Sulla teoria di Z in L = {+,<}

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1 Sulla teora d Z n L = {+,<} Andrea Vaccaro 1 Premesse S consder l lnguaggo L = {+,<}, e n esso la teora degl nter ThZ,+,<. Nel presente documento s fornrà un assomatzzazone rcorsva d tale teora, e lo studo dell elmnazone de quantfcator n una sua espansone, n un lnguaggo L che verrà defnto pù avant. S consder allora la teora T costuta da seguent assom: ordn total dscret grupp abelan x yz x < y x + z < y + z per ogn n 2 N un assoma d questo tpo: x mz x = m + nz 0 m < n In questo schema d assom sono state utlzzate dverse abbrevazon. Con nz s ntende l oggetto z sommato n volte; con 0 s ntende l elemento neutro dervante dagl assom della teora de grupp e dunque defnble nel lnguaggo L; nfne, gl assom degl ordn dscret c consentono d defnre l successore, e dunque n questo caso specfco l successore dell elemento neutro che potremmo chamare ad esempo 1. Con n s ntende tale elemento sommato n volte. Da qu n avant, per comodtà, un generco elemento n Z rappresenterà la somma d n volte 1 o del suo opposto, a seconda del segno. A questo punto consderamo l lnguaggo L = {+,<,,0,1} { n } n 2 N, dove 0 e 1 sono due smbol d costante, è un smbolo d funzone unara, e ognuno de n rappresenta un smbolo d relazone. Possamo allora estendere T a una nuova teora T che contenga anche seguent assom: x x = 0 y x + y = y x x = 1 0 < x y 0 < y < x x y x = y x + y = 0 x y x n y z x y = nz Notare come n L, n Z sa un termne chuso. É charo che ogn modello M d T può essere espanso ad un modello d T n modo unco, semplcemente nterpretando come defnzon su M tal assom; vceversa ogn modello d T può essere rstretto ad uno d T. A questo punto l dea è quella d mostrare che T ammette l elmnazone de quantfcator. Damo per buono tale fatto, per l momento. É facle verfcare che ogn modello M d T ammette una sottostruttura somorfa a Z. Nella fattspece, tale sottostruttura è data da < 0,1 > M. L somorfsmo, come s può mmagnare, è: φ : Z < 0,1 > M φ n Z = n M 1

2 Questo fatto, graze all elmnazone de quantfcator, c garantsce la completezza d T. Dalla completezza d T segue anche faclmente la completezza d T. Sano nfatt M ed N tal che M, N = T, e sa φ una L formula, e valga M = L φ. A questo punto espandamo M ed N a L, e poché φ è anche una L formula, s può ancora dre che M = L φ. Per completezza d T, N = L φ, e percò N = L φ. In modo analogo vale anche l vceversa, dunque M N, pertanto T è completa per una dmostrazone rgorosa del fatto che M = L φ M = L φ, quando φ sa una L formula, è suffcente lavorare per nduzone sulle formule. Dal momento che Z, con le classche nterpretazon d + e <, è un modello d T, s rcava che T = ThZ,+,<. Tutto s rduce dunque a mostrare che T ammette l elmnazone de quantfcator. 2 Elmnazone de Quantfcator d T Per mostrare che n T vale l elmnazone de quantfcator, verrà consderata una L formula prmtva φx, e verrà dmostrato che per ogn M, N = T, e per ogn f : domf Imf somorfsmo parzale fnto da M a N vale che per ogn a domf M = φa N = φ f a S ha dunque che φx yψ x, y, dove ψ è congunzone d atomche e negazon d atomche. Scopo dunque d questa sezone, per verfcare l elmnazone de quantfcator n T, sarà quello d verfcare che se s può trovare n M un a tale che ψa 1,..., a n, a con gl a domf, s può anche trovare n N un b tale che valga ψ f a 1,..., f a n,b, e vceversa verrà mostrato un solo verso, per l altro basterà rpercorrere la dmostrazone sosttuendo a f l nversa f 1. Le formule atomche n ψa, a sono d 3 tp: n + m + v + k ±a = na =1 k ±a > ma =1 k =1 l va ove gl a, a, a sono component d a. Nella dmostrazone che segurà s potrà consderare, senza perdere d generaltà, la ψ senza negazon d atomche. La negazone d uguaglanza può nfatt essere sosttuta dalla dsgunzone d due dsuguaglanze, la negazone d una dsuguaglanza può essere nvece sostuta dalla dsgunzone d un uguaglanza e d un altra dsuguaglanza è mmedato verfcare che l smbolo d < s comporta rspetto alla funzone come c s aspetta, ovvero s gra. Infne, la negazone d una congruenza modulo l può essere sostuta da una dsgunzone d l 1 congruenze modulo l dove compaono tutt gl m fra 0 e l 1 escluso quello della dsuguaglanza stessa. A questo punto s può dstrbure l esstenzale sulle dsguntve e ragonare per nduzone. In realtà la ψ può essere ulterormente semplfcata, nel caso v sano uguaglanze o dsuguaglanze. Immagnamo che n ψ v sa una congunzone d uguaglanze l h=1n h + ±a h, = n h a con tutt gl n h 0 quelle dove n h = 0 potranno po essere portate fuor dal quantfcatore, e dunque verfcate n N per le propretà d somorfsmo. É mmedato verfcare che n T s dmostra, dato m 0 n Z, x y x = y mx = my. Se allora N = h n h e N = h n h, l equazone N 1 n 1 + ±a 1, = Na è 2

