UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CATANIA. Dipartimento di Scienze MM FF NN. Corso di Laurea di primo livello in Fisica QUINCONCE DI GALTON

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CATANIA Dpartmento d Scenze MM FF NN Corso d Laurea d prmo lvello n Fsca QUINCONCE DI GALTON Dstrbuzon spermental a confronto con dstrbuzon teorche Laboratoro d Fsca I Anno Accademco 004/005 Corsaro Enrco Mara Ncola Matrcola N 665/

2 1 INTRODUZIONE Il termne Qunconce provene dal latno qunque, ovvero cnque: questo perché la macchna è realzzata da fle d pol sfalsate fra loro e dsposte n successone una sotto l altra. Sstemate 3 fle d pol d seguto s può dfatt notare charamente come la dsposzone de pol abba la stessa dsposzone de punt che rappresentano l numero 5 sulla facca d un dado, come mostra la fgura a lato. Il nome agguntvo Galton derva dall nventore della macchna, Sr Francs Galton ( ), l quale, come rportato nella sua stessa opera Natural Inhertance, la utlzzò per mostrare come s potesse generare spermentalmente una curva normale (la curva della dstrbuzone normale). DESCRIZIONE Il macchnaro presente n laboratoro dspone d un numero adeguato d sferette per effettuare lanc (crca 100) ed è prncpalmente costtuto da uno specfco apparato che verrà llustrato d seguto (la fgura n basso a destra non rappresenta la Qunconce d Galton presente n laboratoro e la sua struttura è dfatt un poco dfferente; s tratta pertanto d una fotografa che vuole solo rendere l dea d come s present cò che c s accnge a descrvere). V è un partcolare pano, montato su d una struttura che permette d tenerlo nclnato d un certo angolo (n modo da permettere alle sferette d cadere sotto l effetto della forza d gravtà), e n cu sono opportunamente dsposte 41 rghe d pol n accao, sfalsate fra loro come detto n precedenza secondo l prncpo della qunconce. Il pano è coperto da una lastra d vetro che presenta 5 for, applcat a dstanze regolar d 6 rghe l uno dall altro (rspettvamente partendo dal basso: 9, 15, 1, 7, 33 rghe) n cu nserre le sferette per var lanc. Nella parte sommtale trovamo un serbatoo a forma d mbuto (fgura n basso), graze al quale è possble nserre sferette ed esegure così lanc da un altezza d 41 rghe (al suo nterno trovamo oltretutto una manopola tramte la quale s fa grare una ruota con delle ncavature e che permette d ntervallare temp d caduta delle sngole pallne n modo da evtare possbl urt fra due o pù d esse durante la caduta). La struttura, noltre, consderata la sua altezza, presenta due scaln per permettere a ch esegue l espermento d poter accedere al serbatoo per depostarv le pallne. La parte termnale del pano è costtuta nvece da 36 vaschette (fgura n basso), ognuna delle qual è poco pù larga del dametro d una sngola sferetta, atte a contenere le pallne una volta completato l loro percorso tra le rghe sfalsate d pol. La base del pano è tenuta chusa da una sorta d copercho, che mpedsce così alle pallne d cadere. Ogn qual volta s vuole rpetere un lanco, è possble aprre l copercho (che funge da guda) e scarcare le pallne n un contentore apposto e fornto con lo stesso apparato.

3 3 TEORIA La teora c dce che la dstrbuzone ottenuta spermentalmente deve n un certo qual modo approssmars l pù possble alla DISTRIBUZIONE TEORICA che meglo verfca le potes che s presentano nell espermento svolto DISTRIBUZIONE BINOMIALE La funzone (3.1.1) che genera tale dstrbuzone è la funzone B, n cu n rappresenta l numero d event; k dell ntervallo [0, n] è l numero d volte che una pallna cade a destra dopo l urto con un polo e vara ogn qual volta s calcola l valore d un caso; p è la probabltà che s verfch un evento; q = 1 p charamente è la probabltà nversa. B n p k k k q n ( ;, ) = (3.1.1) k n p E da tener presente qund che, pù dat acqust n laboratoro sono effett da error (ad esempo a causa del fatto che nella Qunconce pol possano non essere esattamente perpendcolar al pano, o che l pano stesso present una superfce non regolare; tutte anomale che possono far varare la probabltà per una pallna d cadere a destra dopo l urto con un polo) pù la dstrbuzone spermentale rsulterà lontana da quella teorca, ma questo aspetto verrà approfondto successvamente, nel paragrafo 10. Esstono noltre altre due dstrbuzon teorche, che partcolarzzano cas general della bnomale. S tratta della dstrbuzone d GAUSS (o legge normale), generata dalla funzone G (3..1), e della dstrbuzone d POISSON, generata dalla funzone P (3.3.1). Può accadere dfatt che una dstrbuzone spermentale s approssm meglo, per qualche partcolare motvo, ad una delle due sopractate, e non alla bnomale. Vedamo rapdamente d descrverle e d spegare termn n esse convolte DISTRIBUZIONE DI GAUSS Tale dstrbuzone è soltamente utlzzata per event l cu numero è 1 h = consderevolmente grande (N >100). σ V compare la costante h, detta modulo d precsone par all espressone rportata a fanco, dove σ è la devazone standard. Z è nvece l errore accdentale che vara al varare dell ndce k e µ è l cosddetto valore medo par al prodotto fra n (numero event) e p (probabltà che s verfch un evento). La funzone rsulterà pertanto massma per z = 0, ovvero k = µ, e mnma per z ±, ovvero per k ±. z = k µ G( z; h) h h z = e (3..1) π DISTRIBUZIONE DI POISSON Questa partcolare dstrbuzone è prevalentemente utlzzata per event rar (qual ad esempo l decadmento radoattvo), event coè le cu probabltà che s verfchno sono molto pccole ed n numero puttosto grande. 3

