VARIABILI ALEATORIE (O CASUALI) Il termine variabile aleatoria indica una quantità il cui valore è determinato da un

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1 VARIABILI ALEATORIE O CASUALI Font: Ccchtell, Dall Aglo, Mood-Graybll. Modul 4, 5, 7,8 del rogramma. Il termne varable aleatora ndca una quanttà l cu valore è determnato da un esermento aleatoro. Dato l legame d dendenza da rsultat dell esermento la varable aleatora rcorda l concetto d funzone Y f una legge che assoca ad ogn elemento del domno uno ed un solo elemento del condomno Y: s tratta n effett d assocare, secondo una determnata regola, un numero reale ad ogn evento elementare ω d Ω. Defnzone: Una varable aleatora v.a. è una funzone defnta sullo sazo camonaro Ω che assoca un numero reale ω ad ogn evento elementare ω d Ω. Il suo domno è Ω e l suo codomno l asse de numer real R. S oera ertanto una trasformazone degl event elementar d Ω n unt dell asse reale R. Una varable aleatora uò essere dscreta o contnua, a seconda che lo sazo camonaro su cu è defnta sa dscreto o contnuo. Nel caso dscreto la v.a. uò assumere un numero fnto o un nfntà numerable d valor. Nel caso contnuo la v.a. uò assumere un nfntà non numerable d valor. S rcord che con la lettera mauscola s ntende ndcare la varable aleatora, mentre con la lettera mnuscola sn ntende l sngolo valore assunto dalla v.a. VARIABILI ALEATORIE DISCRETE In una v.a. dscreta quando s fanno corrsondere a valor d rsettv lvell d robabltà s ottene la funzone d robabltà P, defnta come:

2 P 0 se se R R dove con R s ntende l nseme che contene numer real effettvamente assunt da nseme delle mmagn d. Una funzone d robabltà deve soddsfare due roretà: 0 R. R La dstrbuzone d robabltà uò essere descrtta anche attraverso la funzone d rartzone P, che anzché consderare le robabltà de sngol valor F d, fa rfermento agl ntervall, ] er tutt numer real, er la quale vale che: F 0 se < F se < + se k,,..., k dove F P S tratta d una funzone costante a tratt: nell ntervallo, la funzone è costante, mentre n + cresce della quanttà +. [ + Valore atteso: s chama valore atteso o meda della v.a. : E. R Varanza: s chama varanza della v.a. : E Var E E E R R

3 3 Dm: [ ] + R R E E E Var + R R R E E. E E E E E + Scarto quadratco medo: s chama scarto quadratco medo della v.a. : Var σ. Proretà del valore atteso e della varanza: Se Y è una v.a. ottenuta er trasformazone lneare d, er cu Y a + b, s ha: EY a + b E Dm: + + R R R R b a b a y y Y E ; E b a b a R R + + e VarY b Var Dm: + R R E b a b a y Y E y Y Var. Var b E b R Esemo : S consder l lanco d due dad a 4 facce numerate:,, 3, 4. Il rmo dado D è equlbrato, e qund la robabltà d uscta d ognuna delle 4 facce è ar ad /4; l secondo dado D è nvece truccato n modo tale che la robabltà d

4 uscta d un numero ar e doa rsetto all uscta d un numero dsar. Per questo secondo dado s ha che: P P 3 / 6 e P P 4 / 6. S vuole costrure la v.a. Somma del rsultato de due dad D + D, determnare valor della funzone d rartzone e calcolare l valore atteso e la varanza. Ad ogn rsultato d Ω s deve assocare un numero che, n questo caso, corrsonde alla somma de due rsultat: Ω {,;,;,3;,4;,;,;,3;,4; 3,; 3,; 3,3; 3,4; 4,; 4,; 4,3; 4,4} Qund R che contene valor d è dato da: R {, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Adesso s devono determnare le robabltà: P P,, P 3 P, + P, + e va d seguto I valor della v.a. con le relatve robabltà e valor della funzone d rartzone ossono essere rassunt nella tabella: 4

