1.2 Calcolo combinatorio Principi basilari Disposizioni con ripetizione

Transcript

1 .2 Calcolo combnatoro 2.2 Calcolo combnatoro Rcordamo dallesempo.3 che uno spazo d probabltà dscreto (W, P) s dce unforme se W è un nseme fnto e s ha P(A)= A W, per ogn A W. Pertanto, l calcolo della probabltà d un evento n uno spazo unforme s rduce a contarne l numero d element. I problem d conteggo sono tpcamente non banal e vanno affrontat con attenzone. Lo strumento matematco fondamentale n questo contesto è l calcolo combnatoro, che ora descrvamo..2. Prncp baslar Dat due nsem A,B, s dce che A è n corrspondenza bunvoca con B se esste unapplcazone f : A! B bunvoca, coè nettva e surettva. Charamente A è n corrspondenza bunvoca con B se e soltanto se B è n corrspondenza bunvoca con A: s scrve A e B sono n corrspondenza bunvoca, che rende palese la smmetra della relazone (s tratta n effett d una relazone d equvalenza). Dato n 2, s dce che un nseme A ha cardnaltà ne s scrve A = n se A è n corrspondenza bunvoca con lnseme {,2,...,n} ossa, ntutvamente, se A ha n element. In questo paragrafo consdereremo solo nsem fnt, coè nsem che hanno cardnaltà n per un opportuno n 2. Per determnare la cardnaltà d un nseme, la stratega tpca consste nel rcondurre l calcolo allapplcazone combnata (talvolta non banale) d alcun prncp o osservazon baslar. Una prma osservazone, elementare ma molto utle, è che se un nseme A è n corrspondenza bunvoca con un nseme B, allora A = B. Unaltra osservazone, anchessa molto ntutva, è la seguente: se A, B sono due sottonsem (d uno stesso spazo) dsgunt, coè tal che A \ B = /0, allora A [ B = A + B. Pù n generale, se A,...,A sono sottonsem a due a due dsgunt, tal coè che A \ A j = /0 per 6= j, allora S = A = Â = A. La dmostrazone d queste osservazon è semplce ed è lascata per eserczo. Un prncpo leggermente meno elementare rguarda la cardnaltà degl nsem prodotto. Rcordamo che, dat due nsem A,B, l loro prodotto cartesano A B è defnto come lnseme delle coppe ordnate (a,b), con a 2 A e b 2 B. Vale allora la relazone A B = A B. Il modo pù semplce per convncers della valdtà d questa formula consste nel dsporre gl element d A B n una tabella rettangolare, dopo aver numerato gl element de due nsem. Pù precsamente, se A = {a,a 2,...,a m }, B = {b,b 2,...,b }, possamo elencare gl element dellnseme A B nel modo seguente: (a,b )(a,b 2 ) (a,b )(a,b ) (a 2,b )(a 2,b 2 ) (a 2,b )(a 2,b ) , (a m,b )(a m,b 2 ) (a m,b )(a m,b ) 22 Spaz d probabltà dscret: teora da cu è charo che A B = m = A B. Damo ora una dmostrazone pù formale. Per x 2 A ndchamo con {x} B l sottonseme d A B costtuto dagl element che hanno x come prma componente, coè {x} B := {(x,b) : b 2 B}. Possamo qund scrvere A B = [ x2a ({x} B), e s not che questa unone è dsgunta, ossa ({x } B)\({x 2 } B)=/0 se x 6= x 2. Per losservazone enuncata sopra s ha dunque A B = Â x2a {x} B. Dato che lnseme {x} B è n corrspondenza bunvoca con B, medante lapplcazone (x,b) 7! b, segue che {x} B = B e dunque A B = Â x2a B = A B. Per nduzone s estende faclmente la formula al caso d pù d due fattor: dat gl nsem A,...,A, con 2, lnseme prodotto A A è defnto come lnseme delle -uple (a,...,a ), con a 2 A, e ha cardnaltà A A = A A = = A. (.9) Unestensone d questa formula, elementare ma non banale, conduce a quello che è noto come l prncpo fondamentale del calcolo combnatoro. Prma d vedere d che cosa s tratta, dscutamo qualche applcazone de prncp appena vste..2.2 Dsposzon con rpetzone Defnzone.4. Dat 2 e un nseme fnto A, s dcono dsposzon con rpetzone d element estratt da A le funzon f : {,...,}! A. Le dsposzon con rpetzone sono n corrspondenza bunvoca con gl element dellnseme prodotto A := A A ( volte). In effett, una