NUMERI GRANDI DI FIBONACCI come trovare velocemente i loro esatti valori numerici Cristiano Teodoro

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1 NUMERI GRANDI DI FIBONACCI come trovare velocemente loro esatt valor numerc Crstano Teodoro Sommaro: n questo artcolo vene proposto, n alternatva al metodo classco per l calcolo de Numer della successone d Fbonacc, un algortmo con l quale, tramte l auslo d un altra mportante successone d numer, quella relatva a Numer d Lucas, è possble calcolare l valore esatto d un numero grande d Fbonacc n un tempo molto pù rapdo. Per numer d Fbonacc molto grand compost da mglaa d cfre l tempo d calcolo rsulta essere almeno d 3 volte pù breve. I numer d Fbonacc sono suffcentemente not per cu qu s accennerà solo alla loro defnzone e s llustrerà un algortmo per l calcolo rapdo del loro esatto valore numerco. Per una descrzone dettaglata rguardante la loro mplcazone n numerose e dverse dscplne nteressant sa l campo della scenza o della tecnca o dell economa come pure l campo dell arte s rmanda alla lettura d numeros e nteressant artcol compars su St Internet. I numer d Fbonacc scaturscono da una successone d numer che obbedscono alle seguent regole: partendo da due numer nzal che ndcheremo con F(0) e F(), rspettvamente d valore 0 e l successvo numero d Fbonacc F() è dato dalla somma d F(0) con F( ), coè F() = F(0)+F( ) = 0 += I successv numer s trovano sommando sempre due precedent numer. Pertanto per ess vale la formula seguente: F() = F( ) + F( ) dove con F() s ndca l numero generco d Fbonacc che nella successone occupa l (+)- esmo posto con denomnato ndce del numero. Pertanto la successone generca d numer d Fbonacc può ndcars come segue: F(0) = 0 F() = F() = F(0) + F() = F(3) = F() + F() = F() = F(3) + F() = 3 F() = F(3) + F() = F(6) = F() + F() = 8.. F()=F( ) + F( ) =?... Ora, volendo conoscere l valore numerco d F(), se non s hanno dsponbl per tal numer altre formule rsulta evdente che per trovarlo occorre conoscere e qund calcolare tutt precedent numer d Fbonacc. Questo metodo d procedere rsulta adeguato solo se l valore dell ndce non è molto grande. Ma se l ndce ha valore grande, ad esempo = per trovare F() sarebbe necessaro effettuare.un numero d addzon par a e coè centomla d addzon. Realzzando su un Personal Computer n un qualsas lnguaggo evoluto un semplce programma per l calcolo d F(00000) anche mpegando un PC sofstcato l tempo per effettuare operazon artmetche d addzone non rsulta ndfferente (ved Tabella n fondo all artcolo). Sorge po un altro problema: quanto può essere grande F(00000)? D quante cfre è composto? Per rspondere a questo questo fortunamente la matematca mette a dsposzone la seguente formula per l calcolo del numero d cfre ) ( : F() = + Da tale formula uguaglandola a 0 s può trovare l valore dell esponente da cu s rcava mmedatamente l numero Nc delle cfre component F() come parte ntera d aumentata d s ha pertanto + = 0 da cu = log + log e qund Nc = + Faccamo un esempo propro con =00000: svolgendo calcol relatv con la formula suddetta s trova = Qund 0899 è l numero effettvo d cfre d cu rsulta composto F(00000). () - per l calcolo del numero d cfre che compongono l numero d Fbonacc è lecto trascurare la parte con segno negatvo della formula d Bnet (ved la formula a pag. seguente)

