Corso di Logica I. Modulo sul Calcolo dei Sequenti. Dispensa Lezione II.

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1 Corso d Logca I. Modulo sul Calcolo de Sequent. Dspensa Lezone II. Govann Casn Teorema d corrspondenza fra l calcolo su sequent SND e l calcolo de sequent SC. Rproponamo per esteso la dmostrazone della corrspondenza fra SND e SC. Inzamo defnendo due sstem d dervazone. Il calcolo SND Il calcolo SND (Intutonstc Sequental Natural Deducton ) è un calcolo su sequent costruto drettamente dalle regole della deduzone naturale. È qund defnto da un nseme d regole su sequent che rspecchano fedelmente le regole d ntroduzone e d elmnazone de connettv della deduzone naturale ntuzonsta. Gl oggett su cu lavora l calcolo sono sequent d forma dove a snstra abbamo un nseme fnto Γ d formule e a destra abbamo esattamente una formula α. Il calcolo è defnto dalle seguent regole. Assoma e regola strutturale. Axom : α α Left W eakenng : Γ, β α 1

2 Regole sugl operator proposzonal. [I ] : Γ β β [E ] : β β Γ β [I ] : β Γ β β [E ] : β Γ, α γ Γ, β γ Γ γ [I ] : Γ, α β β [E ] : β Γ β [I ] : Γ, α β Γ, α β Γ α [E ] : Γ α Γ β Regole su quantfcator. [I ] 1 : Γ ( x)α(x) [E ] : Γ ( x)α(x) (t) [I ] : (t) Γ ( x)α(x) [E ] : 2 Γ ( x)α(x) Γ, α(t) β Γ β ( x)α(x). 1 Il termne t non deve occorrere n nessuna delle formule contenute nel sequente nferore. 2 Il termne t non deve occorrere n nessuna delle formule contenute nel sequente nferore, né n Damo come assodata la corrspondenza con l sstema d deduzone naturale ntuzonsta ND. Questa corrspondenza è stata ottenuta passando dal sstema SND, molto smle al presente sstema. Prma abbamo dmostrato la corrspondenza fra ND e SND, e qund la corrspondenza fra SND e SND (ved le slde). 2

3 Teorema 1. Prendamo un lnguaggo l per la logca de predcat. Per ogn sott nseme fnto Γ d l e ogn α l, Γ ND α se e solo se SND Il calcolo SC Il calcolo SC è l calcolo de sequent defnto da Gentzen per la logca ntuzonsta. C sono alcune caratterstche fondamental che lo dstnguono dal sstema precedente. La struttura del sequente: Il calcolo SC lavora su sequent d forma Γ β dove a snstra abbamo una sequenza fnta d formule Γ e a destra abbamo al pù una formula α. Il tpo d regole sugl operator: Le regole sugl operator non rspecchano pù le regole della deduzone naturale. Anzchè regole d ntroduzone e d elmnazone degl operator, abbamo solo regole che ntroducono gl operator. Tal regole possono però ntrodurre un operatore nel conseguente (regole d ntroduzone a destra) o nell antecedente (regole d ntroduzone a snstra) de sequent. Dato un operatore logco, ad esempo, ndcheremo con [ ] la regola che lo ntroduce a destra della frecca, e con [ ] la regola che lo ntroduce a snstra. Le regole che ntroducono l operatore a destra (nel conseguente) corrspondono alle regole d ntroduzone defnte per SND, mentre le regole d ntroduzone a snstra (nell antecedente) vanno a prendere l posto delle regole d elmnazone. 3

4 Nuove regole struttural: Vengono ntrodotte una sere d nuove regole struttural (ved le slde). Rght Weakenng: corrsponde al prncpo d ex falso quod lbet. Vene ntrodotto per fare n modo che l sstema tratt, n un sequente d forma Γ, l conseguente vuoto come una contraddzone. Left Contracton e Left Interchange: graze a queste regole possamo trattare l antecedente d ogn sequente, che d per sè sarebbe una sequenza, come un semplce nseme d formule, n cu l ordne e le rpetzon delle formule non contano. Cut: questa regola, che esprme una propretà essenzale della relazone d conseguenza logca, vene ntrodotta perchè permette d dmostrare la connessone fra le regole d ntroduzone a snstra (nell antecedente), ntrodotte n SC, e le regole d elmnazone d SND, corrspondent alle regole d elmnazone della deduzone naturale. Il calcolo è qund defnto dalle seguent regole. Assoma e regole struttural. Axom : α α Left W eakenng : Rght W eakenng : Γ α Γ Γ, β α Γ α Lef t Contracton : Lef t Interchange : α, α, Γ β, α, β, Γ γ α, Γ β, β, α, Γ γ Cut : Γ α α, Γ β Γ β Regole sugl operator proposzonal. 4

