Appunti sulle curve di Bézier

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1 Appunt sulle curve d Bézer Marco Barbato 1 Ottobre 2000 Abstract Vengono delneat n modo elementare gl argoment matematc alla base delle curve d Bézer e la loro mplementazone ne software tool d svluppo grafco vettorale. Quest appunt sono stat orgnaramente scrtt per le class IV dell ITIS Carlo Zuccante d Veneza- Mestre come supporto ddattco per le lezon del modulo Grafca per l web nell ambto del corso d Progettsta d st web tenuto nell omonmo Isttuto nel Il teorema d Weerstrass Le curve d Bézer sono l rsultato dell applcazone d un teorema d Anals Matematca che va sotto l nome d teorema d approssmazone d Weerstrass: Proposzone 1 (Teorema d Weerstrass, 1885). Data una funzone contnua f : [a, b] R, allora, comunque s prenda un reale ɛ > 0, un polnomo P : [a, b] R tale che f(x) P (x) < ɛ, ɛ > 0, x [a, b] (1) Cò che l teorema afferma, n parole povere, è che esste un polnomo vcno quanto voglamo alla funzone contnua f, n modo tale che due grafc possano quas sovrappors. La scelta del polnomo P dpende dalla tolleranza ɛ. Lo strumento delle curve d Bézer è stato svluppato ne prm ann 70 n seguto a rcerche nel campo del CAD (Progettazone assstta da calcolatore) come metodo d codfca d curve present nelle mmagn real. L nvenzone delle curve d Bézer è qund un applcazone del teorema d approssmazone. 1

2 2 Alcun fatt fondamental 2.1 Rappresentazone analtca d curve nel pano Una curva geometrca s può pensare come grafco d una funzone. Fondamentalmente v sono due mod d rappresentare le curve: rappresentazone parametrca rappresentazone cartesana La prma è pù potente della seconda nel senso che descrve punt d tutta la curva senza dover ntrodurre ambgutà d segno o funzon a pù valor. Esempo: la crconferenza. Sa R l raggo della crconferenza e per semplctà sa (0,0) l suo centro. S ha: Equazon parametrche Equazone cartesana x(t) = R cos t y(t) = R sn t, t [0, 2π) forma mplcta: x 2 + y 2 = R 2 ; forma esplcta: y = ± R 2 x 2. L ambgutà d segno c dce che n realtà per descrvere una crconferenza dobbamo usare due equazon, e punt (R, 0) e ( R, 0) hanno rappresentazone doppa (sono descrtt sa dall equazone con l + sa dall equazone con l ); nvece nella rappresentazone parametrca, cascun punto è rappresentato una sola volta. 2.2 I polnom d Bernsten Sono polnom della forma p(t) = Il coeffcente bnomale n =0 ( n ( n ) t (1 t) n (2) ), n 0 è così defnto: 2

3 ( n ) = n!(n )!, dove n! = n! Un metodo veloce per calcolare coeffcent dello svluppo bnomale è l cosddetto trangolo d Tartagla: ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Ogn coeffcente d una rga è desumble dalla rga sovrastante sommando due coeffcent alla destra e alla snstra della poszone n cu s vuole nserre l coeffcente. L aggettvo bnomale s rfersce al fatto che coeffcent della tabella 2.2 sono coeffcent dello svluppo delle potenze d un bnomo: (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3... Proposzone 2 I polnom d Bernsten nella forma (2) sono dentcamente = 1. Dmostrazone: s rconosce nella (2) lo svluppo della potenza del bnomo (a + b) n, dove a = t e b = t 1, per cu n (2) è scrtto lo svluppo d (1 t + t) n = 1. 3

4 Q.E.D. 3 Curve d Bézer La curva d Bézer d ordne n + 1 è la curva parametrca che s ottene dalla combnazone lneare d n + 1 punt dstnt del pano P 0, P 1,..., P n (punt d controllo) secondo coeffcent dello svluppo d Bernsten (2): P (t) = n =0 ( n ) P t (1 t) n (3) C rferremo spesso n quest appunt a coeffcent della combnazone lneare con l nome d pes, n quanto la (3) s può nterpretare come una meda pesata de punt P 0,..., P n. E mportante rlevare alcun fatt d carattere generale prma d passare agl esemp. Dalla proposzone 2 s rcava che la somma de pes della combnazone lneare de punt d controllo è dentcamente uguale a 1; noltre tutt pes della combnazone lneare sono postv. L unone d quest due fatt ha un precso sgnfcato geometrco, e coè: Proposzone 3 L nseme de punt d una curva d Bézer è contenuto nell nvolucro convesso defnto da punt d controllo. Un altro fatto mportante è che: Proposzone 4 I punt d controllo P 0 e P n appartengono alla curva d Bézer P (t), mentre tutt gl altr punt no, per nessun t. Esempo: Curve d Bézer d ordne 1 Dat due punt P 1 e P 2 nel pano, la curva d Bézer passante per tal punt s ottene dalla loro combnazone convessa; n forma vettorale: P (t) = P 1 t + P 2 (1 t) (4) t [0, 1] e n forma scalare (essendo P (t) = [x(t), y(t)]): x(t) = x 1 t + x 2 (1 t) (5) y(t) = y 1 t + y 2 (1 t) (6) 4