5 Event elementar ω F, / 4 / 4 3,;, 3 / 4 4 / 4 4,3;,;3, 4 / 4 8 / 4 5,4;,3;3,;4, 6 / 4 4 / 4 6,4;3,3;4, 5 / 4 9 / 4 7 3,4;4,3 3 / 4 / 4 8 4,4 / 4 4 / 4 Il valore atteso è ar a: E , La varanza è ar a: Var ,47. Esemo : Due urne A e B sono così comoste: Urna A {0 allne con l segno d una stella e 40 allne con l segno d una luna} Urna B {5 allne con l segno d una stella e 45 allne con l segno d una luna}. Un gocatore aga una osta nzale d euro ed estrae a caso una allna dall urna A e una allna dall urna B. Se estrae due stelle vnce 5 euro, se estrae una stella e una luna vnce euro ed nfne se estrae due lune non vnce nente. Costrure la varable aleatora guadagno del gocatore e la sua funzone d robabltà. Determnare l valore atteso e la varanza della v.a.. 5

6 Un goco è defnto equo se l valore atteso del guadagno è nullo. Stablre se l goco sora descrtto è equo oure no, e n caso d rsosta negatva modfcare la osta nzale n modo tale lo dvent. Per costrure la varable guadagno è utle segure assagg della seguente tabella, n cu con S s ntende l estrazone d una stella e con L l estrazone d una luna. Rsultato Vncta Guadagno Vncta - S, S 5 4 S, L L, S L, L 0 - La v.a. guadagno e la sua funzone d robabltà sono: - 40/50 45/50 0,7 0/50 45/ /50 5/50 0,6 4 0/50 5/50 0,0 Per calcolare l valore atteso e la varanza è utle aggungere due colonne alla recedente tabella: - 0,7-0,7 0,7 0,6 0,6 0,6 4 0,0 0,08 0,3-0,38,3 6

7 da cu: E -0,38 e Var,3-0,38,556. Dato che l valore atteso non è nullo l goco non uò essere consderato equo, ma sarà a svantaggo del gocatore. Per renderlo equo, modfcando la osta da agare, s uò rocedere come segue: Guadagno Vncta Posta nzale, EGuadagno EVncta Posta nzale, affnché l valore atteso del guadagno sa nullo, l valore atteso della vncta deve essere ar alla osta nzale. EVncta EGuadagno + -0,38 + 0,6. Perché l goco sa equo la osta nzale deve essere rdotta da euro a 0,6 centesm. VARIABILI ALEATORIE DISCRETE PARTICOLARI E ora ossble rendere n consderazone alcune v.a. dscrete artcolar unforme dscreta, bernoullana, bnomale, ergeometrca, Posson e geometrca e analzzarle nel dettaglo, consderando la funzone d robabltà, l valore atteso e la varanza. 7

8 Dstrbuzone unforme dscreta Una varable aleatora segue una dstrbuzone unforme dscreta negl nter,,, N, se la sua funzone d robabltà è esressa da: P N 0,,..., N altrove Il valore atteso e la varanza sono rsettvamente ar a: N + N E Var. Esemo 3: S consder l lanco d un dado equlbrato a 6 facce, la cu dstrbuzone d robabltà è ar a: / 6 / 6 3 / 6 4 / 6 5 / 6 6 / 6 Il valore atteso è ar a: 7 E La varanza è ar a: 8

9 Var Quest valor otevano essere trovat anche utlzzando le formule: N + E N Var Dstrbuzone d Bernoull S consder un esermento che ammette soltanto due rsultat: un successo evento A e un nsuccesso evento A e s assoc l valore all evento A e l valore 0 all evento A. Sa 0 < < la robabltà d osservare un successo e la robabltà d osservare un nsuccesso. Per cu: Evento A A 0 - La v.a. che descrve un esermento d questo to rende l nome d dstrbuzone d Bernoull. Qund n una dstrbuzone d Bernoull rsultat ossbl sono solamente due: successo e nsuccesso 0 con robabltà: 0, P 0 altrove Per l valore atteso e la varanza s ottengono rsultat: 9