5 [ ] : Γ α Γ β Γ α β [ ] : α, Γ γ α β, Γ γ β, Γ γ α β, Γ γ [ ] : Γ α Γ α β Γ β Γ α β [ ] : α, Γ γ β, Γ γ α β, Γ γ [ ] : α, Γ β Γ α β [ ] : Γ α β, Γ γ α β, Γ γ [ ] : α, Γ Γ α [ ] : Γ α α, Γ Regole su quantfcator. [ ] 3 Γ α(t) Γ ( x)α(x) [ ] α(t), Γ γ ( x)α(x), Γ γ [ ] Γ α(t) Γ ( x)α(x) [ ] 4 α(t), Γ γ ( x)α(x), Γ γ 3,4 Il termne t non deve occorrere n nessuna delle formule contenute nel sequente nferore. La corrspondenza fra due sstem. Abbamo defnto sstem dervazone SND e SC, e adesso voglamo dmostrare che v è una corrspondenza fra le rspettve dervazon. Dmostrare tale corrspondenza consste nel dmostrare che per ogn dervazone n SND esste una corrspondente dervazone n SC, e, vceversa, per ogn dervazone n SC esste una corrspondente dervazone n SND. 5

6 Per ottenere questo rsultato, dobbamo fare cnque passagg fondamental: 1. Defnre che tpo d corrspondenza cerchamo. I due sstem lavorano su oggett dvers: da un lato sequent d forma (con a snstra un nseme fnto d formule e a destra esattamente una formula); dall altro lato sequent d forma Γ α (con a snstra una sequenza fnta d formule e a destra al pù una formula). Essendo due oggett dfferent, abbamo bsogno d defnre quando attrbuamo a sequent de due sstem lo stesso sgnfcato, quando no l nterpretamo come se dcessero la stessa cosa. 2. Dmostrare che per ogn regola d SND v è una dervazone corrspondente n SC. Defnta la corrspondenza fra sequent de due sstem, andamo a prendere n consderazone ogn regola del calcolo SND. Utlzzando la corrspondenza fra sequent, possamo tradurre ognuna d queste regole n una regola corrspondente espressa con sequent d SC. Dobbamo dmostrare, per ognuna delle regole d SND, che la regola corrspondente è valda n SC, coé che possamo dervarla utlzzando solo le regole d SC. 3. Dmostrare che per ogn albero d dervazone n SND ne esste uno corrspondente n SC. Dmostrata la valdtà n SC d ogn regola d SND, possamo dmostrare, per nduzone completa sulla profondtà delle dervazon n SND, che per ogn albero d dervazone d SND ne esste uno corrspondente n SC (che, coè, dmostra un sequente corrspondente). 4. Dmostrare che per ogn regola d SC v è una dervazone corrspondente n SND. Come al punto 2, ma n drezone nversa: traducamo ognuna delle regole d SC n una regola corrspondente espressa con sequent d SND. Dobbamo dmostrare per ognuna delle regole d SC che la regola corrspondente è valda n SND, coè è dmostrable a partre dalle sole regole d SND. 6

