Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa lezione 19: 23 maggio 2013
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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa lezone 19: 23 maggo 2013 professor Danele Rtell 1/30?
2 Teora del ortafoglo Ogn ttolo a ha un valore nzale V (0) e un valore fnale V (T ) Un ortafoglo è una collezone d n N ttol a 1,..., a n possedut con una determnata proporzone. S tratta d una n-upla ordnata d numer real Π = (ϑ 1,..., ϑ n ) n cu ϑ è l numero d untà possedute del ttolo a 2/30?
3 ϑ < 0 è una short poston: coè la vendta del ttolo con l aspettatva che l suo prezzo cal nel futuro ϑ > 0 è una long poston: coè l acqusto del ttolo con l aspettatva che l suo prezzo aument nel futuro Il peso w del ttolo a è la percentuale del ttolo n portafoglo al tempo t = 0 w = ϑ V (0) n ϑ j V j (0) Dunque w w n = 1 j=1 3/30?
4 Rendmento Il rendmento R del ttolo a è è una varable aleatora defnta dall equazone V (T ) = V (0)(1 + R ) = R = V (T ) V (0) V (0) l rendmento atteso del ttolo a è µ = E(R ) 4/30?
5 Il rendmento del portafoglo Π è la somma pesata de rendment d cascun ttolo n R = w R Il valore atteso del rendmento dell ntero portafoglo Π è n µ = w µ =1 =1 5/30?
6 Rscho La varanza del rendmento del ttolo a σ 2 = Var(R ) è chamata l rscho del ttolo a. Come msura del rscho s può naturalmente usare anche la devazone standard 6/30?
7 Rscho La varanza del rendmento del ttolo a σ 2 = Var(R ) è chamata l rscho del ttolo a. Come msura del rscho s può naturalmente usare anche la devazone standard Sccome rendment de sngol ttol n portafoglo non sono n generale ndpendent, la varanza del rendmento del portafoglo è ( n ) n n σ 2 = Var w R = w w j Cov(R, R j ) (σ 2 ) =1 ove Cov(R, R j ) è la covaranza d R e R j. =1 j=1 6/30?
8 Rscho La varanza del rendmento del ttolo a σ 2 = Var(R ) è chamata l rscho del ttolo a. Come msura del rscho s può naturalmente usare anche la devazone standard Sccome rendment de sngol ttol n portafoglo non sono n generale ndpendent, la varanza del rendmento del portafoglo è ( n ) n n σ 2 = Var w R = w w j Cov(R, R j ) (σ 2 ) =1 ove Cov(R, R j ) è la covaranza d R e R j. (σ 2 ) è conseguenza della relazone =1 j=1 Var(aX + by ) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y ) + 2abCov(X, Y) 6/30?
9 ossamo rscrvere l ultma formula usando coeffcent d correlazone (ρ R R j = ρ j = Cov(R R j ) σ σ j ) come n n σ 2 = w w j ρ j σ σ j =1 j=1 7/30?
10 Rendmento atteso Il Rendmento atteso µ d un portafoglo è l valore atteso del rendmento del portafoglo ( n ) n µ = E w R = w µ =1 =1 8/30?
11 Rendmento atteso Il Rendmento atteso µ d un portafoglo è l valore atteso del rendmento del portafoglo ( n ) n µ = E w R = w µ =1 =1 Rscho Il Rscho d un portafoglo è la varanza del rendmento del portafoglo n n σ 2 = w w j ρ j σ σ j =1 j=1 8/30?
12 Un ttolo è rschoso se l suo rscho σ 2 è postvo È prvo d rscho se l suo rscho è zero Salvo avvso contraro, supporremo che tutt ttol n portafoglo sano rschos. 9/30?
13 ortafoglo con due ttol: mnmzzazone del rscho Consderamo l portafoglo pù semplce, n cu c sono solo due ttol a 1 e a 2 con rendment attes µ 1 e µ 2 e rsch σ1 2 e σ2. 2 Indchamo con t l peso del ttolo a 1 e con 1 t l peso del ttolo a 2. Il rendmento atteso del portafoglo è µ = tµ 1 + (1 t)µ 2 10/30?