10 E 0 + Var e Var 0 + Esemo 4: In un dato comune la ercentuale d soggett occuat è ar al 90%. S ndch con 0 l caso d un soggetto dsoccuato e con l caso d un soggetto occuato. L estrazone a caso d ndvduo dalla oolazone del comune è descrtto da una dstrbuzone d Bernoull con funzone d robabltà: 0,90 0,90 0, P 0 altrove Il valore atteso e la varanza sono rsettvamente ar a: E 0,90 e Var 0,90 0,0 0,09. Dstrbuzone Bnomale Una dstrbuzone bnomale consdera l numero d success ottenut n n rove d Bernoull dentche ed ndendent. Partendo dall esemo 4 s consder l estrazone d 4 soggett n modo ndendente l uno dall altro. C s chede quale sa la robabltà che fra 4 soggett ce ne sano 0,,, 3, 4 occuat. La funzone d robabltà d una bnomale è ar a: n P 0 n 0,,..., n altrove 0

11 dove l coeffcente bnomale n n!! n! ndca l numero d combnazon ossbl n cu sono resent success n n rove ndendent. Con n! s legge n fattorale s ntende l rodotto d tutt valor nter da fno ad n es. 5! ; er defnzone 0!. La funzone d robabltà ermette d calcolare la robabltà che n n rove d Bernoull, dentche ed ndendent, c sano success, con,,, n. Per l valore atteso e la varanza s ottengono rsultat: E n Var n. Esemo 5: Semre artendo dall esemo 4 s determn la robabltà che fra 4 soggett ce ne sano 3 occuat e la robabltà che almeno 3 sano occuat. Determnare anche l numero medo d soggett occuat nel camone estratto e la sua varabltà. La dstrbuzone d robabltà n questo caso è data da: 4 P 0,90 0,90 4 0,,,3,4. Per cu la robabltà che 3 soggett sano occuat è ar a: ! 3 P 3 0,90 0,90 0,90 0,90 0, !!

12 4 4! 4 3 Il coeffcente bnomale 4 3 3!! 3 ndca che nelle 4 rove 3 success s ossono trovare n 4 mod dvers. Infatt, ndcando con O la condzone d occuato e con O la condzone d dsoccuato s ha:,o,o,o O,O,O,O O,O,O,O O,O,O,O O. La robabltà d avere almeno 3 soggett occuat sarà data dalla somma della robabltà d averne 3 e la robabltà d averne 4 rcordo che almeno 3 vuol dre 3 o ù d 3!: P 3 P 3 + P ,90 3 0, ,90 4 0,90 0,96 + 0,656 0,9477. Il valore atteso e la varanza sono dat rsettvamente da: E n 4 0,90 3,6 Var n 4 0,90 0,0 0,36. Dstrbuzone Iergeometrca Dato un nseme contenente N untà d cu M con caratterstca A success e N M con caratterstca A nsuccess, s effettuano n estrazon senza rensermento rove dendent. La dstrbuzone ergeometrca consdera l numero d success ottenut nelle n estrazon anche la bnomale consderava l numero d success n n rove, ma queste ultme erano ndendent, ora sono dendent.

13 3 La sua funzone d robabltà è data da: { } { } altrove M n M N n n N n M N M P 0, mn 0, ma Il valore atteso e la varanza sono ar a:. N n N N M N N M n Var N M n E Confrontando la bnomale con la ergeometrca, s uò notare che l valore atteso rmane nvarato, mentre er la varanza s ha che: Var ergeometrca < Var bnomale con n >. Esemo 6: Una scatola contene aa d calze N, d cu 3 dfettose M. Un soggetto acqusta 4 aa d calze n. Determnare la robabltà che nessun ao rsult dfettoso e che almeno tre aa rsultno dfettose. Determnare anche l numero medo d aa d calze dfettose nel camone estratto e la sua varabltà. In questo caso le estrazon avvengono senza rensermento, er cu la funzone d robabltà che nterreta l numero d aa d calze dfettose sarà:

14 3 3 4 P 0,,,3. 4 Per cu la robabltà che nessun ao sa dfettoso è ar a: P 0,55; mentre la robabltà che almeno tre n questo esemo almeno 3 concde con 3 erché la v.a. non assume valor maggor d 3 aa sano dfettose è ar a: P P 0, Il valore atteso e la varanza n questo esemo sono ar a: E 4 Var 4 0,545. Esemo 7: In un gruo d 0 condomn, 6 rsultano favorevol ad un ntervento d manutenzone straordnara. Se s estraggono con rensermento 5 condomn, qual è la robabltà che almeno due sano favorevol all ntervento? Se s estraggono senza rensermento 5 condomn, qual è la robabltà che almeno due sano favorevol all ntervento? 4