7 5. Dmostrare che per ogn albero d dervazone d SC ne esste uno corrspondente n SND. Come al punto 3, ma n drezone nversa. Dmostramo, per nduzone completa sulla profondtà degl alber d dervazone n SC, che per ogn dervazone n SC ve ne è una corrspondente (coè, che dmostra un sequente corrspondente) n SND. Dmostrato questo, abbamo la nostra corrspondenza, coè la garanza che per ogn dervazone n SND ve ne è una corrspondente n SC e vceversa. Vedamo la dmostrazone punto per punto. 1. La corrspondenza fra due tp d sequent. Voglamo qund poter dre quando due sequent d tpo dverso, un sequente separato da ed uno separato da, vengono lett come se dcessero essenzalmente la stessa cosa. No voglamo che sequent sano nterpretabl come se c dcessero qualcosa rguardo la relazone d conseguenza logca: leggamo coè sa un sequente che un sequente Γ α come se c dcessero che α è conseguenza delle premesse Γ. Da questo punto d vsta, l unca dfferenza rlevante fra due tp d sequent s trova ne sequent con l conseguente vuoto present n SC, che devono essere nterpretat come se nel conseguente v fosse una contraddzone. In base a cò, possamo ntutvamente defnre la corrspondenza fra sequent come: - Ogn sequente Γ α d SC corrsponde al sequente d SND, e vceversa. - Ogn sequente Γ d SC corrsponde ad un sequente α d SND, per una qualunque contraddzone α α, e vceversa. Questa defnzone della corrspondenza non è formalmente corretta (sempre per la dversa natura dell antecedente Γ ne due tp d sequente), ma è 7

8 suffcente per andare a dmostrare la corrspondenza fra due sstem. Il teorema che voglamo dmostrare rsulta l seguente. Teorema 2. (Corrspondenza fra SC e SND ) Dato un lnguaggo l per la logca de predcat, per ogn Γ sott nseme fnto d l e ogn α l, e SC Γ α se e solo se SND SC Γ se e solo se SND α Voglamo, qund, dmostrare che per ogn dervazone n SC v è una dervazone corrspondente n SND, e vceversa. Pratcamente, voglamo la garanza che due sstem dmostrno esattamente le stesse cose. 2. Portamo le regole d SND n SC. A questo punto, prendamo ogn regola d SND e costruamo una regola corrspondente ne sequent d SC : è suffcente sostture ogn sequente nella regola con un -sequente corrspondente. Ad esempo, la regola [E ] : Γ α Γ β vene tradotta nella regola Γ α Γ α Γ β Dobbamo qund vedere se questa regola rsult dervable n SC, se coé sa possble costrure un albero d dervazone che parte da due sequent sopra la lnea d dervazone, Γ α e Γ α, e, utlzzando solo le regole d SC, gunge a dmostrare l sequente Γ β, posto sotto la lnea. 8

9 È facle osservare che le regole d ntroduzone d SND, esclusa quella per la negazone, corrspondono esattamente alle regole d ntroduzone a destra d SC. Per semplctà, n tutte le dmostrazon ometteremo l uso delle regole d Contrazone e Scambo. Vedamo ogn regola. Regola strutturale. Left Weakenng: Γ, β α S traduce n: Γ α Γ, β α Corrsponde esattamente al Left Weakenng d SC, ed è qund una regola valda n SC. Regole sugl operator: Introduzon. Introduzone della congunzone: [I ] : Γ β β S traduce n: Γ α Γ β Γ α β Corrsponde esattamente alla regola [ ] d SC, ed è qund una regola valda n SC. 9

10 Introduzone della dsgunzone: [I ] β S traduce n: Γ α Γ α β Corrsponde esattamente alla regola [ ] d SC, ed è qund una regola valda n SC. Introduzone dell mplcazone: [I ] α, Γ β β S traduce n: α, Γ β Γ α β Corrsponde esattamente alla regola [ ] d SC, ed è qund una regola valda n SC. Introduzone della negazone: [I ] Γ, α β Γ, α β Γ α S traduce n: 10

11 Γ, α β Γ, α β Γ α Non corrsponde ad alcuna regola d SC, e qund la dobbamo dervare n SC. β β ( ) β, β ( ) β β ( ) (β β) Γ, α (β β) Γ, α β Γ, α β ( ) Γ, α β β ( ) Γ, α, (β β) (Cut) Γ, α ( ) Γ α Introduzone del quantfcatore unversale: [I ] (t) Γ ( x)α(x) S traduce n: Γ α(t) Γ ( x)α(x) Corrsponde esattamente alla regola [ ] d SC, ed è qund una regola valda n SC. Introduzone del quantfcatore esstenzale: 11