4 P( k; µ ) k µ = (3.3.1) µ e k! Tenamo presente però, che le funzon qu ctate sono rportate nel caso generale, non specfche qund per le dstrbuzon spermental ottenute dalla prova n laboratoro. Pù avant, nel paragrafo 9, vedremo come adattarle, sfruttando de valor spermental che c rcaveremo, n modo da poterne fare un confronto effettvo con le dstrbuzon spermental. 4 - SCOPO DELL ESPERIMENTO Scopo dell espermento è scuramente la rcerca d un confronto tra le prevson teorche e le dstrbuzon spermental, n modo tale da poter realzzare delle consderazon sullo stato dell apparato utlzzato, avendo così l opportuntà d poter lavorare drettamente, tramte un nteressante espermento, d semplce attuazone, con la teora delle probabltà. C s potrebbe chedere ad esempo perché alcune vaschette presentno comunque un numero maggore d sferette rspetto ad altre, e perché questo numero dmnusca man mano che c s allontana dal punto centrale corrspondente al punto n cu s effettuano lanc. S vuol provare pertanto come una DISTRIBUZIONE SPERIMENTALE, che ben gustfca le precedent domande rspondendo alle legg statstche, sa tanto pù confrontable con una corrspettva DISTRIBUZIONE TEORICA (che rcordamo può essere Bnomale, d Gauss o d Posson) tanto pù l apparato utlzzato sa prvo d anomale. Le grandezze msurate drettamente n laboratoro sono comunque ben poche, ovvero l conteggo delle sferette relatve agl ndc d colonna e l numero d rghe d pol per cu s è effettuato l lanco. Ulteror, ma non essenzal a fn dell espermento, sono dat relatv a lunghezze percorse dalle sfere e temp mpegat dalle stesse, durante la caduta, al fne d poterne calcolare la veloctà meda. 5 SVOLGERE L ESPERIMENTO L esecuzone dell espermento è puttosto semplce. S nsersce un numero determnato d sferette d accao n uno de for present sulla lastra d vetro (od eventualmente nel serbatoo) n modo da effettuare l lanco a partre da una certa altezza. S tenga presente che le sferette vanno nserte ad ntervall regolar ed opportun (per esempo d un pao d second l una dall altra) n modo tale da evtare che possano urtars fra loro durante la caduta: se cò dovesse accadere s comprometterebbe dfatt l rsultato dell esperenza poché s varerebbe così la reale probabltà per una sngola pallna d cadere a destra o a snstra dopo l urto con un polo. S completa l lanco d tutte le sferette attendendo che tutte gungano alle loro locazon nella parte termnale del pano. S procede n tal modo ad effettuare l loro conteggo rferto alle sngole colonne n cu esse s sono depostate (tal sferette durante la caduta seguono l andamento casuale dato dagl urt con pol delle rghe sfalsate). 4