3 equvalente a tutte le altre della congunzone. Da un lato nfatt la prma uguaglanza della congunzone mplca tale uguaglanza, dall altro, poché vale N j n j + ±a j, = N k n k + ±a k, 1 j,k l relazone rcavata graze al fatto che M = xψa, x, s ha che N j n j + ±a j, = Na per ogn j da 1 a l, da queste s possono po rottenere le uguaglanze della congunzone d partenza. In buona sostanza, verfcata la prma uguaglanza, venendo n questo modo a fssato n modo unvoco, verfcherà anche le altre. Quanto ottenuto consente d poter consderare n ψ, senza perdere d generaltà, al pù un unca uguaglanza. In modo analogo c s può rdurre a due dsuguaglanze sempre che n ψ ve ne sano. S mmagn che n ψ v sano le seguent: q p p=1m + t ±a p, > m p a s s=1m + ±a s, > m sa dove gl m p sono postv e gl m s negatv ovvero somma d oppost d ad nuovo cas con m = 0 non fornscono vere nformazon su a, dunque sul b che dovremo cercare. Possamo consderare anche m s postv a patto d cambare segno d dsuguaglanza e cambare segno al termne a snstra cosa che a lvello notazonale, per comodtà, non condurrà a nessuna modfca. S può verfcare n modo semplce che, dato n ntero postvo, n T s verfca che x y x < y nx < ny. C restrngamo ora al prmo blocco d dsuguaglanze. Ponendo M = h m h e M = h m h, per ogn j s verfca che M j m j + ±a j, > Ma prendendo allora l mnmo degl M j m j + ±a, e supponendo sa quello con ndce 1, la formula j, M 1 m 1 + ±a 1, > Ma è equvalente al prmo blocco d congunzon. Da un lato questa formula è mplcata dalla prma dsuguaglanza del blocco, dall altro essa mplca per tutt gl altr j fra 2 e t, M j m j + ±a > Ma e j, dunque le dsuguaglanze present n ψ; analogo dscorso s può fare col secondo blocco, ragonando però col massmo de M k m k + ±a. C s può d nuovo rdurre ad un unca dsuguaglanza k, M 1 m 1 + ±a 1, < Ma In conclusone, ponendo ˆM = M M, tutte le dsuguaglanze sono rdotte a M M 1 m 1 + ±a 1, < ˆMa < MM 1 m 1 + Charo che n mancanza d uno de due blocch d dsuguaglanze, avremo rspettvamente solo la prma o la seconda. In defntva, se n ψ dovessero comparre uguaglanze e dsuguaglanze, s potrà rscrvere ψa 1,..., a n, a n modo equvalente come: n + ±a = na m + ±a < ma < m + k ±a 1, h=1 v h + h, l h v h a Concentramoc ora sul trovare un b N tale per cu N = ψb 1,...,b n,b, dove b = f a. Ragonamo per cas su ψ. 3

