Variabili casuali doppie

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1 Varabl casual doe Una varable casuale doa (,) è una funzone defnta sullo sazo degl event che assoca ad ogn evento una coa d numer real (x,y) (x 1, y 1 ) S y 1 A B y (x, y ) (x 3, y 3 ) C y 3 x 1 x x 3 Dstrbuzone congunta Dstrbuzone margnale Dstrbuzone condzonata

2 x k k1 k kh 1 Varabl casual doe dscrete : x,x,,x 1 k : y,y,,y 1 k P x y j j Proretà 0 k j h 1 j1 1 j y 1 y y h x h x 1 h Dstrbuzon doe n statstca: Relazone tra varabl Relazone tra event Relazone tra varabl casual

3 Dstrbuzon margnal x x y x y 1 h y 1 y y h x h 1. x 1 h. x k k1 k kh k. j h j1 k 1 j j k h 1 1 j1 j.1..h 1 P x P x y1 x yh P x y1 P x yh 1 h

4 Dstrbuzon condzonate Dstrbuzone d condzonata al valore y j d P yj P x y P x y j j j j 1,,,k Dstrbuzone d condzonata al valore x d P x y P y j x P x j j j 1,,,h N.B. 1 1 P x y 1 k k k j j j j 1 1 j j 1 j 1 1 P y x 1 h h h j j j 1 j1 j1

5 Esemo Numero d error al test () Voto () 1 3 totale 4 0,485 0,7 0,165 0,9 5 0,015 0,03 0,035 0,08 totale 0,5 0,3 0, 1 Dstrbuzone d condzonata ad P 4 1 0, 485 P 4 1 P 1 0,5 P 4 0, 7 P 4 P 0, 3 P 4 3 0,165 P 4 3 P 3 0, P 5 1 0, 015 P 5 1 P 1 0,5 P 5 0, 03 P 5 P 0, 3 P 5 3 0, 035 P 5 3 P 3 0, Dstrbuzone d condzonata ad P 1 4 0, 485 P 1 4 P 4 0, 9 P 1 5 0, 015 P 1 5 P 5 0, 08 P 4 0, 7 P 4 P 4 0, 9 P 5 0, 03 P 5 P 5 0, 08 P 3 4 0,165 P 3 4 P 4 0, 9 P 3 5 0, 035 P 5 P 5 0, 08

6 Esemo Numero d error al test () Voto () 1 3 totale 4 0,485 0,7 0,165 0,9 5 0,015 0,03 0,035 0,08 totale 0,5 0,3 0, 1 Mede e varanze margnal k 1 x. 4 0,9 5 0,08 4,08 h j j j1 y. 1 0,5 0, ,5 k x. 4 4,08 0,9 5 4,08 0,08 1 h j j j1 y. 1 1,5 0,5 1,5 0,3 3 1,5 0

7 Valore atteso e varanza condzonat Dstrbuzone d condzonata ad E x Var h h j yjp y j x yj j1 j1 h yj E x P y j x j1 h j1 x yj E x j Dstrbuzone d condzonata ad k j E yj x 1 j j j k 1 Var y x E y j j

8 Esemo P x j yj j P y j j x Numero d error al test () Voto () 1 3 totale 4 0,485 0,7 0,165 0,9 5 0,015 0,03 0,035 0,08 totale 0,5 0,3 0, 1 3 P 3 4 E 4 1 P 1 4 P 4 0, 485 0, 7 0, , 65 0,9 0,9 0,9 3 P 3 5 E 5 1 P 1 5 P 5 0,015 0,03 0, , 5 0,08 0,08 0,08 Inoltre: E E 4 P( 4) E 5 P( 5) 1,65 0,9,5 0,08 1,7 E y 1 0,5 0,3 3 0, 1,7 j j j

9 Indendenza tra ed P x y P x, j j j j P x y P x P y j j, j P y x P y, j j j j Varabl casual multvarate dscrete Una n-la d varabl casual dscrete = ( 1,,, n ) costtusce una varable casuale n-varata 1,,, n Varabl margnal della v.c. multvartata

10 Varabl casual doe contnue La funzone d denstà congunta è tale se: f(x, y) 0 f(x,y) f(x, y)dx dy 1 y x dove: f x, y dxdy P x x dx y y dy

11 Dstrbuzon margnal e dstrbuzon condzonate Funzon d denstà margnal f x f x, y dy f y f x, y dx Funzon d denstà condzonata f f y x x y y x f x,y f f x,y f Indendenza f (x) f (x) x, y R y f (y) f (y) x, y R x f x, y f x f y x, y R

12 Varabl casual multvarate contnue Una n-la d varabl casual contnue = ( 1,,, n ) costtusce una varable casuale n-varata contnua 1,,, n Varabl margnal della v.c. multvartata

13 Moment d una varable casuale doa E g, k 1 j1 h g x, y j j g x, y f x, y dx dy Varabl casual dscrete Varabl casual contnue g, r s r g, g, r s s E g, r s E g, r s E g, r s Momento d ordne (r + s) rsetto all orgne o centrale Momento ordne (r + s) rsetto alla meda Momento ordne (r + s) standardzzato

14 Classfcazone de moment d una v.c. doa (,) V.a. de rodott E[g(,)] = g x,y j g x,y f x,y dxdy r s x y g, E[g(,)] = momento doo d ordne r+s rsetto all orgne covaranza r s g, x y x y E[g(,)] = momento d ordne r+s rsetto alla meda correlazone g, r x x y y x y s E[g(,)] = momento d ordne r+s standardzzato 14

