VII esercitazione. Corso di Laurea in Informatica Calcolo Scientifico II a.a. 07/08

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1 VII eserctazone

2 Una fattorzzazone che rvela propretà della matrce: La Sngular value decomposton (SVD) fattorzza una matrce rettangolare reale o complessa è utlzzata nelle applcazon: nella trasmssone d segnal (sgnal processng), prevson metereologche, statstca, Consente d: calcolare la pseudonversa d una matrce rettangolare, determnare l rango d una matrce, determnare Immagne e Nucleo (range e null space) d una matrce consente d stmare l condzonamento della matrce A

3 La Decomposzone a Valor Sngolar (SVD): Supponamo che sa (m n) reale oppure complessa Esste una fattorzzazone del tpo con: m n U matrce m x n matrce untara Σ è n x n dagonale, con element non negatv ed n ordne non-crescente: V trasposta conugata d V, n-by-n untara. σ A R U Σ V Tale decomposzone è detta SVD (sngular( value decomposton) d A. A σ L σ 1 2 n 0 n 1 u σ v A C m n U e V sono matrc avent come colonne vettor ortonormal, dett, rspettvamente, vettor sngolar snstr e destr d A Gl element dagonal d Σ sono dett valor sngolar d A A untara, coè A + AI (A + trasposta conugata concde con l nversa) A ortogonale se A reale (A T trasposta concde con l nversa)

4 Osservazon: Sano: λ, 1,..., λ, 1,..., n n gl autovalor d A e gl autovalor d A T A e AA T Se A è reale, quadrata, valor sngolar d A sono le radc quadrate postve degl autovalor d A T A e AA T σ λ, σ λ, 1, K, n Se A è anche smmetrca, AA T, valor sngolar d A sono le radc quadrate postve degl autovalor d A 2, dunque concdono con gl autovalor d A σ λ 2 λ λ, 1,..., λ n

5 Applcazon: 1) Rsoluzone d un sstema d equazon omogeneo Un nseme d equazon lnear omogenee s può esprmere come: con 0 vettore nullo. A x 0 Problema: Nota A, esste un vettore x che soddsf l equazone Ax0? OSS: x s può nterpretare come vettore sngolare destro corrspondente ad un valore sngolare d A nullo. Se A non ha valor sngolar null, l unca soluzone è l vettore dentcamente nullo. Se esstono valor sngolar null, ogn combnazone lneare de corrspondent vettor sngolar destr è soluzone dell equazone.

6 Applcazon: 2) Immagne, nucleo e rango: La SVD consente d calcolare una rappresentazone esplcta dell mmagne e del nucleo d una matrce e d determnarne l rango: A R m n range ( A) { y R m : y A x, x R n } Immagne A R Ker m n { n x R : A x 0} ( A) Nucleo Il rango è l massmo numero d colonne lnearmente ndpendent, ossa la dmensone dell mmagne se A è quadrata non sngolare: A R n n, rank ( A) n, dm( Ker ( A)) 0

7 Applcazon: 2) Immagne, nucleo e rango: La SVD consente d calcolare una rappresentazone esplcta dell mmagne e del nucleo d una matrce e d determnarne l rango: I vettor sngolar destr, corrspondent a valor sngolar null d A, generano l nucleo d A. I vettor sngolar snstr, corrspondent a valor sngolar non null d A, generano l mmagne. Il rango d A concde con l numero de valor sngolar non null che, a sua volta, concde con l numero degl element non null d Σ. In algebra lneare numerca valor sngolar possono essere usat per determnare l rango numerco della matrce, dovuto al fatto che alcun valor sngolar possono rsultare pccol (numercamente null), a causa degl error d round-off.

8 Applcazon: 3) Calcolo della pseudonversa d una matrce rettangolare: Se A è nvertble, allora l nversa è data da: A 1 n 1 v σ u 1 T e la soluzone d un sstema del tpo Axb è: x n 1 σ 1 ( u T b ) v Se A R LA SVD d A è: m n A U Σ V La pseudonversa d A è: A + n 1 u σ v dove Σ + s calcola a partre da Σ e ha come element dagonal recproc degl element dagonal d Σ. In partcolare, se rrank(a) la pseudonversa s può esprmere come: rank ( A ) V Σ + U A + v σ u 1 1 T

9 MATLAB: calcolo della SVD Eserczo: Sa: ( ) T A , Calcolare l rango numerco d A. 2. Quant valor sngolar non null ha A? 3. Quante sono le soluzon dell equazone omogenea: Ax0? 4. Rsolvere l sstema d equazon lnear Axb con: b 4 ed utlzzando la SVD 5. Calcolare la pseudonversa d A

10 MATLAB: calcolo della SVD >> s svd(x) >> [U,S,V] svd(x) qual strument mette a dsposzone MATLAB? >> help svd SVD Sngular value decomposton. [U,S,V] SVD(X) produces a dagonal matrx S, of the same dmenson as X and wth nonnegatve dagonal elements n decreasng order, and untary matrces U and V so that X USV'. S SVD(X) returns a vector contanng the sngular values.

11 MATLAB: calcolo della SVD Dal prompt de comand: >> A [1 2; 3 4; 5 6; 7 8]; >> b[1; 2; 3; 4]; >> s svd(a) s >> rank(a) ans 2 >>[U,S,V] svd(a) U S V

12 MATLAB: calcolo della SVD Eserczo: Sa: , 6 8 A PER ESERCIZIO 1. Calcolare l rango numerco d A. 2. Quant valor sngolar non null ha A? 3. Quante sono le soluzon dell equazone omogenea: Ax0? 4. Rsolvere l sstema d equazon lnear help mldvde Axb con: b ( ) T ed utlzzando la SVD help nv (S può esegure nv(a) (A)b?? Che algortmo mplementa \ n base alle dmenson della matrce?) 5. Calcolare la pseudonversa d A. (S può utlzzare nv(a)? Perché?)

