Pattern Recognition. Bayes decision theory
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- Gerardo Salvatori
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1 Computer Scence Department Unversty of Verona A.A Pattern Recognton Bayes decson theory 1
2 Rev. Thomas Bayes, F.R.S
3 Introduzone Approcco statstco fondamentale d classfcazone d pattern Ipotes: Goal: 1. Il problema d decsone è posto n termn probablstc;. Tutte le probabltà rlevant sono conoscute; Dscrmnare le dfferent regole d decsone usando le probabltà ed cost ad esse assocat; 3
4 Sa lo stato d natura da descrvere probablstcamente; Sano date: 1. Due class 1 and per cu sono note 1 a P = 0.7 b P = 0.3. Nessuna msurazone. Regola d decsone: Un esempo semplce = Probabltà a pror o Pror 1 1 Decd se P > P ; altrment decd Pù che decdere, ndovno lo stato d natura. 4
5 Altro esempo Formula d Bayes Nell potes precedente, con n pù la sngola msurazone, v.a. dpendente da, posso ottenere p 1, ossa la probabltà d avere la msurazone sapendo che lo stato d natura è. Fssata la msurazone pù è alta p pù è probable che sa lo stato gusto. = Lkelhood, o Probabltà stato-condzonale 5
6 6 = Pror = Lkelhood = Posteror = Evdenza Note e, la decsone dello stato d natura dventa, per Bayes ossa Altro esempo Formula d Bayes P p, P p p P p P p p P p P P P P, dove: 1 J P p p
7 Regola d decsone d Bayes P p P p posteror lkelhood pror evdence Ossa l Posteror o probabltà a posteror è la probabltà che lo stato d natura sa data l osservazone. Il fattore pù mportante è l prodotto ; l evdenza p lkelhood pror è semplcemente un fattore d scala, che asscura che P 1 Dalla formula d Bayes derva la regola d decsone d Bayes: Decd 1 se P 1 > P, altrment 7
8 Regola d decsone d Bayes Per dmostrare l effcaca della regola d decsone d Bayes: 1 Defnsco la probabltà d errore annessa a tale decsone: P error P 1 P se decdo se decdo 1 Dmostro che la regola d decsone d Bayes mnmzza la probabltà d errore. Decdo 1 se P e vceversa. 1 P 3 Qund se voglo mnmzzare la probabltà meda d errore su tutte le osservazon possbl, P error P error, d se per ogn prendo Perror pù pccola possble m asscuro la probabltà d errore mnore come detto l fattore p è nnfluente. P error p d 8
9 Regola d decsone d Bayes 3 In questo caso tale probabltà d errore dventa Perror =mn[p 1, P ]; Questo m asscura che la regola d decsone d Bayes Decd 1 se P 1 > P, altrment mnmzza l errore! Regola d decsone equvalente: La forma della regola d decsone evdenza l mportanza della probabltà a posteror, e sottolnea l nnfluenza dell evdenza, un fattore d scala che mostra quanto frequentemente s osserva un pattern ; elmnandola, s ottene la equvalente regola d decsone: Decd 1 se p 1 P 1 > p P, altrment 9
10 Teora della decsone Il problema può essere scsso n una fase d nferenza n cu s usano dat per addestrare un modello p k e una seguente fase d decsone, n cu s usa la posteror per fare la scelta della classe Un alternatva è quella d rsolvere problem contemporaneamente e addestrare una funzone che mapp l nput drettamente nello spazo delle decson, coè delle class lnear machne, che usa funzon dscrmnant lnear 10
11 Funzon dscrmnant Uno de var metod per rappresentare classfcator d pattern consste n un set d funzon dscrmnant g, =1...c Il classfcatore fnale, ossa la lnear machne assegna l vettore d feature alla classe se g > g per ogn 11
12 Funzone dscrmnant Esstono molte funzon dscrmnant equvalent. Per esempo, tutte quelle per cu rsultat d classfcazone sono gl stess Per esempo, se f è una funzone monotona crescente, allora g f g Alcune forme d funzon dscrmnant sono pù semplc da capre o da calcolare 1
