Corso di Automazione Industriale 1. Capitolo 7

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1 1 Corso d Automazone Industrale 1 Captolo 7 Teora delle code e delle ret d code

2 Introduzone alla Teora delle Code La Teora delle Code s propone d svluppare modell per lo studo de fenomen d attesa che s possono manfestare n presenza d una domanda d un servzo. Quando la domanda stessa e/o la capactà d erogazone del servzo sono soggett ad aleatoretà, s possono nfatt verfcare stuazon temporanee n cu ch fornsce l servzo non ha la possbltà d soddsfare mmedatamente le rcheste. I rsultat ottenbl della Teora delle Code trovano applcazone ne: sstem flessbl d lavorazone; sstem d elaborazone; sstem d comuncazone / trasmssone dat; sstem d trasporto;... 2

3 3 Il sstema coda e le sue component Dal punto d vsta fsco un sstema coda è un sstema composto da un nseme non vuoto d servtor, capac d fornre un servzo mprecsato, e da un nseme non vuoto d aree d attesa (buffer) capac d accoglere clent che non possono essere servt mmedatamente. I clent che non trovano un servtore lbero al loro arrvo s dspongono n modo ordnato, coè n coda, e vengono servt n accordo a determnate dscplne d servzo. Dal punto d vsta dnamco una coda è costtuta essenzalmente da due process stocastc: l processo d'arrvo de clent e l processo d servzo.

4 4 Rappresentazone schematca d una coda Watng lne Coda (tal) Testa (head) Arrv Partenze Servtore (server)

5 5 Rappresentazone schematca d una coda 1 buffer - 4 servtor

6 Gl element che permettono d defnre completamente l fenomeno d attesa sono: la popolazone de clent l processo degl arrv la coda (n senso stretto) servtor l processo d servzo la dscplna d servzo. La popolazone è l nseme de potenzal clent, ovvero l nseme da cu arrvano clent e a cu tornano dopo essere stat servt. Essa può essere fnta o nfnta. Nel prmo caso le modaltà d arrvo de clent dpendono dal numero d clent correntemente nel sstema. Una tpca stuazone n cu s può rtenere che clent provengano da una popolazone fnta è quando ess devono presentars fornt d (o contenut n) determnate strutture dsponbl n numero lmtato; (ad esempo n ambente manfatturero spesso le part per essere lavorate devono essere poste su opportun pallet). 6

7 7 I clent d una stessa popolazone sono tra loro ndstngubl. D conseguenza s suppone che ess provengano da popolazon dfferent ognqualvolta debbano essere dstnt, ad esempo per lvello d prortà o tpo d servzo rchesto. Il processo degl arrv, che descrve l modo secondo cu clent s presentano, è n generale un processo stocastco. Esso è defnto n termn della dstrbuzone dell'ntertempo d'arrvo, coè dell'ntervallo d tempo che ntercorre tra l'arrvo d due clent successv. Per ottenere modell analtcamente trattabl d solto s assume che sa l processo degl arrv che quello d servzo sano stazonar, ovvero che le loro propretà statstche non varno nel tempo. Tale assunzone n cert ambt può essere molto lmtatva.

8 8 La coda (n senso stretto) è formata da clent present nel buffer n attesa d essere servt. S assume che ogn clente lasc mmedatamente la coda dopo che l suo servzo è stato completato. La capactà del buffer può essere nfnta o fnta. Nel secondo caso essa lmta d conseguenza la capactà del sstema, coè l numero de clent n attesa nel buffer pù quell che correntemente sono servt. I clent che arrvano dopo che sa saturata quest'ultma capactà sono respnt. Ad esempo ha capactà d sstema lmtata un centralno telefonco che può tenere n attesa solo un numero fnto d chamate. In assenza d centralno la dmensone della coda è addrttura zero, d conseguenza una chamata o è servta mmedatamente o è rfutata.

9 9 I servtor sono n numero noto e costante, fssato a lvello d progetto. Usualmente ess hanno caratterstche dentche, possono sempre lavorare n parallelo, vceversa non possono ma rmanere nattv n presenza d clent n coda. Anche se v sono d pù servtor n una coda n generale s assume l'esstenza d un unco buffer comune, quando nfatt ogn servtore ha l suo buffer separato s prefersce pensare ad un nseme d code. Può però essere comodo ntrodurre, almeno logcamente, pù buffer n presenza d clent provenent da popolazon dverse. Il processo de servz descrve l modo secondo cu cascun servtore eroga l servzo, n partcolare defnsce la durata dello stesso ed è d solto un processo stocastco. Esso è defnto n termn delle dstrbuzon de temp d servzo de dvers servtor.

10 10 Il processo de servz è almentato dal processo d'arrvo. Conseguentemente l processo d'arrvo condzona l processo de servz. Un clente, nfatt, può essere servto solo se è gà arrvato. Non può esstere una coda negatva. Inoltre, quando non sarà ndcato esplctamente l contraro, l processo degl arrv sarà consderato ndpendente dal processo de servz. La dscplna d servzo specfca quale sarà l prossmo clente servto fra quell n attesa al momento n cu s lbera un servtore. Le dscplne d servzo usualmente consderate, poché sa molto comun nella realtà che matematcamente trattabl, sono: servzo n ordne d arrvo FCFS (frstcome frst-served) o FIFO (frst-n frst-out), servzo n ordne nverso d arrvo LCFS (last-come frst-served) o LIFO (last-n frst-out), servzo n ordne casuale SIRO (servce n random order), servzo basato su class d prortà.

