Le curve di Intensità-Durata-Frequenza (IDF) delle precipitazioni

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1 Le curve d Intenstà-Durata-Frequenza (IDF) delle rectazon INDICE 1. Il modello robablstco d Gumbel Le curve d robabltà luvometrca (IDF) La relazone ntenstà-durata delle mede delle rectazon massme annue Relazon ntenstà-durata er durate brev Ietogramm d rogetto Ietogramma Chcago Curve d robabltà luvometrca dendent dalla quota Il fattore d rduzone areale Alcazone d curve d robabltà luvometrca n ambto d verfca Valutazone del Perodo d rtorno dell'evento del 24 Novembre

2 1. Il modello robablstco d Gumbel L esressone della robabltà cumulata della legge d Gumbel è: x ex ex x F (1.1) con ed arametr della dstrbuzone, che vengono, d norma, stmat attraverso l metodo de moment: (1.2) (1.3) dove e sono rsettvamente la meda e lo scarto quadratco medo de dat. In alternatva s ossono stmare arametr tramte l metodo della massma verosmglanza. Le dfferenze tra due metod s arezzano quando l grado d adattamento della dstrbuzone a dat è basso. Infatt, l metodo de moment tende a rvlegare valor d enttà ù elevata, che hanno forte nfluenza sul momento del secondo ordne. Il metodo della massma verosmglanza fornsce nvece una curva che rsetta maggormente es raresentat dalle frequenze cumulate, er cu non s lasca nfluenzare eccessvamente da sngol valor molto elevat. Per rortare oortunamente valor d x corrsondent ad una fssata robabltà F (o erodo d rtorno T) s uò nvertre la legge F(x) ottenendo: xt 1 lnln 1 T T-1 (1.4) n quanto vale T=1/(1F). Stmando arametr con l metodo de moment è ossble esrmere drettamente x T n funzone d meda e scarto, attraverso l'esressone: 6 xt 1Cvx 0.45 lnlnt T-1 (1.5) 2

3 dove Cv x raresenta l coeffcente d varazone de dat. L'esressone della legge d Gumbel fnsce qund con l'essere l rodotto della meda er una quanttà che raresenta l tasso d crescta della meda stessa n funzone del erodo d rtorno, quanttà che è chamata fattore d crescta con l erodo d rtorno (K T ), e che consente d raresentare la relazone d frequenza delle rectazon secondo l rodotto: x T K (1.6) T Questa raresentazone rsulta artcolarmente utle nella determnazone su base regonale delle legg d frequenza, n quanto molto sesso K T rsulta essere costante n ame regon. 3

4 2. Le curve d robabltà luvometrca (IDF) La raresentazone d x T secondo l modello d Gumbel data n recedenza s rtene valda er massm annu d ogga relatv ad un qualsas ntervallo d durata nferore al gorno, consderando ovvamente e Cv x come moment del relatvo camone osservato. Pertanto, la legge d Gumbel alcata a massm d generca durata d (n ore) uò essere sntetzzata nella seguente esressone, che raresenta la famgla d curve d robabltà luvometrca: x K (2.1) dt, d T d è n questo caso una funzone, e descrve la varazone dell'altezza meda d rectazone n funzone della durata d. Teorcamente, anche K T dovrebbe dendere dalla durata, a causa del fatto che l coeffcente d varazone Cv x dovrebbe essere calcolato searatamente er ogn ntervallo d rfermento. Tuttava, la varabltà d questa grandezza con la durata rsulta essere uttosto lmtata, er cu s uò assumere, con buona arossmazone, che Cv x assuma un valore costante (Cv), caratterstco del rocesso d rectazone estrema, lungo l'arco delle durate comrese tra 1 e 24 ore. D conseguenza, l fattore d crescta non dende ù dalla durata della rectazone. S avrà, ertanto, una relazone del to: 6 T xdt, d1cv0.45 lnln T-1 (2.2) nella quale vanno stablte le relazon ntercorrent tra d, meda del massmo annuo dell altezza d rectazone nella durata d, e la durata stessa. 4