corrspondenza naturale è quella che a (x,...,x ) 2 A assoca la funzone f : {,...,}! A defnta da f () := x. Per la formula (.9) sulla cardnaltà degl nsem prodotto, s ha che A = A = n. Abbamo pertanto l seguente rsultato. Proposzone.6. Le dsposzon con rpetzone d element estratt da un nseme d n element sono n numero n. Per quanto detto, una dsposzone con rpetzone può essere vsta come una sequenza ordnata (x,...,x ) d element x 2 A, non necessaramente dstnt: s può coè avere x = x j per 6= j. Sottolneamo che lordne n cu compaono gl element è mportante: per esempo, (a,a 2 ) e (a 2,a ) sono due dsposzon dfferent. Esempo.6. () I compleann d un gruppo ordnato d 4 persone costtuscono una dsposzone con rpetzone d 4 element estratt dallnseme de gorn dellanno, che ha cardnaltà 366 (contando l 29 febbrao). Sono dunque possbl sequenze dstnte d compleann. (2) Per complare una colonna d una schedna del Totocalco occorre sceglere, per cascuna delle 3 partte n esame, tra la vttora della squadra d casa

2 .2 Calcolo combnatoro 23 (), l pareggo (x) o la vttora della squadra n trasferta (2). Una colonna complata è dunque una dsposzone con rpetzone d 3 element estratt dallnseme {,x,2} e d conseguenza c sono mod possbl d complare una colonna. (3) Le possbl parole (anche prve d sgnfcato) costtute da 6 lettere dellalfabeto nglese possono essere dentfcate con le dsposzon con rpetzone d 6 element estratt da un nseme le lettere dellalfabeto che ne contnene 26: l loro numero è dunque par a Le parole che effettvamente hanno un sgnfcato (per esempo nella lngua nglese) sono naturalmente molte meno: anche ncludendo termn tecnc, non s arrva a trecentomla parole. D conseguenza, la probabltà che dgtando una sequenza d se lettere a caso s ottenga una parola d senso computo è certamente (molto) mnore d /( ) < 0 3, ossa una probabltà su mlle. Osservazone.7. Dat due nsem A,B, ndchamo con A B lnseme d tutte le funzon f : B! A. Se lnseme B ha cardnaltà 2, è facle vedere che A B è n corrspondenza bunvoca con A (o, equvalentemente, con le dsposzon con rpetzone d element estratt da A): una corrspondenza è per esempo quella che a (x,...,x ) 2 A assoca la funzone f 2 A B defnta da f (b ) := x. D conseguenza ottenamo la formula A B = A, coè A B = A B..2.3 Il prncpo fondamentale Un esempo molto rcorrente nelle applcazon è quello n cu gl element d un nseme possano essere determnat attraverso scelte successve. Esempo.7. Sa E lnseme delle funzon nettve da {,...,} n un nseme A con A = n (s not che necessaramente apple n). Possamo determnare ogn funzone f 2 E sceglendo nnanztutto la prma componente f () come un elemento qualunque d A, qund sceglendo la seconda componente f (2) come un elemento qualunque d A \{f ()}, e così va. Abbamo n est possbl per la scelta d f (), (n ) est possbl per la scelta d f (2),...,(n ( )) = (n + ) est possbl per la scelta d f (). Per analoga con gl nsem prodotto, dovrebbe essere charo che E = n (n ) (n + ). ellesempo appena descrtto, lnseme degl est della scelta -esma dpende dagl est delle scelte precedent, tuttava l numero d est possbl è sempre lo stesso, par a n +. Generalzzando queste consderazon, gungamo al prncpo fondamentale del calcolo combnatoro, che possamo formulare come segue. Teorema. (Prncpo fondamentale del calcolo combnatoro). Supponamo che gl element d un nseme E possano essere determnat medante scelte successve, n cu ogn scelta abba un numero fssato d est possbl: la prma scelta ha n est possbl, la seconda scelta ne ha n 2,..., la -esma scelta ne ha n, 24 Spaz d probabltà dscret: teora dove n,...,n 2. Supponamo noltre che sequenze dstnte d est delle scelte determnno element dstnt d E. Allora E = n n 2 n. Così enuncato, questo prncpo può apparre