip A e B indipendenti ossia P(A B)=P(A)P(B) Obiettivo: dimostrare che A e B c indipendenti ossia che P(A B c )= P(A)P(B c ) P(A B c )=P(A)- P(A B) =P(A)- P(A)P(B) =P(A)(1-P(B)) =P(A)P(B c ) Ω A B 31

32 Esercizio Un dado viene lanciato 2 volte. Si indichi con A l evento al primo lancio esce un numero minore o uguale a 2 e con B l evento al secondo lancio esce un numero uguale o superiore a 5. Calcolare la probabilità dell evento unione di A e B. P(A U B)? A l evento al primo lancio esce un numero 2 è costituito dai seguenti 12 eventi elementari A ( 11, ),( 1, 2),( 1, 3),( 1, 4),( 15, ),( 1, 6),( 2, 1),( 2, 2),( 2, 3),( 2, 4),( 2, 5),( 2, 6) B l evento al secondo lancio esce un numero 5 è costituito dai seguenti 12 eventi elementari B (1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6) P( A) P( B) P( A B) P( A) P( B) P( A B) P( A B) P( (1,5),(2,5),(1,6),(2,6) )

33 Esercizio Si hanno tre scatole che contengono: la prima, 2 banconote da 100; la seconda, 1 banconota da 100 e 1 da 50, la terza, 2 banconote da 50. Si scelga a caso una delle tre scatole (tra loro equiprobabili) e si estragga una banconota. Risulta estratta una banconota da 100; qual è la probabilità che la scatola dalla quale è stata estratta sia la prima? Soluzione C = evento che indica l estrazione di una banconota da 100 S i = estrazione dalla scatola i (i=1, 2, 3) P(S i )=1/3 Scatola Obiettivo: calcolare P(S 1 C) Scatola Scatola P( S 1 1 P( S1) P( C S1) C) 3 P( S ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P C S1 P S2 P C S2 P S3 P C S

34 Esercizio Si considerino 3 urne, numerate da 1 a 3; ogni urna contiene 5 palline. La generica urna i contiene i palline bianche e (5-i) palline nere, con i=1,2,3 (cioè, ad esempio, l urna numero 2 contiene 2 palline bianche e 5-2=3 palline nere). Si estrae a caso un urna, e da questa una pallina. Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia bianca. Soluzione B = evento che indica l estrazione di una pallina bianca Ui = estrazione dall urna i (i=1, 2, 3) P(Ui)=1/3 Urna 1 B NNNN Obiettivo: calcolare P(B) Urna 2 BB NNN Urna 3 BBB NN P( B) P( U1) P( B U1) P( U2) P( B U2) P( U3) P( B U3)

35 Le variabili aleatorie Capitolo 6 ESERCIZIARIO Esempio 3 lanci di una moneta X= v.a. numero di uscite testa (prima dell esperimento) Quali valori assume? Qual è la distribuzione di probabilità della v.a. X? 35

36 E 1 = CCC E 2 = CCT E 3 = CTC E 4 = CTT E 5 = TCC E 6 = TCT E 7 = TTC E 8 = TTT ESEMPIO Lancio di una moneta 3 volte. Indichiamo con E l evento numero totale delle teste: Spazio degli eventi elementari Valori di E Totale Probabilità 1/8 3/8 3/8 1/ Es.: X= numero di uscite testa Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} Distribuzione di probabilità della v.a. X x i p i p i 0 1/8 0, /8 0, /8 0, /8 0,

37 Distribuzione di probabilità di una v.a. discreta X Valori Probabilità Funz. di ripartizione x i p i P(X x i ) x 1 p 1 F(x 1 )=p 1 x 2 p 2 F(x 2 )=p 1 +p 2 x i p i F(x i )=p 1 +p 2 + +p i. x k p k F(x k )=1 1 Es. v.c. associata al lancio di un dado Valori Probabilità x i p i 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 1 Calcolare Rappresentare graficamente la funzione di ripartizione F(3,14)? F(-0,37)? F(3,57)? F(6,5)? E(X)? VAR(X)? 37

38 F(x) Rappresentazione grafica di F(x) F(3,14)? F(-0,37)? F(3,57)? F(6,5)? x F(3,14)=0,50 F(-0,37)=0 F(3,57)=0,50 F(6,5)=1 Soluzione 38

39 Es. v.c. associata al lancio di un dado Valori Probabilità x i p i 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 1 E(X)= 1 1/ /6+ 6 1/6=21/6= 3,5 Es. v.c. associata al lancio di un dado Valo Probabi ri x i lità p i 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 1 39

40 Esercizio Punto 5 euro alla roulette su un numero X = guadagno prima del gioco è una v.a. Distribuzione della v.c. guadagno Calcolare il valore atteso e la varianza della v.c. guadagno Esempio Distribuzione della v.c. X = guadagno x i p i / /37 1 E(X) = -5 (36/37) (1/37) = -0,135 VAR(X) =[-5 (-0,135)] 2 (36/37) + [175-(-0,135)] 2 (1/37) = 852 (X) = 29,19 40

41 Es. v.c. continua (p. 198) Verificare che f(x)=2x se x ϵ [0 1] f(x)=0 altrimenti è una funzione di densità Calcolare la funzione di ripartizione F(x) Disegnare la funzione di densità e la funzione di ripartizione F(0,4)? Pr(X>0.5)? Pr(0,1 < X < 0,4)? Pr(X 0,7 U X>0,3)? E(X)? VAR(X)? f(x)=2x se x ϵ [0 1] Per verificare che è una densità 2x nell intervallo [0 1] è sicuramente >=0 41