11 11 La notazone d Kendall Tutt gl element che defnscono una coda sono evdenzat nella notazone A/B/c/K/m/Z detta d Kendall, dove le lettere rspettvamente ndcano: - A: la dstrbuzone degl ntertemp d'arrvo; - B: la dstrbuzone de temp d servzo; - c: l numero d servtor; - K: la capactà del sstema (default: nfnta); - m: la dmensone della popolazone (default: nfnto); - Z: la dscplna d servzo (default: FCFS)

12 12 In partcolare ad A e B possono essere sosttute le seguent lettere: M : dstrbuzone esponenzale (Markovana) D : dstrbuzone costante (Degenere) N : dstrbuzone normale (Gaussana) E k : dstrbuzone d Erlang d ordne k G : dstrbuzone generca GI : dstrbuzone generca d event ndpendent (per gl arrv) Ad esempo M/M/1 sta per M/M/1/ / /FCFS coda con processo degl arrv e de servz markovan, con un servtore, con capactà del sstema (e qund del buffer) nfnta e con arrv provenent da una popolazone nfnta che vengono servt su base FCFS.

13 13 Indc d prestazone La Teora delle Code ndvdua alcun ndc d prestazone drettamente legat a cost che, quando valgono alcune potes, sono faclmente calcolabl: L s : numero medo d clent nel sstema (sa n attesa d servzo che rcevent servzo); L q : numero medo d clent n attesa d servzo; W s : tempo d attesa medo de clent nel sstema (sa n attesa d servzo che rcevent servzo); W q : tempo d'attesa medo de clent prma d essere servt; p n : probabltà che v sano a regme n clent nel sstema; ρ : fattore d utlzzazone de servtor (rapporto tra tempo mpegato n servzo e tempo dsponble complessvo). I valor che sono assunt dagl ndc sopraenuncat dpendono parametrcamente dalla struttura della coda e dal tasso d arrvo de clent.

14 14 Notazon Alcune grandezze d nteresse nel calcolo degl ndc d prestazone defnt sono: L(t): lunghezza della coda all stante t (=numero d clent nel sstema all stante t); L w (t): numero d clent n attesa all stante t (=L(t)-numero clent n servzo all stante t); t q, : tempo d permanenza nel sstema dell -esmo clente (l ordne s rfersce all arrvo nel sstema); t w, : tempo d attesa dell -esmo clente; t s, : tempo d servzo dell -esmo clente; a : stante d arrvo dell -esmo clente; d : stante d partenza dal sstema dell -esmo clente.

15 15 Consderazon general Due ovve relazon sono: t q, = t w, + t s, t q, = d -a Inoltre, per un sstema a coda con m servtor n parallelo, s defnsce coeffcente d carco ρ c l rapporto: ρc = E E[ ts ] [ t ] m a Essendo t a e t s varabl aleatore che rappresentano l tempo d nterarrvo tra clent ed l tempo d servzo de clent.

16 16 Consderazon general Ponendo λ=1/e[t a ] (frequenza meda degl arrv) e µ=1/e[t s ] (frequenza massma d servzo) s ottene: ρc = λ µ m Per sstem con buffer llmtat ( clent non possono ma essere rfutat), condzone suffcente d stabltà è che sa 0 ρ c <1 (evdentemente ρ c >1 è condzone suffcente d nstabltà).

17 17 Consderazon general Nel caso n cu m>1, s suppone che le poltche d servzo non prvlegno nessuno de servtor n parallelo. S può qund consderare la probabltà che un generco servtore sa nattvo n un certo stante n condzon d equlbro stocastco. Sa π tale probabltà. Il coeffcente d utlzzazone del generco servtore può essere espresso come ρ=1-π Il throughput del generco servtore (numero medo d clent processat dal servtore nell untà d tempo) vale (1- π)µ, e, qund, l throughput complessvo del sstema è (1- π)µm. Poché s assume che l sstema sa n condzon d equlbro stocastco sarà λ = (1- π)µm, e, qund, s ha ρ c =1-π, da cu segue ρ c = ρ.

18 18 Le legg fondamental Legge d Lndley In un sstema a coda con un solo servtore e dscplna d servzo FIFO, l stante d partenza dell -esmo clente può essere espresso come: d = max{a, d -1 } + t s, N.B. La legge d Lndley rguarda solo l comportamento transtoro del sstema consderato

19 19 Le legg fondamental Legge d Lttle In un sstema a coda n condzon d equlbro stocastco, vale la seguente relazone: W s =L s / λ, dove: W s è l tempo medo d attesa de clent, L s è l numero medo d clent present nel sstema e λ è la frequenza degl arrv. N.B. La legge d Lttle è del tutto generale, non prevede, qund, potes sul processo degl arrv, sul processo de servz, sul numero d servtor, sulla dscplna d servzo, ecc.

20 20 Consderazon general Qualunque sa l sstema fsco consderato le problematche d nteresse generalmente rguardano cost (o proftt) d tpo economco convolt. I cost sono d solto suddvs tra varabl, ovvero funzone d almeno una delle grandezze che caratterzzano la dnamca del sstema, e fss, ovvero ndpendent dalla dnamca osservata e generalmente funzone della sola struttura fsca del sstema. In una coda s possono rtenere sempre present almeno cost varabl legat al tempo d'attesa de clent e cost fss legat al numero de servtor dsponbl. I clent rtengono fondamentale la rduzone de temp d'attesa, mentre l gestore del sstema è probablmente nteressato al massmo sfruttamento delle rsorse (servtor) pur cercando d rspettare le esgenze de clent.

21 21 Consderazon general Il progettsta d sstema dovrebbe qund essere capace d determnare le caratterstche della coda, ad esempo l numero d servtor e la loro veloctà d servzo, n modo da soddsfare le specfche. In partcolare, una volta che sano fssat de valor (o degl ntervall) per gl ndc prestazone e che sa noto l tasso d arrvo de clent, l progettsta deve mnmzzare cost d realzzazone Per la dffcoltà de calcol convolt però la Teora delle Code n generale fornsce solo modell descrttv, ovvero modell che permettono d valutare le prestazon del sstema a fronte d'potes sulla sua struttura, ma che non rsolvono drettamente problem d progetto come nvece fanno modell normatv. D conseguenza l progetto d una coda d solto avvene per tentatv: sono formulate delle potes sulla struttura del sstema, s valutano le prestazon corrspondent, se le prestazon sono adeguate a cost la struttura è accettata altrment s torna a modfcare la struttura e s tera.