13 13 L effetto d una funzone dscrmnante è quello d dvdere lo spazo delle features n c superfc d separazone o decsone, R 1,..., R c Funzone dscrmnant 3 Le regon sono separate con confn d decsone, lnee descrtte dalle funzon dscrmnant. Nel caso a due categore ho due funzon dscrmnant, g 1,g, per cu assegno a 1 se g 1 > g o g 1 -g >0 Usando ln ln P P p p g P P g g g g ottengo una lnear machne
14 La struttura d un classfcatore d Bayes è determnata da: Le denstà condzonal Le probabltà a pror La denstà normale p P Una delle pù mportant denstà è la denstà normale o Gaussana multvarata; nfatt: è analtcamente trattable; pù mportante, fornsce la mglore modellazone d problem sa teorc che pratc l teorema del Lmte Centrale assersce che sotto vare condzon, la dstrbuzone della somma d d varabl aleatore ndpendent tende ad un lmte partcolare conoscuto come dstrbuzone normale. Intervallo Inform % 95% 99% 14
15 La denstà normale La funzone Gaussana ha altre propretà La trasformata d Fourer d una funzone Gaussana è una funzone Gaussana; È ottmale per la localzzazone nel tempo o n frequenza 15
16 Denstà normale unvarata Inzamo con la denstà normale unvarata. Essa è completamente specfcata da due parametr, meda e varanza, s ndca con N, e s presenta nella forma Meda Varanza p 1 E[ ] E[ 1 ep p d ] Fssata meda e varanza la denstà Normale è quella dotata d massma entropa; L entropa msura l ncertezza d una dstrbuzone o la quanttà d nformazone necessara n meda per descrvere la varable aleatora assocata, ed è data da H p p ln p d p d 16
17 Denstà normale multvarata La generca denstà normale multvarata a d dmenson s presenta nella forma p 1 ep 1/ d / S n cu vettore d meda a d component S matrce d d d covaranza, dove 1 S = determnante della matrce S -1 = matrce nversa T S 1 d=1 d= Analtcamente S Elemento per elemento t t μ μ μ μ p d 17
18 Denstà normale multvarata Caratterstche della matrce d covaranza Smmetrca Semdefnta postva S 0 = varanza d = = covaranza tra e se e sono statstcamente ndpendent = 0 0 Se p è l prodotto della denstà unvarata per componente per componente. Se p N μ, S A matrce d k y=a t t t p y N A μ, A SA 18
19 Denstà normale multvarata 3 CASO PARTICOLARE: k = 1 p N μ, Σ a vettore d 1 d lunghezza untara y=a t y è uno scalare che rappresenta la proezone d su una lnea n drezone defnta da a a t S a è la varanza d su a In generale S c permette d calcolare la dspersone de dat n ogn superfce, o sottospazo. 19
20 Sano trasf. sbancante, htenng transform F la matrce degl autovettor d S n colonna; L la matrce dagonale de corrspondent autovalor; La trasformazone A = FL 1/, applcata alle coordnate dello spazo delle feature, asscura una dstrbuzone con matrce d covaranza = I matrce dentca Denstà normale multvarata 4 La denstà N, S d-dmensonale necessta d d + dd+1/ parametr per essere defnta Ma cosa rappresentano grafcamente F e L? Meda ndvduata dalle coordnate d 0
21 Denstà normale multvarata 5 Gl ass prncpal degl perellssod sono dat dagl autovettor d S descrtt da F Gl perellssod sono que luogh de punt per qual la dstanza d da r t 1 S detta anche dstanza d Mahalanobs, è costante Le lunghezze degl ass prncpal degl perellssod sono dat dagl autovalor d S descrtt da L 1
22 Funzon dscrmnant - Denstà Normale Tornando a classfcator Bayesan, ed n partcolare alle lnear machne, analzzamo la funzone dscrmnante come s traduce nel caso d denstà Normale g ln p ln P g 1 μ t Σ 1 μ ln A seconda della natura d S, la funzone dscrmnante può essere semplfcata. Vedamo alcun esemp. d 1 ln Σ ln P
23 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = I È l caso pù semplce n cu le feature sono statstcamente ndpendent = 0,, ed ogn classe ha la stessa varanza caso 1-D: μ g ln P 1 t t t g μ ln μμ P t dove l termne, uguale per ogn, può essere gnorato dove g 1 t μ e gungendo 0, 0 alla 1 forma : μ μ t ln P 3