un po vago (per esempo, l concetto d scelta non è stato defnto precsamente). Una rformulazone matematcamente precsa del Teorema., con la relatva dmostrazone, è data dal Teorema C. nellappendce C, che comporta tuttava notazon puttosto pesant e rsulta d poco auto per lapplcazone del prncpo a cas concret. ella pratca, s fa tpcamente rfermento allenuncato del Teorema.. Ldea crucale è che gl element dellnseme E possono essere mess n corrspondenza bunvoca con le sequenze d est delle scelte, che hanno una struttura d spazo prodotto, da cu segue la formula per la cardnaltà. La condzone che sequenze dstnte d est determnno element dstnt d E serve propro a garantre che la corrspondenza sa bunvoca: la mancata verfca d questa condzone è la prncpale fonte d error nellapplcazone del prncpo. Qualche esempo charrà la stuazone. Esempo.8. (a) Un mazzo d carte da poer è costtuto da 52 carte, dentfcate dal seme (cuor ~, quadr }, for, pcche ) e dal tpo (un numero da a 0 oppure J, Q, K). Indchamo con E lnseme delle carte d numero par (fgure escluse) e d colore rosso (coè d cuor o d quadr). Ogn elemento d E può essere determnato attraverso due scelte successve: la scelta del seme, che ha 2 est possbl (cuor e quadr), e la scelta del tpo, che ne ha 5 (coè 2,4,6,8,0). Segue dunque che E = 2 5 = 0. (b) Dato un mazzo d carte da poer, s chama full un sottonseme d 5 carte costtuto dallunone d un trs (un sottonseme d 3 carte dello stesso tpo) e d una coppa (un sottonseme d 2 carte dello stesso tpo). Indchamo con E lnseme de possbl full. Sottolneamo che gl element d E sono sottonsem d 5 carte, non dsposzon: n partcolare, le carte non sono ordnate. Gl element d E possono essere determnat unvocamente attraverso 4 scelte successve: ) l tpo del trs; 2) l tpo della coppa; 3) sem delle carte che compaono nel trs; 4) sem delle carte che compaono nella coppa. Per la prma scelta c sono 3 est possbl, per la seconda scelta, qualunque sa lesto della prma scelta, c sono 2 est possbl (charamente due tp devono essere dfferent, perché non esstono cnque carte dello stesso tpo). Per la terza scelta, occorre sceglere tre sem nellnseme {cuor, quadr, for, pcche}: per enumerazone dretta, è facle vedere che c sono 4 est possbl; analogamente, per la quarta scelta occorre sceglere due sem e per questo c sono 6 est possbl (rtorneremo nellesempo. sul modo d contare sottonsem). Applcando l Teorema. s ottene dunque che E = = (c) Dato un mazzo d carte da poer, ndchamo con E lnseme delle doppe coppe, coè sottonsem d 5 carte costtut dallunone d due coppe d tp dvers, pù una qunta carta d tpo dverso da tp delle due coppe. Per determnare E s potrebbe essere tentat d procedere analogamente al caso de full, attraverso se scelte successve: ) l tpo della prma coppa; 2)

3 .2 Calcolo combnatoro 25 l tpo della seconda coppa; 3) l tpo della qunta carta ; 4) sem delle carte che compaono nella prma coppa; 5) sem delle carte che compaono nella seconda coppa; 6) l seme della qunta carta. C sono 3 est possbl per la prma scelta, 2 per la seconda scelta, per la terza, 6 per la quarta, 6 per la qunta, 4 per la sesta: s otterrebbe dunque E = = Tuttava questo rsultato è errato. La ragone è che le scelte ) e 2) sono ambgue, dal momento che non esste una prma e una seconda coppa. In effett, sequenze dstnte d est delle se scelte sopra elencate non conducono a element dstnt d E: cascun elemento d E, coè cascuna doppa coppa, vene nfatt selezonata esattamente due volte. Per esempo, la doppa coppa {5~,5},6~,6,7} vene determnata sa con lesto 5 della scelta ) e lesto 6 della scelta 2), sa vceversa. Per tale ragone, l rsultato corretto è E = 24704/2 = 23552, coè la metà d quanto ottenuto n precedenza. Un modo alternatvo d