Predimensionamento reti chiuse

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1 Predmensonamento ret chuse Rspetto ad una rete aperta, ogn magla aggunge un grado d lbertà (una nfntà d soluzon) nella determnazone delle portate Q,Q 1, e Q 2, utlzzando le sole equazon d contnutà. La dfferenza fra numero d ncognte (L + Ld) e d equazon ((N 1) + Ld) è par al numero d magle. N 1 CAR. hj NODI L EQ. DEL MOTO L DIAMETRI D M = L (N 1) N 1 EQ. CONT. NODI L PORTATE Q o Q1, Ld EQ. CONT. DIST. Ld PORTATE Q2, EQUAZIONI INCOGNITE In una rete chusa, nfatt, vale sempre la relazone: M = L (N 1) M = numero d magle ndpendent (es. magle elementar) L = numero totale d condotte (trasporto + dstrbuzone) N = numero totale d nod (ntern + estern) Metodo Cont per l predmensonamento S fssano arbtraramente M punt neutr S aprono le magle n corrspondenza d ess S utlzzano metod d predmensonamento delle ret aperte Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 1 / 13 )

2 Verfca ret chuse: blanco equazon/ncognte Il problema d verfca Tutt dametr commercal D sono stat assegnat S assegna l carco pezometrco h al nodo serbatoo (es. quota mnma) Incognte N 1 = carch h j a nod (al serbatoo l carco è mposto) L = portate Q condotte trasporto o Q 1, sulla prma estremtà dstrbutrce Ld = portate Q 2, sulla seconda estremtà condotta dstrbutrce Equazon L = equazon del moto su ogn condotta N 1 = equazon ndpendent d contnutà a nod Ld = equazon d contnutà sulle dstrbutrc Numero ncognte = numero equazon = l sstema è determnato. La presenza d equazon non lnear (eq. moto) rende dffcoltosa la soluzone Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 2 / 13 )

3 Step 1 Step 3 Step 2 L EQ. DEL MOTO N 1 CAR. hj NODI N 1 EQ. CONT. NODI L PORTATE Q o Q1, M = L (N 1) Ld EQ. CONT. DIST. Ld PORTATE Q2, EQUAZIONI INCOGNITE NUOVE EQUAZ. INCOGNITE Q NUOVE INCOGNITE 1. Elmnazone degl N 1 carch ncognt a nod; sosttuzone delle L eq. del moto con M combnazon lnear ndp. nelle sole portate ncognte. 2. Introduzone d M nuove ncognte portate correttve nelle magle. S determnano arbtraramente L + L d portate d prmo tentatvo che soddsfno tutte le equazon d contnutà, che vengono elmnate. 3. S rsolve l sstema rdotto delle sole M equazon defnte al punto 1 nelle M ncognte portate correttve nelle magle ntrodotte al punto Determnate le portate corrette su tutte le magle, s determnano carch pezometrc n tutt nod medante le eq. del moto e s esegue la verfca. Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 3 / 13 )

4 1. Elmnazone degl N 1 carch ncognt a nod; sosttuzone delle L eq. moto con M combnazon lnear ndpendent S ndvduano M magle ndpendent (es. magle elementar) S scegle arbtraramente un verso d percorrenza d cascuna magla m Un osservatore che percorre una magla m vede la lnea de carch pezometrc partre e arrvare alla stessa quota; sommando le varazon d carco: C t (m) k l δ m D n Q α + C d (m) k l D n P (α + 1) (Qα +1 1, Q α +1 2, ) = 0 m = 1,, M (1) C t(m) = nseme d condotte con funzone d solo trasporto percorse dalla magla m C d (m) { = nseme d condotte con funzone d dstrbuzone unforme percorse dalla magla m +1 se la portata Q è concorde al verso d percorrenza della magla m δ m = 1 se la portata Q è dscorde rspetto al verso d percorrenza della magla m = Il sstema è ancora determnato: M + (N 1) + L d equazon = L + L d portate ncognte Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 4 / 13 )