5 3. La relazone ntenstà-durata delle mede delle rectazon massme annue La legge d dendenza della meda de massm d rectazone con la durata uò esrmers, nel caso ù semlce, come: ad d n (3.1) con coeffcent a ed n da stmars tramte un modello d regressone su dat dsonbl (ad esemo usando una regressone lneare su logartm d d e d). I dat sono ubblcat sugl Annal Idrologc er le durate 1, 3, 6, 12 e 24 ore (Parte I, Tabella III, 'Prectazon d massma ntenstà regstrate a luvograf'). Il coeffcente a è una stma del valore 1 mentre, d solto, n rsulta comreso tra 0.3 e 0.5. La relazone d otenza (3.1) cade n dfetto man mano che le durate s avvcnano allo zero n quanto, se c s rfersce alle ntenstà mede er cascuna durata, s ha: d n 1 ad (3.2) e cò comorta che er d0 d. 5

6 10 2 h = * t^ h (mm) durata t (ore) Fgura 3-1. Raresentazone n carta LogLog della relazone ntenstà-durata con legge d otenza rferta alle mede degl estrem delle ogge orare. 6

7 4. Relazon ntenstà-durata er durate brev Volendo consderare una relazone con buone caratterstche d adattamento alle ntenstà mede d ogga er durate qualsas (nferor al gorno), s uò usare la curva erbolca a tre arametr: d 0 1 Bd (4.1) dove 0 raresenta l ntenstà d rfermento er durate tendent a zero, d è la durata n ore e è un coeffcente da stmare (con metod numerc d mnmzzazone della somma de quadrat degl scart tra valor osservat e stmat). Tuttava, n Itala c s trova sesso n grande dffcoltà nella fase d stma de arametr d relazon del genere, n quanto mancano dat sstematc relatv a massm annual d durata nferore all'ora. Quest sono, d altra arte, essenzal er gustfcare l adozone d curve a tre arametr del to (4.1), scuramente meno agevol da stmare rsetto alle (3.1) (v. es. Modca e Ross, 1988). L'effettva ossbltà d usare una relazone del genere n assenza d dat d estrem d breve durata esste solo se s effettua un'anals regonale, come ad esemo quella realzzate da Ross e Vllan (1995) o da Calenda e Cosentno (1996). Le otes assunte da Calenda e Cosentno (1996) er dervare esresson della relazone ntenstàdurata valde su regon omogenee sono: 1. Il raorto tra ntenstà meda della ogga d 5' e quella della ogga orara è costante su tutta l'area esamnata, ed è desunto dallo studo delle ogge ntense della stazone luvometrca d Roma (Macao): 5' (4.2) Questo valore rsulta determnante er la stma del valore 0, da effettuars comunque er mnmzzazone dell errore quadratco medo. 2. L esonente ed l arametro d deformazone temorale B sono ndendent dal erodo d rtorno T. 7

8 Fgura 4-1. Raresentazone n carta LogLog della relazone erbolca tra ntenstà e durata rferta alle mede degl estrem delle ogge orare. 8

9 5. Ietogramm d rogetto 5.1. Ietogramma Chcago L dea d base è quella d costrure uno etogramma che sa nteramente consstente con la curva d ossbltà luvometrca. La curva ottenuta er lo etogramma dovrà qund avere la roretà che, er ogn durata d, l volume massmo sotteso sa ar alla relatva ordnata h d della CPP. Defnta la CPP nella forma monoma h a d n, tenendo conto che la dervata dell altezza d ogga cumulata h corrsonde all ntenstà stantanea d rectazone, mentre l ntenstà meda d ogga rsulta: med n1 d a d (5.1) l generco etogramma rsulta caratterzzato dalla oszone del cco (che normalmente non corrsonde all stante nzale dell evento) ndvduable attraverso una frazone rt della durata comlessva t P della ogga. Se l cco fosse osto a cavallo del temo 0 s avrebbe: t r n1 t n a t 0 t 1 r n1 t n a t 0 er (5.2) er (5.3) P Nel caso d cco osto alla dstanza rt dall nzo dell evento d ogga, dventano n1 P t t na er t P r (5.4) t t P n a r n1 er t P (5.5) La relazone monoma resenta l ncongruenza d fornre valor dell ntenstà meda tendent all nfnto er durate tendent a zero. Se s vuole alcare questo to d rocedura bsogna qund necessaramente fare rcorso ad una forma ù comleta della curva d ossbltà luvometrca, che 9

