Prima prova di gruppo

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1 Prma prova d gruppo Es. Una metodologa d anals produce fals postv nel 3% de cas e fals negatv nell % de cas. Calcolate quale è l esto pù probable (postvo o negatvo se due anals consecutve esegute sullo stesso soggetto hanno dato rsposte dscordant. Se la ncdenza de cas postv real è del %, e vengono esamnat soggett, calcolate l numero totale d est postv dopo la prma anals, e quant d quest saranno fals postv. Es. Una popolazone d dspostv è caratterzzata da una funzone affdabltà (texp(-.t/( Se un camponamento d dspostv vene montorato, ndcate l tempo ragonevolmente atteso per l prmo guasto, nonché l tempo medano al guasto. Calcolate anche l tasso d guasto medo, e quello stantaneo dopo ore Es.3 Una dstrbuzone d campon è caratterzzata da un tasso d guasto costante. Dopo ore d funzonamento, non s osserva alcun guasto. Stmate l lmte superore del tasso d guasto. Calcolate la probabltà mnma che almeno 3 campon su sano funzonant dopo 5 ore. Es.4 Un gruppo d 6 campon mostra seguent temp al guasto. Verfcate (come? se l tasso d guasto è costante, e, che lo sa o no, calcolatelo almeno come tasso medo. (ore

2 SOLUZIONI ES. Provamo con l albero degl event, ed un po d ragonamento. Intanto osservamo come fals postv ed fals negatv NON sano event mutuamente escludents. Infatt, cò che s esclude mutuamente sono VEI POSIIVI con FALSI NEGAIVI e, separatamente, VEI NEGAIVI con FALSI POSIIVI. Occorre ragonare (eventualmente anche con l eorema d Bayes partendo dalla assunzone che l soggetto sottoposto ad anals sa, ad esempo, effettvamente postvo, per po rpetere l ragonamento nel caso che sa effettvamente negatvo. Se l soggetto è POSIVO l esto della prma anals può essere o un VEO POSIIVO o un FALSO NEGAIVO, ed due est sono complementar e mutuamente escludents. Sappamo che hanno una probabltà d., e qund hanno probabltà.99. Alla seconda anals, rsultat s rpetono con la medesma probabltà, per cu la probabltà d un esto dscordante è sempre.x Se l soggetto è NEGAIVO l esto della prma anals può essere o un FALSO POSIIVO o un VEO NEGAIVO, ed due est sono complementar e mutuamente escludents. Sappamo che hanno una probabltà d.3, e qund hanno probabltà.97. Alla seconda anals, rsultat s rpetono con la medesma probabltà, per cu la probabltà d un esto dscordante è sempre.3x P N

3 Come s vede, percors dscordant hanno una probabltà trpla nel caso che l soggetto sa realmente negatvo rspetto al caso n cu sa realmente postvo. Per la seconda parte della domanda, s ntroducono le percentual a pror d cas real postvo (% o negatv (98% e c s lmta alla prma anals. Sulla base delle percentual: P N Questo sgnfca che su soggett avremo 98 ver postv dagnostcat correttamente, 94 fals postv mess n allarme nutlmente (per un totale d 49 dagnos postve, tra corrette ed errate, mentre postv real vengono purtroppo mandat a casa rncuorat senza ragone. Es. Il prmo guasto su equvale al momento n cu F(t., e qund al valore (t.99, mentre l tempo medano sarà quello per cu (tf(t.5. S tratta d trovare, n entramb cas, l valore d t n una formula trascendente. Se uno ha una calcolatrce che rsolve le equazon (e la sa usare trova subto che: t h, ossa /3 d ora, che è crca mnut. Analogamente: t h. Se nvece uno non ha la calcolatrce, può andare o per tentatv (poco elegante o rcordando lo svluppo n sere della esponenzale e x x+x /+ Al prmo ordne:.t + Invece:.99.t.5 t h, che è una splendda approssmazone. t.5 5 h, che è dscreta, ma ndca come l esponente.t non sa così pccolo da gustfcare, come nel caso precedente, la approssmazone al prmo ordne. Al secondo ordne:.t + (.t buonssmo, mentre:.t + (.t + un ordne superore t h, che dce come gà al prmo ordne s sa gunt ad un valore t h, che è mglore e dmostra come valesse la pena d approssmare ad