5 Dopo aver appuntato dat relatv al numero d sferette per ogn locazone e al numero d rghe d rfermento per l altezza da cu s è effettuato l lanco, s può procedere a rmuovere l copercho sottostante la parte termnale del pano e svuotare così tutte le locazon. Fatto cò, s può eventualmente esegure un nuovo lanco, o dalla stessa altezza (rferta sempre al numero rghe) n modo da poter n caso sommare le dstrbuzon ottenute n pù lanc, oppure da dfferent altezze. Per rlevare nvece temp e lunghezze delle sferette n caduta s è proceduto nel seguente modo: S msurano prma d tutto le dstanze percorse dalle sferette n caduta (s è consderata tale dstanza come lo spazo percorso dalla sferetta dal punto n cu vene lancata - bordo nferore del foro n cu vene nserta la sferetta - alla parte fnale dell ultma rga d pol, ovvero prma dell nzo delle celle d ncanalamento). Presa una sferetta, la s lasca cadere e se ne msura l tempo d caduta da punt d nzo e fne percorso descrtt come prma. Andranno comunque pres pù temp, per poter fare de calcol pù attendbl. L operazone va rpetuta per ogn altezza scelta da cu s è effettuato l lanco della sferetta. 6 STRUMENTI Gl strument utlzzat, per acqusre dat n laboratoro, sono: Il metro Sensbltà d lettura Sensbltà d msura m m Il cronometro manuale Sensbltà d lettura Sensbltà d msura 0.01 s s 7 ORGANIZZAZZIONE E essenzale a fn dell espermento, effettuare un conteggo precso d tutte le sferette cadute n un lanco, relatve ad ogn sngola locazone. I dat vanno charamente sstemat n una opportuna tabella n cu vene rspettato l ordne, partendo dalla prma locazone da snstra verso destra o dalla prma locazone da destra verso snstra. E noltre consglable sommare sngol contegg per vedere se l numero totale d sferette contate corrsponde al numero d sferette lancate. E consglato oltretutto, per esegure dstrbuzon con numer pù elevat d sferette, effettuare pù lanc da massmo 100 sferette cascuno, n modo da evtare che tal pallne possano fuoruscre da una locazone perché n soprannumero. Bsogna nfne rferre lanc effettuat al numero d rghe d pol ncontrate dalle sferette n caduta (da ntenders come numero d event che s sono verfcat), e cò è fondamentale, come precedentemente accennato, poché rspetto a tale ndce verranno calcolat l valor medo e d seguto le dstrbuzon teorche (bnomale, d Gauss, d Posson). 5

6 8 DATI I dat delle msure drette effettuate n laboratoro, sono mostrat qu d seguto. 8.1 CONTEGGI SFERETTE Sono state esegute tre dverse dstrbuzon, rspettvamente per n = 9 Rghe, n = 1 Rghe e n = 33 Rghe, ognuna delle qual con un totale d 500 sferette lancate e qund d 5 lanc da 100 sferette cascuna drettamente sommat. Nella Tabella 1 seguente, possamo trovare, relatvamente alle tre dstrbuzon, gl ndc d colonna x, contegg n delle sferette v present e gl ndc u n banco nella colonna verde (che sono dat effettvamente acqust n laboratoro) ed n aggunta gl ndc d restrzone k, l cu sgnfcato sarà spegato n seguto. Tabella 1 9 Rghe 1 Rghe 33 Rghe u x k n k n k n TOTALI n = 500 n = 500 n = 500 = 1 = 1 = 1 6

7 Nota: da consderare comunque che valor sono stat rportat nell ordne crescente delle colonne da snstra verso destra all aumentare dell ndce. Gl n evdenzat con sfondo grgo, rappresentano le restrzon applcate. 8. TEMPI E LUNGHEZZE S è rtenuto nteressante, n aggunta, msurare le tre dstanze s tra la parte fnale d ogn foro e la parte fnale dell ultma rga d pol n basso (Tabella ) per mezzo del metro presente n laboratoro. Sono stat noltre pres, con l cronometro manuale, 5 temp t per ogn lunghezza, rportat n ordne cronologco come n Tabella 3. Tabella s 9 Rghe ± m 1 Rghe ± m 33 Rghe ± m Tabella 3 9 Rghe 1 Rghe 33 Rghe t t t 1.05 ± s 5.19 ± s 8.10 ± s.0 ± s 5.33 ± s 7.68 ± s 3.3 ± s 4.56 ± s 7.93 ± s 4.44 ± s 5.30 ± s 7.61 ± s 5.18 ± s 4.87 ± s 7.83 ± s Quest dat verranno dscuss successvamente nel paragrafo RISULTATI Per ogn dstrbuzone, sono stat calcolat relatv valor della x (meda artmetca), della s²(x) (varanza spermentale) e corrspettv valor delle tre funzon delle dstrbuzon teorche, ovvero Bnomale, d Gauss e d Posson. Nota: prestamo molta attenzone però al calcolo de valor elencat, poché lanc effettuat dalle altezze n = 9 Rghe, n = 1 Rghe, n = 33 Rghe, rappresentano delle restrzon della Qunconce e qund non opereremo sul totale delle locazon d cu la macchna dspone (36), ma sulle n+1 locazon sottostant la zona centrale, d cu (n+1)/ sono dsposte alla snstra del punto d mezzo ed (n+1)/ alla destra (un esempo llustratvo per n = 9 Rghe è mostrato qu affanco). Pertanto gl ndc k, d cu tratteremo, saranno corrspondent delle locazon l cu numero è relatvo alle restrzon effettuate (ved Tabella 1). E bene precsare, dunque, che calcol che verranno qu d seguto affrontat, comprese le stesse funzon per le dstrbuzon teorche, saranno relatv alle restrzon fatte n base al numero d rghe consderate e che pertanto valor estern a tal restrzon saranno automatcamente null, poché è nulla la probabltà teorca che delle sferette cadano oltre margn prevst. 7