10 sa consstente anche er durate brev. In artcolare, s fa sesso rfermento ad una forma a tre arametr: med ( t 0 ) 1 Bt (5.6) In questo caso, er durate tendent a zero, l ntenstà meda non va all nfnto, ma tende nvece ad 0. Le relazon dalla (5.2) alla (5.4) sono ottenute a artre dalla caratterstca dell ntenstà meda d ogga d essere una funzone decrescente e dal fatto che lo etogramma resenta un massmo all stante rt (oszone del cco): cò ermette d ndvduare la massma ntenstà meda d ogga nel momento n cu le due ntenstà s uguaglano, ossa quando la fnestra d ntegrazone d è comresa nell ntervallo r t ; (1 r) t. Se ora s esegue una semlce traslazone P P degl ass, n manera tale che l cco s verfch n corrsondenza dell stante t 0 defnre la forma dello etogramma (t) come:, s uò (1 r) t 1 med ( t ) ( t) dt t rt (5.7) Doo och assagg rsulta: d med t ( t ) 1 r(1 r) t r r t, (5.8) e, suonendo ( 1 r) t r t (5.9) s rcava: d med t ( t ) r t er la fase recedente l cco (5.10) d med t ( t ) 1 rt er la fase successva al cco (5.11) che ermette d defnre le relazon (5.3) e (5.4) rortate. 10

11 Lo stesso to d rocedura uò essere alcata anche alla curva d ossbltà luvometrca esressa nella forma a tre arametr rortata n (5.6), che comorta: d med ( t ) med ( t ) (1 r) t med ( t ) t t t 0 1 Bt 1 Bt 0 B t Bt Bt B t (5.12) da cu s ottene, con le oortune sosttuzon: t 1 (1 ) B t 1 r 0 er t 0, (5.13) 1 t 1 B 1 r 1 (1 ) B t 0 1 t 1 B r t r er t 0 (5.14) Fgura 5-1. Raresentazone d uno etogramma 'Chcago' costruto a artre dalla relazone erbolca tra ntenstà e durata rferta alle mede degl estrem delle ogge orare. 11

12 Il roblema dell utlzzo dello etogramma Chcago è essenzalmente legato al fatto che esso tende a sovrastmare le ntenstà, dal momento che tutte le ntenstà crtche sono raggruate n un unco evento luvometrco, quando nvece nella realtà esse soltamente dervano da event dvers Curve d robabltà luvometrca dendent dalla quota. L ntenstà stantanea meda 0 è una grandezza ndendente dalla quota Z ed è qund assunta costante n ogn sottozona n cu l bacno d studo vene suddvso. Esste nvece una dendenza dalla quota dell'esonente, della d 0 1 Bd l'ntenstà meda nelle 24 ore è assunta roorzonale all'ntenstà meda gornalera: n vrtù del fatto che 24 g (5.15) con =1.15. In molt cas, nfatt l altezza d ogga gornalera massma annua s dmostra essere dendente lnearmente dalla quota, ad esemo con relazon del to: hg cz m (5.16) Lo stesso rsulterebbe qund er 24, secondo la relazone: 24 cz m 24 (5.17) er cu, sosttuendo 24 nella uò essere esresso dalla relazone: d 0 1 Bd, con rfermento ad un temo d 24 ore, l arametro cz m ln0 ln 24 ( Z) (5.18) ln 124B 12

