Costruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini. Lezione 2:

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1 Costruzone d macchne Modulo d: Progettazone probablstca e affdabltà Marco Beghn Lezone : Probabltà condzonata e varabl casual

2 Probabltà condzonata: La probabltà d un evento A (r)valutata quando è noto (o s potzza) che un altro evento B dello spazo camponaro s è verfcato Esempo.: Supponamo che la probabltà d vncere lo scudetto sa la stessa per ogn squadra della massma dvsone, determnare la probabltà : ) che vnca l Inter (A) ) che vnca l Inter sapendo che (oppure se, o nell potes che ) lo scudetto sa vnto da una mlanense (B) P( A ) = 0 P( B ) = = 0 0 P( A B ) = La probabltà (a pror) che vnca l Inter La probabltà (a pror) che vnca una mlanese La probabltà che vnca l Inter se vnce una mlanese

3 A A B B Nel caso generale P A B = ( B) P( B) P A Esempo. Nel lanco d una coppa d dad, determnare la probabltà d avere almeno un sapendo che la somma è 6. A = {(,;,;,3;,4;,5;,6;,;3,;4,;5,;6, ) } P( A) 36 5 B = {(,5 );(, 4 );( 3,3 );( 4, );( 5, )} P( B) = 36 A B = {(, 4 );( 4, )} P( A B) = = 36 8 P( A B ) = 5 = La probabltà (a pror) che esca almeno un due

4 Esempo.3 Una moneta truccata (unfar con) è tale per cu P( h) = /3; P( t) = /3 Lancata la moneta, s scegle a caso un numero tra e 9 se esce testa (head) e un numero tra e 5 se esce croce (tal): qual è la probabltà d avere alla fne un numero par (even)? Processo stocastco e dagramma ad albero e P( h ) = /3 P( t ) = /3 h t P( e h ) = 4/9 P( o h ) = 5/9 P( e t ) = /5 o e P( o t ) = 3/5 o P e = () P h P e h + P t P e t = =

5 Partzon e probabltà condzonate S B B B 5 B 4 A B 3 B B = sse j j B = S P A = P A B + P A B +... = = P A B P B + P A B P B +...

6 Esempo.5 Tre macchne producono rspettvamente l 50%, 30% e l 0% della produzone, le percentual d pezz dfettos d ognuna d esse sono rspettvamente: 3%, 4% e 5%. Determnare la percentuale d pezz dfettos della produzone. S B B D B 3 P B = 0.5; P B = 0.3; P B = 0. 3 P( D B ) = 0.03 B B D D B 3 D P D = P D B P B + P D B P B + P D B P B = 3 3 = = = 3.7%

7 S B A Teorema d Bayes B P( B A ) =? B 5 B 4 B 3 P B A ( ) ( ) P B A P A B = = = P( B) P AB P A P A P A P A = P A B P B + P A B P B +... P B A = P( A B ) P( B) P A B P B + P A B P B +...

8 Esempo.6 Nell esempo.5, determnare la probabltà che un pezzo dfettoso sa stato prodotto dalla prma macchna P( B D ) =? P B D P( B ) P D B = = = = 40.5% P D P( B D ) = 0.34 P( B3 D ) = 0.7

9 Event ndpendent Defnzone: A e B sono ndpendent se la conoscenza del verfcars d uno non modfca la probabltà calcolable per l altro: ma = P( A) P AB P ( AB) P( B) = P( A B) Qund sono ndpendent se e solo se: P ( A B) = P( A) P( B)

10 Eserczo. Verfcare che due event A e B non mpossbl e mutuamente esclusv non sono ndpendent A B Eserczo. Verfcare che due event A e B con B A e B (non mpossbl e nclusv) non sono ndpendent A B