ottenere l rsultato corretto è d runre le scelte ) e 2) nellunca scelta bs) tp delle due coppe, che ha 3 2/2 = 78 est possbl (anche su questo torneremo nellesempo.). Le scelte bs), 3), 4), 5) e 6) permettono d applcare correttamente l Teorema., ottenendo E = = Dsposzon semplc e permutazon Defnzone.5. Dat 2 e un nseme fnto A, s dcono dsposzon semplc (o senza rpetzone) d element estratt da A le funzon f : {,...,}! A nettve. Per quanto vsto nellesempo.7, graze al prncpo fondamentale del calcolo combnatoro, l numero d dsposzon semplc d element estratt da un nseme A che ne contene n è par a n(n ) (n +). Introducamo per n 2 l smbolo n!, detto n fattorale, defnto come l prodotto degl nter da a n, e ponamo per convenzone 0! := : n! := n(n ) = n = per n 2, 0! :=. (.20) Possamo esprmere rscrvere la formula n(n ) (n + ) nel modo pù compatto n!/(n )!. Abbamo dunque mostrato l seguente rsultato. Proposzone.7. Le dsposzon semplc d element estratt da un nseme che ne contene n, dove apple apple n, sono n numero D n, := n!/(n )!. Osservazone.8. Per determnare l comportamento asntotco d n! quando n è grande, è d grande utltà la formula d Strlng: n! n n e n p 2pn, (.2) 26 Spaz d probabltà dscret: teora dove a n b n sgnfca che lm n! a n /b n =. Dmostreremo questa formula nella Proposzone 2. del captolo 2. Osservazone.9. In completa analoga con losservazone.7, per ogn nseme fnto B = {b,...,b } con B = l sottonseme d A B costtuto dalle funzon nettve da B n A è n corrspondenza bunvoca con le dsposzon semplc d element estratt da A. La sua cardnaltà è pertanto n!/(n )!. Un caso specale molto mportante s ha quando B = A. Le funzon f : A! A nettve sono necessaramente surettve, dunque bunvoche, essendo A <. Esse sono dette permutazon d A e, per quanto vsto, l loro numero è A!. È nteressante notare che lnseme delle permutazon d un nseme fssato A costtusce un gruppo rspetto alla composzone d applcazon (che è non commutatvo se A 3). A meno d corrspondenze bunvoche, non costa nente consderare l caso specale A = {,...,n}: n questo caso, l gruppo delle permutazon è ndcato con S n ed è detto gruppo smmetrco. Munto della probabltà unforme, lo spazo S n ha propretà nteressant e per cert vers sorprendent, alcune delle qual verranno dscusse nel paragrafo 2.. Esempo.9. Supponamo d mschare un mazzo d carte da poer. La sequenza ordnata delle carte che ne rsulta è una permutazone delle carte del mazzo. Il numero delle possbl sequenze ottenute n questo modo è dunque par 52! Esempo.0 (Paradosso de compleann). S consderno n persone selezonate n modo casuale, nate tutte n un anno non bsestle. S determn la probabltà p n che almeno due d esse compano gl ann lo stesso gorno. Quanto grande deve essere grande n affnché p n > /2? umerat gorn dellanno e le n persone, lo spazo camponaro naturale è dato dalle dsposzon con rpetzone d n element dallnseme de gorn dellanno, ossa W = { f : {,...,n}! {,...,365}}. Abbamo vsto che W = 365 n. Levento d nteresse è dato da A = { f 2 W : f non è nettva}. Munendo lo spazo W della probabltà unforme P, s ha dunque dove, per quanto detto sopra, S ottene dunque p n = p n = P(A)= P(A c )= A c W, A c = { f 2 W : f nettve} = 365! n (365 n)! = (365 ). n =0 (365 ) 365 n = n = = n =0 =0. (.22) 365 Abbamo ottenuto unespressone esatta, anche se non del tutto esplcta. Con lauslo d un calcolatore, s verfca faclmente che p n > 2 se e solo se n 23. In