15 Confrontare l valore atteso e la varanza delle due v.a. usate ne unt recedent. Nel rmo unto, dato che s effettuano delle estrazon con rensermento, la dstrbuzone che consdera l numero d condomn favorevol sarà una bnomale con n 5, 0,6 e 0,,, 3, 4, 5. P P 0 P 5 0, , ,6 0,4 4 0,004 0,0768 0,996. Nel secondo unto, dato che s effettuano delle estrazon senza rensermento, la dstrbuzone che consdera l numero d condomn favorevol sarà una ergeometrca con N 0, M 6, n 5 e,,3,4, P P 0,038 0, Per la bnomale l valore atteso e la varanza rsultano essere: E 5 0,6 3 Var 5 0,6 0,4, mentre er la ergeometrca: E 5 3 Var 5 0, Qund, come è noto dalla teora, l valore atteso er le due dstrbuzon concde; mentre la varanza è mnore nel caso della dstrbuzone ergeometrca. 5

16 Dstrbuzone d Posson La dstrbuzone d Posson consdera l numero d accadment success che s realzzano n un ntervallo d lunghezza data o n uno sazo d dmensone data. Se λ ndca l numero medo d success nel temo o nello sazo defnt, la funzone d robabltà del numero d success è ar a: λ e λ P! 0 0,,... altrove Il valore atteso e la varanza sono rsettvamente ar a: E λ Var λ. La costante λ è roorzonale alla lunghezza dell ntervallo d temo o della dmensone dello sazo consderato. Esemo 8: In una domenca d agosto l centralno d Telefono Amco rceve n meda,7 telefonate all ora. S suone che la varable aleatora numero d telefonate segua una dstrbuzone d Posson. Calcolare la robabltà che tra le.00 e le 3.00 non gungano telefonate. Calcolare la robabltà che tra le 6.00 e le 7.30 gungano al ù d due telefonate. Calcolare, noltre, l numero medo d telefonate che gungono durante l ntera gornata d domenca l centralno è attvo 4 ore su 4. Dato che l ntervallo d temo è d ore, λ sarà doo: λ,7 3,4 ; 6

17 3,4 0 e 3,4 P 0 0,033. 0! Per la seconda robabltà s ancora modfcare λ : λ,7,5,55 P P 0 + P + P e,55,55 0! 0 e +,55,55! e +,55,55! 0, ,99 + 0,54 0,53. Il valore atteso è ar a: E,7 4 40,8. Esemo 9: Il avmento d una stanza è costtuto da 80 astrelle quadrate d 50 cm d lato. Durante l mbancatura del sofftto cadono casualmente alcune gocce d ttura sul avmento. Per ogn astrella s contano n meda 0,5 gocce. Suonendo che le gocce s dstrbuscano sulle astrelle secondo una v.a. d Posson, determnare: la robabltà che n uno sazo d m c sa una sola gocca d ttura; la robabltà che n un quarto d avmento c sano ù d due gocce d ttura; l numero medo d gocce d ttura resent sull ntero avmento e la sua varabltà. Dato che ogn astrella ha un area d 0,5 m n uno sazo d m c sono 4 astrelle, er cu λ rferto a 4 astrelle sarà ar a 0,5 4. P e 0,7. 7

18 Consderando 0 astrelle un quarto d avmento λ sarà ar a 0, P > P 0 P P e 0 e 0 e ,997. Il valore atteso e la varanza dell ntero avmento saranno ar a: E 80 0,5 40 Var 80 0,5 40. Dstrbuzone geometrca Consderando una successone d rove d Bernoull, dentche ed ndendent, n cu la robabltà dell evento successo è ar a, s defnsce geometrca la v.a. che raresenta l numero d rove necessare er ottenere l rmo successo. La sua funzone d robabltà è ar a:,,3,... P 0 altrove La costruzone d questa formula è ntutva. Infatt nel relcare un esermento d Bernoull, le rove sono ndendent e ertanto la robabltà d ottenere un artcolare rsultato non è altro che l rodotto delle robabltà de rsultat ottenut nelle sngole rove. Se er ottenere l rmo successo, la cu robabltà è ar a, sono necessare rove, s avrà: P I... IS P I... P I P S volte volte dove con I s ndca l verfcars dell nsuccesso e con S l verfcars del successo. 8

