Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 2: 18 febbraio 2014

Transcript

1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 2: 18 febbrao 2014 professor Danele Rtell 1/19?

2 Defnzone. f : R R s dce moltplcatva se per x, y R: f(x + y) = f(x) f(y) 2/19?

3 Defnzone. f : R R s dce moltplcatva se per x, y R: f(x + y) = f(x) f(y) Teorema d Cauchy (1821). Se f è moltplcatva, contnua e non nulla, allora esste c R tale che per ogn x R vale: f(x) = e c x 2/19?

4 Teorema. Le funzon d captalzzazone n due varabl sono tutte e sole le funzon del tpo: m(t, s; C) = C f(t, s). 3/19?

5 Nella pratca s fssa l stante nzale t 0 = 0 e s consderano legg d captalzzazone, dpendent da due sole varabl, l tempo e l captale, ottenendo funzon del tpo m(t; C), 4/19?

6 Defnzone Dremo legge d captalzzazone (o funzone montante) ogn funzone contnua m : [0, [ R, non negatva, tale che: α) per ogn t > 0 e per ogn C, D 0 vale: m (t; C + D) = m (t; C) + m (t; D), β) per ogn 0 t 1 < t 2 e per ogn C 0 vale: m (t 1 ; C) < m (t 2 ; C), γ) per ogn C 0 vale: m (0; C) = C. 5/19?

7 Nel caso n cu la legge d captalzzazone sa n una sola varable l teorema può essere specalzzato la tes dvene: m(t; C) = C f(t), con f : R R strettamente crescente. La funzone f vene n tal caso detta fattore d captalzzazone. 6/19?

8 Captalzzazone composta Un fattore d captalzzazone è detto scndble se per ogn s ha: f(t 1 + t 2 ) = f(t 1 ) f(t 2 ) 7/19?

9 Captalzzazone composta Un fattore d captalzzazone è detto scndble se per ogn s ha: f(t 1 + t 2 ) = f(t 1 ) f(t 2 ) Questo sgnfca che: m(t 1 + t 2, C) = m(t 2, m(t 1, C)) la condzone d scndbltà mplca che l captale fnale mpegato per l tempo t 1 + t 2 non var se dopo aver nvestto lo stesso captale nzale per l tempo t 1 lo s renvesta per un tempo t 2 7/19?

10 8/19?

11 Teorema. La legge d captalzzazone esponenzale è esprmble medante la formula: m(t, C) = C (1 + ) t ove è l tasso untaro d nteresse. 9/19?

12 Dmostrazone. Sano M t, I t l montante e l nteresse al tempo t. S ha, fssato C > 0: I t = M t C = C ( e δ t 1 ), 10/19?

13 Dmostrazone. Sano M t, I t l montante e l nteresse al tempo t. S ha, fssato C > 0: I t = M t C = C ( e δ t 1 ), l tasso untaro d nteresse è dato da: = I 1 C = eδ 1 11/19?

14 Dmostrazone. Sano M t, I t l montante e l nteresse al tempo t. S ha, fssato C > 0: I t = M t C = C ( e δ t 1 ), l tasso untaro d nteresse è dato da: = I 1 C = eδ 1 quest ultma relazone consente d determnare δ n termn d : δ = ln (1 + ). 12/19?

15 Dmostrazone. Sano M t, I t l montante e l nteresse al tempo t. S ha, fssato C > 0: I t = M t C = C ( e δ t 1 ), l tasso untaro d nteresse è dato da: = I 1 C = eδ 1 quest ultma relazone consente d determnare δ n termn d : δ = ln (1 + ). Sosttuendo n m(t, C) = Ce δt ottenamo da cu s ha la tes. m(t, C) = Ce t ln(1+), 13/19?

16 Eserczo Al tasso annuo untaro d nteresse del 4% quanto tempo è necessaro per trplcare un captale nvestto n regme d nteresse composto? 14/19?

17 Eserczo Al tasso annuo untaro d nteresse del 4% quanto tempo è necessaro per trplcare un captale nvestto n regme d nteresse composto? 3 = ( ) t /19?

18 Eserczo Al tasso annuo untaro d nteresse del 4% quanto tempo è necessaro per trplcare un captale nvestto n regme d nteresse composto? assando a logartm ( ln 3 = ln = ) t = ln ( ( ) t 100 ) t = t ln = t (ln 26 ln 25). 14/19?

19 Eserczo Al tasso annuo untaro d nteresse del 4% quanto tempo è necessaro per trplcare un captale nvestto n regme d nteresse composto? assando a logartm ( ln 3 = ln ertanto: t = 3 = ) t = ln ( ln 3 ln 26 ln 25 ( ) t 100 ) t = t ln , = t (ln 26 ln 25). 14/19?

20 t = 28, sgnfca 28 ann e 0, = 3, := 4 gorn 15/19?

21 t = 28, sgnfca 28 ann e 0, = 3, := 4 gorn Convenzone anno commercale: 12 mes d 30 gorn 15/19?

22 Eserczo Il captale d ha dato, al tasso annuo = 0, 025 l montante d Determnare l tempo d captalzzazone. 16/19?

23 Eserczo Il captale d ha dato, al tasso annuo = 0, 025 l montante d Determnare l tempo d captalzzazone = (1, 025)x 16/19?

24 Eserczo Il captale d ha dato, al tasso annuo = 0, 025 l montante d Determnare l tempo d captalzzazone = (1, 025)x ln(1, 7) = x ln(1, 025) 16/19?

25 Eserczo Il captale d ha dato, al tasso annuo = 0, 025 l montante d Determnare l tempo d captalzzazone = (1, 025)x ln(1, 7) = x ln(1, 025) x = 0, , /19?

26 Eserczo Il captale d ha dato, al tasso annuo = 0, 025 l montante d Determnare l tempo d captalzzazone = (1, 025)x ln(1, 7) = x ln(1, 025) x = 0, , x = 21, /19?

27 Eserczo Il captale d ha dato, al tasso annuo = 0, 025 l montante d Determnare l tempo d captalzzazone = (1, 025)x ln(1, 7) = x ln(1, 025) x = 0, , x = 21, ann e 176 gorn perchè 176, 184 = 360 0, /19?

28 Captalzzazone semplce Defnzone. Un fattore d captalzzazone s dce a nteress addtv se per ogn t 1, t 2 > 0 s ha: f(t 1 ) + f(t 2 ) = f(t 1 + t 2 ) + 1. ( ) 17/19?

29 Captalzzazone semplce Defnzone. Un fattore d captalzzazone s dce a nteress addtv se per ogn t 1, t 2 > 0 s ha: f(t 1 ) + f(t 2 ) = f(t 1 + t 2 ) + 1. ( ) Sgnfcato fnanzaro Scrvamo ( ) come: [ ] f(t 1 ) 1 + [ ] f(t 2 ) 1 = f(t 1 + t 2 ) 1, osservato che l nteresse per untà d captale è, dato da: I t C = f(t) 1 17/19?

30 ne vene l fatto che la somma degl nteress maturat al tempo t 1 + t 2 uguagla la somma degl nteress maturat al tempo t 1 con quell maturat al tempo t 2 18/19?

31 Defnzone. Dremo legge d captalzzazone semplce o lneare ogn legge d captalzzazone l cu fattore d montante sa ad nteress addtv 19/19?