4 .2 Calcolo combnatoro 27 altr termn, n un gruppo d almeno 23 persone cè una probabltà maggore del 50% che almeno due persone abbano lo stesso compleanno, un rsultato a prma vsta sorprendente. Per un gruppo d 50 persone, la probabltà è maggore del 97%. Concludamo notando che lespressone (.22) può essere approssmata n modo esplcto: sfruttando la dsuguaglanza x apple e x, valda per ogn x 2 R, s ha n p n exp  =0 365 = exp (n )n. 730 Questa espressone è pù grande d 2 per n > n 0 = 2 (+p log2) 22.9, dunque non appena n 23, esattamente come lespressone esatta..2.5 Combnazon Defnzone.6. Dat 2 e un nseme fnto A, s dcono combnazon d element estratt da A sottonsem d A d cardnaltà. Se una dsposzone (semplce o con rpetzone) corrsponde a una sequenza ordnata, una combnazone può essere vsta come una collezone non ordnata d element dellnseme A. Voglamo ora determnare l numero C n, d combnazon d element estratt da un nseme A che ne contene n. Charamente C n,0 =, perché cè un solo nseme con zero element, lnseme vuoto. Per determnare C n, per 2 {,...,n}, rcordamo che c sono D n, = n!/(n )! dsposzon (coè sequenze ordnate) d element dstnt estratt da A. Dato che nelle combnazon lordne degl element non conta, dobbamo dentfcare le dsposzon che danno orgne alla stessa combnazone, coè che selezonano lo stesso sottonseme d A: dato che c sono! rordnament possbl (coè permutazon) d element fssat, s ottene C n, = D n,! =, (.23) dove abbamo ntrodotto l coeffcente bnomale, defnto da n! :=!(n )!, per n 2 0, 2 {0,...,n}. S not che la formula C n, = n vale anche per = 0. Abbamo dunque ottenuto: Proposzone.8. Le combnazon d element estratt da un nseme che ne contene n, dove 0 apple apple n, sono n numero C n, = n. Esempo.. Rtornando brevemente allesempo.8, l numero d mod d sceglere 3 sem tra quattro possbl {~,},,} è par al numero d combnazon d 3 element estratt da un nseme che ne contene 4 ed è dunque dato da 4 3 = 4 28 Spaz d probabltà dscret: teora (come avevamo concluso per enumerazone dretta). Analogamente, l numero d mod d sceglere 2 sem è par a 4 2 = 6 e l numero d mod d sceglere due tp tra 3 possbl è par a 3 2 = 78. Una mano a Poer è un sottonseme d 5 carte dstnte estratte da un mazzo che ne contene 52. Il numero d possbl man è dato dunque da 52 5 = Rcordando lesempo.8, le probabltà d fare full oppure doppa coppa valgono rspettvamente 3744/ % e 23552/ , 8%. Elenchamo alcune semplc propretà de coeffcent bnomal: n n n n = =, =, 8n 2 0, 8 2 {0,...,n}. 0 n n Vale noltre la relazone n n n = +, 8n 2, 8 2 {0,...,n}, (.24) come s verfca faclmente. 2 Rcordamo nfne la formula nota come bnomo d ewton: (a + b) n n = a b n, 8n 2 0, 8a,b 2 R, (.25)  =0 che s dmostra per nduzone usando (.24). Concludamo con un esempo d grande rlevanza teorca e applcatva, che avremo modo d ncontrare nel seguto (s vedano gl Esemp 2. e 4.3). Esempo.2. Consderamo lespermento aleatoro che consste nellnserre casualmente n oggett dstnt n r cassett dsponbl (cascun cassetto può contenere un numero qualunque d oggett). Fssamo 2 {0,...,n} e chedamoc qual è la probabltà che esattamente oggett fnscano nel prmo cassetto. umerat gl oggett da a n e cassett da a r, uno spazo camponaro naturale è dato dallnseme W := f : {,...,n}! {,...,r} delle dsposzon con rpetzone d n element estratt dallnseme {,...,r} (e non vceversa!). Lnterpretazone è che f 2 W codfca lesto n cu ogn oggetto 2 {,...,n} vene nserto nel cassetto f () 2 {,...,r}. La casualtà dellnsermento nduce a munre W della probabltà unforme P. Levento l prmo cassetto contene oggett corrsponde al sottonseme A = { f 2 W : f () = } W delle funzon che assumono l valore esattamente 2 Esste una dmostrazone combnatora d (.24). Le combnazon d element estratt da {,...,n} sono n e possono essere dvse n due sottonsem dsgunt: quelle che contengono n e quelle che non lo contengono; le prme sono n corrspondenza bunvoca con le combnazon d ( ) element estratt da {,...,n }, che sono n, mentre le seconde sono n corrspondenza bunvoca con le combnazon d element estratt da {,...,n }, che sono n.