2 Ma pur conoscendo l esatto numero d cfre d F(00000) come è possble calcolare l suo valore esatto dato l enorme numero d cfre mplcate? Dobbamo nevtablmente fare rcorso ad operazon artmetche che elaborano numer molto grand per qual non rsulta pù suffcente l artmetca che normalmente vene messa a dsposzone sul PC dal software utlzzato. S presentano pertanto due problem da rsolvere: l prmo è quello d ruscre a manpolare e potere fare calcol artmetc esatt su numer molto grand; l secondo è quello d poter n qualche modo evtare d effettuare un numero grande d operazon artmetche e coè addzon ad esempo per l calcolo esatto d F(00000) Per evtare d effettuare questo grande numero d addzon s potrebbe pensare d rcorrere alla formula nota n matematca come formula d Bnet [],[], che dà n forma concsa l valore d un qualsas numero d Fbonacc F(): + Sfortunatamente questa formula, nemmeno usando un artmetca a precsone multpla, s presta ad essere utlzzata per l calcolo esatto d F() n quanto, pur prescndendo dal grande numero d elevazone a potenza (dffcoltà questa che s potrebbe faclmente superare) nella formula compare l numero rrazonale, per gunta anche a denomnatore. Per rsolvere l prmo problema come s è accennato, occorre fare rcorso all uso d un artmetca a precsone multpla, messa a dsposzone da specalzzat pacchett software o come s è fatto ne programm realzzat creando opportune struzon nel lnguaggo evoluto utlzzato. Resta da rsolvere l secondo problema. Per esso bsogna fare rcorso all mpego d un altra famosa successone d numer denomnat numer d Lucas prendendo n consderazone partcolar relazon che legano fra d loro numer delle due successon. Questa nuova successone, ndcando con L() l suo generco termne è analoga alla successone d Fbonacc, ma con suo prm due termn avent seguent valor. L(0) = e L() = Anche qu vale la relazone L() = L( ) + L( ) Pertanto prm sette numer della successone d Lucas sono seguent: L(0) = L() = L() = L(0) + L() = 3 L(3) = L() + L() = L() = L(3) + L() = 7 L() = L(3) + L() = L(6) = L() + L() = 8. Come detto sopra, occorre consderare delle pecular relazon esstent fra numer d queste due successon, relazon che s possono trovare n opportun test d matematca [3],[],[]. Da esse s possono ottenere dopo adeguate manpolazon le seguent fnal relazon che nteressano l nostro caso, e che qund prenderemo n consderazone: per un ndce d valore par, posto = : s ha : F() = F() = F() L() (p) L() = L() = L () ( ) (p) per un ndce d valore dspar posto = + s ha : F() = F ( +) = F()L() + L () ( ) (d) L() = L( +) = L () + F() L() ( ) (d) S fa osservare che per un ndce qualsas valor d F() e d L() dpendono solo dall ndce e da valor F() e L() dove rsulta: per par = ; per dspar =

3 Consderamo ora un qualsas ndce : posto n = s costrusca a partre da n una successone d ndc nter d valore numerco decrescente:,,,...,,,..., n n n + 3, tale da rspettare le seguent regole: se l generco ndce è d valore par s pone = se l generco ndce è d valore dspar s pone = S mette n evdenza che tale tpo d successone è lmtata e termna sempre con l valore dell ndce =. log n Essa rsulta composta da un numero d ndc uguale alla parte ntera d aumentata d, dove con log l smbolo d log s ndca l logartmo n base 0. Ad esempo per un ndce = l numero totale degl ndc è 7. Partendo dall ndce = per l quale s ha F ( ) = e L( ) = s possono calcolare n relazone a var ndc della successone valor d F( ) e d L( ) con l mpego delle formule (p),(p), (d), (d) adattate come qu ndcato: per un par F( ) = F( ) L( ) (3p) L( ) = L( ) ( ) (p) per un dspar F( ) = F( ) L( ) + L( ) L( ) = L( ) + F( ) L( ) ( ) ( ) (3d) (d) log s arrverà così a valor cercat d F ( n ) e d L ( n ) con un cclo lmtato d terazon par a n log log n vale a dre al massmo ntero contenuto n log Infatt con valor d F( ) e d L( ), s possono calcolare valor d F( ) e d L( ) dove l'ndce se è par è l doppo dell'ndce, se dspar è l doppo d aumentato d. S arrva così, partendo da valor d F () e d L(), a trovare valor d F ( n ) e d L ( n ) effettuando sulle formule mostrate nel rquadro l lmtato suddetto cclo d terazon. Un semplce esempo charrà quanto detto. S vogla trovare l valore d F() e d L() per un ndce = 73 Innanztutto vedamo d quant valor è composta la successone degl ndc log73 S ha = 6,898. e qund l numero d terazon sarà par a 6 log La successone degl nd tenendo conto delle regole summenzonate sarà po la seguente: 7 = 73 6 = 36 = 8 = 9 3 = = = utlzzando ora le relazon (3p) e (p) se è par e (3d) e (d) se è dspar. s ha : ^ terazone: F() = F() L() = L() = L() (-) =+ = 3 3