8 Analzzamo rapdamente sgnfcat de prm due termn x MEDIA ARITMETICA SPERIMENTALE La x è nota come meda artmetca spermentale, ovvero la mglor approssmazone del valor medo teorco µ (calcolato come prodotto fra n, numero d fle d pol, e p, µ = np probabltà per la sferetta d cadere a destra all ncontro con un polo), ed è rcavata dalla formula (9.1.1), dove n è l numero d pallne present nella -esma locazone e k rappresenta l corrspondente ndce (l ndce della locazone -esma) rferto però alla restrzone come spegato n precedenza. x C n k = (9.1.1) N eff. L ndce, qund, è un numero ntero cu valor sono compres n opportun ntervall (estrem nclus), rportat nella Tabella 4. Tabella 4 N eff. 9 Rghe Rghe Rghe Il termne N, a questo punto, non è pù l numero totale d pallne lancate (500 nel nostro caso) ma l numero totale d pallne present nelle locazon d nostro nteresse, ovvero l N effettvo. Come mostra la tabella, ne due ultm cas questo N concde al totale d pallne effettvamente lancate (qund non avremo problem né consderazon ulteror da porre), ma se consderamo l caso n = 9 Rghe, vedamo che 11 sferette sul totale sono uscte fuor da margn prevst e pertanto (pur charamente non elmnandole dalla dstrbuzone spermentale e qund dalla vsualzzazone grafca) non le terremo n consderazone per l calcolo della x e d seguto della s²(x) e delle stesse dstrbuzon teorche. Nel caso n = 9 Rghe l numero totale d sferette che è fuoruscto da margn prevst dalla teora è par al. % del totale d sferette lancate, una percentuale comunque trascurable s²(x) VARIANZA SPERIMENTALE La s²(x), ovvero la varanza spermentale, è la mglore approssmazone della σ² (la varanza teorca, ottenuta dal prodotto fra n, numero d fle d pol, p probabltà per una sferetta d cadere a destra all ncontro con un polo e q, probabltà nversa) ed è σ = npq calcolata tramte la formula (9..1). s C 1 ( x) = n ( k x) (9..1) N 1 eff. 8

9 Trovamo, trattandos d una varanza, gl scart dalla meda al quadrato, dat dal termne (k - x )² e n, lo stesso utlzzato per l calcolo della meda artmetca. In questo caso però precsamo che la dvsone totale vene effettuata per N effettvo 1 oggett, anzché N effettvo, poché n essa ncludamo la meda artmetca, un valore che deve essere sottratto al numero totale d oggett utlzzat. Tale valore, nseme a quello della meda artmetca, verrà utlzzato nel calcolo delle funzon per le prevson teorche. Rcordamo ancora una volta che anche n questo caso è essenzale consderare le opportune restrzon. Nella Tabella 5 trovamo per l appunto valor sopra ctat calcolat per le tre dstrbuzon, opportunamente approssmat alla seconda cfra decmale. S possono anche vedere valor della meda teorca µ e della varanza teorca σ², n modo anche da poterne fare un confronto dretto con rsultat spermental. Tabella 5 µ x σ ( x) s 9 Rghe Rghe Rghe Possamo vsvamente constatare come x e s²(x) varno consderevolmente al varare dell altezza scelta per lanc o per meglo dre, sano funzon del percorso delle sferette. S nota noltre come valor della varanza spermentale sano puttosto dfferent da quell della varanza teorca. Cò può essere dovuto al fatto che l apparato utlzzato present numerose, se pur pccole, anomale, che contrbuscono ad alterare le condzon che descrvono l sstema (come precedentemente accennato nel paragrafo 3.1), ma questo aspetto verrà comunque approfondto successvamente nel paragrafo 11 n cu s passerà ad un anals crtca de rsultat ottenut da test. 9.3 APPROSSIMAZIONI E d obblgo fare alcune consderazon sul perché del numero d cfre decmal scelte per approssmare valor. Per questo partcolare espermento, dat drett che possamo prendere n laboratoro, e fondamental a fn dell elaborazone (non parlamo dunque d temp e lunghezze), non sono pres con alcuno strumento, né presentano ncertezza, sono dfatt semplc contegg d numer nter. I calcol relatv a tal valor qund non c dcono nulla sul numero d cfre decmal da tenere n consderazone e pertanto tutto è a dscrezone d ch effettua calcol. S è solt, anche tenendo conto della tabella seguente, per elaborazon relatve alle esperenze da laboratoro, prendere generalmente n consderazone la prma o le prme due cfre decmal, a seconda del numero d oggett convolt. N % Cfre decmal Nel nostro caso, essendo N par a 500, e qund puttosto grande, è del tutto lecto consderare le prme due cfre decmal. 9