14 ortafoglo con due ttol: mnmzzazone del rscho Consderamo l portafoglo pù semplce, n cu c sono solo due ttol a 1 e a 2 con rendment attes µ 1 e µ 2 e rsch σ1 2 e σ2. 2 Indchamo con t l peso del ttolo a 1 e con 1 t l peso del ttolo a 2. Il rendmento atteso del portafoglo è Il rscho è µ = tµ 1 + (1 t)µ 2 σ 2 = t 2 σ (1 t) 2 σ t(1 t)ρ 12 σ 1 σ 2 (R) 10/30?
15 ortafoglo con due ttol: mnmzzazone del rscho Consderamo l portafoglo pù semplce, n cu c sono solo due ttol a 1 e a 2 con rendment attes µ 1 e µ 2 e rsch σ1 2 e σ2. 2 Indchamo con t l peso del ttolo a 1 e con 1 t l peso del ttolo a 2. Il rendmento atteso del portafoglo è Il rscho è µ = tµ 1 + (1 t)µ 2 σ 2 = t 2 σ (1 t) 2 σ t(1 t)ρ 12 σ 1 σ 2 (R) C nteressa confrontare l rscho del portafoglo con quello de due ttol pres sngolarmente. ossamo supporre che sa 0 < σ 1 σ 2 10/30?
16 Caso de due ttol non correlat In questo caso essendo ρ 12 = 0 l rscho d portafoglo (R) s rduce a σ 2 = t 2 σ (1 t) 2 σ 2 2 (RU) 11/30?
17 Caso de due ttol non correlat In questo caso essendo ρ 12 = 0 l rscho d portafoglo (R) s rduce a σ 2 = t 2 σ (1 t) 2 σ 2 2 = ( σ σ 2 2) t 2 2σ 2 2t + σ 2 2 (RU) 11/30?
18 Caso de due ttol non correlat In questo caso essendo ρ 12 = 0 l rscho d portafoglo (R) s rduce a σ 2 = t 2 σ1 2 + (1 t) 2 σ2 2 = ( σ1 2 + σ2) 2 t 2 2σ2t 2 + σ2 2 (RU) La (RU) va pensata come funzone della t: s vuole mscelare l peso n modo da mnmzzare l rscho. 11/30?
19 Caso de due ttol non correlat In questo caso essendo ρ 12 = 0 l rscho d portafoglo (R) s rduce a σ 2 = t 2 σ (1 t) 2 σ 2 2 = ( σ σ 2 2) t 2 2σ 2 2t + σ 2 2 (RU) La (RU) va pensata come funzone della t: s vuole mscelare l peso n modo da mnmzzare l rscho. trova la condzone del prmo ordne 2 ( σ σ 2 2) t 2σ 2 2 = 0 che porge l mx mnmzzatore del rscho t m = σ2 2 σ σ2 2 Dervando (RU) rspetto a t s 11/30?
20 Il rscho mnmzzato dunque vale σ 2 m = ( σ σ 2 2 ) t 2 m 2σ 2 2t m + σ 2 2 = σ2 1σ 2 2 σ σ2 2 12/30?
21 Il rscho mnmzzato dunque vale Osservazone σ 2 m = ( σ σ 2 2 ) t 2 m 2σ 2 2t m + σ 2 2 = σ2 1σ 2 2 σ σ2 2 Vale la dsuguaglanza 0 < σm 2 < mn { } σ1, 2 σ2 2 12/30?
22 Il rscho mnmzzato dunque vale Osservazone σ 2 m = ( σ σ 2 2 ) t 2 m 2σ 2 2t m + σ 2 2 = σ2 1σ 2 2 σ σ2 2 Vale la dsuguaglanza 0 < σm 2 < mn { } σ1, 2 σ2 2 Infatt se ammettamo senza perdta d generaltà che sa σ 2 1 σ 2 2 abbamo σ 2 1σ 2 2 σ σ2 2 = σ2 1 σ1 2 σ σ2 1 12/30?
23 Dunque l mnmo rscho è postvo ma è mnore de rsch de due ttol pres separatamente 0,Σ 2 2 1,Σ 1 2 t m 1 Fgura 1: σ 1 = 1 σ 2 = 2 13/30?
24 Caso de due ttol postvamente correlat In questo caso essendo ρ 12 = 1 l rscho d portafoglo (R) s rduce a σ 2 = t 2 σ (1 t) 2 σ t(1 t)σ 1 σ 2 (R) 14/30?
25 Caso de due ttol postvamente correlat In questo caso essendo ρ 12 = 1 l rscho d portafoglo (R) s rduce a σ 2 = t 2 σ (1 t) 2 σ t(1 t)σ 1 σ 2 = [(σ 1 σ 2 ) t + σ 2 ] 2 (R) 14/30?