5 .2 Calcolo combnatoro 29 n element dstnt del domno {,...,n}. Per determnare la cardnaltà d A, possamo applcare l prncpo fondamentale del calcolo combnatoro: c sono n mod d sceglere lnseme f (), ossa l sottonseme de element d {,...,n} che vengono mandat da f n ; una volta fssato lnseme f () su cu f vale valor d f sullnseme complementare {,...,n}\ f () possono essere scelt arbtraramente n {2,...,r}, n un numero d mod par a {2,...,r} {,...,n}\ f () =(r ) n, graze allosservazone.7 (o, equvalentemente, per l prncpo fondamentale). In defntva A = n (r )n e dunque P(A) = A W = n (r )n r n = p ( p) n, con p = r. (.26) el paragrafo.3.4 daremo unnterpretazone alternatva a questa espressone. Largomento con cu abbamo dervato la formula (.23) può essere formalzzato n modo pù precso (e decsamente pù tecnco). Comncamo con un pccolo rsultato preparatoro. Sano D,E due nsem fnt e sa g : D! E unapplcazone surettva. Per ogn y 2 E, ntroducamo l sottonseme g (y) := {x 2 D : g(x)=y} costtuto dagl element d D che vengono mandat da g n y. Supponamo che valga la seguente propretà: esste 2 tale che, per ogn y 2 E, s ha g (y) = (coè per ogn y 2 E esstono esattamente element x 2 D che vengono mandat da g n y). Segue allora che D = E. La dmostrazone è semplce: possamo sempre scrvere E = S y2d g (y) e noltre lunone è dsgunta (eserczo). Qund E = Â y2d g (y) = Â y2d = D. Fssamo ora 2 {,...,n} e defnamo una applcazone g : D n,! C n, nel modo seguente: data f 2 D n,, defnamo g( f ) := Im( f ), dove Im( f ) ndca lmmagne d f (rcordamo che f è una funzone nettva da {,...,} n A). È mmedato verfcare che g è ben defnta, coè effettvamente g( f ) 2 C n, per ogn f 2 D n,, e che g è surettva. Se mostramo che g (B) =!, per ogn B 2 C n,, s ottene D n, =! C n, e qund la formula C n, = n è dmostrata. Indchamo con S B lnseme delle permutazon d B, coè le applcazon p : B! B bunvoche, e fssamo un elemento arbtraro f 0 2 g (B). È molto facle convncers che, per ogn p 2 S B, s ha p f 0 2 g (B): nfatt lapplcazone p f 0 è nettva, perché lo sono sa f 0 sa p, e Im(p f 0 )=Im( f 0 )=B, perché p è una permutazone d B. Rsulta dunque ben posta lapplcazone H : S B! g (B) defnta da H(p) := p f 0. Supponamo che H(p )=H(p 2 ): per ogn b 2 B, se 2 {,...,} è tale che f 0 ()=b(tale esste perché Im( f 0 )=B), ottenamo (p f 0 )()=(p 2 f 0 )(), coè p (b) =p 2 (b); dato che b 2 B è arbtraro, segue che p = p 2, dunque lapplcazone H è nettva. Se ora consderamo un arbtraro f 2 g (B), è facle costrure p 2 S B tale che p f 0 = f, coè H(p) = f, qund lapplcazone H è surettva. Avendo mostrato che H è bunvoca, segue che gl nsem S B e g (B) sono n corrspondenza bunvoca e dunque g (B) = S B =! se B 2 C n,, che è quanto restava da dmostrare..2.6 Estrazon d pallne da unurna Un esempo classco d applcazone del calcolo combnatoro è costtuto da problem d estrazone d pallne da unurna. Al d là dellnteresse matematco, questo genere d problem ha grande rlevanza applcatva: modell basat su urne sono usat ad esempo per descrvere meccansm d rnforzo n teora dellapprendmento. Pù 30 Spaz d probabltà dscret: teora n generale, molt problem d camponamento da una popolazone possono essere rformulat astrattamente come problem d estrazone d pallne da unurna. C lmteremo a consderare lesempo d unurna contenente pallne d due color, dcamo M pallne rosse e M verd (con M apple ). Supponamo d esegure n estrazon successve, secondo uno de seguent due schem seguent: Estrazon con remmssone. Dopo ogn estrazone, la pallna estratta vene renserta nellurna. Estrazon senza remmssone. Le pallne estratte non vengono renserte. In questo caso devessere n apple. Calcolamo, per cascuno de due schem, la probabltà che esattamente delle