12 [I ] (t) Γ ( x)α(x) S traduce n: Γ α(t) Γ ( x)α(x) Corrsponde esattamente alla regola [ ] d SC, ed è qund una regola valda n SC. Regole sugl operator: Elmnazon. Nessuna delle regole d elmnazone corrsponde ad una delle regole prmtve d SC, e qund è necessaro dmostrare che sono valde n SC, dervandole nel sstema. Elmnazone della congunzone: [E ] β S traduce n: Γ α β Γ α Dobbamo dervare questa regola a partre dalle regole d SC : Γ α β 12 Γ α α α α, Γ α ( ) α β, Γ α (Cut)

13 Elmnazone della dsgunzone: [E ] S traduce n: β Γ, α γ Γ, β γ Γ γ Γ α β Γ, α γ Γ, β γ Γ γ Dobbamo dervare questa regola a partre dalle regole d SC : Γ α β α, Γ γ β, Γ γ ( ) Γ γ α β, Γ γ (Cut) Elmnazone dell mplcazone: [E β ] Γ β S traduce n: Γ α β Γ α Γ β Dobbamo dervare questa regola a partre dalle regole d SC : ( ) (Cut) β β Γ α β, Γ β α β, Γ β Γ β Γ α β 13

14 Elmnazone della negazone: [E ] Γ α Γ β S traduce n: Γ α Γ α Γ β Dobbamo dervare questa regola a partre dalle regole d SC : α α ( ) α, α ( ) α α ( ) (α α) Γ (α α) Γ α Γ α ( ) Γ α α ( ) Γ, (α α) (Cut) Γ (RW ) Γ β Elmnazone del quantfcatore unversale: [E ] Γ ( x)α(x) (t) S traduce n: Γ ( x)α(x) Γ α(t) Dobbamo dervare questa regola a partre dalle regole d SC : 14

15 Γ ( x)α(x) Γ α(t) α(t) α(t) ( ) ( x)α(x) α(t) (Cut) Elmnazone del quantfcatore esstenzale: [E ] Γ ( x)α(x) Γ, α(t) β Γ β S traduce n: Γ ( x)α(x) Γ, α(t) β Γ β Dobbamo dervare questa regola a partre dalle regole d SC : Γ ( x)α(x) Γ β α(t), Γ β ( ) ( x)α(x), Γ β (Cut) A questo punto abbamo completato l passo 2 della nostra dmostrazone: abbamo dmostrato che, prendendo una qualunque regola d SND e defnendo la regola corrspondente n SC, possamo costrure n SC un albero d dervazone che dmostra che la regola è valda nel sstema. 3. Per ogn dervazone n SND possamo costrure una dervazone corrspondente n SC. A questo punto samo pront per dmostrare una drezone del nostro teorema, possamo coè dmostrare che, dato un lnguaggo l per la logca de predcat, per ogn Γ sott nseme fnto d l e ogn α l, 15

16 Se SND, allora SC Γ α Possamo ottenere questo rsultato dmostrando che per ogn albero d dervazone D d SND che dmostra un sequente esste un albero D d SC che dmostra un sequente Γ α. Data la corrspondenza fra le regole, utlzzamo l nduzone completa sulla profondtà l(d) delle dervazon n SND (ved le slde). Passo 1: l(d) = 1. Se l(d) = 1, D è composto da un sngolo sequente, che sarà necessaramente un assoma d forma α α. L albero corrspondente D n SC è quello composto dal sngolo assoma α α. Passo 2: l(d) = m + 1. Per potes d nduzone assumamo che per ogn dervazone C n SND, tale che l(c) m, esste una dervazone C n SC corrspondente, coè tale che se C dmostra SND, allora C dmostra SC Γ α. Una dervazone D tale che l(d) = m + 1 vene ottenuta applcando una regola d SND alle concluson d al pù tre (a seconda del numero d premesse della regola che applchamo) alber d deduzone. È qund suffcente dmostrare che, applcando una qualunque regola d SND, possamo ottenere una corrspondente dervazone D n SC. Faccamo un esempo, prendendo un albero d profondtà m + 1 che termna con l applcazone della regola [E ]. C 1 β C 2 Γ, α γ Γ γ C 3 Γ, β γ (E ) Qu C 1, C 2, e C 3 sono tre alber d dervazone d SND che hanno profondtà mnore o uguale a m, e tal che dmostrano, rspettvamente, sequent β Γ, α γ Γ, β γ 16