26 Caso de due ttol postvamente correlat In questo caso essendo ρ 12 = 1 l rscho d portafoglo (R) s rduce a σ 2 = t 2 σ (1 t) 2 σ t(1 t)σ 1 σ 2 = [(σ 1 σ 2 ) t + σ 2 ] 2 (R) Trattandos d un quadrato perfetto l mnmo rscho, che n questa stuazone vale esattamente zero, s ha per t m = σ 2 σ 2 σ 1 > 0 14/30?
27 0,Σ 2 2 1,Σ t m Fgura 2: σ 1 = 1 σ 2 = 2 15/30?
28 va osservato che 1 t m = σ 1 σ 2 σ 1 < 0 questo sgnfca che l mnmo rscho d portafoglo s ha assumendo la poszone short sul ttolo a 2 pù rschoso 16/30?
29 Caso de due ttol negatvamente correlat In questo caso essendo ρ 12 = 1 l rscho d portafoglo (R) s rduce a σ 2 = t 2 σ1 2 + (1 t) 2 σ2 2 2t(1 t)σ 1 σ 2 (RM) 17/30?
30 Caso de due ttol negatvamente correlat In questo caso essendo ρ 12 = 1 l rscho d portafoglo (R) s rduce a σ 2 = t 2 σ (1 t) 2 σ 2 2 2t(1 t)σ 1 σ 2 = [(σ 1 + σ 2 ) t σ 2 ] 2 (RM) 17/30?
31 Caso de due ttol negatvamente correlat In questo caso essendo ρ 12 = 1 l rscho d portafoglo (R) s rduce a σ 2 = t 2 σ (1 t) 2 σ 2 2 2t(1 t)σ 1 σ 2 = [(σ 1 + σ 2 ) t σ 2 ] 2 (RM) Trattandos d un quadrato perfetto l mnmo rscho, che anche n questa stuazone vale esattamente zero, s ha per t m = σ 2 σ 1 + σ 2 > 0 17/30?
32 Caso de due ttol negatvamente correlat In questo caso essendo ρ 12 = 1 l rscho d portafoglo (R) s rduce a σ 2 = t 2 σ (1 t) 2 σ 2 2 2t(1 t)σ 1 σ 2 = [(σ 1 + σ 2 ) t σ 2 ] 2 (RM) Trattandos d un quadrato perfetto l mnmo rscho, che anche n questa stuazone vale esattamente zero, s ha per In questo caso sccome t m = σ 2 σ 1 + σ 2 > 0 1 t m = σ 1 σ 1 + σ 2 > 0 l mnmo rscho non rchede d vendere 17/30?
33 0,Σ 2 2 1,Σ 1 2 t m 1 Fgura 3: σ 1 = 1 σ 2 = 2 18/30?
34 Dagramm rscho-rendmento atteso Consderamo ancora un portafoglo a due ttol a 1 e a 2 con pes w 1 e w 2. Ne dagramm rscho-valore atteso mettamo l rscho n ascssa ed l rendmento atteso n ordnata. er msurare l rscho useremo la devazone standard. Il rendmento atteso del portafoglo è µ = w 1 µ 1 + w 2 µ 2 e l rscho σ 2 = w1σ w2σ w 1 w 2 ρσ 1 σ 2 n cu per semplctà ponamo ρ = ρ 1,2 e come prma assumamo che 0 < σ 1 σ 2 19/30?
35 Il caso ρ = ±1 Abbamo gà vsto che n questa stuazone l espressone d σ 2 s semplfca nfatt abbamo σ = w 1 σ 1 ± w 2 σ 2 l + vale per ρ = 1 e l per ρ = 1 20/30?
36 Il caso ρ = ±1 Abbamo gà vsto che n questa stuazone l espressone d σ 2 s semplfca nfatt abbamo σ = w 1 σ 1 ± w 2 σ 2 l + vale per ρ = 1 e l per ρ = 1 Sccome w 1 + w 2 = 1 ponamo w 2 = s, w 1 = 1 s così ottenamo le rappresentazon parametrche µ = (1 s)µ 1 + sµ 2 σ = (1 s)σ 1 ± sσ 2 al varare d s R. Se 0 < s < 1 non c sono vendte 20/30?