19 Anche la dstrbuzone bnomale consdera l reters d rove d Bernoull dentche ed ndendent, ma conta l numero d success ottenut n un numero refssato n d rove, mentre la geometrca non fssa l numero d rove che devono essere effettuate, ma relca l esermento fno ad ottenere l rmo successo. Il valore atteso e la varanza della geometrca sono rsettvamente ar a: E e Var. Esemo 0: Al tavolo della roulette un gocatore scegle una determnata stratega d goco caratterzzata da una robabltà d successo ar a 0,6. Il gocatore rete la sua untata, n gocate successve, fnché ottene un successo, doodché s ferma. S ndch con Ε l esermento aleatoro defnto da questo to d goco ed la v.a. che descrve l numero d gocate effettuate. Descrvere lo sazo camonaro assocato all esermento Ε e la funzone d robabltà assocata alla v.a.. Sa A l evento: l gocatore ha successo entro la terza rova e B l evento: l gocatore ha successo alla terza o alla quarta rova ; decdere se due event A e B sono ndendent. Determnare la robabltà che sano necessare ù d tre rove er ottenere l rmo successo. Determnare l numero atteso d gocate er ottenere l rmo successo. Lo sazo camonaro Ω assocato all esermento Ε sarà del to: Ω {S, IS, IIS, IIIS, } dove con I s ndca l verfcars dell nsuccesso e con S l verfcars del successo nella sngola rova, 9

20 mentre la v.a. assumerà valor contenut n R con le relatve robabltà: ω R P S 0,6 IS 0,4 0,6 0,4 IIS 3 0,4 0,4 0,6 0,096 IIIS 4 0,4 0,4 0,4 0,6 0,0384 La funzone d robabltà uò qund essere rassunta nella formula: P 0,6 0,6,,3,... PA P 3 P + P + P 3 0,6 + 0,4 + 0,096 0,936 PB P 3 + P 4 0, ,0384 0,344 Per stablre che due event A e B sono ndendent s deve verfcare: P A B P A P B. Dato che P A B P 3 0, 096 e che P A P B 0,936 0,344 0, 58, s uò concludere che due event non sono ndendent. P > 3 P 3 0,936 0,064 è la robabltà che sano necessare ù d tre rove al fne d ottenere l rmo successo. Il valore atteso sarà ar a: E, ,6 0

21 VARIABILI ALEATORIE CONTINUE La trattazone delle v.a. contnue è uttosto comlessa; è utle tuttava accennare qualche concetto. Una v.a. s defnsce contnua se uò assumere tutt valor n un determnato ntervallo d numer real; coè se l nseme {ω, ω є Ω} è un ntervallo d numer real. Una v.a. contnua è collegata con oerazon d msurazone, qual la durante d un comonente elettronco, l eso, l altezza e altr cas ancora. L oerazone ratca d una msurazone dà semre luogo ad un troncamento, ad un arossmazone, ma questa non è altro che un arossmazone; nfatt la msurazone vene arrotondata ad un numero refssato d cfre decmal e questo dende anche dalla recsone dello strumento utlzzato er msurare. Però, se da un lato non è dffcle concere l dea d contnutà, dall altro l oerazone d assegnazone della robabltà agl event dello sazo camonaro che qu rcordo sono nfnt! è comlessa. Per cercare d comrendere l concetto è nteressante consderare l seguente esemo. La seguente tabella rorta rsultat della classfcazone dell altezza n cm. d un elevato numero d soggett scrtt d leva del 7 n Itala: Class d altezza Classe f a h 54 59] C 0,07 5 0, ] C 0, , ] C 3 0,86 5 0, ] C 4 0,9 5 0, ] C 5 0,5 5 0, ] C 6 0,3 5 0, ] C 7 0, , ] C 8 0,0 5 0,00

22 dove f frequenza relatva, che ndca l raorto tra l numero d soggett osservat n ogn classe d altezza e numero totale de soggett; a amezza d classe, che ndca la dfferenza tra l estremo suerore e l estremo nferore d ogn classe es ; h f / a denstà d frequenza, che ndca la frazone d soggett n ogn centmetro della classe es. 0,07 / 5. La raresentazone grafca stogramma che s ottene onendo le altezze sull asse delle ascsse e le denstà d frequenza sull asse delle ordnate è del to: Istogramma Denstà 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0, Altezze E facle constatare che l area A d ogn rettangolo dell stogramma è ar alla frequenza relatva della classe e che l area dell ntera fgura è ar alla somma delle frequenze relatve, er cu. Qund er le aree vale che: A > 0 er ogn,,, 8; A. S consder ora uno sazo camonaro dscreto cu element sono le 8 class d altezza ndvduate: Ω {C, C, C 3, C 4, C 5, C 6, C 7, C 8 }.

