Lezione 20 Maggio 29

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1 PSC: Progettazone d sstem d controllo III Trm 2007 Lezone 20 Maggo 29 Docente: Luca Schenato Stesor: Maran F, Marcon R, Marcassa A, Zanella F Fnora s sono sempre consderat sstem tempo-nvarant, ovvero descrtt dalla legge x + = Px con P costante nel tempo: l obettvo è trovare P tale che tutte le component del vettore x(t) convergano al medesmo valore, coè x(t) α Cò accade se l grafo assocato a P, G P, è fortemente connesso: n tal caso α = w T x(0), dove w è l autovettore snstro d P relatvo all autovalore ( w T P = w T ; l autovettore destro relatvo a è ) Se P è doppamente stocastca, allora α = x (0) w T = T ; vale anche l vceversa (condzone necessara e suffcente) e due esemp successv la P(t) vara n modo aleatoro nel tempo Esemp Algortmo gossp: è un algortmo randomzzato (condzone mposta dall esterno n modo da evtare la collsone d messagg, lo scambo d nformazon avvene n temp dvers) S parte da un grafo G, che s suppone per semplctà completo ( 2 edge) e non orentato: la matrce d adacenza è smmetrca e completa Ad ogn stante d tempo, s attva un edge (nell nseme ε d lat) con probabltà w j 0: dato che se ne accende uno solo alla volta, s suppone,j w j = S consder ad esempo w j = 2, j, n modo da usare tutt gl edge Quando s attva un arco j, j, nod j e s scambano l nformazone rguardante l propro stato, calcolando l nuovo stato come combnazone convessa tutt gl altr stat non rcevono nformazone x (t + ) = ( q)x (t) + qx j (t) (20) x j (t + ) = qx (t) + ( q)x j (t); (202) x l (t + ) = x l (t), l, j (203) P è casuale, dpende da come s accendono gl edge, e le attvazon sono ndpendent (cò che succede al tempo t + è ndpendente da cò che succede al tempo t) on s è cert della convergenza dell algortmo, ma n caso postvo converge alla meda delle condzon nzal (average consensus): nfatt l valore x (t) = T x(t) ( barcentro) 20-

2 PSC Lezone 20 Maggo 29 III Trm 2007 resta sempre lo stesso ne tempo, dato che x l (t + ) = x l (t + ) + x (t + ) + x j (t + ) l l,j da (20), (202), (203) = x l (t) + ( q)x (t) + qx j (t) + qx (t) + ( q)x j (t) l,j = x l (t) l Ergo se x l (t) t α l, allora α è tale che l x } l( ) = } l x l(0) α S dmostra che questo è l unco algortmo randomzzato che preserva la meda: c sono tuttava svarat cas n cu, se è suffcentemente elevato, la dstanza fra valore fnale e meda è pccola (dealmente concdono per ) 2 Perdta d pacchett: s consdera un tradzonale algortmo d consenso n cu però l nformazone da j a può non arrvare S parte n questo caso da una matrce P ben precsa, ad esempo P = crcolante, oppure completa ( convergenza dead-beat al barcentro) (204) P 2 = (205) In generale, se j vuole trasmettere nformazon a all stante t s tene conto d una probabltà d rcezone p j defnta come se = j p j = p se j j x j (t) p j = p p = 20-2

3 PSC Lezone 20 Maggo 29 III Trm 2007 Se vene perso un pacchetto, s devono adattare pes (la loro somma deve restare untara P deve rmanere stocastca): un modo semplce è aggungere al peso del nodo che non rceve nformazone quello del nodo dal quale non l ha rcevuta S ntroduce così la varable L j (t) se l nformazone da j a arrva 0 altrment L (t) ; L j (t) è ndpendente da nod e nel tempo L algortmo d compensazone de pes dvene = con probabltà p 0 con probabltà p, j; x (t + ) = P + P j ( L j (t)) x (t) + P j L j (t)x j (t), j j n contrapposzone al caso senza perdta d pacchett n cu s ha x (t + ) = j P j x j (t) = P x (t) + j P j x j (t) Usando P defnta n (204), s ha x (t + ) = 2 x (t) + 2 x +(t) = 2 x (t) + 2 x +(t) se l nformazone da j a arrva x (t) altrment Se s è n condzon d agreement, l algortmo non fa perdere l accordo (x (t) = α x (t+) = α, ) 20 P(t) tempo-varante Il sstema dventa del tpo x(t + ) = P(t)x(t) con P(0), P(), sequenza d varabl aleatore a valor matrcal ndpendent S suppone noltre che P(t) assuma valor n un nseme P R fnto, ergo P = P,,P h } è una lsta d valor da cu l sstema scegle a caso, e che P [P(t) = P ] = p ( p = ); nfne, le P(t) sono d Qund P(t, ω) è funzone del parametro ω Ω (spazo degl event) che decde quale sequenza è selezonata Defnzone 20 (Probablstc Consensus) L algortmo sopra descrtto dà probablstc consensus se x(t) α cp (almost surely) α dpende da x(0) (come nel caso determnstco) e da ω Ω (a parte nel caso del gossp) α(x(0), ω) Fssato ω (ovvero fssata la sequenza delle P(t)), α(x(0), ω) è lneare n x(0) α(x(0), ω) = ρ(ω) T x(0) La lneartà è facle da dmostrare Dmostrazone: consderamo la condzone nzale x(0) come somma d due condzon nzal x (0), x 2 (0): x(0) = x (0) + x 2 (0) x(t) + x (t) + x 2 (t) t x( ) = x ( ) + x 2 ( ) 20-3

