Modelli Clamfim Equazione delle opzioni Teorema di Radon Nykodym 9 dicembre 2013

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1 CLAMFIM Bologna Modell Clamfm Equazone delle opzon Teorema d Radon Nykodym 9 dcembre 2013 professor Danele Rtell danele.rtell@unbo.t 1/33?

2 ubblctà Lbero accesso a Legendre Hyperellptc ntegrals, π new formulae and Laurcella functons through the ellptc sngular modul n Journal of Number Theory. 2/33?

3 Soluton to Cauchy problem u t (x, t) = cu xx (x, t) + au x (x, t) + bu(x, t) u(x, 0) = f(x) (H c ) s ( ) b u(x, t) = e a2 4c t e a 2c x h(x, t) where h(x, t) solves the heat equaton h t (x, t) = ch xx (x, t) h(x, 0) = e a 2c x f(x) 3/33?

4 Example. Solve the parabolc Cauchy problem u t = u xx 2u x u(x, 0) = xe x 4/33?

5 In such a way we have h(x, t) = 1 π e s2 e a 2 (x+2s t) f(x + 2s t)ds (H s ) 5/33?

6 In such a way we have h(x, t) = 1 π e s2 e a 2 (x+2s t) f(x + 2s t)ds (H s ) Here a = 2, b = 0 so that we have to solve the ntal value problem for the heat equaton h t (x, t) = h xx (x, t) h(x, 0) = x 5/33?

7 whch soluton s gven by h(x, t) = 1 π e s2 (x + 2s t)ds = x 6/33?

8 whch soluton s gven by h(x, t) = 1 π Eventually soluton to the gven problem s e s2 (x + 2s t)ds = x u(x, t) = xe x t 6/33?

9 Integrals wth respect to a generated measure. From the generated measure theorem together wth the monotone convergence theorem we nfer a theorem of great nterest n probablty. Recall that f µ s a measure and f a measurable functon n some measure space (X, A, µ) then φ(a) = fdµ s a measure. A 7/33?

10 Theorem If f : X [0, + ] s µ measurable and f g : X [0, + ] s φ measurable then gdφ = X X gf dµ ( ) In such stuaton f s called densty of φ wth respect to µ. 8/33?

11 Theorem If f : X [0, + ] s µ measurable and f g : X [0, + ] s φ measurable then gdφ = X X gf dµ ( ) In such stuaton f s called densty of φ wth respect to µ. In partcolar f f s such that fdµ = 1 then φ s a probablty measure. X 8/33?

12 Idea of the proof. From the generaton measure theorem we see that ( ) holds true when g = 1 E beng E A. Thus ( ) holds for any smple functon. The general case then follows from Beppo Lev s theorem, va the approxmaton of a measurable functon wth a convergng sequence of smple functons. 9/33?

13 Observe that when measure φ s obtaned from f and µ as n the former theorem, then a null set for µ s a null set for φ also, that s µ(e) = 0 = φ(e) = 0 So the followng defnton makes sense. 10/33?

14 Observe that when measure φ s obtaned from f and µ as n the former theorem, then a null set for µ s a null set for φ also, that s µ(e) = 0 = φ(e) = 0 So the followng defnton makes sense. Defnton Let φ and µ measures on the same σ algebra A. We say that φ s absolutely contnuous wth respect to µ f n such a case we wrte φ µ µ(e) = 0 = φ(e) = 0 10/33?

15 When φ s bult from µ ntegratng a nonnegatve µ-measurable functon f, measure φ s absolutely contnuous wth respect to µ. As a matter of fact ths statement can be reversed, that s a measure φ s absolutely contnuous wth respect to µ, there s a a nonnegatve µ-measurable functon whch allows the representaton of µ. 11/33?

16 Radon-Nkodym Theorem Let (X, A, µ) a σ-fnte measure space and let φ a measure on A absolutely contnuous wth respect to measure µ. There s a nonnegatve measurable functon h such that for any E A φ(e) = hdµ E 12/33?

17 Radon-Nkodym Theorem Let (X, A, µ) a σ-fnte measure space and let φ a measure on A absolutely contnuous wth respect to measure µ. There s a nonnegatve measurable functon h such that for any E A φ(e) = hdµ h s unque (a.e) t s called Radon-Nkodym dervatve of φ [ ] dφ respect to µ and t s denoted by dµ E 12/33?

18 Moreover for each f 0 φ-measurable we have f dφ = f h dµ X X 13/33?

19 Varabl aleatore Negl spaz d probabltà l termne varable aleatora ndca una funzone msurable. Qund se (Ω, A, ) è uno spazo d probabltà allora X : Ω R è una varable aleatora se per ogn a R l nseme X 1 ([a, + )) è msurable, coè X 1 ([a, + )) A X 1 ([a, + )) = {ω Ω X(ω) a} A 14/33?

