dove (nij - ňij) sono le differenze (contingenze) tra le frequenze assolute osservate nij e le frequenze teoriche ňij.

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1 STATISTICA Esertazone 3 05//05 Dott.ssa Vera Gurtovaa Eserzo. Studo dell assoazone tra due varabl qualtatve La seguente tabella doppa rporta dat osservat gornalmente n rermento alle ondzon rologe e al lvello d trao automoblsto per un perodo d tempo d anno. Calolare l nde C-quadrato d Pearson. Condzon Lvello d trao Basso Medo Alto Totale Sereno Varable Pogga Totale Soluzone: Per valutare se e n e msura due varabl X e sono tra loro nterdpendent s utlzza l'nde d assoazone quadrato (χ), e s basa sul onronto tra le requenze assolute osservate n(ontenute nella tabella d ontngenza) e le requenze teore ň e s osserverebbero n aso d peretta ndpendenza tra X e (se non osse alun legame tra le due varabl, ogn prolo rga dovrebbe essere uguale al prolo margnale). r ( n nˆ ) nˆ 0;max dove (n - ň) sono le derenze (ontngenze) tra le requenze assolute osservate n e le requenze teore ň. nn Costruamo la tabella delle requenze teore nˆ Condzon Lvello d trao Basso Medo Alto Totale Sereno 44,40 6,40 39,0 46 Varable 45,3 63,68 40,0 49 Pogga,9 9,9 8,79 70 Totale Costruamo la tabella delle ontngenze n nˆ Condzon Lvello d trao Basso Medo Alto Totale Sereno 3,60-0,40 -,0 0,00 Varable -6,3 9,3-3,0 0,00 Pogga -6,9-8,9 5, 0,00 Totale 0,00 0,00 0,00 0 Costruamo la tabella delle ontngenze al quadrato Condzon Lvello d trao Basso Medo Alto Totale Sereno 06,76 08,6 49,84 663,76 Varable 66,09 373,8 9,03 648,30 Pogga 65,9 79,53 635,3 980,3 Totale 594,4 560,87 37,9 39,944 Dvdamo asuna ontngenza al quadrato per la orrspondente requenza teora:

2 Dvdamo asuna ontngenza al quadrato per la orrspondente requenza teora: Condzon Lvello d trao Basso Medo Alto Totale Sereno 3,94,73,57 38,4 Varable 5,87 5,86 0,3,96 Pogga,46,66 33,80 48,9 Totale 4,7 0,5 46,60 99, r ( n nˆ nˆ ) 99, L nde -quadrato dpende dalla struttura della tabella e della numerostà del ollettvo. In base al rsultato ottenuto s può dre e è assoazone tra le varabl "Condzon " e "Lvello d trao" (χ 0). Per stablre se la onnessone tra le due varabl è alta o bassa è possble rorrere alla normalzzazone dell nde. Inde d ontngenza meda (elmna la dpendenza da ): 0,7 Inde d Cramer (elmna ane l'eetto della struttura della tabella). E' un nde normalzzato tra 0 e ; V=0 se le varabl sono ndpendent, V= se 'è massma nterdpendenza. V mn( r, ) r - numero d rge, - numero olonne. V 0,7 mn(3,3) 0,7 0,367 L nde V d Cramér nda e l lvello d assoazone tra le due varabl è par al 36,7% d quello massmo possble. Eserzo. Studo dell assoazone tra una varable qualtatva e una varable quanttatva La seguente tabella a doppa entrata rporta dat relatv al numero d SMS nvat n un mese e all'età de mttent. Calolare l numero medo e la devazone standard degl SMS nvat al mese, stablre (on un nde eta-quadrato) l grado d dpendenza n meda del numero d SMS nvat al mese dall'età del mttente. Età (ann omput) umero d SMS al mese Totale [0;5) [5;5) [5;45) 5 8 [45;80) 0 3 Totale La dpendenza n meda s basa sulla varabltà delle mede ondzonate. è ndpendente n meda da X se tutte le mede ondzonate sono ugual ra loro e ugual alla meda margnale. Inde eta-quadrato (η) è un nde e msura la

3 ondzonate sono ugual ra loro e ugual alla meda margnale. Inde eta-quadrato (η) è un nde e msura la dpendenza n meda, η=nel aso d peretta dpendenza n meda, η= 0 nel aso d peretta ndpendenza n meda. x x η= 0, le mede ondzonate sono ugual tra loro e par alla meda margnale (ndpendenza n meda): 0 η=, ogn meda ondzonata è par ad una sola modaltà (quanttatva) della varable : Soluzone: Costruamo la tabella a doppa entrata on punt med degl ntervall delle modaltà per la varable umero d SMS: Età (ann omput) umero d SMS al mese Totale [0;5) [5;5) [5;45) 5 8 [45;80) 0 3 Totale La dstrbuzone margnale della varable r SMS al mese: n Totale (5*7) (30 * 7) (75* 4) 45,6 Devazone standard (sarto quadrato medo): Le mede ondzonate sono date da: 5 *7 30 *7 75 *4 45,6 669,9 5, 88 ( ) (5*3 30*0 75* 4) ( X [0;5) 36,8 7 (5*0 30*5 75*5) ( X [5;5)) 63,75 0

4 0 (5* 30 * 75*5) ( X [5;45)) 39,7 8 (5* 30* 75* 0) ( X [45;80)) 3,33 3 La varanza è data da: ( x ) (36,8 45,6) *7... (3,33 45,6) *3 04,96 ( (5 45,6) ) 04,96 0, ,89 *7.. (75 45,6) * 4 669,89 Conlusone: l 30,5% della varabltà della varable umero d SMS al mese è spegata dalla varable Età. Eserzo 3. La seguente tabella a doppa entrata rporta dat relatv al voto d 87 student. Calolare l'nde eta-quadrato. Voto Sesso (0;8] (8;] (;4] (4;7] (7;30] Totale M F Totale Le mede ondzonate sono date da: ( X (9 * 6 9,5 * 48,5 * 70 5,5 * 30 8,5 *8) M ) 0,95 9 ( X (9 * 9,5 * 3,5 * 3 5,5 * 0 8,5 * 8) F ), 95 Meda margnale: 9 * ,5* 6 87,037 x x Calolamo la somma degl sart x al quadrato: x ( x ) ( x )

5 meda ond x ( x ) ( x ) M 0,95-0,087 0,0076,453 F, 0,73 0,099,8433 Totale 4,965 4, ,05 Calolamo la somma degl sart al quadrato: ( ) ( ) 8335, ,05 9,04 0,0005 9,04 Voto (0;8] (8;] (;4] (4;7] (7;30] -,037 -,537,463 4,463 7,463 44,8894,364,404 9,984 55, , ,78 8, , , ,87 Conlusone: nde eta-quadro prossmo a 0, le varabl "Voto" e "Sesso" sono perettamente ndpendent.