17 Per potes d nduzone sappamo che esstono n SC tre alber d dervazone C 1, C 2, e C 3, tal che dmostrano, rspettvamente, sequent Γ α β Γ, α γ Γ, β γ Nel punto 2 (v. Elmnazone della dsgunzone) abbamo dmostrato che n SC esste una dervazone che corrsponde alla regola [E ], e possamo qund consderare [E ] come una regola dervata n SC. Per costrure n SC una dmostrazone D che corrsponda a D, coè che dmostr Γ γ, è suffcente prendere gl alber C 1, C 2, e C 3, e applcare [E ] alle loro concluson: C 1 Γ α β C 2 Γ, α γ Γ γ C 3 Γ, β γ (E ) Dre che abbamo utlzzato la regola [E ] n SC rappresenta semplcemente un abbrevazone per ndcare che abbamo applcato alle concluson d C 1, C 2, e C 3 tutta la costruzone che al punto 2 abbamo dmostrato essere equvalente a [E ]: C 1 Γ α β C 2 C 3 Γ, α γ Γ, β γ ( ) α β, Γ γ (Cut) Γ γ Rpetendo questa procedura per tutte le regole d SND dmostramo quello che cercavamo, coè che, dato un lnguaggo l per la logca de predcat, per ogn Γ sott nseme fnto d l e ogn α l, Se SND, allora SC Γ α A questo punto abbamo quas fnto d dmostrare l teorema 2 nella drezone da SND a SC. Il teorema, nfatt, recta che per ogn Γ e α dobbamo dmostrare: SC Γ α se e solo se SND 17

18 e SC Γ se e solo se SND α Per dmostrare l teorema nel verso che va dalle dervazon d SND a quelle d SC c manca qund d dmostrare l caso relatvo al conseguente vuoto: Se SND α, allora SC Γ Possamo trattarlo velocemente. Da quello che abbamo vsto fnora, sappamo che Se SND α, allora SC Γ α α C sarà qund suffcente dmostrare che, per ogn contraddzone α α, Se SC Γ α α, allora SC Γ Ecco l albero d dervazone che ce lo dmostra: α α ( ) α, α ( ) α α ( ) (α α) Γ (α α) Γ Γ α α ( ) Γ, (α α) (Cut) Adesso abbamo dmostrato l teorema 2 nella drezone da SND a SC. 4. Portamo le regole d SC n SND. A questo punto dobbamo dmostrare l teorema nell altra drezone, muovendoc da SC a SND. Voglamo coè dmostrare che e Se SC Γ α, allora SND Se SC Γ, allora SND α Per far questo procedamo specularmente a punt 2 e 3. 18

19 Per prma cosa, n manera analoga al punto 2, dobbamo dmostrare che ogn regola d SC ha una dervazone corrspondente n SND. Anche n questo caso andamo a defnre le regole corrspondent n SND sosttuendo ad ogn -sequente l sequente d SND corrspondente. Come defnto al punto 1, le corrspondenze sono e Da Γ α a Da Γ a α per una qualunque contraddzone α α. Come nel punto 2, la traduzone rsulta mmedata fnchè non abbamo a che fare con sequent con l conseguente vuoto. Ad esempo la regola [ ] Γ α α, Γ può essere tradotta nella regola α, Γ β β Dopo aver tradotto una regola d SC n SND, dobbamo dmostrare che tale regola è valda n SND, dervandola per mezzo delle sole regole d SND. Per quanto rguarda le regole d Contrazone e Scambo (Left Contracton e Left Interchange), le consderamo banalmente soddsfatte n SND (ved le slde): s tratta d due regole che hanno senso solo se stamo lavorando con sequenze d formule (permettono d trattarle come se fossero nsem), ma l antecedente Γ d un sequente è gà d per sé un nseme. Passamo n rassegna le regole. Regole struttural. Left Weakenng: 19