10 S sarebbe potuto al lmte tener presente la terza cfra decmale, vsto la quanttà d oggett, ma la percentuale d nteresse sarebbe rdotta a tal punto che s potrebbe perfettamente non consderarla senza arrecare alcun danno (notamo che tale percentuale è gà bassa nel caso d cfre decmal). Consderamo adesso le funzon precedentemente descrtte nel paragrafo 3 e vedamo come calcolare valor delle tre possbl prevson teorche, adattandole all esperenza n questone, anche tenendo conto delle complcanze d cu s è accennato CALCOLO DELLA DISTRIBUZIONE BINOMIALE Per la funzone bnomale l termne n rappresenta adesso l numero d fle d pol ncontrate (per la Qunconce presente n laboratoro possbl valor d n sono 9, 15, 1, 7, 33, 41; nel nostro caso c rferremo solo a n = 9 Rghe, n = 1 Rghe e n = 33 Rghe). L ndce k sarà anche qu un numero ntero dell ntervallo [0, n] e sarà per l appunto l ndce d restrzone; p è nvece la probabltà per la sferetta d cadere a destra (o a snstra) dopo l urto con ogn polo ed è uguale, nelle mglor potes, ad ½, mentre q è la probabltà d non cadere a destra (o a snstra) dopo l urto con ogn polo. Essendo noltre p = q = ½ (e qund stessa base per gl esponent) possamo rdurre la formula nella forma della (9.4.1) rendendo così calcol pù semplc. 1 n B( k; n, ) 1 = (9.4.1) k n Nota: analzzamo n manera pù approfondta l perché delle restrzon consderate. Se ad esempo l buco scelto per effettuare lanc è quello corrspondente ad n = 9 Rghe (ved Tabella 1), la funzone che genera la dstrbuzone bnomale (n base al coeffcente bnomale) prevedrà la caduta delle sferette solo ed esclusvamente nelle n + 1 locazon cu ndc vanno da k 14 a k 3. Tutt cas che eccedono tal locazon, hanno probabltà nulla d successo. Pertanto gl ndc k vareranno, nel caso dell esempo con n = 9 Rghe, da k 14 = 0 = u 14 a k 3 = 9 = u 3, come mostrato nell mmagne soprastante (puramente llustratva). Questo fatto s spega con semplctà guardando la fgura a lato, rappresentante una porzone del pano con una pallna n caduta dall n-esma rga. Per quanto gà detto, la pallna, qu colorata n gallo, ad ogn urto con un polo, ha n teora par probabltà d cadere o alla sua destra o alla sua snstra (nell esempo l suo percorso corretto è ndcato dalla frecca verde), ma è charo che essa NON può, almeno secondo la teora, saltare due pol d fla e cadere così, come nell esempo, alla snstra d un polo che non avrebbe dovuto far parte del suo percorso. Cò dfatt è prvo d senso dal punto d vsta teorco, perché questa possbltà d salto (ndcata dalla frecca rossa) non fa parte delle probabltà del tpo d evento n goco (l urto con un polo). Spermentalmente nvece questo può avvenre (ad esempo a causa del fatto che l dametro della sferetta è puttosto pccolo ed pol sono molto vcn fra loro) e dfatt lo s può rscontrare da dat relatv ad n = 9 Rghe, n cu 11 sferette hanno fatto uno o addrttura due salt d troppo. 10

11 In ogn caso, la stessa consderazone è da fare per l calcolo delle altre due funzon (d Gauss e d Posson), poché anch esse prevedranno, come nel caso della bnomale, che le sferette cadano nelle n+1 locazon d rfermento e consdereremo dunque null valor d tal funzon per gl ndc d colonna che eccedono margn della restrzone CALCOLO DELLA DISTRIBUZIONE DI GAUSS Per la funzone che c permette d ottenere la dstrbuzone normale (9.5.1), è necessaro sostture la varanza teorca σ² con quella spermentale s²(x) ed l termne z² con gl scart al quadrato, calcolat dagl ndc d restrzone k rspetto alla meda spermentale x. G( k ) = 1 e π s( x) ( k x) s ( x) (9.5.1) 9.6 CALCOLO DELLA DISTRIBUZIONE DI POISSON Infne, per la funzone che genera la dstrbuzone d Posson (9.6.1), tenamo presente che bsogna sostture al valor medo teorco µ la meda artmetca x come sua mglor approssmazone, e rferre, ancora una volta, calcol all ndce k relatvo alla restrzone. P( k ; x) k x x e = (9.6.1) k! Nota: rsultat delle funzon così calcolate, ovvero le dstrbuzon contnue, non sono ancora confrontabl con contegg delle sferette, che rappresentano nvece dstrbuzon dscrete. Per far cò, anche al fne d poter vsualzzare grafc che rendono meglo l dea d come la dstrbuzone s present rspetto al numero d pallne (tenendo conto oltretutto che dat pres n laboratoro sono propro contegg delle pallne), basta moltplcare ogn valore delle funzon così calcolate per l numero totale N d sferette usate (nel nostro caso 500). S sarebbe potuto, altrment, dvdere ogn conteggo n della dstrbuzone spermentale per l numero totale d pallne, rendendola così anch essa contnua e pertanto confrontable drettamente con le funzon delle prevson teorche; questo però non c permetterebbe d vsualzzare grafcamente l andamento della dstrbuzone rferto al numero d pallne. Nella Tabella 6 seguente, sono rportat n corrspondenza de contegg n esegut n laboratoro, relatv valor delle tre funzon gà moltplcate per l numero totale N d sferette lancate (l apce d ndca pertanto che s tratta d dstrbuzon dscrete). 11

12 Tabella 6 9 Rghe 1 Rghe 33 Rghe n B 1 ( x ) G 1 ( ) P 1 ( ) n B ( ) G ( ) P ( ) n B 3 ( ) 3 ( ) P 3 ( 1 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,01 0, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,03 0, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,08 0, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,18 0, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,39 0, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0,01 0,79 0, ,00 0,00 0,00 1 0,00 0,47 0,0 0 0,06 1,5 0, ,00 0,00 0,00 3 0,00 1,15 0,16 0 0,5,78 1, ,00 0,00 0,00 0 0,05,55 0,83 3 0,81 4,78 3, ,00 0,00 0,00 6 0,3 5,18,89 16,4 7,77 6,91 1 0,00 0,00 0,00 9 1,4 9,60 7,50 8 5,39 11,9 11, ,00 0,00 0, ,84 16,8 15, ,7 17,6 18, ,98 8,66 7,17 0 1,91 5,4 6,95 1 0,65 3,61 5, ,79 4,4 30,4 37 7,67 35,77 39, ,36 30,50 33, ,16 5,3 64, ,43 46,33 51, ,66 37,19 40, ,03 84,68 91, ,96 54,86 59, ,37 4,8 45, ,05 104,09 96, ,95 59,38 6, ,9 46,56 48, ,05 97,00 8, ,95 58,75 58, ,9 47,79 48, ,03 68,54 58, ,96 53,14 50, ,37 46,3 45, ,16 36,71 35, ,43 43,94 40, ,66 4,39 40, ,79 14,91 18,75 7,67 33,1 30, ,36 36,63 34, ,98 4,59 8,85 6 1,91,95 0,79 4 0,65 9,89 7, ,00 0,00 0,00 1 4,84 14,49 13, ,7 3,0 1, ,00 0,00 0,00 7 1,4 8,37 8,4 14 5,39 16,75 15, ,00 0,00 0,00 7 0,3 4,4 4,75 1,4 11,50 11, ,00 0,00 0,00 0,05,13, ,81 7,46 7, ,00 0,00 0,00 0,00 0,94 1,35 3 0,5 4,57 4, ,00 0,00 0,00 1 0,00 0,38 0,67 4 0,06,64 3, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,01 1,44 1, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 1 0,00 0,74 1, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,36 0, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,17 0, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,07 0, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,03 0, ,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 G ) 9.7 GRAFICI Calcolate così le tre funzon per tutt gl ndc d colonna x s procede alla realzzazone de grafc. Per ogn altezza scelta da cu s sono effettuat lanc, ne sono stat realzzat due: l prmo grafco rappresenta la dstrbuzone spermentale e le tre dstrbuzon teorche sotto forma d stogramma; l secondo nvece presenta le tre dstrbuzon teorche come curve contnue, sovrapposte all stogramma della sngola dstrbuzone spermentale. In tal modo è possble avere un dea d nseme pù completa e poter anche vsvamente constatare quale delle tre dstrbuzon teorche pù s avvcna a quella spermentale. In ordnate è stato rportato charamente l N d pallne (essendo la varable dpendente) e n ascsse nvece gl ndc d colonna, ovvero la varable ndpendente. 1

13 1 Grafco della dstrbuzone spermentale e delle tre dstrbuzon teorche per n = 9 Rghe 13

14 Grafco della dstrbuzone spermentale e delle tre dstrbuzon teorche per n = 9 Rghe 14

15 1 Grafco della dstrbuzone spermentale e delle tre dstrbuzon teorche per n = 1 Rghe 15

16 Grafco della dstrbuzone spermentale e delle tre dstrbuzon teorche per n = 1 Rghe 16

17 1 Grafco della dstrbuzone spermentale e delle tre dstrbuzon teorche per n = 33 Rghe 17

18 Grafco della dstrbuzone spermentale e delle tre dstrbuzon teorche per n = 33 Rghe 18

19 9.8 VELOCITA MEDIA Al fne d poter fare una consderazone sull effettvo moto delle sferette n caduta (esse accelerano dopo l urto con ogn polo e s fermano d seguto nell urto con l polo successvo), dat relatv a temp e lunghezze, rportat nel paragrafo 8. sono stat utl per l calcolo d tre veloctà mede, rcavate dalla meda de 5 temp, per ogn buco scelto. S aggunga noltre che le lunghezze calcolate sono relatve ad una dstanza rettlnea, mentre s ntusce che le pallne seguranno un percorso a zg-zag, l quale potrebbe addrttura avere lunghezza doppa rspetto alle effettve lunghezze msurate n laboratoro. Ad ogn modo poché lunghezze drette e percors rregolar a zg-zag sono pressoché proporzonal, rsultat ottenut c permetteranno d effettuare delle concluson valde ed estendbl pertanto a qualsas tpo d percorso la sngola sferetta possa compere all nterno della Qunconce. Per poter stablre l numero d cfre decmal da tenere n consderazone, s è applcata la propagazone degl error per la veloctà meda (la cu funzone è data charamente come rapporto fra lunghezza e tempo). v γ s v t γv = + γ s t S calcola così l errore totale γ della veloctà meda, secondo la formula qu presente. Gl error total γ s e γ t relatv rspettvamente alle lunghezze e a temp, n questo caso concdono l prmo con la sensbltà d msura del metro, ed l secondo alla somma quadratca d errore massmo a pror del cronometro manuale ed errore accdentale, calcolato charamente come devazone standard de valor present. Nella Tabella 7 seguente trovamo gl error total sulle veloctà mede e valor corrett delle veloctà mede. Tabella 7 γ v v 9 Rghe m/s ± m/s 1 Rghe m/s ± m/s 33 Rghe m/s ± 0.00 m/s S può notare dfatt come valor corrett delle veloctà mede sano pressoché costant anche al varare dell altezza scelta e pertanto s può affermare che la veloctà meda non vara al varare della lunghezza del percorso computo dalle sferette CONFRONTO CON LA TEORIA In questo paragrafo s passerà all anals de dat calcolat, per mezzo d alcun nteressant test, cu rsultat c permetteranno d stablre lo stato dell apparato utlzzato e d fare pertanto delle consderazon sull espermento stesso TEST DI ASIMMETRIA β per la dstrbuzone normale 1 S tratta d un test relatvo alla sola dstrbuzone d Gauss e pertanto l apce G vuol rcordare che c s sta rferendo a tale dstrbuzone. Nella formula (10.1.1) v compare l ndce d restrzone k, s³(x) e l termne n + 1, dove n corrsponde al numero d rghe d pol ncontrate (ovvero ne cas analzzat, n = 9, n = 1 e n = 33). 19

20 C 3 ( k x) G β 1 = (10.1.1) 3 ( n + 1) s ( x) S lavora pertanto con una potenza dspar, che sa dversa da 1. In tal modo possbl rsultat potranno essere sa negatv che postv. S tenga presente che anche n questo caso le somme vanno effettuate per opportun ntervall dell ndce, gà rportat n precedenza nella Tabella 4. Per una perfetta smmetra l rsultato del test darà l valore 0; nel caso n cu s present asmmetra a snstra l valore sarà mnore d 0; se s ha asmmetra a destra nvece l valore sarà maggore d 0. I valor relatv a tale test sono present nella Tabella 8. Tabella 8 β G 1 9 Rghe Rghe Rghe TEST DI SCHIACCIAMENTO β per la dstrbuzone normale Anche n questo caso s tratta d un test relatvo alla sola dstrbuzone d Gauss. I termn convolt sono gl stess de precedent, solo che n questo caso, s lavora con la quarta potenza ed rsultat pertanto non potranno che essere postv. C 4 ( k x) G β = (10..1) 4 ( n + 1) s ( x) Se l valore del test è par a 3 s ha una dstrbuzone normale; se tale valore è mnore d 3 la dstrbuzone sarà pù schaccata rspetto a quella normale; se nvece tale valore è maggore d 3 allora s avrà una dstrbuzone pù alta. La Tabella 9 rporta rsultat del test. Tabella 9 β G 9 Rghe Rghe Rghe

