Esempi di canali DMC ed esercizi su: 1) Calcolo della capacità di canale. 2) Calcolo della probabilità di errore

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1 Argoment della Lezone Esem d canal DMC ed esercz su: Calcolo della caactà d canale Calcolo della robabltà d errore 3 Verca della dsuguaglanza d Fano

2 Eserczo Sa data una sorgente bnara con smbol ed avent robabltà d emssone ar a 0.3 e 0.7. Tale sorgente è osta n ngresso al canale mostrato n gura. - scrvere la matrce d canale - dre se l canale è smmetrco e/o unorme e erché 3 - calcolare la robabltà d errore sul smbolo 4 - calcolare l lusso medo d normazone attraverso l canale 5 - calcolare la caactà C del canale Canale non rumoroso

3 La matrce d canale è: 0 0 Eserczo Eserczo - cont. cont. 3 Dove le robabltà d transzone sono dente da: Il canale è unorme oché la seconda rga d è una ermutazone della rma rga d. Il canale è anche smmetrco oché la seconda colonna d è una ermutazone della rma colonna d.

4 3 La robabltà d errore sul smbolo è nulla oché nella matrce gl element che non s trovano sulla dagonale rncale sono tutt null. Eserczo Eserczo - cont. cont. 0 N N e 4 4 Il lusso medo d normazone attraverso l canale è dento come: I; H - H H H - H 0 0

5 Eserczo - cont. H H H H H H log log I ; H H H H log H dove H. è la unzone d entroa dell alabeto bnaro er 0.3 s ha: I ; 0.3log 0.7 log bt / smbolo 5

6 Eserczo - cont. 5 La caactà del canale s calcola come l massmo valore che uò assumere l normazone mutua meda che vale: I ; H e raggunge l suo massmo er 0.5 qund: C 0.5log 0.5log bt / smbolo 6

7 Eserczo Sa data una sorgente bnara con smbol ed avent robabltà d emssone ar a 0.3 e 0.7. Tale sorgente è osta n ngresso al canale mostrato n gura. - scrvere la matrce d canale - dre se l canale è smmetrco e/o unorme e erché 3 - calcolare la robabltà d errore sul smbolo 4 - calcolare l lusso medo d normazone attraverso l canale 0.5 Canale Z 7

8 La matrce d canale è: Eserczo Eserczo - cont. cont. 8 Il canale non è unorme oché la seconda rga d non è una ermutazone della rma rga d. oché l canale non è unorme allora non è neanche smmetrco.

9 3 La robabltà d errore sul smbolo dende dalla dstrbuzone d robabltà de smbol d ngresso: Eserczo Eserczo - cont. cont e La robabltà d corretta decsone rsulta nvece: e c

10 4 Il lusso medo d normazone attraverso l canale è dento come: I; H - H Eserczo Eserczo - cont. cont. 0 log log log H H

11 Denamo la seguente entroa condzonata all evento ed alchamo la ormula seguente: Qund: H H log H Eserczo Eserczo - cont. cont. log log H H 0 log log H

12 Eserczo - cont. H H H H I ; H H H H er 0.3 ed 0.5 s ottene: I ; H H bt / smbolo

13 Eserczo - cont. I ; H H Canale Z 3

14 Eserczo 3 Sa data una sorgente bnara con smbol s ed s avent robabltà d emssone ar a s 0.3 e s 0.7. Tale sorgente è osta n ngresso al canale mostrato n gura costtuto dalla cascata d due BSC. - scrvere la matrce del canale equvalente - dre se l canale equvalente è smmetrco e/o unorme e erché 3 - calcolare la robabltà d errore sul smbolo 4 - calcolare la caactà C del canale equvalente s r r -r r -r u r s -r -r u 4

15 Consderando ossbl ercors che ortano ad u ed u da smbol s ed s s uò costrure un canale equvalente che rsulta essere ancora un BSC. s u -r r Eserczo 3 Eserczo 3 - cont. cont. 5 s u r -r r r r r r s u s u s u s u r r r r r

16 Eserczo 3 - cont. Il canale equvalente è un BSC e qund è smmetrco ed anche unorme. 3 La robabltà d errore sul smbolo è ar ad r. 4 La caactà del canale equvalente è ar a quella d un BSC con robabltà d errore ar ad r. 6

17 Eserczo 4 S consderno codeword costtute da R bt che raresentano R ossbl lvell all uscta d un quantzzatore. Tal codeword vengono trasmesse attraverso l BSC mostrato n gura. - calcolare la robabltà che una codeword sa rcevuta n modo corretto. - calcolare la robabltà che s abba almeno un bt errato nella codeword rcevuta. s - u s - u 7

18 Eserczo 4 - cont. La robabltà d rcevere una codeword n modo corretto equvale alla robabltà d rcevere correttamente tutt bt che comongono la codeword: c R La robabltà d rcevere una codeword errata equvale alla robabltà d rcevere una codeword che ha almeno un bt errato. ochè tale evento è comlementare all'evento recedente s ha: e c 8

19 Eserczo 5 S consder l canale dscreto raresentato n gura e s assumano ngress equrobabl. - calcolare rma n unzone d e o er 3/0 le robabltà de smbol d uscta. - calcolare la matrce d canale e dre se l canale è unorme e/o smmetrco e gustcarne la rsosta. 3 - calcolare la robabltà d errore e e la corrsondente HE rma er qualsas e o er 3/ calcolare l equvocazone H rma er qualsas e o er 3/ vercare la dsuguaglanza d Fano er 3/

20 Eserczo 5 - cont. N.B. Nella gura bsogna otzzare che - e ochè - 0 s deve avere /. 3 /N/3 otes d smbol equrobabl /3 /3 / /3 /3 er 3/0 s ha: 3/60 7/30 3 3/60 0

21 Eserczo 5 - cont. Dal grao del canale ossamo rcavare la matrce d canale: Non è smmetrco erchè l nseme degl element d ogn rga è dverso e non è neanche unorme erché lo stesso vale er le colonne.

22 Eserczo 5 - cont. 3 e H E elog [ ]log [ ] log log e e e er 3/0 s ha: e /0 HE /0 log 09/0 log 9/0 /0 ln0/ln 9/0 ln0/9/ln bt/smbolo

23 Eserczo 5 - cont / / 3 3 / 3 / / 3 3 / / 3 3 / / 3 3

24 Eserczo 5 - cont. 4 er 3/0 s ha: 3/60 7/30 3 3/60 /3/3/60 0/ /3*3/0/3/60 3/3 /3-*3/0/7/30 3 /33/03/60 3/ /3/3/60 0/3 4

25 4 H log log log log log Eserczo 5 Eserczo 5 - cont. cont. 5 smbolo bt / log log 3 log log log log log

26 Eserczo 5 - cont. 5 Il numero d smbol dell alabeto d ngresso e d uscta è ar a N3. er la dsuguaglanza d Fano s ha: H H E e log N er 3/0 s ha: H H E elog N log bt / smbolo La dsuguaglanza è vercata. 6