Dipartimento di Matematica per le scienze economiche e sociali Università di Bologna

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1 Dpartmento d Matematca per le scenze economche e socal Unverstà d Bologna Modell 1 lezone novembre 211 Funzon Eulerane - robabltà professor Danele Rtell 1/2?

2 Cambo d varabl Sa A un sottonseme aperto d R 2. La trasformazone ϕ : A R 2 s dce regolare se: (a) ϕ è nettva (b) ϕ è parzalmente dervable con dervate prme contnue (c) det I ϕ (x) per ogn x A 2/2?

3 Coordnate polar nel pano Se A = (, + ) [, 2π) la trasformazone ϕ : A R 2 ϕ(ρ, ϑ) := (ρ cos ϑ, ρ sn ϑ) è regolare. Il determnante della matrce jacobana vale det I ϕ (ρ, ϑ) = det cos ϑ ρ sn ϑ sn ϑ ρ cos ϑ = ρ > 3/2?

4 Teorema Sa ϕ : A R m è una trasformazone regolare, essendo A msurable. La funzone msurable f : A R è sommable su A se e solo se la funzone x f(ϕ(x)) det I ϕ (x) è sommable d ϕ 1 (A). In tale caso vale: f(u)du = A ϕ 1 (A) f(ϕ(x)) det I ϕ (x) dx 4/2?

5 Euler functons Euler Gamma, Γ(z) s defned for z > by: Γ(z) = t z 1 e t dt 5/2?

6 Euler functons Euler Gamma, Γ(z) s defned for z > by: Γ(z) = t z 1 e t dt It s an mproper ntegral, but s possble to verfy that converges 5/2?

7 Euler functons Euler Gamma, Γ(z) s defned for z > by: Γ(z) = t z 1 e t dt It s an mproper ntegral, but s possble to verfy that converges Gamma extends the factoral snce Γ(z + 1) = z Γ(z) and beng Γ(1) = 1 f n N we have n! = Γ(n + 1) 5/2?

8 Γ ( ) 1 2 = + t e t dt = e t t dt 6/2?

9 Γ t = u = t = u 2 ( ) 1 2 = + = dt = 2udu t e t dt = e t t dt 6/2?

10 Γ t = u = t = u 2 ( ) 1 2 = + = dt = 2udu ( ) 1 Γ = 2 t e t dt = 2ue u2 u du e t t dt 6/2?

11 ( ) + Γ = t e t dt = 2 t = u = t = u 2 = dt = 2udu ( ) 2ue u2 Γ = du = 2 2 u e t t dt e u2 du 6/2?

12 Γ t = u = t = u 2 Γ ( ) 1 2 ( ) 1 2 = = + = dt = 2udu 2ue u2 u t e t dt = du = 2 e t t dt e u2 du = π 6/2?

13 Euler Reflexon Formula for x / Z Γ(x)Γ(1 x) = π sn πx 7/2?

14 Euler Reflexon Formula Γ(x)Γ(1 x) = π sn πx for x / Z Second reflexon formula Γ( x)γ(1 2 x) = π cos(πx) 7/2?

15 Euler Beta Theorem If x, y > : Γ(x) Γ(y) Γ(x + y) = s x 1 (1 s) y 1 ds 8/2?

16 Euler Beta Theorem If x, y > : Γ(x) Γ(y) Γ(x + y) = s x 1 (1 s) y 1 ds Ths dentty can be reformulated ntroducng the Euler Beta functon: n such a way B(x, y) = s x 1 (1 s) y 1 ds Γ(x) Γ(y) B(x, y) = Γ(x + y) 8/2?

17 roof We start from Gamma s defnton Γ(x) = varable puttng t = u 2 so that Γ(x) = u 2x 1 e u2 du t x 1 e t dt then change 9/2?

18 roof We start from Gamma s defnton Γ(x) = varable puttng t = u 2 so that Γ(x) = 2 Smlarly Γ(y) = u 2x 1 e u2 du v 2y 1 e v2 dv t x 1 e t dt then change 9/2?

19 roof We start from Gamma s defnton Γ(x) = varable puttng t = u 2 so that Γ(x) = 2 Smlarly Γ(y) = 2 Now use Fubn s Theorem Γ(x)Γ(y) = [,+ ) [,+ ) + u 2x 1 e u2 du v 2y 1 e v2 dv t x 1 e t dt then change u 2x 1 v 2y 1 e (u2 +v 2) dudv 9/2?

20 Change to polar coordnate u = ρ cos ϑ v = ρ sn ϑ obtanng 1/2?

21 Change to polar coordnate u = ρ cos ϑ v = ρ sn ϑ obtanng Γ(x)Γ(y) = 4 ( + ) ( π/2 ρ 2x+2y 1 e ρ2 dρ cos 2x 1 ϑ sn 2y 1 ϑ dϑ ) 1/2?

22 Change to polar coordnate u = ρ cos ϑ v = ρ sn ϑ obtanng Γ(x)Γ(y) = 4 ( + = Γ(x + y) ) ( π/2 ρ 2x+2y 1 e ρ2 dρ π/2 2 cos 2x 1 ϑ sn 2y 1 ϑ dϑ cos 2x 1 ϑ sn 2y 1 ϑ dϑ ) 1/2?

23 To end the proof we have to show that B(x, y) = π/2 2 cos 2x 1 ϑ sn 2y 1 ϑ dϑ 11/2?

24 To end the proof we have to show that B(x, y) = π/2 But comng back to Beta s defnton 2 cos 2x 1 ϑ sn 2y 1 ϑ dϑ B(x, y) = we are done puttng s = cos 2 ϑ s x 1 (1 s) y 1 ds 11/2?