5 2. Introduzone d M ncognte portate correttve nelle magle ; Elmnazone delle equazon d contnutà (I) S ndvduano L + L d portate d tentatvo Q,Q 1, e Q 2, che soddsfno le (N 1) + L d eq. d contnutà a nod e sulle condotte con dstrbuzone. In generale queste portate d tentatvo non soddsfano l sstema (1). Questa soluzone d tentatvo è una scelta arbtrara fra M possbl soluzon: M grad d lbertà (dff. ncognte - equazon = L + L d (N 1) L d = M). Le M soluzon del sstema d equazon d contnutà s ottengono aggungendo M portate correttve nelle magle Q k (postve nel verso d percorrenza della magla k): Q = Q + M k=1 δ k Q k Q 1, = Q 1, + M k=1 ɛ 1,k Q k Q 2, = Q 2, + M k=1 ɛ 2,k Q k = Le portate Q,Q 1, e Q 2, soddsfano anch esse tutte le equazon d contnutà che possono percò essere elmnate dal sstema. Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 5 / 13 )

6 2. Introduzone d M ncognte portate correttve nelle magle ; Elmnazone delle equazon d contnutà (II) +1 se la portata Q è concorde al verso d percorrenza della magla k δ k = 1 se la portata Q è dscorde rspetto al verso d perc. magla k 0 se la condotta non è percorsa dalla magla k +1 se la portata Q 1, è concorde al verso d percorrenza della magla k ɛ 1,k = 1 se la portata Q 1, è dscorde rspetto al verso d perc. magla k 0 se la condotta non è percorsa dalla magla k +1 se la portata Q 2, è concorde al verso d percorrenza della magla k ɛ 2,k = 1 se la portata Q 2, è dscorde rspetto al verso d perc. magla k 0 se la condotta non è percorsa dalla magla k Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 6 / 13 )

7 2. Introduzone d M ncognte portate correttve nelle magle ; Elmnazone delle equazon d contnutà (III) Il sstema d M equazon (1) s rscrve nelle sole M ncognte Q portate correttve nelle magle : C δ t(m) m k l D n C d (m) (Q + M k=1 δ k Q k ) α + [ (Q 1, + M k l D n P (α +1) k=1 ɛ 1,k Q k ) α +1 m = 1,, M ] = 0 (Q 2, + M k=1 ɛ 2,k Q k ) α +1 (2) Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 7 / 13 )

8 3. Rsoluzone del sstema rdotto delle sole M equazon (2) nelle M ncognte portate correttve nelle magle (I) Cross propone un metodo teratvo per la soluzone del sstema (2) che consste nel consderare n cascuna equazone m-esma la sola portata correttva Q m relatva alla magla m (elmnamo le k ). Sstema approssmato: C δ t(m) mk (Q + δ m Q m ) α + C d (m) W [ (Q 1, + ɛ 1,m Q m ) α +1 (Q 2, + ɛ 2,m Q m ) ] α +1 = 0 m = 1,, M (3) dove s è posto K = k l D n e W = k l D n P (α + 1) = La generca equazone m-esma contene la sola ncognta Q m. Il sstema s rscrve n forma compatta: f m ( Q m ) = 0 m = 1,, M Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 8 / 13 )

9 3. Rsoluzone del sstema rdotto delle sole M equazon (3) nelle M ncognte portate correttve nelle magle (II) S lnearzzano le m equazon f m ( Q m ) = 0, svluppando n sere d Taylor n un ntorno d Q m = 0 e troncando al prmo ordne: f m ( Q m ) = f m (0) + f m Q m Q m + O[( Q m ) 2 ] = 0 ( Qm=0) da cu s ottengono le portate correttve Q m d cascuna magla m: Q m = f m( Q m = 0) f m Q m ( Qm=0) m = 1,, M Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 9 / 13 )