4 Per le altre rsposte: A tasso d guasto medo. Verrebbe da dre: ( F (. exp ( +. -3, e questo è numercamente ragonevole, perché a ore l valore della ( è pccolssmo, e pratcamente trascurable rspetto all untà, per cu l rapporto F(/ corrsponde a /. UAVIA, propro l fatto che sa pccolssmo al tempo t h dce che l numero de guast a quella scadenza è elevatssmo, e qund NON vale la approssmazone Dobbamo calcolare la meda matematcamente. Poché ( ( t ( t ( ( t ( t d ( t n f << n. d ln ( ( t, abbamo d ln ln ( ( ln( ( ln( ( ln( ln( ( Poché (.6x -6, e ln((-3, abbamo (. 3. Il tasso d guasto stantaneo, nvece, è dato dalla dfferenzazone dretta della formula: ( t d( t ( t ( A ore:. + exp (.t.exp... (. +. Es.3 (.t (. exp(.t ( Se per ore non s è avuto alcun guasto, questo sgnfca che nella peggore delle potes s avrà l prmo guasto all ora successva. Poché un guasto corrsponde a F(t., e poché l tasso costante concde n ogn stante con l tasso medo, abbamo subto che questo evento corrsponderebbe ad un tasso par a: (. 5 F h Se questo evento non succede subto, questo sgnfca che l tempo da attendere per avere F(t. sarà maggore d ore, l rapporto appena calcolato avrà un valore nferore, e qund l valore appena stmato costtusce l lmte superore del tasso d guasto. Per la probabltà composta, abbamo che la probabltà elementare d avere 3 campon funzonant su è data da 3 n 3 F P3 n! 3! ( n 3!.5 5 e. 5 dove n e ( 5 exp( 6 e qund F-.39. D altra parte anche cas con 4, 5, 6, 7, 8, 9, element funzonant sono accettabl, per cu:

5 P P P n! F n ( n!! ( 3 3 3! 3! C vuole un po d pazenza, ma s ottene:.6.39! P Non deve stupre che valor d P abbano un massmo (nel nostro caso per 6: questo sgnfca solo che questo massmo descrve la pù probable d tutte le stuazon a 5 ore: 6 pezz funzonant e 4 guast. La somma de cas da 3 a dà nfne: P 99, come è ragonevole, vsto che la somma de prm tre cas fa crca 3. l %. Questa osservazone fa anche nture una va pù breve, che non l calcolo degl 8 cas favorevol: l calcolo dell nseme de sol 3 cas sfavorevol, ed l computo della probabltà complementare. Es.4 La prma cosa da fare è rordnare temp. Infatt l prmo pezzo a guastars rappresenterà /6 della popolazone, ossa un valore d F/6, l secondo porterà F a /6 e così va. Ottenamo subto: n f n s t F Notamo che qu con n s ntendamo l numero d campon che erano sopravvssut fno ad un attmo prma d una nuova rottura. Per questo ad esempo l prmo guasto avvene quando, un attmo prma, tutt 6 campon erano funzonant. Per verfcare se l tasso d guasto è costante, tra tutt mod possbl forse uno de pù eloquent è quello d consderare la relazone gà utlzzata n precedenza: ( t ( t d ( t d ln ( ( t

6 Ora, se l tasso fosse costante, allora l grafco d ln((t dovrebbe assomglare ad una retta. Questo, evdentemente NON è l caso: ln( t esta qund problematco calcolare IL tasso. S può calcolare l tasso tra ogn ntervallo tramte una grossolana formula dscreta: ( t n ( t t ( t f n f ( t n ( t t t f ( t t t Posto t e n f (t, e consderando l valore d precedente al guasto che s consdera, abbamo: t t (t Volendo calcolare l tasso d guasto medo, ancora una volta NON s può usare la formula approssmata perché non vale la condzone n f << n. Possamo fare la meda de tass pesat sul perodo, ossa: t t dove è l tempo totale sul quale s calcola la meda. t t Per la scadenza fnale,, s ottene. 36 ( F