IL MODELLO DI MACK. Materiale didattico a cura di Domenico Giorgio Attuario Danni di Gruppo Società Cattolica di Assicurazioni

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1 IL MODELLO DI MACK Materale ddattco a cura d Domenco Gorgo Attuaro Dann d Gruppo Socetà Cattolca d Asscurazon

2 CHAIN-LADDE CLASSICO Metodo pù utlzzato per la stma della rserva snstr. Semplctà. Dstrbuton-ree Consste nella ormulazone d una proezone del valore d rserva sulla base dell anals proettva de dat ottenuta attraverso l esame d sere storche rlevate nel passato e rappresentate nel passato attraverso uno schema d tpo trangolare, run-o, del tpo: 0 t 0 0,0 0, 0,t 0 t- h, t t,0 dove per 0,, t e 0,, t l elemento generco del run-o noto all epoca t, relatvo alla generazone -esma dopo ann d dermento nell anno d blanco h, Fattor non not all epoca t per h,, t e 0,, t l elemento generco del run-o ncognto all epoca t, relatvo alla generazone h-esma dopo ann d dermento nell anno d blanco h

3 t lunghezza del run-o concdente con l estensone massma dello svluppo della generazone meno recente generazone 0) Sul run-o denamo attor d svluppo ncremental unzone della generazone -esma e dell anno d svluppo -esmo: t t per t Tal attor descrvono lo svluppo lqudatvo per la generazone -esma dall anno d svluppo --esmo a quello -esmo, noto all epoca d valutazone. Ipotes: Al varare d, l attore d svluppo ncrementale non dpende pù, a meno d varazon aleatore, dalla generazone -esma, ma rsult unzone del solo anno d svluppo -esmo Dopo aver determnato tutt attor d svluppo,,, t-, è possble ottenere delle stme per utur esbors e qund valutare la rserva. I utur esbors possono essere calcolat n manera rcorsva passando da una colonna a quella successva, ovvero: La rserva stmata sarà data da:,,, t e,, t.. t t

4 IL MODELLO DI MACK Metodo proposto nel 993 Modello d tpo stocastco rproduce le stesse stme del Chan-Ladder, speccando semplcemente prm due moment della dstrbuzone de rsarcment cumulat e consderando pertanto l modello prvo d dstrbuzone Stma dell errore standard relatvo ad ogn anno d generazone come msura dell ncertezza contenuta ne dat I attor d svluppo non sono correlat tra loro e cò comporta una stma non dstorta della rserva snstr Stma dell errore standard complessvo per la rserva globale. Tale stma ha l mportante propretà d tenere n consderazone le correlazon tra le stme ndvdual relatve alle sngole rserve rguardant var ann d generazone. cordamo che rappresenta l rsarcmento cumulato relatvo all0anno d generazone,,, pagato con un dermento d ann,,. S potzza che sa una varable aleatora d cu dsponamo d alcun suo valor nel caso dat del trangolo run o). L potes che sta alla base del metodo della catena s può rassumere n E /,..., ),, e,, - dove rappresentano attor d svluppo ncremental. Qund la legge ondamentale che regola l metodo della catena è quella d costanza nel tempo della progressone con cu vengono lqudat snstr legge nota come progressone d smontamento de snstr. Questo sgnca escludere ogn possble dpendenza tra gl ann d generazone, vale a dre potzzare che le varabl aleatore ann d generazone. Qund: 3 sono ndpendent ne dvers

5 {,..., } e {,,..., } Osservazone. con sono ndpendent. Ipotes abbastanza orte, n quanto, col tempo, possono vercars attor estern od ntern all mpresa che modcano le attual condzon d pagamento de snstr ad es. mutate modaltà con cu vengono trattat snstr aggornamento del processo d lqudazone, nlazone,) Co premesso, è possble esprmere l errore standard della stma mse ) /, ) E D dove D { / }, ossa sono valor della matrce dat osservat. Dalla relazone E a) Var x) E ) a) d come: Segue mse ) Var / D) E / D) ), la quale mostra come l errore quadratco medo sa componble nella somma d due termn:. varanza del processo. l eettvo errore d stma E evdente che per ottenere una stma dell errore quadratco medo d occorre speccare una ormula per la varanza. Poché attor d svluppo sono delle mede ponderate de attor,, cò suggersce che la Var /,..., ) deve essere nversamente proporzonale a, ossa: Var,..., ) con,..., e,... e dove,,...,, è un parametro ncognto da stmare da dat. Una possble stma corretta per tale parametro è: con,...,. 4

6 5 Questa espressone non è altro che una meda ponderata de resdu; l denomnatore rappresenta l numero e resdu meno uno, l che ornsce una stma non dstorta d. Per completare la stma d per ogn,, - occorre assegnare un valore a )).,,mn / mn Sotto tutte queste potes è possble dmostrare che l errore quadratco medo d,,,, è dato da:, ) z z mse dove con >..., sono le stme uture. Spesso rsulta d partcolare nteresse la stma dell errore quadratco medo complessvo, quello relatvo alla rserva globale, nonché somma d tutte le rserve ne var ann d generazone,.... Tale quanttà non può essere semplcemente ottenuta sommando sngol error quadratc med poché ess sono correlat per va de attor d svluppo e le quanttà. Un espressone n grado d eettuare una correzone che tenga conto delle covaranze è data da: ) n n z z s e mse / ). ) dove. L errore standard rlette nesattezze delle stma dovuta all aleatoretà delle varabl convolte nelle valutazon; tuttava non è n grado d coglere l cosddetto errore d speccazone, ossa l errore che s commette nello speccare l modello utlzzato

7 per eettuare l anals secondo tale consderazone non s può escludere che l modello adottato sa sbaglato. 6