a) Individuare l intervallo di confidenza al 90% per la media di popolazione;

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1 Eserczo Il responsable marketng d una catena d negoz vuole analzzare l volume delle vendte mensl d un determnato bene d largo consumo. Una socetà che conduce rcerche d mercato è ncarcata d effettuare un ndagne. Vene estratto un campone d 34 negoz e, dall anals de dat, s ottene per la varable vendte mensl un valore medo par a 3.098,68 ed uno scarto d.56,4. S supponga che la varable vendte mensl relatva al totale de negoz della catena s dstrbusce come una Normale con meda e scostamento quadratco medo ncognt. a Indvduare l ntervallo d confdenza al 90% per la meda d popolazone; La v.a. volume medo mensle s dstrbusce come una t d Student con n- grad d lbertà. L ntervallo dventa Y ± tα, n * s n Poché, n questo caso, rtenamo la numerostà camponara suffcentemente elevata, possamo approssmare la t d Student con la Normale ,68±,645*(.56,4/5, ,68±,645*5, ,68±354,5 [.744, ; 3.453,] b S determn la numerostà camponara necessara per costrure un ntervallo con un lvello d confdenza par a 0,90 e una sem lunghezza (errore d 50. n (z α/ s/e da e z α/ s n (e 354,5 n (,645*(.56,4/50^ (,645*5,3^ 4,34^.708,69 c L mpresa produttrce del bene n questone sostene che l volume medo delle vendte ne negoz della catena dstrbutva sa par a Verfcare se l affermazone dell mpresa è plausble con una sgnfcatvtà del 0%. H 0 : μ H : μ , z 40,3/5,5,87 5,5 Rfuto H 0. d L ndagne svolta ha preso n anals un certo numero d varabl che l responsable marketng è nteressato ad analzzare. In partcolare vuole studare la relazone tra l volume delle vendte e l prezzo applcato. Supponendo l esstenza d una relazone lneare tra le due varabl, stmare parametr della retta d regressone d Y su.

2 Negozo Vendte (Y Prezzo ( Negozo Vendte (Y Prezzo ( ( Y Y ( ( ny Codev Y Y , , (34 * 3.098,68 * 77,8 ( n * 77, , , 94 b Y 496.4, ,94 b 7.5,35 0 Yˆ 7.5,35 56,7 56,7 L ntercetta camponara b 0, par a 7.5,35, rappresenta l numero d prodott che c s aspetterebbe d vendere ogn mese se l prezzo fosse par a 0. L nclnazone delle vendte rspetto al prezzo c dce che s dovrebbero vendere 56,7 prodott n meno per ogn centesmo d aumento del prezzo. e Valutare la bontà del modello stmato. Dev ( reg Y ,5 R 0,54 Y ,44 (bontà d adattamento della retta a punt osservat L ndce d correlazone c fornsce un nformazone smle a quella del coeffcente d regressone, n quanto msura l ntenstà del legame tra le due varabl. Sappamo che r ± b xy b yx Nel nostro caso b yx -56,7 mentre b xy -0,0 n quanto Y Y b yx e b xy Y Per cu r -0,735 (quando due coeffcent sono negatv s mette l segno negatvo. Questo c dce che tra le due varabl c è una buona correlazone (s avvcna a e che la correlazone è nversa, o negatva, (poché r<0.

3 S valut con un test opportuno l esstenza d un legame lneare tra la spesa santara e l numero d ospedal sceglendo α0,05. La varable camponara coeffcente d regressone s dstrbusce secondo una legge Normale σ y con meda b e varanza ; Nel ns campone abbamo ottenuto un valore d b dverso da zero, c chedamo se anche nella popolazone da cu l campone provene esste una dpendenza lneare fra Y e o se nvece non essta alcuna relazone d questo tpo e b dffersca da zero solo per effetto dell errore d camponamento L potes sarà H 0 : β 0 H : β 0 Standardzzando la varable normale che descrve la dstrbuzone d b nell unverso de campon s ottene: b zc σ ( y La varanza σ y non è nota e non la posso stmare attraverso la varanza d Y nel campone poché questa rsente della relazone lneare tra Y e. La varanza d dspersone ( devanza d dspersone dvsa per suo grad d lbertà è stma corretta d σ y. ˆ ( Y Y s y _ dsp n La statstca test che s ottene s dstrbusce come un t-student con (n- grad d lbertà b tc ( Y Yˆ ( n ( Y dsp , , ,3 56,7 56,7 56,7 t 56,7 c 6, , ,3 85,47 9,5 3 * 8.75, , t (3;0,05,037 t c > t (n-, α/ Rfuto l potes nulla, percò posso dre che b è sgnfcatvamente dverso da 0 (esste una relazone lneare tra le due varabl. f Successvamente s prende n esame una seconda varable ndpendente: la spesa mensle n attvtà promozonal.

4 Negozo Vendte (Y Prezzo ( Promozone ( Negozo Vendte (Y Prezzo ( Promozone ( Supponendo l esstenza d una relazone lneare tra le due varabl, stmare parametr della retta d regressone d Y su e e valutare la bontà del modello stmato. Y Y b [ ] ( 496.4,94(875.94, ( ,59( 8.470,59 53, (8.75,94(875.94, ( 8.470,59 Y Y b [ ] ( ,59(8.75,94 ( 496.4,94( 8.470,59 3,6 (8.75,94(875.94, ( 8.470,59 b ,5 Y ˆ 5.837,5 53, + 3, 6 Dev ( reg Y ,77 RY. 0,76 Y ,44 Il 76% della varabltà delle vendte è spegato dal prezzo e dalla spesa n attvtà promozonal. Valutamo ora l esstenza d una relazone sgnfcatva tra la varable dpendente e le varabl esplcatve. H 0 : β β 0 H : Almeno un β 0 F Y Y dsp reg k ( n k dove k è l numero de coeffcent d regressone e n la numerostà camponara. Dstrbuzone d Fsher F(k; n-k-. Le formule d codevanza e devanza le ho scrtte prma, al punto d

5 ,77 F 48, ,67 (34 Dato che F 0,05 3,3 con e 3 grad d lbertà, s conclude che almeno uno de coeffcent d regressone è dverso da zero, v è qund una relazone lneare tra almeno una varable esplcatva e le vendte. g S vuole, nfne, analzzare l volume delle vendte n due campon d negoz. