Dinamica del corpo rigido

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1 Anna Nobl 1 Defnzone e grad d lbertà S consder un corpo d massa totale M formato da N partcelle cascuna d massa m, = 1,..., N. Il corpo s dce rgdo se le dstanze mutue tra tutte le partcelle che lo compongono sono fsse. Per semplctà c rferamo a corp rgd format da un numero fnto d partcelle dscrete, eseguendo sommatore sull ndce = 1,..., N. Per corp rgd contnu la sommatora verrà sosttuta da opportun ntegral. N partcelle ndpendent n R 3 hanno 3N grad d lbertà dato che occorrono 3 coordnate per ndvduare unvocamente la poszone d ogn partcella n R 3. Se però ognuna d esse è vncolata rgdamente a tutte le altre, la poszone del corpo rgdo è fssata quando sano fssat 3 suo punt purché non allneat: fssat 3 punt non allneat l corpo non ha pù alcuna possbltà d muovers e ogn altro suo punto è fssato rspetto a 3 dat. S parla d trangolazone. Ad esempo, la poszone d un punto sulla superfce della Terra è determnata col metodo GPS (Global Postonng System) rspetto a 3 satellt del sstema GPS la cu poszone è msurata stante per stante con metod d nsegumento da apposte stazon d Terra. Se nel punto d nteresse s trova un rcevtore GPS, dal segnale de 3 satellt che fornscono la propra poszone esso può calcolare la poszone sulla Terra n cu s trova. Per fssare tre punt d un corpo rgdo v voglono se numer: tre per l prmo punto, due per l secondo (perché la dstanza dal prmo è fssata), uno per l terzo punto perché le sue dstanze dal prmo e dal secondo sono fssate. Geometrcamente possamo dre che, una volta fssato l prmo punto P 1 (date le sue tre coordnate), l secondo P 2 deve trovars ad una dstanza fssa da P 1, e qund deve stare sulla superfce della sfera centrata n P 1 (e qund per ndvduarlo bastano due coordnate), l terzo P 3 deve trovars a dstanza fssata sa da P 1 che da P 2, e qund anche dal segmento P 1 P 2, e coè su una crconferenza, per cu basta una sola coordnata per ndvduarne unvocamente la poszone. È charo che se P 3 s trovasse lungo la retta che passa per P 1 e P 2 non servrebbe a fssare la poszone del corpo rgdo, perché esso potrebbe ancora ruotare lungo la retta passante per tre punt allneat. È dmostrato qund che un corpo rgdo ha se grad d lbertà. 2 Angol d Eulero e sstem d rfermento Consderamo due sstem d rfermento con la stessa orgne O. Sa Oxyz un rfermento nerzale R I e OXY Z un rfermento R BF soldale con l corpo rgdo d massa totale M costtuto da un totale d N partcelle (BF sta per BodyF xed, coè soldal con l corpo). In Fg.1 l rfermento nerzale è ndcato n azzurro e quello soldale con l corpo rgdo n rosso, e loro ass n generale non concdono. La comune orgne de due sstem concde con l centro d massa CM del corpo rgdo defnto come: N =1 r CM = m r N = 0, M = m (1) M dove r, = 1,..., N è l vettore poszone della partcella -esma d massa m rspetto al rfermento scelto. In questo caso partcolare n cu due sstem d rfermento hanno la stessa orgne vettor poszone d ogn partcella sono gl stess n entramb rferment ma se gl ass coordnat non concdono (come n Fg.1) ess hanno coordnate dverse a seconda del rfermento scelto. =1 1

2 Fgure 1: Il sstema d rfermento dsegnato n azzurro è un rfermento nerzale R I mentre quello dsegnato n rosso è soldale con l corpo rgdo R BF. I due sstem hanno la stessa orgne ed essa concde con l centro d massa del corpo rgdo. I tre angol α, β, γ not come angol d Eulero dentfcano unvocamente la poszone del corpo rgdo rspetto al sstema d rfermento nerzale dsegnato n azzurro. La lnea N dsegnata n verde è la lnea d ntersezone tra l pano x, y del rfermento nerzale e l pano X, Y del rfermento fsso con l corpo. In generale l corpo rgdo s muove rspetto al centro d massa (ruota ntorno ad esso) e qund l rfermento R BF non è nerzale. Gl angol d Eulero s evolvono nel tempo con l moto del corpo; l loro valore n ogn stante ndvdua la poszone del corpo rspetto al rferemnto nerzale R I. È possble defnre l rfermento nerzale R I con orgne nel centro d massa del corpo rgdo se al corpo rgdo non è applcata alcuna forza esterna. Infatt n questo caso vale: M r CM = 0 M r CM = costante (2) coè la quanttà d moto lneare del corpo rgdo s conserva, così pure la sua veloctà lneare, e qund un rfermento che s muova con esso (e non ruot) è un sstema d rfermento nerzale, come appunto l rfermento R I da no defnto. S not che se l corpo rgdo ruota attorno al suo centro d massa l rfermento R BF soldale con esso non è un rfermento nerzale. Come mostrato n Fg.1 la poszone del corpo rgdo rspetto al rfermento nerzale è ndvduate unvocamente n ogn stante da tre angol d Eulero α, β, γ. S tratta d scrvere la matrce d rotazone per passare da un sstema d rfermento all altro. La matrce d rotazone dpenderà soltanto da tre angol d Eulero. Per scrvere faclmente questa matrce d rotazone notamo che s può passare da un sstema d rfermento all altro d Fg.1 con tre rotazon successve per cascuna della quale è facle scrvere la matrce d rotazone n quanto una delle tre coordnate non vene ruotata (s tratta coè d una rotazone nel pano). Dalle tre matrc d rotazone così scrtte s ottene la matrce d rotazone complessva per semplce prodotto d matrc. Dnamca del corpo rgdo 2