22 22 Consderazon general La fase d calcolo delle prestazon avvene attraverso l utlzzo d formule matematche chuse quando esse sono note oppure, per sstem partcolarmente compless che ncludano ad esempo pù code, attraverso la realzzazone d esperment smulatv o l'utlzzo d metod approssmat. In ogn caso l problema consste nel capre n che drezone devono orentars le modfche al sstema d tentatvo. Solo n questo modo all terazone successva s può defnre una struttura mglore. Alcune consderazon qualtatve possono comunque essere fatte crca le relazon esstent tra gl ndc d prestazone ndcat, parametr del sstema e gl ntertemp d'arrvo de clent.

23 Consderazon general S consder ad esempo un sstema n cu v sa un unco buffer nfnto, clent sano servt su base FCFS e ogn servtore soddsf una rchesta alla volta, con una veloctà d servzo ndpendente sa dalla presenza degl altr servtor che dal numero de clent. In questo caso L s, L q, W s e W q crescono/decrescono al dmnure/aumentare degl ntertemp d'arrvo de clent, al dmnure/aumentare del numero o della veloctà de servtor. Allo stesso modo s comporta l numero medo d clent servt da ogn servtore, ammesso che l sstema resca a manteners stable, ovvero che l tempo d attesa de clent non cresca all nfnto. In questo contesto s osserv che un eventuale servtore pgro dmnurebbe la propra veloctà d servzo per apparre molto mpegnato. In questo modo però egl danneggerebbe clent che dovrebbero attendere pù a lungo. Per questo motvo un eventuale ncentvo a servtor non dovrebbe essere basato solo sul loro fattore d utlzzo, bensì, a partà d altre condzon, sul numero medo d clent servt nell untà d tempo. 23

24 24 Il caso determnstco D/D/1 S possono faclmente determnare le prestazon del sstema quando gl stant d arrvo de clent ed temp d espletamento de servz rchest sono not a pror senza ncertezza. Se la dscplna d servzo è FCFS, per ogn clente, l stante d uscta dal sstema è dato dalla legge d Lndley. Ponendo d 0 = 0 e noltre d = max{a, d -1 } + t s, t w, = d -a -t s,

25 25 Il caso determnstco D/D/1 Qund, per calcolare l numero d clent nel sstema all stante t, basta contare l numero d valor d clent per cu a <=t < d, dal momento che un clente è nel sstema nell stante n cu entra, non v è pù nell stante n cu esce. Il caso totalmente determnstco è però dffcle che occorra nella realtà. In genere gl arrv de clent e la durata de servz sono affett da ncertezza, qund sono modellat come process stocastc.

26 26 La dstrbuzone esponenzale Ne cas pratc s possono trovare code con ntertemp d'arrvo de clent e temp d servzo soggett a dstrbuzon probablstche d quas qualunque tpo. Tra le tante, la dstrbuzone esponenzale è forse quella che trova maggore applcazone e che noltre presenta mglore trattabltà dal punto d vsta matematco. Una varable aleatora (v.a.) X ha dstrbuzone esponenzale con parametro λ >0 quando la sua denstà p(x) è: p(x) = -λx λe 0 x x < 0 0

27 27 I temp ntercorrent tra due event successv relatv allo stesso processo (e.g., arrvo d clent oppure nzo e fne d un servzo) possono essere modellat come una v.a. esponenzale se soddsfano le seguent condzon: la probabltà che un evento occorra n un ntervallo d tempo nfntesmo dx è proporzonale a dx, con λ come costante d proporzonaltà, ovvero P(x< X <= x+dx) = λdx la probabltà d avere pù d un evento n un ntervallo d tempo nfntesmo dx è nulla; la probabltà che l prossmo evento rtard oltre un dato lmte non dpende da quanto tempo prma s è verfcato l evento precedente. Il processo non ha qund memora (propretà markovana), ovvero P(X>x+u;X>u) = P(X>x) che mplca P(X>x+u) = P(X>x)P(X>u)

28 28 Solo una v.a. esponenzale soddsfa tal condzon, nfatt P(X <= x+dx) =1-P(X>x+dx) = 1-P(X>x)P(X>dx) = 1-P(X>x)(1-P(X<=dx)) = 1-P(X>x)(1- λdx) = P(X <=x)+(1-p(x <=dx))λdx allora, posto P(x)=P(X <=x), s gunge a dp(x) = P(x)+(1-P(x)) λdx -P(x) = (1-P(x)) λdx che è un equazone dfferenzale la cu unca soluzone che soddsfa la condzone lm p(x) = 1 è x P(x) = -λx 1- e 0 x x < 0 0 ossa p(x) = -λx λe 0 x x < 0 0

29 Funzone d denstà d probabltà d tpo esponenzale con λ=

30 30 Il valor medo (speranza matematca) della varable aleatora X con dstrbuzone esponenzale è E{X}=1/ λ e la sua varanza è 1 / λ 2. Il parametro λ è l'nverso del valore atteso del tempo che ntercorre tra l'arrvo d due clent successv e può essere nterpretato come l tasso medo d'arrvo d clent per untà d tempo. La dstrbuzone esponenzale è una funzone strettamente decrescente, qund valor pù pccol sono pù probabl. S hanno spesso valor nferor alla meda e qualche volta valor molto superor.

31 31 La mancanza d memora della dstrbuzone esponenzale rende la stessa ragonevole per modellare gl ntertemp d'arrvo che non sano correlat, coè tal per cu l'arrvo d un clente non favorsca o sfavorsca altr arrv. La stessa propretà gustfca l'uso della dstrbuzone n presenza d temp d servzo che rguardno prestazon poco omogenee (ad esempo la durata conversazon e la lunghezza d messagg). Vceversa la dstrbuzone esponenzale non deve essere usata per modellare produzon ndustral dentche, a meno che non s consderno come clent gl ordn da esegure e solo nel caso n cu quest possano avere dmensone varable. Collegato alla propretà d mancanza d memora è l cosddetto paradosso del tempo d servzo resduo. Se T è l tempo medo d servzo, un nuovo clente che arrv n modo completamente casuale, quando l servtore è occupato, deve comunque aspettare n meda un tempo T (non T/2, come s sarebbe tentat d pensare) prma che l servtore termn l servzo ncorso.