24 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = I Le funzon precedent vengono chamate funzon dscrmnant lnear I confn d decsone sono dat da g =g per le due class con pù alta probabltà a posteror In questo caso partcolare abbamo: dove 0 t μ 1 μ 0 μ μ 0 μ μ NB: se << μ μ la poszone del confne d decsone è nsensble a pror! ln P μ P μ 4
25 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = I 3 Le funzon dscrmnant lnear defnscono un perpano passante per 0 ed ortogonale a : dato che μ μ, l perpano che separa R da R è ortogonale alla lnea che unsce le mede. Dalla formula precedente s nota che, a partà d varanza, l pror maggore determna la classfcazone. 1-D 5
26 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = I 4 1-D -D Teora e Tecnche del Rconoscmento 6
27 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = I 5 -D 3-D Teora e Tecnche del Rconoscmento 7
28 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = I 6 1 μ μ ln P μ P 0 μ μ μ NB.: Se le probabltà pror P, =1,...,c sono ugual, allora l termne logartmco può essere gnorato, rducendo l classfcatore ad un classfcatore d mnma dstanza. In pratca, la regola d decsone ottma ha una semplce nterpretazone geometrca Assegna alla classe la cu meda è pù vcna 8
29 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = I 7 1-D -D 9
30 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = I 8 -D 3-D 30
31 31 Un altro semplce caso occorre quando le matrc d covaranza per tutte le class sono ugual, ma arbtrare. In questo caso l ordnara formula può essere semplfcata con che è ulterormente trattable, con un procedmento analogo al caso precedente svluppando l prodotto ed elmnando l termne Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = S ln ln 1 ln 1 1 t P d g S Σ μ μ ln 1 1 t P g S μ μ Σ 1 t
32 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = S Ottenamo così funzon dscrmnant ancora lnear, nella forma: t g dove 0 Σ 1 1 μ μ t Σ 1 0 μ ln P Poché dscrmnant sono lnear, confn d decsone sono ancora perpan 3
33 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = S 3 Se le regon d decsone R ed R sono contgue, l confne tra esse dventa: 33
34 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = S 4 Poché n generale dfferentemente da prma non è l vettore che unsce le mede = -, l perpano che dvde R da R non è qund ortogonale alla lnea tra le mede; comunque, esso nterseca questa lnea n 0 Se pror sono ugual, allora 0 s trova n mezzo alle mede, altrment l perpano ottmale d separazone s troverà spostato verso la meda meno probable. 34
35 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = S 5 -D 35
36 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S = S 6 3-D 36
37 Funzon dscrmnant - Denstà Normale S arbtrara Le matrc d covaranza sono dfferent per ogn categora; Le funzon dscrmnant sono nerentemente quadratche; 37
38 Nel caso -D le superfc d decsone sono perquadrche: Iperpan Coppa d perpan Ipersfere Funzon dscrmnant Denstà Normale S arbtrara Iperparabolod Iperperbolod d varo tpo Anche nel caso 1-D, per la varanza arbtrara, le regon d decsone d solto sono non connesse. 38
39 Funzon dscrmnant Denstà Normale S arbtrara 3 39
40 Funzon dscrmnant Denstà Normale S arbtrara 4 40
41 Funzon dscrmnant Denstà Normale S arbtrara 5 41
42 Funzon dscrmnant Denstà Normale S arbtrara 6 4
43 Funzon dscrmnant Denstà Normale S arbtrara 7 43
44 Funzon dscrmnant Denstà Normale S arbtrara 8 44
45 Rferment Lbro Duda, fno a Sez..6 compresa 45
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