Teoria dei Giochi. Dr. Giuseppe Rose Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 2011/2012 Handout 4

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1 Teora de Goch Dr. Guseppe Rose Unverstà degl Stud della Calabra Corso d Laurea Magstrale n Economa Applcata a.a 011/01 Handout 4 1 L equlbro d Bertrand Nel modello d Bertrand, abbamo un duopolo esattamente uguale al precedente modello d Cournot (due mprese e stessa curva d domanda), nel quale però le mprese non scelgono la quanttà da mmettere sul mercato, ma decdono smultaneamente l prezzo che voglono ssare (p, p j ). Supponamo, come nel modello d Cournot, che ben sono perfettamente sosttut. La curva d domanda è Q(P ) = a P A questo punto è mportante notare che n questo caso la funzone d domanda per ogn mpresa è dscontnua. Lo scenaro può essere nfatt descrtto nel modo seguente. Se le mprese ssano lo stesso prezzo, consumator sono nd erent rspetto all mpresa che gl vende l bene qund le due mprese s dvderanno l mercato mpresa 1=Q(P ) p = p j =) mpresa j 1=Q(P ) Se nvece una delle due mprese ssa un prezzo nferore a quello ssato dall altra avremo p > p j =) Consderamo la seguente stuazone mpresa 0 mpresa j Q(P ) p = p j > c dove c, come nel modello d Cournot rappresenta l costo margnale costante. E tale stuazone un equlbro d Nash? No. Infatt una delle due mpresse potrebbe ottenere un payo pù alto abbassando leggermente l prezzo e prendendo tutta la domanda Q(P ) Consderamo adesso la seguente stuazone p > p j = c 1

2 E evdente come anche n questo caso non abbamo un NE perchè all mpresa convene abbassare l prezzo no a c e prendere metà della domanda. L unco equlbro, che è un equlbro d Nash è p = p j = c Questa stuazone è anche nota come paradosso d Bertrand (ovvero, bastano due mprese e abbamo la concorrenza!). Nell anals d tale processo d nterazone rpetuto nel tempo, l paradosso d Bertrand verrà rsolto. Nel modello d Bertrand ndcato sopra s sta assumendo che ben sano perfett sosttut. Qualora c sa mperfetta sosttubltà tra ben è possble vedere che l equlbro d Nash nel modello d Bertrand è dato da una soluzone che prevede un prezzo maggore del costo margnale. S consder la seguente curva d domanda q (p ; p j ) = a p + bp j (1) Dove b > 0 è un parametro che rappresenta la l lvello d sosttubltà tra ben prodott dall mpresa e dall mpresa j Tale parametro deve essere dverso da 1 (b 6= 1) perchè n tal caso ben sarebbero perfettamente sosttut e qund la funzone d domanda non è pù quella descrtta dalla relazone (1) ma sarebbe la funzone d domanda dscontnua descrtta sopra. La massmzzazone del pro tto dell mpresa porta a ovvero max p [p c](a p + bp j ) B (p j ) ) p = a + c + bp j Mutats mutands, per l mpresa j avremo B j (p ) ) p j = a + c + bp L ntersezone tra le curve d reazone c da l seguente prezzo che rappresenta un equlbro d Nash p = p j = a + c b Da tale espressone s può vedere che è necessaro mporre questa ulterore condzone sul parametro b 0 b < S può faclmente ver care per tal valor d b l prezzo è sempre pù alto del costo margnale. In partcolare l prezzo è pù pccolo del costo margnale se e solo se