37 Al fne d traccare l grafco de punt (σ, µ) per l momento trascuramo l valore assoluto, consderando le equazon parametrche µ = (1 s)µ 1 + sµ 2 σ = (1 s)σ 1 ± sσ 2 che rappresentano rette nel pano (σ, µ) Se ρ = 1 la retta passa per (σ 1, µ 1 ) e (σ 2, µ 2 ) Se ρ = 1 la retta passa per (σ 1, µ 1 ) e ( σ 2, µ 2 ) 21/30?
38 48 Introducton to the Mathematcs of Fnance J.l J.l cr' Fgure 2: The graphs before takng absolute values Fgura 4: grafc senza l valore assoluto Now, the effect of the absolute value sgn s smply to flp that part of the lne that les n the left half-plane over the J.t-axs (snce a-= o-'1). The Il grassettoresultng ndcaplots la regone are shown n n cu Fgure ambo 3. The pes bold sono portons non correspond negatv: to non ponts where both weghts are nonnegatve, that s, no short sellng s requred. c sono poszon short d vendta J.l J.l 22/30?
39 resultng plots are shown n Fgure 3. The bold portons correspond to ponts where both weghts are nonnegatve, that s, no short sellng s requred. J.l J.l cr Fgure 3: The rsk-return lnes Fgura 5: Rette rscho rendmento From the parametrc equatons (or from our prevous dscusson), we can deduce the followng theorem, whch shows agan that there are cases where we can reduce the rsk of the portfolo to 0. Il grassetto ndca la regone n cu ambo pes sono non negatv: non c sono poszon short d vendta Theorem 1 For p = 1,2 = ±1 the rsk and expected return of the portfolo are gven by the parametrc equatons J.l = (1 - S )J. 1 + SJ.l2 a-= 1(1- s)o-1 ± so-2l 23/30?
40 Rassumamo la stuazone Teorema er ρ = ρ 12 = ±1 l rscho ed l valore atteso del portafoglo sono dat dalle equazon parametrche µ = (1 s)µ 1 + sµ 2 σ = (1 s)σ 1 ± sσ 2 con s peso del ttolo a 2 che vara su tutto l nseme de numer real. Se, n partcolare, s [0, 1] due pes sono 0 e nel portafoglo non c sono poszon short. Fuor da [0, 1] uno de due pes è negatvo, ed l ttolo corrspondente è n poszone short. 24/30?
41 Se ρ = 1 e σ 1 = σ 2 allora tutt pes producono lo stesso (mnmo) rscho σ mn = σ 1 = σ 2 Se ρ = 1 e σ 1 < σ 2 due pes mnmzzant sono cu corrspondono w 1 = σ 2 σ 1 σ 2, w 2 = σ 1 σ 1 σ 2 µ mn = σ 1µ 2 σ 2 µ 1 σ 1 σ 2, σ mn = 0 25/30?
42 Se ρ = 1 due pes mnmzzant sono cu corrspondono w 1 = σ 2 σ 1 + σ 2, w 2 = σ 1 σ 1 + σ 2 µ mn = σ 1µ 2 + σ 2 µ 1 σ 1 + σ 2, σ mn = 0 26/30?
43 Se ρ = 1 due pes mnmzzant sono cu corrspondono w 1 = σ 2 σ 1 + σ 2, w 2 = σ 1 σ 1 + σ 2 µ mn = σ 1µ 2 + σ 2 µ 1 σ 1 + σ 2, σ mn = 0 L nteresse d questo rsultato è essenzalmente teorco: nfatt n generale non è possble trovare ttol che soddsfno ρ = 1. er le applcazon concrete è l caso 1 < ρ < 1 che nteressa esamnare 26/30?
44 Caso 1 < ρ < 1 Le equazon parametrche del valore atteso e del rscho sono { µ =w1 µ 1 + w 2 µ 2 σ 2 =w 2 1σ w 2 2σ w 1 w 2 ρσ 1 σ 2 27/30?
45 Caso 1 < ρ < 1 Le equazon parametrche del valore atteso e del rscho sono { µ =w1 µ 1 + w 2 µ 2 σ 2 =w 2 1σ w 2 2σ w 1 w 2 ρσ 1 σ 2 ponendo come prma w 2 = s, w 1 = 1 s abbamo { µ =(µ2 µ 1 )s + µ 1 σ 2 =(σ σ 2 2 2ρσ 1 σ 2 )s 2 2σ 1 (σ 1 ρσ 2 )s + σ /30?