13 A fn della determnazone della curva d robabltà luvometrca er la zona d nteresse, vanno qund determnat: l valore d 1, valor d B e relatv alla quota Z=0 ed coeffcent della eventuale relazone (5.17) er la sottozona luvometrca alla quale aartene l'area ndagata. In genere, la dendenza degl estrem luvometrc dalla quota della stazone s manfesta solo er durate elevate (sueror alle 12 ore). Tenuto conto che tra massm a 24 ore (Tab III degl annal) ed massm gornaler (Tab. I degl annal) ntercorre la relazone: med h 24 h g, con comreso tra 1,1 e 1,2 (5.19) med er stablre la relazone h-z è convenente usare dat relatv a quest ultm, erché dsonbl er molte ù stazon e con sere storche ù lunghe. Se la meda de massm gornaler vara con la quota Z secondo la relazone: hmed gm rz (5.20) tenendo conto che la relazone della curva d robabltà luvometrca ha esressone med n h d ad med, s ha: n h 24 a24 m rz (5.21) relazone dalla quale s rcava la modaltà d varazone dell'esonente n con la quota: n ln +ln m+ rz - ln a 1 ln(24) (5.22) In questo modo la varazone con la quota non s alca alle durata d 1 ora, mentre condzona tutte le durate maggor Il fattore d rduzone areale I valor de coeffcent a ed n della CPP meda ossono essere rcalcolat sulle aree cometent a bacn drografc attraverso metod d dstrbuzone sazale de arametr untual. A seguto d questa oerazone s ottengono qund mede sazal degl stess arametr. Questa oerazone d meda non tene erò conto delle modfcazon che ntervengono nel fenomeno d rectazone n raorto alla sua scala sazale. D fatto, andrebbe consderato che con l'aumentare dell'area del bacno aumenta la robabltà d non contemoranetà dell'evento d ogga sulla sua suerfce. 13

14 D questo asetto s tene conto ntroducendo un fattore d rduzone (fattore d rduzone areale) drettamente dendente dall'area A e che raresenta l raorto K( A, d, T ) I I A ( d, T ) ( d, T ) (5.23) tra ( d, T ), ovvero l valore dell'ntenstà d ogga areale er assegnata durata d e fssato I A erodo d rtorno T, ed l corrsondente valore I ( d, T ) dell'ntenstà d ogga untuale o da essa drettamente dervato (Fg. 5.2). Fgura 5-2. Raorto tra ogga untuale ed areale al varare della durata e dell area (US Weather Bureau) Da alcune anals svolte sull'argomento (v. es. U.S. Weather Bureau, ; Penta, 1974), rsulta che la dendenza, valda n generale, tra l fattore d rduzone areale (ARF) ed l erodo d rtorno T non è artcolarmente evdente, er cu nella ratca rogettuale uò essere trascurata. D conseguenza, er l'esressone che lega l'arf all'area A del bacno ed alla durata d della ogga s uò far rfermento ad una esressone del to: K( A, d ) 1 f1( A) f 2( d ) (5.24) 14

15 n cu le funzon f 1 ed f 2 vanno secfcate n modo emrco ma devono essere tal da soddsfare le uguaglanze: f 1 (A)=0, er A=0 e f 2 (d)=1, er d=0. Eagleson (1972), elaborando dat d ogga raccolt dall'u.s. Weather Bureau, ha roosto le seguent esresson er le funzon f 1 ed f 2 recedentemente defnte: f ( A) 1 ex( c A) ; f 2 (d) ex(c 2 d c 3 ) (5.25) 1 1 Se, come n questo caso, er la raresentazone delle legg d robabltà luvometrca delle ogge untual ed areal vengono usate delle relazon d otenza: I ( n 1) ad ; I a d ( n' 1) A ' (5.26) er la defnzone d fattore d rduzone areale, s ha: K( A, t) a' a ( n' n) t (5.27) Comonendo la (5.27) con le (5.23) e (5.24), s ha (Vllan, 1990): a' a =1 c 1 2 -c c1 e A + c1 e A (5.28) n' n K1A (5.29) Come esemo ratco d determnazone de coeffcent c 1 e c 2 s uò consderare quell relatv alla Baslcata, determnat da Penta (1974), che rsultano ar a: c 1 = ; c 2 =0.53 Ammettendo che nella (5.25) valga (Eagleson, 1972) c 3 =0.25 rsulta o (Vllan, 1990): K 1 = 1.44 x 10-4 con cu s è n grado d determnare a' ed n' not a ed n. L'alcazone d questo metodo è lmtata a bacn d area comresa tra 10 e 2000 Km 2. 15