20 Γ α Γ, β α Abbamo vsto al punto 2 che corrsponde al Left Weakenng d SND. Rght Weakenng: Γ Γ α S traduce n: Γ β β Non corrsponde ad alcuna regola d SND, e qund la dobbamo dervare n SND. Cut: (E ) Γ β β Γ β β (E ) Γ β Γ β (E ) Γ α α, Γ β Γ β S traduce n: α, Γ β Γ β Non corrsponde ad alcuna regola d SND, e qund la dobbamo dervare n SND. 20

21 α, Γ β (I ) β (E ) Γ β Vsto che abbamo appena dmostrato che l Cut è una regola dervata n SND, quando necessaro la utlzzeremo lberamente nelle prossme dmostrazon n SND. Regole sugl operator: Introduzon a destra. Abbamo vsto al punto 2 che ogn regola d ntroduzone a destra per un connettvo n SC corrsponde esattamente alla regola d ntroduzone per lo stesso connettvo n SC. Rmandamo qund al punto 2. L unca eccezone era costtuta dalla negazone. Introduzone a destra della negazone: [ ] : α, Γ Γ α S traduce n: α, Γ β β Γ α Non corrsponde ad alcuna regola d SND, e qund la dobbamo dervare n SND. (E ) α, Γ β β α, Γ β β (E ) α, Γ β α, Γ β (I ) Γ α Regole sugl operator: Introduzon a snstra. 21

22 Introduzone a snstra della congunzone: [ ] : α, Γ γ α β, Γ γ S traduce n: α, Γ γ α β, Γ γ Non corrsponde ad alcuna regola d SND, e qund la dobbamo dervare n SND. α, Γ γ α, α β, Γ γ α β α β (E ) α β α α β, (Cut) α β, Γ γ Introduzone a snstra della dsgunzone: [ ] : α, Γ γ β, Γ γ α β, Γ γ S traduce n: α, Γ γ β, Γ γ α β, Γ γ Non corrsponde ad alcuna regola d SND, e qund la dobbamo dervare n SND. 22

23 (E ) α β α β Γ, α β α β α, Γ γ α, Γ, α β γ Γ, α β γ β, Γ γ β, Γ, α β γ Introduzone a snstra dell mplcazone: [ ] : Γ α β, Γ γ α β, Γ γ S traduce n: β, Γ γ α β, Γ γ Non corrsponde ad alcuna regola d SND, e qund la dobbamo dervare n SND. α β, (E ) α β α β α β, β α β, Γ β (Cut) α β, Γ γ β, Γ γ β, α β, Γ γ Introduzone a snstra della negazone: [ ] : Γ α α, Γ S traduce n: 23

24 α, Γ β β Non corrsponde ad alcuna regola d SND, e qund la dobbamo dervare n SND. α α Γ, α α Γ, α β β Γ, α α (E ) Introduzone a snstra del quantfcatore unversale: [ ] : α(t), Γ γ ( x)α(x), Γ γ S traduce n: α(t), Γ γ ( x)α(x), Γ γ Non corrsponde ad alcuna regola d SND, e qund la dobbamo dervare n SND. ( x)α(x) ( x)α(x) (E ) α(t), Γ γ ( x)α(x) α(t) (Cut) ( x)α(x), Γ γ Introduzone a snstra del quantfcatore esstenzale: [ ] : α(t), Γ γ ( x)α(x), Γ γ 24

25 S traduce n: α(t), Γ γ ( x)α(x), Γ γ Non corrsponde ad alcuna regola d SND, e qund la dobbamo dervare n SND. α(t), Γ γ ( x)α(x) ( x)α(x) (E ) ( x)α(x), Γ γ A questo punto abbamo completato anche l passo 4 della nostra dmostrazone: abbamo dmostrato che, prendendo una qualunque regola d SC e defnendo la regola corrspondente n SND, possamo costrure n SND un albero d dervazone che dmostra che la regola è valda nel sstema. 5. Per ogn dervazone n SC possamo costrure una dervazone corrspondente n SND. Anche questo punto procederà specularmente al punto 3. Dmostrato che per ogn regola d SC ha una regola dervata corrspondente n SND, possamo passare a dmostrare che per ogn albero d dervazone D n SC esste un albero d dervazone D n SND che dmostra lo stesso sequente. In partcolare, voglamo dmostrare che e Se SC Γ α, allora SND Se SC Γ, allora SND α Anche n questo caso, la dmostrazone s basa sull uso dell nduzone completa sul valore della profondtà l(d) delle dervazon n SC. Passo 1: l(d) = 1. Come al punto 3. Se l(d) = 1, D sarà necessaramente costtuto da un sngolo sequente, un assoma d forma α α. L albero corrspondente D 25