n pallne stratte sano rosse. Estrazon con remmssone. Supponamo d numerare da a M le pallne rosse e da (M + ) a le pallne verd. Lesto d n estrazon successve può essere dscrtto medante una dsposzone con rpetzone d n element pres dallnseme {,2,...,}. Sa dunque W := { f : {,...,n}! {,...,}} lnseme d tal dsposzon e sa P la probabltà unforme su W. Denotamo nfne con A lnseme delle dsposzon contenent esattamente pallne rosse. S tratta d calcolare P(A) = A W. Per determnare A, utlzzamo l prncpo fondamentale. Un elemento d A è determnato dalle seguent scelte successve. S scelgono le poszon, su n possbl, n cu mettere le pallne rosse: per questa scelta c sono n est possbl. S dspongono pallne rosse (prese dalle M present nellurna) nelle poszon prescelte: c sono M tal dsposzon. S dspongono (n ) pallne verd (prese dalle ( M) present nellurna) nelle rmanent poszon: c sono ( M) n tal dsposzon. S ottene pertanto A = M ( M) n, e dato che W = n, segue faclmente che P(A) = p ( p) n, dove p := M. (.27) S not lanaloga con lespressone (.26), determnata per un modello dverso. Questa analoga verrà renterpretata pù avant, nel paragrafo.3.4. Estrazon senza remmssone. Enumeramo le pallne come nel caso precedente. Un naturale spazo camponaro, n cu la probabltà unforme esprme la casualtà dellestrazone, è quello delle dsposzon senza rpetzone. Tuttava, poché

6 .2 Calcolo combnatoro 3 levento l numero d pallne rosse estratte è non dpende dallordne d estrazone, è forse ancora pù naturale sceglere come spazo camponaro lnseme delle combnazon, e così faremo. Sa dunque W lnseme de sottonsem d n element dellnseme {, 2,..., }, e P la probabltà unforme su d esso. Levento d cu voglamo calcolare la probabltà è A = {w 2 W : w \{,2,...,M} = } = {w 2 W : w \{M +,...,} = n Charamente A = /0 se > M oppure se (n ) > ( M). Supponamo dunque che apple M e (n ) apple ( M). Ogn elemento d A è determnato da due scelte successve: occorre sceglere element da {,2,...,M} e (n ) da {M +,...,}. D conseguenza possamo scrvere M M A =, n }. 32 Spaz d probabltà dscret: teora Osservamo che!, M! e anche ( M )!, graze a (.29). Dato che n e sono fssat, termn tra parentes graffe nella relazone precedente tendono a per `!. Poché M /! p, segue che lm P(A)= p ( p) n, (.30) `! che concde esattamente con lespressone (.27), come volevas dmostrare. Per questa ragone, quando lurna contene molte pallne d cascun colore, l calcolo della probabltà d estrarre pallne rosse n n estrazon senza remmssone vene fatto tpcamente usando la formula (.27), valda per l caso d estrazon con remmssone, che è pù maneggevole d (.28) e ne costtusce unottma approssmazone (per lo meno se n e sono molto mnor d M e M). dove usamo la convenzone secondo cu W = n, possamo dunque concludere che P(A) = M j = 0 se j < 0o j >. Rcordando che M n n. (.28) Osservazone.0 (Estrazon da unurna popolosa). Intutvamente, se lurna contene molte pallne d cascun colore (ossa M e M ), non c dovrebbe essere grande dfferenza tra due schem d estrazon consderat, dal momento che la rmozone d una pallna modfca n modo trascurable la composzone dellurna. Questo argomento può essere formalzzato matematcamente nel modo seguente. Sa (M ) 2 una successone d nter postv tal che M lm = p 2 (0,). (.29)! Se effettuamo n estrazon senza remmssone da unurna che contene pallne d cu M rosse, la probabltà d estrarne esattamente rosse è data dalla formula (.28). Mostramo che l lmte per! d tale probabltà, quando numer,n sono fssat, è dato dalla formula (.27). Scrvendo M =! =0 (M M ) e analogamente per n e n, con qualche manpolazone algebrca a partre da (.28) s arrva allespressone P(A) = = n n M =0 M! ( =0 (n ) j=0 M! M j j ) M ( n (n ) j=0 j M + j ).