42 Calcolo della funz di ripartizione f(x)=2x se x ϵ [0 1] Rappresentazione grafica f(x) e F(x) 42

43 Calcolo delle prob. Richieste F(x)=x 2 F(0,4)=? F(0,4)=0,16 Pr(X>0.5)? Pr(X>0.5)=1-0,5 2 =0,75 Pr(0,1<X<0,4)? Pr(0,1<X<0,4) = F(0,4)-F(0,1)=0,4 2-0,1 2 =0,15 Calcolo delle prob. Richieste F(x)=x 2 Pr(X 0,7 U X>0,3)= Pr(X 0,7)+Pr(X >0,3)-Pr((X 0,7) (X > 0,3)) = 0,7 2 +(1-0,3 2 )-Pr(0,3 X 0,7) = ,09 -(0,49-0,09) = 1. 43

44 Calcolo del valore atteso Calcolo della varianza In alternativa utilizzando la formula VAR(X)= E(X 2 )-[E(X)] 2 44

45 Esercizio Esperimento aleatorio: lancio di due dadi. v.a. X= somma dei numeri che appaiono nelle due facce Costruire lo spazio degli eventi la distribuzione di probabilità della v.a. X e rappresentarla graficamente la funzione di ripartizione E(X)? Moda? VAR(X)? Esempio 1 Lancio di due dadi. X è la somma dei numeri che appaiono nelle due facce (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Ω X P(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/

46 Esempio 1 X = somma dei risultati nel lancio di 2 dadi X p(x) F(X) /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/ Rappresentazione grafica f(x) 46

47 E(X)? VAR(X)? Moda? X p(x) F(X) /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 1 E(X)= 2 1/ / /36=7 VAR(X)= E(X 2 )-[E(X)] 2 VAR(X)= 54, = 5,83 VAR(X)=(2-7) 2 (1/36)+(3-7) 2 (2/36) + +(12-7) 2 (1/36)=5,83 Moda(X)=7 ESERCIZIO: v.a. Binomiale Si ritiene che una certa terapia medica abbia effetti positivi con probabilità 0,3. La terapia è somministrata a 20 pazienti (con le stesse caratteristiche). i) Prob. che la terapia abbia successo su 3 pazienti? ii) Si scriva l espressione della probabilità che la terapia dia effetti positivi per almeno 3 pazienti. iii) Si dica per quanti pazienti ci si può attendere che la terapia dia effetti positivi. 47

48 = 0,3 n = 20 X B(20; 0,3) Soluzione 20 0,3 0,7 3 Pr(X=3)= Soluzione i) = 0,3 n = 20 X B(20; 0,3) 20 Pr (X 3) = s 3 20 s 0,3 0,7 s 20 s 96 48

49 Soluzione i) = 0,3 n = 20 X B(20; 0,3) Pr (X 3) = 20 s 3 20 s 0,3 0,7 s 20 s ii)e(x) = n = 20 0,3 = 6 97 Esempio v.a. Normale Lunghezza dei pezzi prodotti da una macchina: = 200 mm; = 0,6 mm X N(200; 0,6 2 ) Limiti di tolleranza: (199; 200,8] Calcolo della percentuale di pezzi scartati P(X<199)? P(X>200,8)? ,8 49

50 X N(200; 0,6 2 ) Z=(X-200)/0,6 ~N(0,1) Pr(X<199)=Pr((X-200)/0,6<( )/0,6) =Pr(Z <( )/0,6) =Pr(Z < -1,67) = 0, ,75% circa di pezzi scartati perché inferiori alla tolleranza ,8-1,67 0 1,33 z Pr (X > 200,8) Pr (Z>(200,8-200)/0,6) F(z) = F(1,33) = 0, F(1,33) = 0, ,18% circa Pezzi rifiutati: 0, ,09176 = 0,13922 (13,9%) Pezzi accettati: F(1,33) F(-1,67)= = 0, ,04746 = 0, ,1% 50

51 Esercizi da svolgere per LUN 8 aprile Dimostrare che Esercizio f(x)=2(x-10)/50 se 10<x<15 f(x)=2(20-x)/50 se 15<x<20 è una densità Rappresentare graficamente la funzione di densità e di ripartizione 51

52 Pr(X>12) Pr(X<10) Pr(X<11) Pr(14 < X < 18) E(X)? VAR(X)? Calcolare Calcolare il quantile x 0,95 ossia la coordinata x che lascia alla sua destra una probabilità pari a 0,05 e a sinistra una probabilità pari a 0,95 ESERCIZIO 2 Un azienda che assembla computer rileva difetti di assemblaggio nel 20% dei casi. Con riferimento ad un campione di 30 computer: si descrivano le caratteristiche delle variabili aleatorie numero di difetti e frequenza relativa di difetti ; si scriva l espressione (senza effettuare i calcoli) che consente di determinare la probabilità che nel campione vi sia un numero di pezzi difettosi maggiore di 2 e un numero di pezzi difettosi compreso fra 2 e

53 Esempio 2 Peso netto (in grammi) delle scatole di un prodotto: X N(797; 16) Calcolo della percentuale di scatole con peso nell intervallo Calcolo del primo decile Esempio Durata di accensione di lampade di un certo tipo: X N( ; 2 ). Il 10% delle lampade dura meno di 700 ore Il 4% delle lampade ha una durata superiore a 800 ore. Calcolo di media e varianza (?; 2?) 53