3 Fgure 2: La fgura mostra la prma rotazone delle tre descrtte nel testo per passare dal rferemnto nerzale a quello soldale con l copro rgdo. La rotazone avvene attorno all asse z del rfermento nerzale, che non vene mostrato. La relazone tre le coordnate scrtta come prodotto d matrc è Dnamca del corpo rgdo Geometrcamente è facle vedere da Fg. 1 come passare dal rfermento nerzale R I (n azzurro) a quello R BF soldale con l corpo rgdo (n rosso). Le tre rotazon da esegure sono (nell ordne): 1. Rot1: rotazone attorno all asse z del rfermento nerzale R I d un angolo α postvo (qund n verso antoraro). Questa rotazone porta dal sstema Oxyz al sstema ONN z dove gl ass N e z sono entramb ndcat n fgura mentre l asse N (che non è ndcato n fgura quanto ha un uso soltanto ntermedo) è l terzo asse che completa la terna 2. Rot2: rotazone attorno all asse N d un angolo β postvo (qund n verso antoraro). Questa rotazone porta dal sstema ONN z precedente al sstema ONN Z dove gl ass N e Z sono entramb ndcat n fgura mentre l asse N (che non è ndcato n fgura quanto ha un uso soltanto ntermedo) è l terzo asse che completa la terna 3. Rot3: rotazone attorno all asse Z del rfermento R BF soldale con l copro rgdo d un angolo γ postvo (qund n verso antoraro). Questa rotazone porta dal sstema precedente al sstema OXY Z soldale con l corpo rgdo Complessvamente queste tre rotazon esegute nell ordne ndcato portano dal sstema nerzale R I a quello R BF soldale con l corpo rgdo. Il vantaggo sta nel fatto che cascuna d essa lasca fsso un asse coordnato e qund è una rotazone nel pano, molto facle da scrvere.

4 cos γ sn γ 0 Rot γ = sn γ cos γ 0 (5) La matrce d rotazone complessva che descrve l passaggo dal rfermento nerzale a quello soldale con l corpo rgdo è l prodotto matrcale delle tre, nell ordne n cu sono state esegute, coè: Rot RI R BF = (Rot γ )(Rot β )(Rot α ). (6) E per tornare ndetro dal rfermento soldale col corpo rgdo a quello nerzale occorre fare le tre rotazon n ordne nverso, e cascuna del suo rspettvo angolo d Eulero negatvo dato che n questo caso s tratta d rotazon n senso oraro. Alla fne scrveremo: Rot RBF R I = (Rot α )(Rot β )(Rot γ ). (7) 3 Energa cnetca, momento angolare e tensore d nerza Consderamo l corpo rgdo n rotazone con veloctà angolare ω (generca) e scrvamo la sua energa cnetca, data dalla somma dell energa cnetca d csacuna delle partcelle che lo compongono (o dall ntegrale esteso a tutto l corpo nel caso d un corpo rgdo contnuo). Se r è l vettore poszone rspetto al rfermento nerzale della partcella d massa m abbamo: dove la veloctà r è data dalla rotazone del corpo e qund: Ne derva T = 1 m r 2 r (8) r = ω r. (9) T = 1 m r ( ω r ) = ω m r r = 1 2 ω L (10) essendo m r r l momento angolare della partcella -esma del corpo rgdo e qund L = m r r (11) l suo momento angolare totale. S not che abbamo usato le propretà del prodotto msto d vettor: a ( b c) = b ( c a) c ( a b) (12) È possble scrvere l energa cnetca del corpo rgdo solatnto n termn della modulo quadro della sua veloctà angolare. Per questo rprendamo l momento angolare e lo rscrvamo come: L = m r r = L = m r ( ω r ) = m ( ωr 2 r ( ω r )) (13) usando le propretà del doppo prodotto vettore d vettor: a ( b c) = b( a c) c( a b). (14) Defnamo anche l versore ˆn della drezone dell asse attorno al quale ruota l corpo rgdo: ω = ωˆn (15) Dnamca del corpo rgdo 4

5 e qund rprendamo l energa cnetca (10) che dventa: ( ) T = 1 2 ω L = 1 2 ω2 m (r 2 (ˆn r ) 2 ) = 1 2 Iˆnω 2 (16) una volta defnto l momento d nerza del corpo rgdo rspetto all asse ˆn (l versore della veloctà angolare d rotazoen del corpo) come la somma de moment d nerza rspetto a questo asse d tutte le partcelle che lo compongono: m (r 2 (ˆn r ) 2 ). (17) Iˆn = Infatt, data la partcella m con vettore poszone r la sua dstanza mnma dall asse ˆn è e qund l suo momento d nerza rspetto a questo asse è r 2 (ˆn r ) 2 I m = m (r 2 (ˆn r ) 2 ) (18) le cu dmenson fsche sono, correttamente kgm 2. L energa cnetca d un corpo rgdo rotante con veloctà angolare ωè qund data dal prodotto d ω 2 per l momento d nerza del corpo rspetto all asse d rotazone, per 1/2: T = 1 2 Iˆnω 2. (19) Rspetto alla defnzone d energa cnetca d un corpo puntforme d massa m e veloctà lneare v notamo che nel corpo rgdo la veloctà angolare ω prende l posto della veloctà lneare e l momento d nerza del corpo rspetto all asse d rotazone prende l posto della massa del corpo puntforme. Dnamca del corpo rgdo 5