32 32 Le varabl aleatore esponenzal godono, nfne, d un'ulterore propretà: Il mnmo d varabl aleatore esponenzal ndpendent è ancora una varable aleatora esponenzale. S consderano event d tpo dverso, cascuno con ntertempo d occorrenza esponenzale: allora l ntertempo tra event d tpo qualsas è ancora esponenzale, con parametro par alla somma de parametr.

33 33 Il processo d Posson Quando gl ntertemp sono esponenzal l numero d event N(t) che s verfca n un dato tempo t è un processo d Posson: P{N(t) = n} = [ (λt) n e -λ t ] / n! Il processo d Posson N(t) ha valore atteso E{N(t)} = λ t, dove λ esprme l numero medo d event nell untà d tempo, coè la frequenza meda. La dstrbuzone d Posson assume al varare del valore λt le forme present nella fgura seguente

34 λt = 1 λt= 5 λt = 10 34

35 35 A process d Posson s generalzzano le propretà delle v.a. esponenzal. In partcolare: λdt rappresenta la probabltà d occorrenza d un evento n un ntervallo d tempo nfntesmo dt; se s hanno event d tpo dverso, =1,2,...,n, e l loro processo d accadmento globale è possonano con parametro λ, se noltre ogn evento ha probabltà fssa p d essere d tpo ( p =1), allora cascun tpo d event è d per sé possonano, con parametro λ = λ p.

36 36 Il processo nascte - mort Il processo nascte-mort è un processo stocastco utle per studare le code. Esso rappresenta l numero d element N(t) d una popolazone che può aumentare, per effetto d una nascta, o dmnure, per effetto d una morte, d un untà alla volta. In modo formale l processo nascte-mort assume che, ad ogn generco stante t, possa avvenre un solo evento (d nascta o d morte); noltre che, data una popolazone d numerostà N(t)=n, l'ntervallo d tempo fno alla prossma nascta sa una v.a. esponenzale con parametro λ n, mentre l'ntervallo d tempo fno alla prossma morte sa una v.a. esponenzale con parametro µ n. In questo contesto parametr λ n e µ n possono essere nterpretat come rspettvamente l tasso medo d nascta e d morte d una popolazone composta d n ndvdu.

37 37 Un partcolare processo nascte-mort, dove avvengono solo nascte, è quello d Posson. In questo caso λ n = λ e µ n =0, n=0,1,2,... Con un processo nascte-mort s può descrvere anche l numero d clent n una coda. In questo caso valgono le seguent relazon: arrvo = nascta uscta = morte Il processo nascte-mort è usualmente rappresentato n modo grafco come ndcato nella fgura seguente. Gl oval rappresentano lo stato (ovvero solo la numerostà della popolazone dato che le v.a. esponenzal sono senza memora); coeffcent assocat alle frecce esprmono nvece l tasso d probabltà d transzone da uno stato all altro.

38 38 λ 0 λ 1 λ n-1 λ n n µ 1 µ 2 µ n µ n+1 Processo nascte-mort

39 39 Per trovare l valore p n (t) della probabltà che al tempo t l processo nasctemort s trov nello stato n, ovvero la probabltà che al tempo t sano n vta n persone, s può fare rcorso alla soluzone d un sstema d equazon dfferenzal. Infatt la probabltà p n (t + dt) che al tempo t+dt c sano n persone è data dalla somma de seguent termn: la probabltà p n (t) che n t c sano n persone per la probabltà (1-λ n -µ n )dt che nell'ntervallo d tempo tra t e t+dt non sa avvenuta nè una nascta nè una morte; la probabltà p n-1 (t) che n t c sano n-1persone per la probabltà λ n-1 dt che nell'ntervallo d tempo tra t e t+dt sa avvenuta una nascta; la probabltà p n+1 (t) che n t c sano n+1 persone per la probabltà µ n+1 dt che nell'ntervallo d tempo tra t e t+dt sa avvenuta una morte.

40 40 S ottene qund l seguente sstema d equazon dfferenzal: p 0 (t + dt) = p 0 (t)(1 - λ 0 )dt+ p 1 (t) µ 1 dt p n (t + dt) = p n (t)(1 - λ n -µ n ) dt + p n-1 (t)λ n-1 dt + p n+1 (t) µ n-1 dt n=1,2,... Per t che tende all nfnto, se l tasso delle mort complessvamente supera l tasso delle nascte, l processo dventa stazonaro, ovvero le sue propretà statstche non varano pù nel tempo e qund p n (t)=p n, per ogn tempo t. In quest potes l sstema d equazon dfferenzal dventa un sstema d equazon lnear omogeneo con soluzone: p n =C n p 0 n = 1,2,... dove C n = (λ n-1 λ n-2... λ 0 ) / ( µ n µ n-1... µ 1 ).

41 41 Osservando, nfne, che termn p n rappresentano delle probabltà e che qund n p n = 1 s ottene che p 0 = 1 / (1 + n C n ). Da quest rsultat s possono rcavare le dstrbuzon d probabltà d tutte le code possonane (M/M/ )

42 42 La coda M/M /1 Una coda M/M/1 è fscamente composta da un buffer e da un solo servtore; n essa l ntertempo tra due arrv successv e l tempo d servzo sono due varabl aleatore markovane, coè con dstrbuzone esponenzale. Il tasso medo d nterarrvo e l tasso medo d servzo sono usualmente ndcat con λ e µ. La coda M/M/1 può essere consderata un processo nascte-mort con λ n =λ, µ n =µ. L'arrvo d un nuovo clente n coda può, nfatt, essere nterpretato come una nascta; vceversa la fne d un servzo, qund l'uscta d un clente dal sstema, come una morte.