20 Varabl aleatore Negl spaz d probabltà l termne varable aleatora ndca una funzone msurable. Qund se (Ω, A, ) è uno spazo d probabltà allora X : Ω R è una varable aleatora se per ogn a R l nseme X 1 ([a, + )) è msurable, coè X 1 ([a, + )) A X 1 ([a, + )) = {ω Ω X(ω) a} A Nelle applcazon Ω rappresenta gl est d un espermento aleatoro che possono essere osservat medante msurazon, che assegnano valor numerc a rsultat. Nelle pratca c s chede sostanzalmente quale sa la probabltà che l valore della varable aleatora sta fra preassegnat lmt 14/33?

21 Expectaton Se X è una varable aleatora defnta nello spazo d probabltà (Ω, A, ) l ntegrale (astratto) E(X) = Ω Xd è chamato valore atteso (speranza matematca) d X 15/33?

22 È possble esprmere questo ntegrale astratto medante un ntegrale usando le denstà E(X) = con + x f X (x)dx f X (x)dx = 1 16/33?

23 Moment Le varabl aleatore che appartengono a spaz L p (Ω) hanno grande mportanza n probabltà. Il momento d ordne n d una varable aleatora X L n (Ω) è l numero E(X n ), n N 17/33?

24 Moment Le varabl aleatore che appartengono a spaz L p (Ω) hanno grande mportanza n probabltà. Il momento d ordne n d una varable aleatora X L n (Ω) è l numero E(X n ), n N osto µ = E(X) l momento centrale d ordne n è defnto da E(X µ) n, n N 17/33?

25 Se X ha una denstà f X abbamo gl ntegral d Lebesgue E(X n ) = x n f X (x)dx, E(X µ) n = (x µ) n f X (x)dx R R 18/33?

26 Varanza La varanza d una varable aleatora è l momento centrale del secondo ordne σx 2 = Var(X) = E (X E(X)) 2 19/33?

27 Teorema Due varabl aleatore X, Y sono ndpendent se e solo se per ogn scelta d funzon f, g Borel msurabl e lmtate vale E (f(x) g(y )) = E (f(x)) E (g(y )) 20/33?

28 Teorema Due varabl aleatore X, Y sono ndpendent se e solo se per ogn scelta d funzon f, g Borel msurabl e lmtate vale E (f(x) g(y )) = E (f(x)) E (g(y )) Teorema Se X, Y sono varabl aleatore ndpendent a meda nulla, coè E(X) = E(Y ) = 0 allora E(XY ) = 0 20/33?

29 Covaranza Data una varable aleatora per cu sa fnto µ = E(X) defnamo X c = X E(X) e dcamo che X c è una varable aleatora centrata, per cu vale E(X c ) = 0. La covaranza d due varabl aleatore X e Y è defnta da σ XY = Cov(X, Y ) = E ((X E(X)) (Y E(Y ))) 21/33?

30 Covaranza Data una varable aleatora per cu sa fnto µ = E(X) defnamo X c = X E(X) e dcamo che X c è una varable aleatora centrata, per cu vale E(X c ) = 0. La covaranza d due varabl aleatore X e Y è defnta da σ XY = Cov(X, Y ) = E ((X E(X)) (Y E(Y ))) La correlazone è ρ X,Y = Cov(X, Y ) σ X σ Y 21/33?

31 Osservazone Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X) E(Y ) Dremo che le varabl aleatore non sono correlate se Cov(X, Y ) = 0 coè se E(XY ) = E(X) E(Y ) Qund due varabl aleatore ndpendent sono non correlate 22/33?

32 Dstrbuzon congunte Se X, Y sono due varabl aleatore defnte sullo stesso spazo d probabltà (Ω, A, ) consderamo l vettore aleatoro (X, Y ) : Ω R 2 La sua dstrbuzone è la msura defnta su Borelan d R 2 da (X,Y ) (B) = ((X, Y ) B) 23/33?

33 Dstrbuzon congunte Se X, Y sono due varabl aleatore defnte sullo stesso spazo d probabltà (Ω, A, ) consderamo l vettore aleatoro (X, Y ) : Ω R 2 La sua dstrbuzone è la msura defnta su Borelan d R 2 da (X,Y ) (B) = ((X, Y ) B) Se questa msura può essere scrtta come (X,Y ) (B) = f (X,Y ) (x, y)dxdy B per qualche funzone sommable f (X,Y ) dremo che X e Y hanno una denstà congunta 23/33?