5 S rconosce mmedatamente che P (t) descrve l segmento P 1 P 2. Dunque una curva d Bézer d ordne 1 per punt P 1 e P 2 è un segmento del pano: P 1 P 2. Esempo: Curve d Bézer d ordne 3 L equazone parametrca n forma vettorale : P (t) = P 1 t 3 + 3P 2 t 2 (1 t) + 3P 3 t(1 t) 2 + P 4 (1 t) 3 (7) Per eserczo s rcavno le equazon scalar. 3.1 Contnutà S possono descrvere pù profl contgu unendo opportunamente due dverse curve d Bézer. S possono così realzzare dvers tp d proflo: condzone d contnutà C 0 : è suffcente, per due curve d Bezer (P 1,..., P 4 ) e (Q 1,..., Q 4 ) mporre la condzone: P 4 = Q 1 ; (8) s otterrà, n generale, una curva che può contenere de punt angolos. condzone d contnutà C 1 : è necessaro asscurare, oltre alla condzone (8), la condzone sulle pendenze delle curve n entrata e n uscta dal punto n comune; l ulterore condzone è: P 4 P 3 = Q 1 Q 2 ; (9) 3.2 Le curve d Bezer ne software grafc vettoral. Per traccare segment è necessaro specfcare solo due punt d controllo. Utlzzando un qualsas software grafco (ad esempo Adobe Illustrator) con queste operazon è possble traccare le curve d Bezer. Azone: clccare una sola volta sul prmo punto, clccare una sola volta nel secondo punto. Per traccare curve s possono usare 1 o due mangle: una mangla è un punto d controllo. Azone: clccare per creare l prmo punto P 1, tenere premuto e trascnare per defnre la prma mangla (punto d controllo P 2 ). Azone: clccare n un secondo punto per defnre P4 e trascnare l mouse per defnre la seconda mangla (punto d controllo P 3 ). Il software calcola le coordnate de punt e realzza la curva d Bézer controllata da tal punt. 5

6 4 Gl uomn che hanno contrbuto. 4.1 Perre Bézer Perre Bézer, ngegnere, lavora alla Renault fn dal 1933 e coltva l dea della modellazone matematca de profl delle automobl, dea respnta da managers Renault, fno a che nel 1972 non ruscì a far prevalere la sua dea con l avvento de sstem CAD. Nel 1986 lavorò alla stesura delle specfche del lnguaggo Adobe PostScrpt. Muore l 25 settembre 1999, a 89 ann. 4.2 Karl Wlhelm Theodor Weerstrass Karl Wlhelm Theodor Weerstrass, , matematco tedesco. Dal 1864 fu professore d matematca all Unverstà d Berlno. Il suo lavoro sulla moderna teora delle funzon è descrtto nel suo Abhandlungen aus der Funktonenlehre (1886), che fu scrtto per larga parte complando gl appunt delle lezon de suo student. Fu uno degl svluppator del moderno approcco rgoroso all Anals e alla Teora de Numer e molto fece per charre fondament d queste matere. Dmostrò (1871) l esstenza d una funzone contnua n un ntervallo ma non dervable n alcun punto. 4.3 Ncolò Fontana, detto Tartagla Ncolò Fontana, matematco talano, nacque a Bresca probablmente nel Fu chamato Tartagla a causa della balbuze provocata dalle ferte subte durante l sacco d Bresca. Non ancora ventenne egl s trasferì a Verona e v rmase fno al Successvamente s trasferì a Veneza dove morì nel A Ncolò Tartagla s deve la scoperta della rsoluzone delle equazon cubche, chamata anche regola d Cardano, dal nome del matematco che gl sottrasse la soluzone nserendola nella sua opera Ars Magna. 4.4 Serge Natanovch Bernsten Serge Natanovch Bernsten, (nato nel 1880 a Odessa, Ucrana e morto nel 1968 a Mosca, URSS). Studò a Parg alla Sorbona e alla Scuola Superore d Elettrotecnca. Introdusse quell che ora vengono 6

7 chamat polnom d Bernsten per dare una dmostrazone costruttva del teorema d Weerstrass. Alcun de lavor pù mportant d Bernsten rguardano la teora della probabltà. 7

8 Sommaro 1 Il teorema d Weerstrass 1 2 Alcun fatt fondamental Rappresentazone analtca d curve nel pano I polnom d Bernsten Curve d Bézer Contnutà Le curve d Bezer ne software grafc vettoral Gl uomn che hanno contrbuto Perre Bézer Karl Wlhelm Theodor Weerstrass Ncolò Fontana, detto Tartagla Serge Natanovch Bernsten

9 References [1] Fgueredo, Revells, Hersch, Dgtzaton of Bézer curves and Patches usng dscrete geometry, n Dscrete Geometry for Computer Imagnery, Sprnger-Verlag,