4 PSC Lezone 20 Maggo 29 III Trm 2007 e qund α = x( ) = x ( ) + x 2 ( ) = α + α 2 α = α + α 2 ; percò α è lneare (la moltplcazone per costante è banale) Qund, x(t) ( ρ T (ω)x(0) ) Defnamo Q(t, ω) P(t, ω) P(, ω) P(0, ω); è facle vedere che x(t, ω) = Q(t, ω)x(0) Proposzone 20 Q(t, ω) ρ(ω) T cp è la condzone equvalente a x(t) α cp (probablstc consensus) Dmostrazone: se Q(t, ω) ρ(ω) T, Q(t, ω)x(0) ρ(ω) T x(0) }} α = α; se x(t) α, Q(t, ω)x(0) = x(t) ρ(ω) T x(0) = ρ(ω) T x(0) }} scalare e prendendo x(0) come vettore della base canonca, Teorema 20 S supponga che Q(t, ω) ρ(ω) T P(t) ha gl element della dagonale postv cp (P(t) = P con probabltà p ); 2 sa P = E[P(t)] = p P : G P è fortemente connesso; allora s ha probablstc consensus Osservazone Se le condzon e 2 del teorema precedente sono verfcate, allora Q(t) ρ T cp, qund E[Q(t)] E [ ρ T] = [ ρ T] ; per l ndpendenza delle P(t) e dalla condzone 2, s ha e qund E[Q(t)] = E[P(t )] E[P(t 2)] = P t P t E [ ρ T] Se s usasse P s avrebbe consenso determnstco, con w T = E [ ρ T] Osservazone 2 Se P è doppamente stocastca, allora E [ ρ T] = T (barcentro) on è detto però che se P è doppamente stocastca l algortmo converga al barcentro ω (solo n meda) Per avere l average probablstc consensus, condzone necessara e suffcente è che P(t) sa doppamente stocastca cp (P doppamente stocastca ) (l average probablstc consensus corrsponde alla convergenza alla meda cp) S ha noltre che P(t) doppamente stocastca P doppamente stocastca 20-4

5 PSC Lezone 20 Maggo 29 III Trm Applcazon del teorema Algortmo gossp: defnamo una matrce R j come R j = j q q j q q con 0 nelle poszon non ndcate; è evdente che x (t) x (t) x (t) ( q)x (t) + qx j (t) R j = x j (t) qx (t) + ( q)x j (t) x (t) x (t) Supponamo che,j w j = : tutte le R j sono doppamente stocastche (essendo smmetrche e stocastche) Supponamo noltre che 0 < q < : n tal caso tutt gl element della dagonale sono postv (condzone del teorema verfcata); dmostramo che G P = G W+W T, dove W = [w j ] Dmostrazone: gl element sulla dagonale d P sono tutt postv (tutt loop); j n E W j n E P se j nfatt P =,j w jr j, ( P)hk =,j w ( j R j ) ; prendo h k, hk ( R j ) hk = q se (, j) = (h, k) oppure (, j) = (k, h) 0 altrove qund ( P)hk =,j w ( j R j ) hk = qw hk + qw kh > 0 se e solo se w hk > 0 o w kh > 0 ( W + W T ) hk >

6 PSC Lezone 20 Maggo 29 III Trm 2007 S può dmostrare che se G P = G W+W T condzone necessara non vale non s può avere consenso, qund è anche 2 Perdta d pacchett: da quanto vsto precedentemente, per j P j (t) = L j (t)p j, mentre P (t) = P + ( L j(t)) P j P, qund sceglendo la dagonale postva resta sempre > 0 e dunque è verfcata la prma condzone del teorema Inoltre, se j ( P)j = E[P j(t)] = ( p) 0 + p P j = pp j : fnchè p > 0, G P = G P fuor dagonale 20-6