11 Ne consegue che: due event A e B non mpossbl per essere ndpendent devono essere come rappresentato: A B

12 Esempo.7 Consderamo un espermento consstente n tre lanc d una moneta, (far con) valutare la dpendenza degl event: A: l prmo lanco produce testa B: l secondo lanco produce testa C: testa s presenta due sole volte consecutve = {(,, )( ;,, )( ;,, );(,, );(,, )( ;,, )( ;,, );(,, )} = {(,, );(,, );(,, );(,, )} = {(,, );(,, );(,, );(,, )} = (,, );(,, ) P( A) P( B) ; P( C) S hhh hht hth htt thh tht tth ttt A hhh hht hth htt B hhh hht thh tht { } C h h t t h h = = 4 = 8 8 = {(,, );(,, )} P( A B) A B hhh hht = 8 A e B ndpendent {(,, )} A C = h h t ( C) P A 8 = A e C dpendent

13 Varable casuale (random varable) Inseme numerco S X

14 Esempo.8 Lanco due dad e la varable casuale è l prodotto de valor delle facce. S.,3 ( 3, ) (,) (,) (, ) 6. X X = { ; ;3; 4;5;6;8;9;0;;5;6;8; 0; 4; 5;30;36}

15 Varable casuale (random varable): defnzone Una VC (RV) su uno spazo camponaro è una trasformazone da S n tale che ogn evento d S sa rappresentato come valore numerco appartenente all nseme: X Varable casuale dscreta X è un nseme numerable d element (fnto o nfnto) a ognuno d tal element può essere assocata una probabltà. Esempo d varable casuale dscreta non fnta: X contene l numero d lanc d un dado prma che s present un numero prmo: X = { ;;3;4;5;... } S =

16 Varable casuale dscreta x x x3 x4 x5... x n p( x ) p x... p x3 p x4 p x5 p x n x X Funzone o dstrbuzone d probabltà dscreta: P = p x Propretà: P = p x x 0 n = P =

17 Esempo.9 S lancano due dad e s consdera la varable aleatora x l massmo valore: determnare l domno della VA e la sua dstrbuzone Evento x P (,) /36 (,),(,),(,) 3/36 x P /36 3/36 5/36 7/36 9/36 / X = { ; ;3; 4;5;6} 0.3 P x

18 Esempo.0 S lancano due dad e s consdera la varable casuale y come la somma de valor: determnare domno e dstrbuzone 3 { } { ;3; 4;5;6;7;8;9;0;; } Y = y j = { } P = P y = 4 = P,3 ; 3, ;, = P j y j

19 Esempo. S lanca una moneta fnché non compare testa, la varable casuale u è l numero d lanc U = { u } { ;;3;... } k = = P { } = P u = = P = P{ ()( t, h) } = = P {()()()()} 5 = P t, t, t, t, h = 5 P k = k 0.6 P k k = k =? = 0... = u k

20 Varable casuale dscreta: propretà della dstrbuzone Valore centrale, valor medo, speranza matematca (central, mean, expected value) μ Sgnfcat: n = x P = μ = E ( x ) = E( X) ) Meda de rsultat degl esperment ponderata sulle probabltà: n = n = x P P

21 Varable casuale dscreta: sgnfcat della meda ) Se s effettua l espermento tante volte e s esegue la meda artmetca semplce de rsultat, al lmte s ottene μ 3) Se s rpete l espermento m volte (con m>>) e s sommano rsultat, l valore pù probable è: m μ 4) Analoga meccanca: Se assoco l valore della varable casuale alla poszone d un punto dsposto sull asse x e la relatva probabltà alla massa del punto, l valor medo della varable casuale ndvdua la poszone del centro d massa (barcentro) della dstrbuzone

22 Esempo. Goch equ. Un goco d sorte consste nel lanco d un dado non pesato (far dce), se l esto è un numero prmo l gocatore rceve una vncta equvalente n euro, se l esto non è prmo l gocatore paga al banco l equvalente n euro. Determnare la dstrbuzone della probabltà d vncta e valutarne la meda. x P /6 /6 /6 /6 /6 /6 μ n = xp = = Note: La meda può non essere nel domno della VA (n questo caso non è nemmeno ntera) Medamente l gocatore perde /6 d euro per ogn gocata 6

23 Esempo.3 Determnare l valor medo della dstrbuzone: P = k k μ k k = = k k = Nota: Lancando tante volte una moneta, l valor medo d lanc tra l apparzone d due teste è