16 6. Alcazone d curve d robabltà luvometrca n ambto d verfca. Vene qu rortato un esemo d alcazone d curve d robabltà luvometrca er la determnazone del erodo d rtorno d un evento osservato, che ha rodotto dann. S consderano dat della stazone luvometrca dell Osservatoro d Chavar: 57 ann d osservazone dsonbl dal 1932 al Tal dat sono gestt dal Servzo Idrografco Nazonale che ha elaborato e ubblcato, anno er anno, sugl Annal Idrologc, le seguent nformazon: altezze d ogga relatve a ogge d breve durata e notevole ntenstà, questo esemo) * h d (non utlzzate n massm annual h d delle altezze d ogga nelle durate d=1 ora, 3 ore, 6 ore, 12 ore e 24 ore; Per rtrovare una relazone tra altezza d ogga x e erodo d rtorno T s uò far rfermento alla legge d Gumbel, secondo la quale l'altezza d rectazone xd,t relatva alla durata t ed al erodo d rtorno T è data da: x 6 T 1Cv 0.45 lnln T 1 dt, d x d (6.1) con μd: meda della ogga massma annua d durata d. Tenendo conto che l coeffcente d varazone Cvx d vara oco con la durata d rfermento s uò assumere, con buona arossmazone, che un valore costante d Cvx, ar al valor medo de Cvx d calcolat er le dverse durate d, sa caratterstco del fenomeno lungo tutto l'arco delle durate d nteresse tecnco. La legge d dendenza della meda de massm d rectazone con la durata uò esrmers, nel caso ù semlce, con la relazone: μ d = a d n, con coeffcent a ed n da stmars tramte un modello d regressone su valor med calcolat er la dverse durate. Trattandos d una legge d otenza, a ed n ossono essere stmat tramte regressone lneare su logartm d h e d. Nel caso de dat d Chavar la funzone assume la forma (Fgura 6-1): μ d =47.57 d I moment statstc d rmo e secondo ordne: meda e devazone standard ed l loro raorto - coeffcente d varazone sono rassunt n Tabella 6.1, nseme al coeffcente d varazone medo. 16

17 Altezza d ogga massma annua (mm) Fgura 6-1. Curva meda d robabltà luvometrca relatva alla stazone d Chavar. Tabella 6.1. Caratterstche statstche della sere storca delle rectazon regstrate resso l luvometro dell osservatoro d Chavar 1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore Cv medo Meda (mm) Scarto (mm) Cv Assumendo la dstrbuzone d Gumbel er ntrodurre l fattore 'frequenza' come elemento moltlcatvo della legge ntenstà-durata s ottene la seguente relazone er l'altezza d ogga relatva al erodo d rtorno T: x K (6.2) dt, d T con KT desunto dalla (6.1). Ne rsulta la tabella seguente er rncal valor d KT. 17