13 Osservazone: La sensbltà della soluzone d Axb alle perturbazon su dat A e b può essere msuata attraverso l ndce d condzonamento n norma-2: Norma spettrale (ndotta da 2 vettorale) Norma spettrale (ndotta da 2 vettorale) A ( ) 1 2 max λ λ Autovalor d A A, A A T se A è reale, 2 + λ σ1 μ 2 ( A) A A 2 2 λ σ max mn rank( A) n matlab: >> help norm >> help cond OSSERVAZIONE: cond(a) (A)cond(A,2)

14 Rsoluzone d sstem lnear: Come rsolvere un sstema lneare Axb con MATLAB? Metodo d elmnazone d Gauss Fattorzzazon Tre cas possbl: Sstem quadrat, m n. Sstem sovradetermnat, m > n. Sstem sottodetermnat, m < n. La rsoluzone d sstema lneare n matlab s ottene usando smbol d dvsone: / slash, backslash \ X A\b Indca la soluzone del sstema AX b. X b/a Indca la soluzone del sstema XA b. L'operatore backslash usa algortm dfferent per trattare dvers tp d matrc: Matrc smmetrche e defnte postve. Matrc quadrate, non sngolar. Sstem rettangolar sovradetermnat. Sstem rettangolar sottodetermnat.

15 Le funzon MATLAB per le fattorzzazon Funzone Sgnfcato lu chol qr qz eg svd Fattorzzazone PA LU Fattorzzazone d Cholesky A LL T Fattorzzazone A QR Fattorzzazone QZ Decomposzone spettrale (autovalor, autovettor) Decomposzone n valor sngolar A UΣV T schur Decomposzone d Schur A UTU H.

16 Le funzon MATLAB per le fattorzzazon Funzone Sgnfcato lu chol qr Fattorzzazone PA LU Fattorzzazone d Cholesky A LL T Fattorzzazone A QR qz Fattorzzazone QZ QR Orthogonal-trangular decomposton. >> [Q,R] QR(A) eg resttusce Decomposzone una matrce spettrale trangolare (autovalor, superore autovettor) R della stessa dmensone d A ed una matrce untara Q tale che: A QR svd Decomposzone n valor sngolar A UΣV T Applcazon: schur Per matrc sparse Decomposzone la fattorzzazone d Schur QR rsolve A l UTU problema H. a mnm quadrat n due pass: [C,R] qr(a,b) x R\c Se A è sparsa ma non quadrata, MATLAB usa quest due pass nell mplementazone del backslash: x A\b

17 Osservazone: Calcolo numerco d autovalor e autovettor Per calcolare numercamente gl autovalor e autovettor d una matrce, n generale s trasforma la matrce A n una forma n cu sa pù semplce calcolare gl autovalor e gl autovettor. Attraverso opportune fattorzzazon della matrce, s realzzano decomposzon d Schur (caso matrce generale) o decomposzon spettral (caso matrc smmetrche) e s calcolano gl autovalor della matrce trangolare T oppure della matrce dagonale Л.

18 Osservazone: A e B sono sml quando esste una matrce nvertble M tale che A M -1 B M Decomposzone spettrale d una matrce A smmetrca A matrce reale (o complessa) n x n smmetrca. Allora esstono una matrce ortogonale (a element real) U e una matrce dagonale Л tal che: A UЛU t dove le colonne d U sono gl autovettor d A e gl element dagonal d Л sono gl autovalor d A (A e Л sono matrc sml). Decomposzone d Schur d una matrce A A matrce reale (o complessa) n x n. Allora esstono una matrce untara V e una matrce trangolare superore T tal che: A V TV H dove le colonne d V sono gl autovettor d A e gl element dagonal d T sono gl autovalor d A (A e T sono matrc sml)

19 Le funzon MATLAB per le fattorzzazon Funzone Sgnfcato lu chol qr qz eg svd Fattorzzazone PA LU Fattorzzazone d Cholesky A LL T Fattorzzazone A QR Fattorzzazone QZ Decomposzone spettrale (autovalor, autovettor) Decomposzone n valor sngolar A UΣV T schur Decomposzone d Schur A UTU H.

20 MATLAB: calcolo degl autovalor >> [V,D] eg(a) %A deve essere quadrata D matrce dagonale cu element sono gl autovalor d A V matrce ortogonale le cu colonne sono gl autovettor d A corrspondent agl autovalor n D Av d v, 1,..., n >> [U, T] schur(a) %T matrce d Schur %A deve essere quadrata Funzone che realzza la decomposzone d Schur o la decomposzone spettrale: Se A smmetrca, T matrce dagonale se A non smmetrca, T matrce trangolare superore U matrce (untara) le cu colonne sono gl autovettor d A corrspondent agl autovalor n T.

21 Altre funzon d MATLAB per l'algebra lneare Funzone hess orth null subspace planerot Sgnfcato Forma d Hessenberg >> H HESS(A) La forma d Hessenberg d una matrce è nulla sotto la prma dagonale nferore e ha gl stess autovalor d A. Se la matrce è smmetrca o Hermtana, la forma è trdagonale Base ortonormale dello spazo mmagne d A Base ortonormale del nucleo della matrce A Angolo tra vettor o sottospaz Matrce rotazone nel pano algor. base: SVD det rank nv pnv Determnante Rango Inversa Pseudonversa d Moore-penrose algor. base: SVD cond condest Numero d condzonamento (norma Eucldea) Stma numero d condzonamento (norma 1) lmte nferore

22 FINE VII eserctazone