23 Come attrbure una robabltà ad ogn sngola classe, coè ad ogn evento elementare dello sazo camonaro dscreto Ω? In altr termn: se s estrae a caso un soggetto dalla oolazone degl scrtt alla leva, qual è la robabltà che la sua altezza aartenga alla classe C,,, 8? Vste le roretà e delle aree, dventa naturale attrbure ad ogn classe una robabltà ar alla frequenza relatva. E questo, noltre, alla luce dell nterretazone frequentsta della robabltà non è er nulla llogco: le rove effettuate, coè soggett consderat sono n numero suffcentemente grande gl scrtt alla leva del 7 n Itala non sono och!, e qund la robabltà del verfcars d un evento uò esser ben arossmata dalla sua frequenza relatva. L dea che qu s vuole trasmettere è mortante: nel contnuo la robabltà è raresentata da un area e d conseguenza la robabltà d un unto è nulla nterretable come l area d un rettangolo con base ar a zero!. Da un unto d vsta alcatvo er arossmare la robabltà del verfcars d un unto s uò consderare la robabltà d un ccolo ntervallo, centrato sul valore d nteresse. S uò dare ora una defnzone d v.a. contnua. Una v.a. defnta nell ntervallo l, L è detta contnua se esste una funzone f, chamata funzone d denstà d robabltà, tale che: f 0 R L l b a f d f d P a < < b dove a e b sono due valor d tal che a < b. 3

24 Il valore atteso e la varanza delle v.a. contnue non vengono qu consderate erché rchedono la conoscenza del calcolo ntegrale, ma sono comunque defnte nel seguente modo: L E f d urché l ntegrale essta e sa fnto, l L E f d f d E L Var urché l ntegrale essta e sa fnto. l l VARIABILI ALEATORIE CONTINUE PARTICOLARI E ora ossble dare un cenno d due v.a. contnue artcolar unforme contnua o rettangolare e normale o d Gauss. Dstrbuzone unforme contnua o rettangolare La dstrbuzone unforme contnua è un estensone al caso contnuo della dstrbuzone unforme dscreta. Una v.a. defnta nell ntervallo [a, b] ha dstrbuzone unforme se uò essere esressa medante la funzone: f b a 0 a b altrove che grafcamente è del to es. con a > 0 e b > 0: 4

25 Esemo : Ad una fermata l oraro d arrvo dell autobus fra le 8 e le 8.0 segue una dstrbuzone unforme contnua. Avendo ndcato con l temo trascorso dalle 8 n mnut: s calcol la robabltà che l autobus ass tra le 8.04 e le 8.08; suonendo che uno studente arrv alla fermata alle 8.04, s determn la robabltà che l autobus sa gà assato; consderando le 6 mattne n cu lo studente s reca a scuola, s calcol la robabltà che n almeno 5 mattne l autobus ass rma delle La funzone d denstà sarà: f altrove Dato che la dstrbuzone è contnua er determnare le robabltà s deve rsolvere un ntegrale. Tuttava analzzando l grafco della funzone d denstà le robabltà ossono essere determnate anche calcolando l area d un rettangolo: Funzone d denstà f 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0,

26 La robabltà che l autobus ass tra le 8.04 e le 8.08 sarà qund data da: P ,4 ; 0 mentre la robabltà che ass rma delle 8.04 sarà: P ,4. 0 Sa Y la varable casuale bnomale che consdera l numero d mattne n cu l autobus assa rma delle 8.04 n 6 rove ndendent. Dunque la robabltà che fra queste almeno 5 volte s verfch l successo: P Y 5 P Y 5 + P Y 6 6 0, , , ,4 0 0, Dstrbuzone normale o d Gauss: La sua funzone d denstà è ar a: f µ e σ π σ R E µ Var σ. La curva normale è smmetrca rsetto alla meda, mentre è ù o meno aattta a seconda che lo scarto quadratco medo sa ù o meno elevato. 6