18 Tabella 6.2. Legame tra l fattore d crescta ed l erodo d rtorno. KT 10 ann KT 20 ann KT 30 ann KT 50 ann KT 100 ann KT 200 ann KT 500 ann Valutazone del Perodo d rtorno dell'evento del 24 Novembre 2002 Il gorno 24 Novembre 2002 la cttà d Chavar è stata nteressata da un evento meteorco d rlevante ntenstà. In Fgura 6 è rortata la regstrazone d tale evento effettuata dal luvometro dell Osservatoro d Chavar. Come s uò notare l evento ha nzo alle ore e termna alle ore con altezze d rectazone sgnfcatve er una durata ar a 50 mnut. Pù n dettaglo, l altezza massma d rectazone regstrata su fnestra orara è ar a 93 mm che dventano 92,6 mm su durata 50 mnut, 83,7 mm su durata 40 mnut e 68,8 mm su durata 30 mnut. Fgura 6-2. Prectazone e rectazone cumulata dell evento del 24 Novembre 2002 msurato dal luvometro dell osservatoro d Chavar. I dat d rectazone relatv all'evento meteorco ossono essere aragonat a quanto ottenuto relatvamente alle curve d robabltà luvometrca (Tabella 6.3). I rsultat sono rortat n Tabella 6.4 ed n Fgura (6-3). S evdenza come l evento del 24 Novembre 2002 abba resentato 18

19 comonent caratterzzate da erod d rtorno semre sueror a 10 ann er attestars su valor rossm a 20 ann er durate della ogga ar a mnut. Tabella 6.3. Dat d rectazone relatv all'evento meteorco aragonat con quanto ottenuto dalle curve d robabltà luvometrca Data Ora h Pogga Cumulata 24/11/ ntens. marg. nt. meda rogress. d (ore) durata max h su fnestra varab (c) meda Tabella 6.4. Confronto fra le altezze d ogga cumulate su dverse durate osservate durante l evento del 24 Novembre 2002 e le altezze d ogga cumulate sulle stesse durate revste dal modello scala nvarante (cv=cost.) con rfermento a dvers erod d rtorno. Durata [mn] Pogga Osservata [mm] T=10 ann [mm] T=30 ann [mm] T=50 ann [mm] 60 93,0 78,1 98,8 108, ,6 74,3 94,0 103, ,7 69,9 88,4 96, ,8 64,6 81,7 89,5 Rortando dat osservat nell'evento sulla scala blogartmca e confrontandol con valor corrsondent alle curve relatve a dvers erod d rtorno, s rleva come valor (cerch n Fgura 6-3) s dsongano n corrsondenza della curva relatva a T=20 ann. S uò qund concludere che l evento luvometrco del 24 Novembre 2002, er quanto è relatvo all anals de dat luvometrc è caratterzzato da un erodo d rtorno dell'ordne de 20 ann. 19

20 Altezza d ogga massma annua (mm) Fgura 6-3. Curve d robabltà luvometrca meda e er T=20 ann relatve alla stazone d Chavar. I cerch ndcano dat relatv all'evento del 24/11/0 20

21 Bblografa Calenda, G. e C. Cosentno, Anals regonale delle ogge brev dell'itala Centrale, L'Acqua, n.1, 20-31,1996. Coertno, V.A. e M. Forentno (a cura d), Valutazone delle ene n Pugla, Dartmento d Ingegnera e Fsca dell'ambente, Unverstà della Baslcata e GNDCI-CNR, Eagleson P.S. Dynamcs of flood frequency, Water Resour. Res., Vol.8, n.4, , Hall, M.J. Urban Hydrology, Elsever, London, Modca, C. e G. Ross, Anals delle ogge ntense d durata nferore ad 1 ora n Scla, n: Penta A. Dstrbuzone d robabltà del massmo annuale dell'altezza d ogga gornalera su un bacno, Att XIV Convegno d Idraulca e Costruzon Idraulche, Naol, Ross F. e P. Vllan (a cura d), Valutazone delle ene n Camana, Dartmento d Ingegnera Cvle dell'unverstà d Salerno e GNDCI (Gruo Nazonale er la dfesa dalle Catastrof Idrogeologche), Salerno, U.S. Weather Bureau, Ranfall ntensty-frequency regme 1-5, Tech. Paer N. 29, Washngton D.C. Vllan P. Alcune consderazon sul fattore d rduzone areale e sulla sua nfluenza nella dervazone della ena annuale meda, n F. Ross (a cura d), Prevsone e revenzone degl event drologc estrem e loro controllo, Raorto 1988, CNR-GNDCI, L1, Roma,