24 Varable casuale dscreta: propretà della dstrbuzone Msura d dspersone, larghezza (scatter): varanza (varance) n = VAR( X ) = ( x ) scrtto anche P X = σ μ σ Consderando la VA: d = x μ σ = VAR X = E d Sgnfcat: Meda ponderata (con la pr.) de quadrat delle dstanze dalla meda. Analoga meccanca: momento d nerza barcentrco. Attenzone alle dmenson! Eserczo.3 Verfcare che σ E( x ) = μ

25 Scarto quadratco medo o devazone standard (standard devaton) σ n = = = VAR X x P ( μ) Sgnfcat: Dstanza quadratca meda ponderata de valor dal centro Dmensonalmente omogenea con x Analoga meccanca: raggo d nerza

26 Eserczo.4 Verfcare che:.. k VAR kx = k VAR X = k c costante omogena a x: σ X c σ X ; ; σ kx σ X + = Defnzone Varable casuale standardzzata: Eserczo.5 Verfcare che:.. E X * = 0 VAR X * = X* = X μ σ

27 Varabl casual dscrete: dstrbuzone congunta (jont dstrbuton) Date due VA: X e Y defnte sullo stesso S X = x, x,..., x e Y = y, y,..., y { } { } n Il prodotto cartesano è l nseme d tutte le n m coppe: {(, ),(, ),...,(, )} X Y = x y x y x y Defnamo la probabltà congunta: { } P = P x= x y = y j j n m m

28 Matrce rassuntva Y X x x x x 3 n somma y y y3... y m P P P3... P m P P P3... P m P3 P3 P33... P3 m... Pn Pn Pn3... Pnm Py Py Py3... Pym somma Px Px Px Px 3 n

29 Esempo.4 Matrce delle probabltà congunte per le varabl degl esemp.9 e Tutt valor devono essere dvs per 36

30 Rappresentazone della matrce delle probabltà congunte per le varabl degl esemp.9 e.0 P j x y j

31 P ( x y ) 0, j j Propretà: n m = j= Defnzone d covaranza d X e Y n m P j = (, ) = μx j μy j = μx μy COV X Y x y P E X Y = j= Sgnfcat della covaranza Dmensonalmente omogenea alla varanza Può essere postva negatva o nulla Analoga meccanca: momento centrale centrfugo o msto Defnzone d correlazone (lneare) d X e Y ρ XY, = COV X, Y σ σ X Y

32 Eserczo.6 Per dat della tabella precedente verfcare che: COV X, Y =.9 ρ XY, = 0.86 Eserczo.7 Dmostrare che n generale: COV Y, X = COV X, Y COV X Y E XY μ μ, = x y

33 ρ Propretà della correlazone X, X = ; ρ X, X = ρ XY, ρ ax + b, cy + d = ρ X, Y Se due varabl aleatore sono correlate postvamente: ρ>0, quando una è sopra la propra meda anche l altra tende a esserlo Se due varabl aleatore sono correlate negatvamente: ρ<0, quando una è sopra la propra meda l altra tende a essere sotto Due varabl aleatore con ρ=0 (o comunque vcno a zero) s dcono scorrelate (lnearmente)

34 Varabl aleatore ndpendent X e Y sono ndpendent se: {( = ) } = j = = = j P X x Y y P X x P Y y Pj = PX PYj La matrce delle probabltà congunte è ottenuta dal prodotto delle dstrbuzon margnal Eserczo.8 Verfcare che le varabl della tabella precedente non sono ndpendent

35 Propretà delle varabl aleatore ndpendent Se X e Y sono VA ndpendent: E ( XY ) = E ( X ) E ( Y ) VAR ( X + Y ) = VAR( X ) + VAR( Y ) Relazone generalzzable per n varabl ndpendent: Se X, X,..., X sono VA ndpendent: n VAR X + X X = VAR X + VAR X VAR X n COV ( X, Y ) = 0 Due varabl ndpendent sono scorrelate (mplcazone semplce) n