43 43 D conseguenza p n = ρ n p 0 n = 1,2,... dove l fattore d utlzzazone ρ =(λ /µ ) esprme l rapporto tra l tempo medo d servzo e l tempo medo tra due arrv. Dato che vale la seguente condzone p 0 = 1 / (1 + n C n ) = 1 / (1 + n ρ n ), non dovrebbe stupre che p 0 esste se e solo se ρ <1, ovvero se n meda l sstema ha la potenzaltà d servre clent pù velocemente d quanto ess arrvno. La condzone ρ <1 è detta d stabltà. Infatt lo stato stazonaro non può essere raggunto e la coda cresce all nfnto qualora essa non occorra.

44 44 Per ρ<1 s verfca che 1 + n ρ n =1 /(1- ρ), e d conseguenza p 0 = 1- ρ e p n = ρ n (1- ρ). Dalle condzon precedent s può esprmere ρ =1- p 0, qund ρ può essere nterpretato anche come l tasso d occupazone del servtore, ovvero la frazone d tempo n cu l servtore lavora, ovvero la probabltà che c sa almeno un clente nel sstema oppure, nfne, come l numero medo d ngress durante un servzo. Una volta note le probabltà p n possono essere calcolat valor delle altre grandezze d'nteresse. In partcolare l numero medo d clent nel sstema è L s = n np n = ρ / (1 - ρ ) = λ/(µ λ) con varanza {( ) } n - L 2 ρ( 1- ρ) 2 2 σ = E L s = s

45 45 Il numero medo d clent n attesa è nvece L q = L s - [n. medo d clent correntemente servt] = L s - ρ = ρ 2 / (1 - ρ); dove L q può anche essere dedotto nel seguente modo ( ) ρ L p 1 L p np (n -1)p L s 0 s 1 n n 1 n n n 1 n q = = = = = = =

46 46 Formula d Lttle Se una coda è stable, qualunque essa sa, n meda devono uscre dal sstema tant clent quant entrano. Per una coda M/M/1 l tasso d uscta dal sstema è qund λ e non µ. S può dedurre d conseguenza che l tempo meda d attesa de clent nel sstema è W s = L s / λ, La formula d Lttle, vale, come gà evdenzato, per qualunque sstema n equlbro e s enunca affermando che: l numero medo d element present nel sstema è eguale al tempo medo d permanenza nel sstema per l tasso d ngresso.

47 47 Applcando la formula d Lttle al caso M/M/1 s ottene che l tempo d'attesa nel sstema è: W s = 1 / ( µ- λ ) e che l tempo medo d attesa n coda è: W q =W s -( 1 / µ)= λ /( µ( µ- λ )). La formula d Lttle può essere generalzzata n modo da consderare moment del secondo ordne del tempo d'attesa nel sstema e del numero medo d clent. { 2 } 2 { 2} L s L λ E W E s = Pù n generale, per moment d ordne k, la formula d Lttle dventa: { L ( L 1)( L 2) ( L k + 1) } E s s s s = k { k } λ E Ws s

48 48 L'nfluenza del fattore d utlzzazone Ne paragraf precedent s è osservato che c deve essere una probabltà p 0 = 1- ρ non nulla che l servtore sa nattvo per asscurare la stabltà del sstema. In partcolare al crescere d ρ aumenta l occupazone del servtore e qund la permanenza meda e l numero medo de clent nel sstema, nonché l numero medo e l tempo medo de clent n attesa. Un ncremento del valore d ρ non ntroduce però solo svantagg. Se ρ aumenta a causa d un maggore arrvo d clent, s ha corrspondentemente una maggore utlzzazone delle rsorse dsponbl. Vceversa, se l'aumento d ρ è dovuto all'utlzzo d servtor meno veloc, dovrebbero dmnure conseguentemente cost d acquszone degl stess.

49 49 Ws ρ

50 50 In un problema d progetto s deve qund fssare ρ cercando un gusto compromesso tra cost, prestazon (qualtà) e utlzzazone delle rsorse. Un altro fattore molto mportante che è nfluenzato da ρ è l tempo d raggungmento del regme, ovvero l tempo dopo l quale le statstche che descrvono l comportamento medo del sstema non varano pù n modo sgnfcatvo e qund l processo che descrve la dnamca della coda può essere rtenuto pratcamente stazonaro. S rcord che le formule presentate n questo captolo ed n quell precedent s basano sull'assunzone che l sstema abba raggunto l regme.

51 51 In partcolare con ρ =0.7 l regme è raggunto dopo meno d un mglao d clent, con ρ =0.85 l regme è raggunto dopo una decna d mglaa d clent, con ρ >0.95 l regme è raggunto dopo dvers mlon d clent. Alla luce delle consderazon precedent è legttmo cheders se, per tass d utlzzazone vcn all'untà, rsultat ottenut abbano nteresse pratco. Infatt poch sstem mantengono caratterstche costant per temp così lungh sa per quanto rguarda l'arrvo de clent che l servzo agl stess. S deve notare però che, se al tempo nzale la coda era vuota, le grandezze calcolate n una stuazone d regme fornscono n generale de lmt superor per valor che saranno assunt dalle stesse grandezze nella fase d transtoro.

52 52 L'ntertempo tra due partenze Le code M/M/1 godono d un'altra nteressante caratterstca. Gl ntertemp tra la fne d servz successv possono essere descrtt come v.a. esponenzal con parametro λ concdente n valore con quello del processo degl arrv. Questa caratterstca peculare permette d studare faclmente catene d code M/M/1, ma anche ret pù complesse (dette ret d Jackson). Nelle ret d Jackson ad ogn coda è assocato un nseme d probabltà tempo nvarant, una per ogn altra coda del sstema e una per l'unverso esterno. In base a tal probabltà ogn clente, una volta termnato l servzo n una coda, è ndrzzato o fuor dal sstema o verso un'altra coda.