25 Exercse Evaluate x 2 1 x 2 dx 12/2?

26 Exercse Evaluate x 2 = u = x 2 1 x 2 dx x 2 1 x 2 dx = u(1 u) 1/2 1 2 u du 12/2?

27 Exercse Evaluate x 2 = u = x 2 1 x 2 dx = 1 2 x 2 1 x 2 dx x 2 1 x 2 dx = u 1/2 (1 u) 1/2 du u(1 u) 1/2 1 2 u du 12/2?

28 Exercse Evaluate x 2 = u = x 2 1 x 2 dx = 1 2 x 2 1 x 2 dx x 2 1 x 2 dx = u(1 u) 1/2 1 2 u du u 1/2 (1 u) 1/2 du= 1 2 B(3 2, 3 2 ) 12/2?

29 Exercse Evaluate x 2 = u = x 2 1 x 2 dx = 1 2 x 2 1 x 2 dx x 2 1 x 2 dx = u(1 u) 1/2 1 2 u du u 1/2 (1 u) 1/2 du= 1 2 B(3 2, 3 2 )= 1 2 Γ 2 ( 3 2 ) Γ(3) 12/2?

30 Exercse Evaluate x 2 = u = x 2 1 x 2 dx = 1 2 x 2 1 x 2 dx x 2 1 x 2 dx = u(1 u) 1/2 1 2 u du u 1/2 (1 u) 1/2 du= 1 2 B(3 2, 3 2 )= 1 2 Γ 2 ( 3 2 ) Γ(3) = 1 2 π 8 12/2?

31 Msure d robabltà Se Ω è un nseme non vuoto ed A è una σ-algebra d sottonsem d Ω ogn msura completa su Ω tale che (Ω) = 1 s dce msura d probabltà su A 13/2?

32 Msure d robabltà Se Ω è un nseme non vuoto ed A è una σ-algebra d sottonsem d Ω ogn msura completa su Ω tale che (Ω) = 1 s dce msura d probabltà su A Completa sgnfca che A A, B A, (A) = = B A 13/2?

33 Msure d robabltà Se Ω è un nseme non vuoto ed A è una σ-algebra d sottonsem d Ω ogn msura completa su Ω tale che (Ω) = 1 s dce msura d probabltà su A Completa sgnfca che A A, B A, (A) = = B A e qund (B) = 13/2?

34 robabltà condzonata Il problema posto dal condzonamento è quello del modo n cu una certa quanttà d nuova nformazone può essere amalgamata con l nformazone gà mmagazznata n un dato modello d probabltà (Ω, A, ) 14/2?

35 robabltà condzonata Il problema posto dal condzonamento è quello del modo n cu una certa quanttà d nuova nformazone può essere amalgamata con l nformazone gà mmagazznata n un dato modello d probabltà (Ω, A, ) L dea è che l acquszone d nuova nformazone modfca le nostre conoscenze e qund c mette n condzone d valutare la probabltà degl event consderat n una manera dversa da quella consentta dalle nostre nformazon nzal. 14/2?

36 Defnzone Dato uno spazo d probabltà (Ω, A, ) e due event A, B A tal che sa verfcata la relazone (A) >, chameremo la quanttà (B A) := (B A) (A) probabltà condzonata d B rspetto ad A (probabltà che s verfch B sapendo che s è verfcato A). 15/2?

37 Defnzone Dato uno spazo d probabltà (Ω, A, ) e due event A, B A tal che sa verfcata la relazone (A) >, chameremo la quanttà (B A) := (B A) (A) probabltà condzonata d B rspetto ad A (probabltà che s verfch B sapendo che s è verfcato A). La quanttà (B A) prende nvece l nome d probabltà congunta d A e B (probabltà che s verfchno contemporaneamente A e B) 15/2?

38 La funzone ( A) : A [, 1] è una msura d probabltà (Ω, A, ( A)) s comporta come un nuovo spazo d probabltà nel quale è ora ncorporata l nformazone che l evento A s verfca certamente: nfatt dalla defnzone s ha (A A) = 1 16/2?

39 Formula della robabltà Totale Dat n uno spazo d probabltà (Ω, A, ) un arbtraro evento A A ed una decomposzone msurable D = {D 1,..., D n } con (D ) >, = 1,..., n s ha (A) = n (A D )(D ) =1 17/2?

40 Indpendenza Dat due event A, B n uno spazo d probabltà (Ω, A, ) dremo che ess sono ndpendent se (A B) = (A)(B) 18/2?

41 Indpendenza Dat due event A, B n uno spazo d probabltà (Ω, A, ) dremo che ess sono ndpendent se (A B) = (A)(B) Dremo noltre che due sotto σ-algebre A 1 e A 2 d event d Ω sono ndpendent se ogn evento d A 1 è ndpendente da ogn evento d A 2 18/2?

42 Il concetto d ndpendenza può essere esteso anche al caso n cu l numero d event è maggore d due, ma bsogna fare molta attenzone al fatto che sarà possble parlare d ndpendenza due a due, nel senso d (A B) = (A)(B), d ndpendenza tre a tre, nel senso d (A B C) = (A)(B)(C), e così va, e che tal lvell d ndpendenza non s mplcano affatto l uno con l altro, nel senso che ad esempo tre event possono essere ndpendent due a due senza esserlo tre a tre e vceversa. 19/2?

43 Dato uno spazo d probabltà (Ω, A, ) dremo che gl event A 1,..., A n sono event ndpendent se comunque scelt k ndc 1,... k con k = 1,..., n rsulta (A 1 A k ) = (A 1 ) (A k ) 2/2?