4 ^ terazone: 3^ terazone: ^ terazone: ^ terazone: 6^ terazone: F() = F() L() = 3 = 3 L() = L() ( ) = 9 = 7 ) F(9) = F() L() + L() ( = = 68 da cu F(9) = 3 L(9) = L() + F() L() ( = = da cu L(9)=76 ) F(8) = F(9) L(9) = 3 76 = 8 L(8) = L(9) 9 = 76 + = 778 ( ) F(36) = F(8) L(8) = = 9303 L(36) = L(8) 8 = = ( ) F(73) = F(36) L(36) + L(36) da cu F(73) = L(73) = L(36) + F(36) L(36) da cu L(73) = ( ) = = ( ) 36 = = Da una prma anals d tale algortmo potrebbe apparre che esso sa pù complcato e addrttura pù lento ne temp d calcolo rspetto a quello classco che s avvale delle formule rcorsve F() = F( - ) + F(-) per calcolare numer d Fbonacc o L()= L(-) + L( -) per calcolare numer d Lucas In effett, se c s lmta al calcolo de prm numer d queste successon s può realzzare con le suddette formule, mpegandole n modo teratvo, un programma molto semplce e con temp d calcolo per numer d Fbonacc F() (o d Lucas) con ndc non superor a 00 paragonabl a temp d calcolo ottenut con l presente algortmo. Ma se consderamo ndc pù grand ad esempo per > 000 temp d calcolo per trovare l valore del numero d Fbonacc (o d Lucas) con due algortm rsultano consderevolmente dvers. Per confrontare fra loro due algortm, quello classco e quello llustrato n questo artcolo, s sono () approntat sullo stesso PC due programm entramb scrtt nello stesso lnguaggo evoluto (nel nostro caso n Qbasc), ne qual vene utlzzata per le struzon rguardant le operazon artmetche lo stesso tpo d artmetca a precsone multpla, necessara n quanto s voglono avere valor esatt per numer d Fbonacc (o d Lucas ) compost da molte cfre ( anche decne d mglaa). Ebbene, dalla Tabella sotto rportata è evdente la notevole effcenza dell algortmo llustrato rspetto all algortmo classco ne rguard del tempo necessaro per l calcolo del numero d Fbonacc F (). In essa con Tcc s è ndcato l tempo d calcolo relatvo all algortmo classco, con Tcp quello relatvo al presente algortmo., con Nc l numero d cfre che compongono F() o L(). Il tempo d calcolo Tcp è comprensvo anche del calcolo del numero d Lucas L(). F() Tcc Tcp Nc ( second) (second) F(000) F(0000) F(000) F(0000) F(0000) F(0000) F(00000) F(00000) () Non s è rtenuto opportuno rportare lstat de due programm n Qbasc per non appesantre troppo l artcolo

5 CONCLUSIONI Con l algortmo llustrato l tempo d calcolo per trovare, non solo l valore esatto d un numero grande d Fbonacc, ma contemporaneamente anche l analogo numero grande d Lucas, rsulta molto mnore d quello mpegato con l algortmo classco, come s evnce charamente da dat rportat nella Tabella.La dfferenza d temp è faclmente spegable se s consdera che con l algortmo classco per trovare l valore esatto del numero n esame occorre effettuare pedssequamente l calcolo d tutt precedent numer d Fbonacc, mpegando un nseme molto elevato d ccl teratv, mentre con l algortmo llustrato è suffcente, pur con calcol artmetc pù compless n ogn terazone, un numero molto lmtato d ccl. S rporta qu d seguto un esempo d rsultato trovato con l algortmo llustrato: VALORE ESATTO DEL NUMERO DI FIBONACCI F( 00 ) F( 00 ) = F( 00 ) e' composto da 36 cfre

6 VALORE ESATTO del NUMERO d LUCAS (00 ) L( 00 ) = L( 00 ) e' composto da 36 cfre Il tempo totale mpegato per l calcolo d F(00) e d L(00) è rsultato d 0. second RIFERIMENTI [] [] [3] P.Rbenbom, The Boo of Prme Number Records, Ch. - nd ed..sprnger-verlag,989 [] D.M. Bressoud, Factorzaton and Prmalty Testng, Ch. Sprnger -Verlag,989 [] H. Resel, Prme Numbers and Computer Methods for Factorzaton,Ch. - nd ed. Brhäuser 99 6