34 La dstrbuzone congunta determna le dstrbuzon delle varabl aleatore uno-dmensonal X, Y X (A) = (X,Y ) (A R) Y (A) = (X,Y ) (R A) n cu A R è un nseme d Borel. Queste dstrbuzon sono dette dstrbuzon margnal X e Y sono entrambe assolutamente contnue con denstà date da f X (x) = f Y (y) = + + f (X,Y ) (x, y)dy f (X,Y ) (x, y)dx 24/33?

35 Eserczo Se f (X,Y ) (x, y) = 1 50 ( x 2 + y 2) 1 [0,2] [1,4] (x, y) calcolare (X,Y ) (X + Y > 4) 25/33?

36 Eserczo Se f (X,Y ) (x, y) = 1 50 ( x 2 + y 2) 1 [0,2] [1,4] (x, y) calcolare (X,Y ) (X + Y > 4) er prma cosa è saggo verfcare se f (X,Y ) (x, y) sa una denstà calcolando: ( x 2 + y 2) dxdy = 1 2 (21 + 3x 2 )dx = /33?

37 onamo A = {(x, y) x + y > 4} [0, 2] [1, 4]. y x 26/33?

38 Allora (X,Y ) (X + Y > 4) = (X,Y ) (Y > X + 4) = A f (X,Y ) (x, y)dx dy 27/33?

39 Allora (X,Y ) (X + Y > 4) = (X,Y ) (Y > X + 4) = A f (X,Y ) (x, y)dx dy ertanto A f (X,Y ) (x, y)dx dy = = ( x 1 50 ( x 2 + y 2) ) dy dx ( 4x x3 + 16x ) dx = /33?

40 Eserczo Se due varabl aleatore hanno denstà congunta data da f (X,Y ) (x, y) = 1 π e (x 2 +y 2 ) calcolare ( (X,Y ) X 2 + Y 2 > 1 ) 28/33?

41 Somma d denstà congunte Teorema Se X, Y hanno denstà congunta f X,Y allora la denstà della loro somma è data da f X+Y (z) = + f X,Y (x, z x) dx 29/33?

42 Indpendenza Nello spazo (Ω, A, ) due event E 1, E 2 A s dcono ndpendent se (E 1 E 2 ) = (E 1 )(E 2 ) 30/33?

43 pertanto ha senso dre che: Le varabl aleatore X, Y sono ndpendent se e solo se (X,Y ) = X Y Se X, Y hanno denstà congunta esse sono ndpendent se e solo se f (X,Y ) (x, y) = f X (x)f Y (y) (A) Se X, Y sono assolutamente contnue e ndpendent queste hanno denstà congunta data dalla formula (A) 31/33?

44 Se X, Y sono assolutamente contnue e ndpendent la loro somma ha denstà data dalla convoluzone f X+Y (z) = + f X,Y (x, z x)dx = + f X (x)f Y (z x)dx 32/33?

45 Eserczo S supponga che X e Y sano due varabl causal standardzzate ndpendent. Calcolare la denstà d Z = X + Y 33/33?

46 Eserczo S supponga che X e Y sano due varabl causal standardzzate ndpendent. Calcolare la denstà d Z = X + Y Le denstà d X e Y sono f X (x) = 1 2π e x2 /2, f Y (y) = 1 2π e y2 /2 qund f Z (z) = f X (x)f Y (z x)dx = 1 2π e (z2 2zx+2x 2 )/2 dx 33/33?

47 Eserczo S supponga che X e Y sano due varabl causal standardzzate ndpendent. Calcolare la denstà d Z = X + Y Le denstà d X e Y sono f X (x) = 1 2π e x2 /2, f Y (y) = 1 2π e y2 /2 qund f Z (z) = Completando l quadrato f X (x)f Y (z x)dx = 1 2π z 2 2zx + 2x 2 2 = ( x z ) 2 z e (z2 2zx+2x 2 )/2 dx 33/33?

48 Eserczo S supponga che X e Y sano due varabl causal standardzzate ndpendent. Calcolare la denstà d Z = X + Y Le denstà d X e Y sono f X (x) = 1 2π e x2 /2, f Y (y) = 1 2π e y2 /2 qund f Z (z) = Completando l quadrato qund f Z (z) = 1 casuale N (0, 2) f X (x)f Y (z x)dx = 1 2π z 2 2zx + 2x 2 2π e z /33? e (z2 2zx+2x 2 )/2 dx ( = x z ) 2 z e (x z 2) 2 1 dx = e 2π 2 z 2 2( 2) 2 varable