27 + Vale comunque che f d, coè l area sottesa da una curva normale è semre ar ad uno dato che è smmetrca rsetto alla meda, l area da - alla meda sarà ar a 0,5 e l area dalla meda a + sarà ar a 0,5. In generale er ndcare che una caratterstca segue una dstrbuzone normale con meda µ e varanza σ s scrve ~ N µ, σ. Il grafco della dstrbuzone normale è del to: µ Proretà: La curva è smmetrca rsetto all asse µ; è crescente nell ntervallo -, µ e decrescente nell ntervallo µ, + ; ha due unt d flesso n µ σ e µ + σ; v è concava nell ntervallo µ σ, µ + σ e convessa altrove; v ha come asntoto l asse. Il grafco che segue mostra l andamento d due curve normal con uguale meda µ 5 e scarto quadratco medo dverso: 7

28 Curve con ugual meda 0,5 0, 0,5 0, scarto scarto 3 0, Dstrbuzone normale standardzzata: La sua funzone d denstà è ar a: f z e z π z R. E 0 Var. Qund una curva normale standardzzata non è altro che una curva normale con meda ar a 0 e varanza ar ad. Per trasformare una dstrbuzone normale n una normale standardzzata s utlzza l rocedmento della standardzzazone: µ Z. σ Le tavole della normale standardzzata rortano PZ z Φz. 8

29 Le tavole della normale standardzzata ndcano qund semre l area mnore o uguale del unto z. Esemo : In una coltvazone d frumento l numero d arasst aartenent alla famgla Puccna Gramns resent una anta s dstrbusce secondo una normale con meda µ 35 e scarto quadratco medo σ 3,5. Determnare la robabltà che su una anta l numero d arasst sa nferore a 38. Determnare la robabltà che su una anta l numero d arasst sa comreso tra 30 e 40. Scelte a caso due ante determnare la robabltà che solo sulla rma c sano tra 30 e 40 arasst. Per rsolvere rm due unt è necessaro trasformare la dstrbuzone normale n una standardzzata: P < 38 PZ < P Z < 0, Φ 0, 0, 587; 3,5 P , ,5 30 < < 40 P < Z < P 0,37 < Z < 0,37 Φ 0,37 [ Φ 0,37 ] 0,6443 [ 0,6443] 0,886. Il terzo unto rchede un ulterore ragonamento: sa A l evento sulla anta l numero d arasst è tra 30 e 40. 9

30 S chede la robabltà che er la rma anta s verfch l evento A e er la seconda anta l evento A. Le due ante sono ndendent, er cu: P A A P A P A 0,886 0,886 0,053. Esemo 3: S suonga che l unteggo n un goco a rem sa dstrbuto secondo una normale con meda ar a 8 e varanza ar a 6. Il 9,5% de gocator mglor rceve un remo. Qual è l unteggo mnmo * affnché un gocatore ossa rcevere un remo? Dal testo dell eserczo s sa che ~ N µ 8; σ 4 e che: * 8 P > * PZ > 0,95. 4 Dalle tavole della normale standardzzata s rcava che: P Z 0,86 0,805 P Z > 0,86 0,95. Qund er ottenere * è suffcente rsolvere l equazone: * 8 4 0,86 * 3,44. Qund er rcevere un remo s deve ottenere un unteggo maggore d 3,44. Esemo 4: Da recedent eserenze è emerso che la durata d una sessone d osta elettronca segue una dstrbuzone normale con meda 8 mnut e scarto quadratco medo mnut. Determnare la robabltà che una sessone scelta a caso dur meno d 0 mnut. 30

31 Scelte se sesson d una gornata, n modo ndendente, calcolare la robabltà che meno d due durno meno d dec mnut. Per determnare la robabltà che una sessone dur meno d 0 mnut: P µ σ 0 8 < 0 P < P Z < Φ 0, 843 Sa A l evento Una sessone dura meno d 0 mnut ; consderate 6 sesson, la v.a. che conta l numero d success event A che s verfcano è una bnomale con n 6 e 0,843. Per cu: P < P 0 + P 6 0, , ,843 0,843 0,