4 2.1 Congruenze Se ψ è congunzone d sole congruenze, allora sarà una formula d questa forma: k v h + h h, l h v h a Consderamo allora a che n M verfch tale congruenze. Sa F = mcml h, e sa 0 G < F tale che a F G. É charo che a lh G per ogn h. Se s consdera allora nel modello N l valore G ovvamente s sta consderando rspettvamente G M e G N ; da qu n avant la dstnzone non verrà specfcata, poché evdente dal contesto, ponendo b = G s ottene un elemento d N che verfca l sstema d congruenze, percò s ottene N = ψb 1,...b n,b, come rchesto. Notare che la scelta d b è unca modulo F. 2.2 Dsuguaglanze Supponamo ora nvece che ψ s congunzone d sole dsuguaglanze. S è detto che c s può rdurre solo a due d esse. Supponamo n un prmo caso che sa solo una ovvero ψa 1,..., a n, a m + > ma. Per comodtà verrà ndcato B = m +. Per trovare l corrspondete b n N s proceda come segue: s prenda l prmo valore pù grande d m + conguro a zero modulo m tale valore certamente esste, s parta da f B, sommando 1 un numero suffcente d volte fnto n quanto mnore d m + 1 s troverà l valore cercato.. Sa tale valore C. Poché è congruo a zero modulo m, esste n N un b tale che C = m b. Tale b è l valore cercato. S proceda n modo analogo n presenza d una sola dsugualglanza con <. Supponamo ora sa ψa 1,..., a n, a A < ma < B, con B defnto come sopra e A = m + ±a. S conclude nel momento n cu s trova un elemento d N, dcamo C, che sa tale da essere f A < C < f B C m 0 Cò che s rcava è che, per un opportuno 0 < k m, A + k è congruo a zero modulo m ed è tale da verfcare A < A +k < B, percò anche la sua mmagne medante f rspetterà tal propretà rspetto a f A ed f B, percò sarà l valore cercato b sarà po l valore tale che m b = C. Ma come ma tale k esste? Il prmo valore conguro a zero modulo m n A,B è d scuro fra A + 1,..., A + m; se n A,B non v fosse tale A + k, ovvero se fosse maggore d B, allora non v potrebbero essere altr valor congru a zero modulo m n A,B, contro l potes ma A,B. 2.3 Dsuguaglanze e congruenze A questo punto s supponga d avere ψ equvalente a un sstema d congruenze e una sola dsuguaglanza, dcamo A < ma. Rcordando che la soluzone trovata nella sezone delle congruenze era unca modulo F, sarà suffcente trovare un valore n N congruo a G modulo F che sa abbastanza grande. S può sempre trovare un valore congruo a G modulo F maggore d max 0, f A, graze agl assom degl ordn lnear dscret. Dato allora tale valore b, è charo che quest verfch sa la congruenza che mb > f A fondamentale qu che b > 0. In modo analogo s può trovare b se la dsuguaglanza fosse B > ma, cercando n N un valore congruo a G modulo F mnore d mn 0, f B. Supponamo ora nvece d avere delle dsuguaglanze che mpongano A < ma < B. V sono due cas: Il prmo, n cu la dstanza fra A e B è nfnta; n questo caso, poché f al solto è somorfsmo parzale, anche la dstanza fra f A ed f B è nfnta ovvero f B f A > h per ogn h Z. Nella sezone sulle dsuguaglanze, quando s aveva a che fare con un ntervallo f A, f B l b trovato tale che mb f A, f B era n buona sostanza l prmo che andava bene, n partcolare tale che mb fosse ad una dstanza fnta da f A. Se vale che b F G, tale b va gà bene. In caso contraro, sommando a b l valore 1 un numero suffcente ma fnto d volte, dcamo t, s otterrà un b F G. A questo punto, mb = mb + mt è ancora n f A, f B, n quanto ad una dstanza fnta da mb, a sua volta a dstanza fnta da f A. Percò b verfcherà le rcheste poste da ψ. 4

5 Nel caso n cu A,B sa d lunghezza fnta, varrà che B = A +h, pertanto anche f B = f A +h. S avrà allora che ma = A + k con k < h. Ma allora s può cercare l b tale che mb = f A + k. In questo modo stamo d fatto aggungendo un uguaglanza alla ψ; rmandamo allora alle prossme sezon la verfca dell esstenza d un b adatto Uguaglanza, dsuguaglanze e congruenze. 2.4 Uguaglanza Come gà detto, se n ψ compaono solo uguaglanze, è possble rdurs ad una sola uguaglanza equvalente a ψ. Supponamo sa allora n + ±a = na Cò sgnfca che n + ±a n 0 Vsto che f è somorfsmo parzale, vale anche n + ±b n 0 percò esste b tale che Questo è l elemento d N cercato. n + ±b = nb 2.5 Uguaglanza e dsuguaglanze Fssata l uguaglanza, s è gà trovato un b n N. Mostramo ora che rspetta anche le due eventual dsuguaglanze. Sa l uguaglanza n + ±a = na dove, senza perdere d generaltà, s suppone n postvo, e una dsuguaglanza m + > ma Graze a fatt dmostrat n precedenza e graze al fatto che f è somorfsmo parzale, s verfca che m + > ma n m + > mna n m + > m n + ±a n m + > m n + n ±a n m + m + > m > mnb m + n + ±b n > mb m + > mnb Stesso procedmento con l altra dsuguaglanza. 5

6 2.6 Uguaglanza, dsuguaglanze e congrenze Come gà vsto, l b trovato con l uguaglanza, rsolve le eventual dsuguaglanze. Verrà mostrato ora che rsolverà anche tutte le congruenze n ψ. Il problema è rsolto se anche b F G. In modo mpropro qu d seguto verrà detto che un elemento d M è congruo modulo un certo t ad uno d N ; tale notazone ovvamente d per sè non ha senso, sarà per no un abbrevazone per dre che sono congru entramb all n smo successore dello zero, rspettvamente d M ed N. Ad esempo, l ugualganza d ψ, graze al fatto che f è somorfsmo parzale, c consente d dre, che na F ng F nb. Poché s sa gà che a F G, s rcava che n + ±a = na = n G + F x = ng + nf x ovvero n + ±a nf ng cò garantsce che nb = n + ±b nf ng Dal momento che G < F e poché s può sempre supporre n > 0, vale che ng < nf. Per gl assom s può supporre essta G < F tale che b F G. S ottene allora: ng nf nb nf ng con sa G che G compres fra 0 debolmente e F strettamente. Se fosse G G, sarebbe facle rcavare un assurdo. Sa nfatt 0 G < G < F ; poché ng nf ng allora n G G = nf x, e dunque G G = F x con x > 0 segue da G > G, percò vale anche che x 1, che mplca F x F, coè G G F, e dunque G F +G F, assurdo per potes su G. 6