26 n SND sarà composto dal sngolo assoma α α. Passo 2: l(d) = m + 1. Per potes d nduzone assumamo che per ogn dervazone C n SC, tale che l(c) m, esste una dervazone C n SND corrspondente, coè tale che se C dmostra SC Γ α, allora C dmostra SND. Una dervazone D tale che l(d) = m + 1 vene ottenuta applcando una regola d SC alle concluson d al pù due (a seconda del numero d premesse della regola che applchamo) alber d dervazone d profondtà mnore o uguale a m. È qund suffcente dmostrare che, applcando una qualunque regola d SC, possamo ottenere una corrspondente dervazone D n SND. Faccamo un esempo, prendendo un albero d profondtà m + 1 che termna con l applcazone della regola [ ]. C 1 C 2 Γ α β, Γ γ ( ) α β, Γ γ dove C 1 e C 2 sono due alber d dervazone d SC e d profondtà mnore o uguale a m, e tal che dmostrano, rspettvamente, sequent Γ α β, Γ γ Per potes d nduzone sappamo che esstono n SC due alber d dervazone C 1 e C 2 tal che dmostrano, rspettvamente, sequent β, Γ γ Nel punto 4 (v. Introduzone a snstra dell mplcazone) abbamo dmostrato che n SND esste una dervazone che corrsponde alla regola [ ], e possamo qund consderare [ ] come una regola dervata n SND. Per costrure n SND una dmostrazone D che corrsponda a D, coè che dmostr Γ γ, è suffcente prendere gl alber C 1 e C 2 e applcare [ ] alle loro concluson: 26

27 C 1 C 2 α β, Γ γ β, Γ γ ( ) Anche n questo caso, dre che utlzzamo [ ] n SND è solo un modo per dre che applchamo alle concluson d C 1 e C 2 tutta la costruzone n SND che al punto 4 abbamo dmostrato corrspondere a [ ]: C 1 α β, (E ) α β α β α β, β α β, Γ β (Cut) α β, Γ γ C 2 β, Γ γ β, α β, Γ γ Prendamo anche n consderazone l caso d dervazon che termnano con un sequente con l conseguente vuoto. Questo tpo d sequente può essere ottenuto solo se nel nostro albero d dervazone abbamo applcato la regola [ ]. Prendamo qund un albero D che termna con un applcazone d [ ]. C Γ α ( ) α, Γ Questa dervazone corrsponderà n SND ad un albero costtuto da una dervazone C, corrspondente a C e esstente per potes d nduzone, alla cu conclusone applchamo la regola dervata d SND che corrsponde a [ ] (ved punto 4. Introduzone a snstra della negazone). L albero avrà qund la forma C α, Γ β β ( ) 27

28 e questo soddsfa le nostre rcheste, vsto che un sequente con l conseguente vuoto corrsponde n SND ad un sequente con una qualunque contraddzone d forma α α nel conseguente. È suffcente rpetere questa procedura per tutte le regole d SC, e abbamo dmostrato quello che cercavamo: dato un lnguaggo l per la logca de predcat, per ogn Γ sott nseme fnto d l e ogn α l, e Se SC Γ α, allora SND Se SC Γ, allora SND α A questo punto, unendo rsultat del punto 3 e del punto 5, abbamo dmostrato l teorema 2, coè che, dato un lnguaggo l per la logca de predcat, per ogn Γ sott nseme fnto d l e ogn α l, e SC Γ α se e solo se SND SC Γ se e solo se SND α Per fnre, unendo la corrspondenza fra ND e SND rportata nel teorema 1 con la corrspondenza fra SND e SC del teorema 2, ottenamo la corrspondenza fra l calcolo d deduzone naturale ed l calcolo de sequent per la logca ntuzonsta. Teorema 3. Dato un lnguaggo l per la logca de predcat, per ogn Γ sott nseme fnto d l e ogn α l, e SC Γ α se e solo se Γ ND α SC Γ se e solo se Γ ND α α 28