21 TEST χ applcato alle dstrbuzon d frequenza Questo test, a dfferenza de due precedent, può essere applcato a tutte e tre le dstrbuzon teorche calcolate. Ha una notevole mportanza per l anals crtca de rsultat, poché c permette d stablre l grado d attendbltà de dat acqust n laboratoro e pertanto tramte esso è possble valutare quanto prossme alla teora sano le nostre dstrbuzon spermental. Nella formula (10.3.1) trovamo, al numeratore, la dfferenza tra valor della dstrbuzone spermentale e valor delle dstrbuzon teorche ndcat con l apce d, per rcordare che s tratta d dstrbuzon a valor dscret, confrontabl per l appunto con valor spermental. = C d ( n f ) χ (10.3.1) d f I valor del test sono compres nell ntervallo [0, + [ e pertanto l attendbltà de dat sarà tanto maggore quanto pù pccol sono tal valor. Anche n questo caso s dovranno consderare le restrzon e pertanto l ndce varerà ancora una volta secondo gl ntervall rportat n Tabella 4. Nella Tabella 10 seguente trovamo rsultat del test. Tabella 10 χ B χ G χ P 9 Rghe Rghe Rghe ANALISI CRITICA DEI RISULTATI Avendo così calcolato valor de test affrontat nel paragrafo precedente, s possono effettuare delle consderazon sullo stato dell apparato utlzzato. Dal test d asmmetra (Tabella 8) notamo che per n = 9 Rghe e per n = 1 Rghe, s ha un asmmetra (se pur pccola) a snstra del valor medo, mentre per l caso n = 33 Rghe s ha un asmmetra (pù evdente) a destra del valor medo. Nel test d schaccamento nvece (Tabella 9), s può vedere come tutte le dstrbuzon rsultno pù alte rspetto a quella teorca, n partcolare la terza (n = 33 Rghe). S nota dfatt l aumentare de valor de test all aumentare del numero d rghe d pol ncontrate dalle sferette durante la caduta. Questo c conduce a rtenere che l apparato present un consderevole numero d anomale e charamente, con un allungamento del percorso delle sferette, le anomale ncontrate saranno n numero sempre maggore. Tal rregolartà, cercando d potzzare n manera logca, potrebbero essere dovute prncpalmente alla poszone non ortogonale de pol rspetto al pano (n tal modo s vara appunto la probabltà per una sferetta d cadere a destra o a snstra dopo l urto con l polo stesso) oppure a causa del fatto che la superfce stessa del pano present possbl avvallament o cunette che dsturbno l percorso delle sferette o per d pù che l pano stesso non sa per l appunto una 1

22 superfce pana ma sa deformato. S not comunque che tal mperfezon erano gà vsbl da valor delle varanze spermental, alquanto dfferent da valor delle varanze teorche e, anche n questo caso, sempre pù evdent all aumentare dell altezza scelta per effettuare lanc. Per quanto concerne l test del χ² (Tabella 10), s vede come la dstrbuzone bnomale sa la meno confrontable con quella spermentale n tutt e tre cas. La dstrbuzone d Posson (nel prmo caso) e quella d Gauss n partcolare per tutt e tre cas, sembrano nvece approssmars meglo alle dstrbuzon spermental e dfatt cò è dovuto al fatto che, essendo la gaussana la dstrbuzone degl error accdental, tal dstrbuzon sono propro affette da error d tpo accdentale. Rsulta comunque charo che l grado d attendbltà delle dstrbuzon spermental n questone non è comunque ottmale, se rferto al prmo caso con n = 9 Rghe, ed è addrttura puttosto scadente per gl ultm due cas. Cò è certamente gustfcable consderando che l apparato, come ogn altro, è soggetto all usura del tempo e soprattutto degl spermentator stess. Bsogna nfne puntualzzare che per questa partcolare esperenza, dsaccord, che emergono da calcol fatt, non sono mputabl a ch esegue l espermento, ma sono causat drettamente dallo stesso apparato utlzzato. E dfatt essenzale per la Qunconce d Galton, a fn dell attendbltà de rsultat, che l macchnaro sa n condzon ottmal e tal condzon non s sono presentate ne cas analzzat. 1 - COME RIFARE L ESPERIMENTO Per possbl future prove spermental rsulterebbe nteressante effettuare una prma sere d 10 lanc da un altezza fssata e confrontarla con una seconda sere d 5 lanc dalla stessa altezza, e constatare se effettvamente, aumentando l numero d lanc, e d conseguenza l numero d sferette convolte, s ottengano rsultat pù vcn a quell teorc. S potrebbe oltretutto realzzare una sngola dstrbuzone (fssata un altezza n rghe da cu effettuare lanc) varando però l angolo d nclnazone del supporto che regge l pano per ogn sere d lanc effettuata. In tal modo s potrebbe verfcare se la dstrbuzone rsult n un certo qual modo dsturbata dalla varazone dell angolo d nclnazone (anche se cò non dovrebbe avvenre) e s potrebbero così fare delle concluson pù dettaglate sullo stato dell apparato utlzzato (soprattutto concernent test d asmmetra). 13 CONCLUSIONI Possamo dunque affermare da quanto è stato calcolato che lo stato dell apparato utlzzato non sa buono e che n base a rsultat ottenut da test s trov n generale dsaccordo con valor delle dstrbuzon teorche. Pertanto l confronto fra dstrbuzon teorche e dstrbuzon spermental non ha avuto degl est ottmal. L esperenza è stata n ogn caso molto nteressante ed effcace poché, pur essendo d semplce attuazone, permette d lavorare drettamente con le legg statstche. Data dell esperenza: 14/07/005

23 BIBLIOGRAFIA Test: A. Fot, C. Ganno Element d anals de dat spermental, Lguor Edtore, Napol, F. Lello, M. Sever Gornale d Fsca, Vol. XIX, Roma, St Internet d rfermento: Macchna d Galton 3