53 53 S dmostra che n questo modo la generca coda -ma osserva un processo d'arrvo d clent possonano d parametro λ = λ0 + jp jλ j dove λ 0 è l tasso d arrv alla coda de clent che provengono dall'esterno del sstema, mentre p j è la probabltà che un clente n uscta dalla coda j-ma sa ndrzzato verso la coda -ma, nfne λ j è l tasso complessvo d arrvo de clent alla coda j-ma. Le propretà del processo d uscta de clent d una coda M/M/1 possono essere anche utlzzate per verfcare la correttezza d software d smulazone per sstem d code. Infatt, se numer casual che devono smulare gl ntertemp d arrvo de clent e temp d servzo non sono generat correttamente, s osserva quas sempre che l processo d uscta da una coda M/M/1 non è possonano.

54 54 Altre code possonane (M/M / ) Il processo nascte-mort permette d studare anche altre code possonane. In tutt cas l'arrvo d un clente può essere consderato come una nascta e l completamento d un servzo, e qund l'abbandono del sstema da parte d un clente, come una morte. Date le relazon p n = C n p 0 n = 1,2,... con p 0 = 1 / (1 + n C n ), C n = ( λ n-1 λ n-2... λ 0 ) / ( µ n µ n-1... µ 1 ) caso per caso, s determnano parametr λ n e µ n, qund s valuta C n e le altre grandezze.

55 55 M/M/s La coda M/M/s ha s servtor n parallelo cascuno con tasso d servzo 1/µ. D conseguenza λ n = λ, e, per le propretà dell esponenzale, µ n = n µ per 1 <=n <=s µ n = s µ per n >s Il fattore d utlzzazone vale ρ = λ /(s µ) e qund pn = p0 p0 ( sρ) n n! s n s ρ n! 1 n s n s p0 = 1 s-1 k + k= 0 s ( sρ) ( sρ) k! s! ( 1- ρ)

56 56 Se la condzone d stabltà ρ < 1 è rspettata s ottene Lq = s 2 c+ 1 ( sρ) ( s 1 )(! 1 ρ) 2 p0 e qund s possono calcolare W q = L q /λ W s = W q +1 /µ L s = L q + λ /µ. Un caso estremo d coda M/M/s è quello n cu v sono nfnt servtor M/M/. Tale stuazone s verfca ne self-servce n cu ogn clente serve se stesso. S può verfcare che, n questo caso, L s = λ /µ. W s = 1 /µ. W s = L s =0.

57 57 M/M/1/K La coda M/M/1/K ha capactà fnta K, ovvero nel sstema non possono essere present pù d K clent, qund λ n = λ per 0 <=n <K λ n = 0 per n >=K µ n = µper 1 <=n <=K µ n = 0 per n >K. La coda M/M/1/K è sempre stable per defnzone. Applcando le solte formule de process nascte-mort s ottene L s = ρ /(1 - ρ)-(k+1 ) ρ K+1 /(1 - ρ K+1 ) da cu L q = L -( 1 -p 0 ) W s = L / λ W q = L q / λ con λ = λ (1 - p K ) dove λ è detto tasso d ngresso.

58 58 M/M/1/N/N La coda M/M/1/N/N ha capactà fnta N, ma anche popolazone fnta N, qund l tasso d arrvo per cascun clente è λ n = ( N - n ) λ λ n = 0 µ n = µ per 0 <=n <=N per n >=N Anche questa coda è sempre stable, per essa s rcava L s = N - (1 -p 0 )µ / λ da cu L q = L -( 1 -p 0 ) W s = L / λ W q = L q / λ con λ = λ (N - L ).

59 59 Alcune code non possonane Ne modell non possonan almeno uno tra gl ntertemp d arrvo e temp d servzo non è una v.a. esponenzale. In partcolare poché l modellamento con v.a. esponenzal è pù spesso non accettable per temp d servzo che non per gl ntertemp d'arrvo, s lmta l'anals a cas M/G/1. M/G/1 La coda M/G/1 ha arrv possonan, ma temp d servzo qualunque, purché ndpendent e omogene (con la stessa dstrbuzone), con meda 1 /µ e varanza σ 2 note. Anche n questo caso la condzone d stazonaretà è ρ=λ /µ <1 S dmostra che: L q =(λ 2 σ 2 + ρ 2 )/(2 (1 - ρ )) (formula d Pollaczek-Khntchne) dove σ 2 servzo. è la varanza del tempo d

60 A partre da L q s possono dervare le altre grandezze d nteresse nel modo usuale L s =L q + ρ W q =L q /λ W s =W q +1 /µ S osserv che L q cresce con σ e qund un servtore regolare ha prestazon mglor. 60

61 61 M/D/1 La coda M/D/1 con arrv possonan e tempo d servzo costante è un caso partcolare d M/G/1 con σ =0, dove la formula d Pollaczek - Khntchne s rduce a: L q =ρ 2 /(2 (1 - ρ )). Il numero medo de clent n attesa d servzo è per una coda M/D/1 la metà che per M/M/1. Infatt la varanza del tempo d servzo è 0 per M/D/1 mentre è 1/µ 2 per M/M/1.

62 62 M/E k /1 La coda M/E k /1 è utlzzata per modellare cas ntermed n cu, oltre che la meda e la varanza, è nota anche la forma della dstrbuzone degl ntertemp d servzo. E k ndca che temp d servzo sono v.a. con dstrbuzone d Erlang d ordne k f(t) = (kµ) k t k-1 e -kµt / (k-1)! per t =0 dove k è un ntero postvo ed è detto fattore d forma. La dstrbuzone d Erlang d ordne k ha meda 1 /µ e varanza 1 /kµ 2.E k è qund una varable aleatora non negatva che dpende da due parametr: µ e k dove µ determna la meda e k determna la varanza.