10 3. Rsoluzone del sstema rdotto delle sole M equazon (3) nelle M ncognte portate correttve nelle magle (III) Posto Q m = 0 nella m-esma equazone del sstema (3) ottenamo: f m( Q m = 0) = C t (m) δ m K (Q ) α + C d (m) W [ (Q 1,) α +1 (Q 2,) α +1 ] Dervando la m-esma equazone del sstema (3) rspetto a Q m s ottene: f m Q m = C t (m) δ2 mk α (Q + δ m Q m) α 1 + C d (m) W (α + 1) [ ɛ 1,m (Q 1, + ɛ 1,m Q m) α ɛ 2,m (Q 2, + ɛ 2,m Q m) α ] f m Q m ( Qm=0) = K α (Q ) α 1 + W (α +1) [ ɛ 1,m (Q 1,) α ɛ 2,m (Q 2,) α ] C t (m) C d (m) Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 10 / 13 )

11 3. Rsoluzone del sstema rdotto delle sole M equazon (3) nelle M ncognte portate correttve nelle magle (IV) Consderazon su segn: [ ɛ 1,m (Q 1,) α ɛ 2,m (Q 2,) ] [ ] α = ɛ 1,m (Q 1,) α ɛ 2,m ɛ 1,m (Q 2,) α A Q 1, > Q 2, ɛ 1,m = +1 ɛ 2,m = +1 + [ (Q 1,) α (Q 2,) ] α > 0 Q 1, Q 2, B C Q 1, Q 2, Q 1, Q 2, VERSO PERCORRENZA MAGLIA m Q 1, < Q 2, ɛ 1,m = 1 ɛ 2,m = 1 [ (Q 1,) α (Q 2,) α ] > 0 }{{} <0 ɛ 1,m = +1 ɛ 2,m = 1 + [ (Q 1,) α + (Q 2,) ] α n generale s può scrvere: [ ɛ 1,m (Q 1,) α ɛ 2,m (Q 2,) ] α = (Q 1,) α ± (Q 2,) α dove l segno + vale solo nel caso C d condotta con sezone neutra. Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 11 / 13 )

12 3. Rsoluzone del sstema rdotto delle sole M equazon (3) nelle M ncognte portate correttve nelle magle (V) La m-esma equazone del sstema (3) lnearzzato s rscrve: Q m = C t(m) C t(m) δ m K (Q ) α + K α (Q ) α 1 + C d (m) C d (m) W [ (Q 1, ) α +1 (Q 2,) α +1 ] W (α + 1) (Q 1, ) α ± (Q 2,) α (4) Nella prma al denomnatore non c è l segno d δ Nella seconda al denomnatore vale l segno + solo se la condotta contene l punto neutro, dversamente vale l segno In genere occorre pù d una terazone per ottenere delle portate che blancno carch con approssmazone accettable (condzone d uscta). S rcorda che K = k l D n e W = k l D n P (α + 1) Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 12 / 13 )

13 4. Determnazone de carch pezometrc negl (N 1) nod Tutte le portate Q,Q 1, e Q 2, sono determnate. S assegna l carco pezometrco h al nodo serbatoo (es. quota mn) S determnano carch h j su restant N 1 nod utlzzando le L equazon del moto, partendo del nodo serbatoo verso nod d estremtà: h 1, h 2, = Q α δ l k D n k l 1 D n P solo trasporto (α + 1) (Qα +1 1, Q α +1 2, ) dstrbuzone = 1,, L Le eq. del moto sono n sovranumero rspetto alle ncognte h j (L > N 1): se calcol sono corrett ottenamo gl stess h j ndpend. dal percorso. Le soluzon de carch pezometrc h j su nod vengono utlzzate per le verfche n funzonamento ordnaro e straordnaro. In caso d verfche negatve s cambano opportunamente dametr e s rpete tutto l procedmento d verfca con nuov dametr. Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda B.3 - Ret chuse ( 13 / 13 )