46 Caso 1 < ρ < 1 Le equazon parametrche del valore atteso e del rscho sono { µ =w1 µ 1 + w 2 µ 2 σ 2 =w 2 1σ w 2 2σ w 1 w 2 ρσ 1 σ 2 ponendo come prma w 2 = s, w 1 = 1 s abbamo { µ =(µ2 µ 1 )s + µ 1 σ 2 =(σ1 2 + σ2 2 2ρσ 1 σ 2 )s 2 2σ 1 (σ 1 ρσ 2 )s + σ1 2 ρ < 1 = σ1 2 + σ2 2 2ρσ 1 σ 2 = (σ 1 σ 2 ) 2 + 2σ 1 σ 2 (1 ρ) > 0 qund la curva rscho rendmento così ndvduata è effettvamente una parabola 27/30?
47 Anche n questo caso mnmzzamo l rscho. Supponamo come al solto che 0 < σ 1 σ 2. Dervando rspetto ad s l rscho σ 2 trovamo d ds (σ2 ) = 2(σ σ 2 2 2ρσ 1 σ 2 )s 2σ 1 (σ 1 ρσ 2 ) 28/30?
48 Anche n questo caso mnmzzamo l rscho. Supponamo come al solto che 0 < σ 1 σ 2. Dervando rspetto ad s l rscho σ 2 trovamo d ds (σ2 ) = 2(σ σ 2 2 2ρσ 1 σ 2 )s 2σ 1 (σ 1 ρσ 2 ) s mn = σ 1(σ 1 ρσ 2 ) σ σ2 2 2ρσ 1σ 2 28/30?
49 Anche n questo caso mnmzzamo l rscho. Supponamo come al solto che 0 < σ 1 σ 2. Dervando rspetto ad s l rscho σ 2 trovamo d ds (σ2 ) = 2(σ σ 2 2 2ρσ 1 σ 2 )s 2σ 1 (σ 1 ρσ 2 ) s mn = σ 1(σ 1 ρσ 2 ) σ σ2 2 2ρσ 1σ 2 σ 2 mn = σ2 1 σ2 2 (1 ρ2 ) σ σ2 2 2ρσ 1σ 2 28/30?
50 Anche n questo caso mnmzzamo l rscho. Supponamo come al solto che 0 < σ 1 σ 2. Dervando rspetto ad s l rscho σ 2 trovamo d ds (σ2 ) = 2(σ σ 2 2 2ρσ 1 σ 2 )s 2σ 1 (σ 1 ρσ 2 ) s mn = σ 1(σ 1 ρσ 2 ) σ σ2 2 2ρσ 1σ 2 σ 2 mn = σ2 1 σ2 2 (1 ρ2 ) σ σ2 2 2ρσ 1σ 2 Rcordamo che non c sono poszon short se e solo se s mn [0, 1] e questa condzone è asscurata dalla condzone 1 ρ < σ 1 σ 2 28/30?
51 Rassumamo la stuazone Teorema Supponamo 0 < σ 1 σ 2 e sa ρ = ρ 1,2 l coeffcente d correlazone. Supponamo po che se ρ = 1 sa σ 1 σ 2. Se s mn è l peso del ttolo a 2 che mnmzza l rscho allora s mn = σ 1(σ 1 ρσ 2 ) σ σ2 2 2ρσ 1σ 2 e µ mn = (µ 2 µ 1 )s mn + µ 1, σ 2 mn = σ2 1 σ2 2 (1 ρ2 ) σ σ2 2 2ρσ 1σ 2 29/30?
52 1) Se ρ = 1 e σ 1 = σ 2 tutt pes conducono allo stesso mmno rscho σ mn = σ 1 = σ 2 2) La condzone 1 ρ < σ 1 σ 2 equvale a 0 < s mn < 1 e n tale stuazone l mnmo rscho è conseguto senza poszon short d vendta. Inoltre o σ 2 mn = 0 ρ = 1 σ 2 mn < mn{σ 1, σ 2 } 3) La condzone ρ = σ 1 σ 2 (fatto salvo l caso ρ = 1, σ 1 = σ 2 ) è equvalente a s mn = 0 nel qual caso σ 2 mn = σ 2 1 4) La condzone σ 1 σ 2 < ρ 1 è equvalente a s mn < 0 è qund necessara una poszone short d vendta del ttolo a 2 per mnmzzare l rscho. Inoltre o σ 2 mn = 0 ρ = 1 σ 2 mn < mn{σ 1, σ 2 } 30/30?
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