63 63 Le funzon d Erlang godono della seguente propretà: Propretà La somma d k varabl aleatore ndpendent esponenzal cascuna con meda 1 / kµ: T = T 1 + T T k è una v.a. con dstrbuzone d Erlang d ordne k e parametr µ e k. La precedente propretà mplca che per k che tende all'nfnto la dstrbuzone d Erlang tende a dventare la dstrbuzone normale.

64 64 µ=0.1 k=1 k=2 k=10 k=20

65 65 La stessa propretà mplca che la dstrbuzone d Erlang può essere nterpretata come la dstrbuzone del tempo d servzo d un sstema n cu v sano k servtor esponenzal n sere, n cu però l prmo servtore non può nzare un nuovo servzo se l'ultmo non ha concluso l propro. Per la coda M/E k /1 s rcava che L q =((1 +k )λ 2 )/(µ (µ -λ )) da cu L s =L q +ρ W q =L q /λ W s =W q +1 /µ

66 66 M/H R /1 La coda M/H R /1 è utlzzata quando le varanze de temp d servzo sono maggor d 1/µ 2. H R ndca che temp d servzo sono v.a. con dstrbuzone peresponenzale d ordne R: f(t) = Σ R α µ exp( - µ t ) per t >=0 La dstrbuzone peresponenzale può essere nterpretata come la dstrbuzone del tempo d servzo d un sstema n cu v sano R servtor esponenzal con prestazon dfferent. Il clente scegle con probabltà α l -mo servtore con la condzone che α 1 + α α R = 1 e che un clente non può nzare ad essere servto prma che l clente che lo precedeva non sa uscto dal sstema. In altre parole servtor sono n parallelo ma non possono lavorare contemporaneamente.

67 67 Per la coda M/H R /1 s rcava che la varanza del tempo d servzo è: Sosttuendo tale valore nella formula d Pollaczek-Khntchne s ottene L q e conseguentemente s possono dervare L s, W q, e W s. 2 R 1 R µ α µ α 2 σ = = =

68 68 Le ret d code I due prncpal modell d ret d code sono: modello d rete aperta (modello d Jackson): temp d nterarrvo de clent dall esterno e temp d servzo con funzone d denstà d probabltà esponenzale modello d rete chusa (modello d Gordon-Newell): temp d servzo con funzone d denstà d probabltà esponenzale Oss. L applcazone de modell a ret d code a sstem real è poco dffusa come strumento d anals prestazonale per le potes troppo restrttve. Tuttava quest modell (computazonalmente molto effcent rspetto alla anals n va smulatva) sono largamente utlzzat n fase d progetto per l dmensonamento d massma d sstem real

69 69 Modello d Jackson Il modello d Jackson (ret d code markovane aperte) è defnto nel modo seguente: 1) clent appartengono tutt alla stessa classe 2) la rete è composta d N nod; l -esmo nodo corrsponde ad una coda sngola con m servtor n parallelo 3) l tempo d servzo d cascuno de servtor del nodo -esmo è una varable aleatora con funzone d denstà d probabltà d tpo esponenzale, con parametro µ 4) n un certo numero d nod della rete ha luogo un processo d arrvo d clent dall esterno; cascuno d tal process è un processo d Posson; l processo degl arrv al nodo -esmo (se esste) è caratterzzato dal parametro λ 5) buffer delle lnee d attesa hanno dmensone nfnta

70 70 Modello d Jackson 6) dopo aver completato l servzo presso l nodo -esmo, un clente può essere trasferto ad un altro nodo j con tempo d trasfermento nullo e probabltà r,j (r, può essere 0) uscre dal sstema con probabltà r,0 n questo modo è defnto l processo d nstradamento con vncol N r, j + r,0 = 1 = j= 1 1,..., N 7) tutt process stocastc (d arrvo, d servzo, d nstradamento) corrspondono a sequenze d varabl aleatore ndpendent ed dentcamente dstrbute; noltre tal process sono a due a due mutuamente ndpendent 8) la popolazone complessva de clent è nfnta.

71 Modello d Jackson Il processo complessvo degl arrv al nodo -esmo è un processo stocastco caratterzzato da un rate d arrv medo Λ par a Λ = λ + N ~ r Λ j= 1, j j ~ j = rate Λ d uscta medo dal nodo j In condzon d equlbro stocastco, l rate d arrv medo n ngresso e quello n uscta sono dentc per ogn nodo, ossa Λ ~ Λ = Λ = N = λ + r, jλ j j= 1 = 1,..., N 1,..., N Il sstema d equazon (*) rappresenta l blanco de fluss e può essere rsolto ottenendo l rate d arrv medo ad ogn nodo. Inoltre, è evdente che l rate d arrv medo ad un nodo corrsponde, n condzon d equlbro stocastco al flusso mdeo de clent nel nodo stesso. 71 (*)

72 72 Modello d Jackson Teorema (d Jackson) Sa data una rete d code aperta corrspondente al modello descrtto. S rsolva l sstema (*) determnando le quanttà Λ, =1,,N. Se rsulta essendo Λ < 1 = m µ 1,..., N Allora l sstema può essere rappresentato come una CTMC rrducble con tutt gl stat rcorrent postv. La dstrbuzone d probabltà dello stato a regme è data da (**) π( n1,n2,...,nn) = π1(n1 ) π2(n2)... πn(nn) { L = n,...,l } π( n1,n2,...,nn) = Pr 1 1 N = nn Avendo ndcato con L l numero d clent present nel nodo -esmo. Inoltre, cascuna delle dstrbuzon π (n ) è dentca alla dstrbuzone d probabltà dello stato a regme d una coda M/M/m.