3 ovvero, se e solo se a + c b < c b < 1 a=c {z} >1 che è n contrasto con l fatto che b deve essere maggore d zero. L e cenza dell equlbro d Nash Nel dlemma del prgonero, nel modello d Cournot, nel modello d Bertrand, s può r ettere e ver care che rsultat dell nterazone strategca che scaturscono dall equlbro d Nash possono essere ne cent, ovvero sono de rsultat peggor d quell che s raggungono n presenza d un unca autortà che decde le stratege d entramb gl avversar con lo scopo d massmzzare l benessere complessvo de gocator. Prendamo l dlemma del prgonero come esempo d partenza. Successvamente cercheremo d fare delle consderazon general e, alla ne, alla luce d tal consderazon, torneremo sul modello d Cournot. Consderamo l dlemma del prgonero. Il dlemma del prgonero Indvduo confessa non confessa Indvduo 1 confessa -6, -6 0, -10 non confessa -10, 0-1, -1 Come è evdente, l rsultato che s raggunge n tale goco applcando l concetto d NE è che entramb gocator restano n galera 6 ann cascuno, ma tale rsultato è, per entramb gocator, peggore d quello che s raggungerebbe se due non confessassero (un anno d galera cascuno). In realtà tale stuazone non è un equlbro. Infatt da tale poszone cascun ndvduo trova e cente (dal suo punto d vsta!) confessare e passare a zero ann d galera "facendo pagare" dec ann d galera all altro gocatore. L equlbro nale è non e cente per entramb gocator. No (dall esterno) vedamo un equlbro mglore per entramb mponendo ad entramb d non confessare. No samo scur che tale equlbro è l mglore, perchè prendamo n consderazone payo s d entramb gocator che nel nostro caso rappresentano l ntera collettvtà convolta nel processo d nterazone. S not che nel goco seguente abbamo due equlbr d Nash, uno de qual è scuramente non e cente. In tale stuazone è necessaro solo coordnare le stratege de due gocator e l equlbro d Nash pù e cente s raggunge. 3

4 Gocatore A B A1 1000, , 0 Gocatore 1 B1 0, 0 50, 50 Nel caso del dlemma del prgonero non esste nessun tpo d coordnamento tra due che può ndurre l rsultato e cente. Cerchamo d generalzzare l dea. Dato un goco G = (s ; ) n =1 assumamo che s R e è d erenzable n s RAT e common belefs. Se s = (s ; s ) è un equlbro d Nash, allora s al seguente problema d massmzzazone max (s ; s s ) deve essere la soluzone Questo vuol dre che nell equlbro d Nash devono essere valde entrambe le seguent () j (s ;s ) () j (s ;s ) Immagnamo adesso d consderare la somma de payo s () de gocator convolt nel goco, ovvero mmagnamo d consderare la socetà nel suo complesso = nx (s ; s ) =1 dove > 0 è un peso generco che attrbuamo al payo dell esmo gocatore (se = 1 per ogn gocatore stamo semplcemente sommando payo s supponendo che ogn gocatore è mportante allo stesso modo. Questo potrebbe sembrare ovvo, ma dal corso d Poltca Economca I avete appreso che così non è.). Con un pccolo abuso d notazone, consderamo due gocator e e l seguente payo complessvo = (s ; s ) + (s ; s ) (3) Se no volessmo calcolare le stratege s ed s che massmzzano l payo della socetà dobbamo dervare rspetto ad s ed s l espressone (3) e trovare le seguent condzon del prmo ordne 4