15 Moment central (o rsetto al orgne) g, r s r s rs E r s 1 E, xy k 1 j1 rs h r s x y j j r s x y f x, y dx dy Varabl casual dscrete Varabl casual contnue Moment margnal E E r r r 0 r 0 E 10 s s 0 s E E 0s E 01 e ndendent r s rs

16 Moment delle varabl casual scarto (o moment rsetto alla meda) r g, s r E r s k h r j j 1 j1 rs Covaranza x y r s x y f x, y dx dy s s Varabl casual dscrete Varabl casual contnue 11 Cov(, ) E ( )( ) k h j j 1 j1 x y v.c. dscrete x y f x, y dx dy 0 dscordanza 0 ndendenza lneare v.c. contnue 0 concordanza

17 Proretà della covaranza ed ndendent Cov(, ) = 0 N.B.: Non vale l vceversa Cov[(a + b), (c + d)] = ac Cov(, ) Dsuguaglanza d Cauchy-Schwarz In caso d erfetto legame lneare s ha: a b La covaranza rleva, se esste, l segno della relazone lneare tra ed

18 Moment delle varabl casual standardzzate g, r s r rs E s r k h x y j 1 j1 rs r s x y s j f x, y dx dy Varabl casual dscrete Varabl casual contnue

19 Coeffcente d correlazone 11 (, ) E È la covaranza tra due varabl standardzzate Msura la forza del legame lneare 0 correlazone ostva 0 correlazone negatva 0 ndendenza lneare Proretà del coeffcente d correlazone (, ) E 1 a b e ndendent 0 (non vale l vceversa) a b, =c d

20 Correlazone = 0.9 = 0.7 = 0.5 = 0

21 Esemo Un ateneo sommnstra abtualmente agl student frequentant un questonaro er rlevare le loro onon su cors. Nel questonaro gl student devono esrmere una valutazone sulla charezza esostva del docente e sulla sua caactà d susctare nteresse er la matera. In entramb cas l gudzo uò essere 1 (nsuffcente), (suffcente) e 3 (buono). Sa la v.c. valutazone sulla charezza esostva del docente e la v.c. gudzo sulla caactà del docente d susctare nteresse. E stata stmata la dstrbuzone d robabltà congunta rortata nella tabella. S calcol l coeffcente d correlazone.,40, , , , , 07 0,17 3 0, , , , 40 5, 94 5,94,40,33 0,348 0, ,749

22 Combnazon lnear d due varabl casual, E E Var Var Cov, Z = combnazone lneare d ed : Z a b Esem a b 1 Z a 1, b 1 Z Valore atteso e varanza E Z E a b a b Var Z Var a b a b ab Se ed sono ndendent: Var a b a b

23 Somma e dfferenza a b 1 Z a 1, b 1 Z E[ ] E[ ] Var( ) Var( ) Se e sono ndendent: Var( )

24 Eserczo Un nvesttore ossede un ortafoglo comosto er l 30% da fond azonar e er l 70% da fond obblgazonar. Per ogn anno l rendmento atteso del fond azonar è del 6% con scarto quadratco medo del 3%, mentre l rendmento atteso de fond obblgazonar è del 4% con scarto quadratco medo del %. La covaranza fra rendment de due fond è 0,006. S vuole calcolare l rendmento atteso e lo scarto quadratco medo dell ntero ortafoglo. Soluzone : rendmento degl nvestment azonar : rendmento degl nvestment obblgazonar P 0,3 0,7 Rendmento atteso d P E P 0.3 E 0.7 E 0.3 0, ,04 0,046 Var P 0,3 Var 0,7 Var Cov, 0,3 0, ,7 0, ,3 0,7 0, , E 0,06 E 0,04 0,03 Var 0,0009 0,0 Var 0,0004 Cov, 0,0006 P 0, ,03 = rscho fnanzaro dell ntero ortafoglo!!!

25 Combnazon lnear d n varabl casual 1,,,n W = combnazone lneare delle : E Var Cov(, ) j j EW n 1 a n n j j 1 1 j W a1 1 a an n Var W a aa Se le sono ndendent: Var W n 1 a

26 Somma d n varabl casual 1,,,n n n 1 n 1 E, Var, ndendent n E n E n 1 n Var Var n n 1 Meda d n varabl casual n n 1 n n 1 n n n n n n n n E n E E E E n Var n n n Var Var Var Var n n n 1 n n n

27 Rroduttvtà della v.c. Normale 1 Data una v.c. Normale, ogn trasformazone lneare d sarà anch essa Normale ~ N, a b ~ Na b,b Esemo N (, 5) = temeratura Celsus = 3 + 1,8 C = temeratura Fahrenhet 3 1,8 71, 6 1, ~ N 71,6; 81

28 Rroduttvtà della v.c. Normale Ogn combnazone lneare d varabl casual Normal e ndendent da luogo ad una v.c. che s dstrbusce anch essa normalmente: n n n ~ N, = 1,,, n a ~ N a, a Per ogn sequenza d numer real a 1,, a n s ha: Caso artcolare: a 1 = a = = a n = 1 n n n a ~ N, 1 1 1

29 Esemo Dstrbuzon de tem megat dalle 4 battere d concorrent ad una staffetta 4 x 00 metr: 1 N (15, 4); N (1, 6); 3 N (14, 5); 4 N (1, ) a) Come s dstrbusce l temo totale =? b) Se n una gara analoga tem cambano n base a coeffcent: a 1 = 0,8; a = 0,6; a 3 = 1,; a 4 = 0,95 come s dstrbusce l temo totale? Soluzone a) a 1 = a = a 3 = a 4 = 1 n 1 n ~ N 53; 17 b) n 1 n 1 a 0,8 15 0, , 4 a 0,8 4 0,95 13,75 ~ N 47,4; 13,75