73 73 Modello d Jackson Modello d Jackson essendo Teorema (d Jackson).. contnua s ottene, qund, ( ) + = ρ π = ρ π = π 1,... m,m n m! m (0) 1 1,2,...,m n! n m (0) ) (n n m n ( ) ( ) 1 1 m 1 n m n 1 1 m! m! n m 1 (0) = ρ ρ + ρ + = π m µ Λ = ρ

74 74 Modello d Jackson Il teorema d Jackson ha l seguente sgnfcato: n una rete d code aperta corrspondente al modello d Jackson, purchè sano soddsfatte le condzon (**) (condzon d stabltà), l sstema raggunge una condzone d equlbro stocastco n cu la dstrbuzone d probabltà congunta è caratterzzata da una struttura prodotto, coè da una struttura tale da rsultare prodotto d dstrbuzon margnal (ognuna rferta ad un unca varable). Ovvamente, l calcolo della probabltà congunta consente la determnazone d dvers ndc d prestazone.

75 75 Modello d Jackson Esempo: h p 2 1-h p 3 S vuole determnare l tempo medo d attraversamento del sstema da parte d un generco clente (l flusso medo d arrvo è λ, la rsorsa,=1,,4, è caratterzzata da parametro µ e da m servtor)

76 76 Modello d Jackson Esempo: Procedura d soluzone: 1) s rsolvono le equazon d blanco de fluss (*); 2) s verfcano le condzon d stabltà (**) a tutt nod (se almeno una delle condzon non è soddsfatta, l esempo non ha soluzone); 3) s determna, per ogn nodo, l numero medo d clent nel nodo (utlzzando le formule per le code M/M/ m, ossa L Λ = µ + Λ µ m! m 1 Λ m µ Λ m µ con π (0) determnato come nel teorema d Jackson; 2 π (0)

77 77 Modello d Jackson Esempo (contnua): 4) utlzzando la legge d Lttle, s calcola l tempo medo d permanenza n ogn nodo: t = L Λ 5) l tempo medo d permanenza nel sstema complessvo è: dove t s = ts,1 + pn2ts,2 + (1 p)ts,3 + = + N2 (1- h)h =1-1 ts,4 rappresenta l numero medo d passagg per l nodo 2, per clent che effettvamente passano per l nodo 2.

78 Ret d code markovane chuse Il modello d rfermento è analogo al modello d Jackson se non per le seguent potes: 1) λ = 0, ; non s verfcano arrv dall esterno, tutt gl arrv provengono da nod della rete. Cò sgnfca che l numero d clent nel sstema è costante e che quando un clente completa l suo cclo complessvo d servz, vene sosttuto da un nuovo clente che nza l cclo d servzo; 2) la matrce d routng [r,j ] non può essere trasformata tramte semplc permutazon d rga e d colonna, n una matrce avente la struttura: essendo A e C sottomatrc quadrate. A 0 B C L potes 2) sgnfca che non è possble solare una parte del sstema n cu clent possono solo entrare, senza poter pù uscre. 78

79 79 Modello d Gordon-Newell Teorema (d Gordon e Newell) Sa data una rete d code chusa corrspondente al modello descrtto. Il sstema può essere rappresentato come una CTMC rrducble con spazo degl stat S fnto. La cardnaltà d tale spazo è data da: N + k 1 N + k 1 S = = k N -1 dove k è l numero costante d clent nel sstema. Esste una dstrbuzone d probabltà dello stato a regme data da N x n π(n,n,...,n ) 1 2 N = C β (n ) essendo = 1 β(n) = n! n m m!m n n < m m

80 80 Modello d Gordon-Newell Teorema (d Gordon e Newell).. contnua Le costant x s determnano rsolvendo (a meno d una costante arbtrara) l sstema lneare omogeneo: La costante C è una costante d normalzzazone determnata come N µ x = r µ j= 1 j j xj C = 1 N x n n S = 1β(n) con n = col(n 1,,n N ).

81 81 Modello d Gordon-Newell S not che la costante d normalzzazone ha la funzone d mporre che π( n1,...,n N) = 1 n S La determnazone d C rchede purtroppo la determnazone completa d tutto lo spazo degl stat S, la cu cardnaltà può essere puttosto elevata. La dstrbuzone d probabltà congunta è ancora espressa n forma prodotto, ma sngol fattor non sono dstrbuzon d probabltà margnal, ovvero le varabl aleatore n 1,,n N non possono essere pù consderate come varabl aleatore ndpendent.

82 82 Modello d Gordon-Newell Le probabltà margnal π (n ) s trovano, nvece, dalla probabltà congunta N π( r) = π(n) con N(r) = (n1,...,nn) : n = k,n = n N (r) = 1 La lunghezza della coda al nodo -esmo è data da r k L = rπ(r) r= 1 Il coeffcente d carco relatvo al nodo -esmo è sempre espresso come ρ = Λ m µ e l coeffcente d carco corrsponde anche a (1-p (0))

83 83 Modello d Gordon-Newell Il coeffcente d carco corrsponde anche a (1-p (0)) dove p (0) è la probabltà che un generco servtore nel nodo -esmo sa nattvo n un stante selezonato a caso, n condzon d equlbro stocastco. La quanttà p (0) s può rcavare dalla dstrbuzone margnale π (n ). Infatt, nel caso m =1, p (0)= π (0), mentre se m =2, p (0)= π (0)+0.5 π (1), ecc. (s rcord che nessuno de servtor è prvlegato dalla poltca d assegnazone de clent). Un volta noto p (0), s può calcolare l coeffcente d carco e, qund, Λ.(Le grandezze Λ s possono determnare anche rsolvendo l sstema d equazon d blanco de fluss, sstema rsoluble a meno d una costante arbtrara). Una volta determnate le Λ,=1,,N, è mmedato determnare l throughput del sstema, ovvero l flusso n uscta dalle macchne che generano prodotto fnto. Una volta noto l throughput, è possble determnare, applcando la legge d Lttle all ntero sstema, l tempo medo d permanenza nel sstema del generco clente.

84 84 Modello d Gordon-Newell Le ret d code markovane chuse possono essere analzzate con altr metod, tra cu: metodo d Dennng e Buzen metodo della mean value analyss (metodo approssmato)

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