5 ovvero, facendo le due @ + Dvdendo entramb lat della prma espressone per ed entramb lat della seconda espressone per possamo rscrvere le condzon che garantscono l ottmo socale nel modo seguente + Guardando le due espresson che abbamo rcavato, e confrontandole con le espresson che ndvduano un equlbro d Nash () possamo vedere che la d erenza tra queste è data dalla presenza d Se ponamo entramb pes ( e ) par ad uno per semplctà, possamo vedere che le altro non sono che l e etto della stratega del gocatore sul payo del gocatore e vceversa. In altre parole, quando s ndvdua l ottmo socale, l e etto della stratega d un gocatore su payo s degl altr gocator è rlevante. Tale e etto è totalmente non consderato dal sngolo gocatore che ndvdua la sua stratega ottmale senza calcolare l e etto che questa ha su payo s degl altr gocator. Se una azone s ha un e etto sul payo del gocatore questa è un esternaltà, ovvero l azone s genera un costo n capo al gocatore L ottmo socale è e cente perchè le esternaltà vengono nternalzzate. L nterazone strategca, nvece, può portare a de rsultat ne cent propro per la presenza d estrernaltà. Possamo adesso rtornare sul modello d Cournot per cercare d ndvduare tal esternaltà ed avere una vsone pù chara d cosa succede nel processo d concorrenza tra le due mprese. S not nnanz tutto che nell equlbro d Cournot l pro tto d entrambe le mprese è par alla d erenza tra l prezzo ed l costo medo untaro c per la quanttà venduta da cascuna mpresa. Il prezzo è funzone della quanttà complessva mmessa nel mercato ovvero Q = q + q j. No sappamo che se c fosse una sola mpresa (l caso del monopolsta) 5

6 questa produrrebbe una quanttà par a Q m = a c Il pro tto che ottene l monopolsta è l massmo pro tto ottenble. Se la quanttà mmessa sul mercato dal monopolsta fosse pù grande d Q m pro tt dmnurebbero. Partendo da questa consderazone, cosa possamo dre su pro tt delle due mprese? la prma cosa che possamo vedere è che la quanttà complessva messa sul mercato è pù grande d quella d monopolo. Infatt q = q j = a c 3 Q = q + q j = =3(a c) > a c D conseguenza se la quanttà complessva prodotta dalle due mprese fosse mnore, pro tt complessv sarebbero pù alt e le due mprese dvderebbero tal pro tt facendo ognuna pro tt maggor d quell che realzzano n equlbro. Qund, l rsultato che no trovamo è che n equlbro le due mprese non stanno massmzzando loro pro tt, ovvero l equlbro è ne cente per le due mprese. L esternaltà che genera tale stuazone socalmente ne cente (socalmente ne cente, dove la nostra socetà è composta solo da nostr gocator ovvero solo dalle mprese) è drettamente ndvduable dal processo d massmzzazone d una delle due mprese che s attua nell applcazone dell equlbro d Nash. Quando la funzone d domanda è data da P (Q) = a Q, l pro tto dell mpresa è dato da (q ; q j ) = (P (Q) c)q La condzone del prmo ordne è data da () () q + P {z } c (4) <0 La condzone (4) c permette d ndvduare l esternaltà. Infatt, se guardamo l e etto negatvo sul prezzo che ha la quanttà agguntva che l mpresa decde d mmettere sul mercato < 0) possamo vedere che questo effetto moltplca solo la quanttà q e non tutta la quanttà Q Questo perchè l mpresa non ha nessun nteresse a tenere n consderazone l e etto negatvo sul prezzo dervante dall mmssone d una quanttà agguntva rspetto alle vendte dell mpresa j (q j ). Se consderamo nvece l monopolsta, che può essere vsto come una unca mpresa che detene le due socetà j e abbamo la seguente funzone d pro tto e relatva condzone del prmo ordne (q + q j ) = (P (Q) c)(q + q j ) 6

7 @P () (q + q j ) + P {z } c (5) <0 Dalla relazone (5) s può vedere perchè l monopolsta raggunge un rsultato pù e cente rspetto a quello delle due mprese che competono sulla quanttà. Il monopolsta, nfatt, sta valutando l e etto negatvo sul prezzo dall mmssone d una untà agguntva d prodotto ( ) su tutta la quanttà realzzata (q + q j ). Il monopolsta fa pro tt maggor della somma de pro tt delle due mprese che competono n un modello d Cournot. E mportante sottolneare ancora una volta che non stamo consderando l benessere de consumator, per no esstono solo le mprese e un monopolo, per le mprese, porta ad un rsultato pù e cente d quello che s raggunge n un modello d concorrenza à la Cournot. 7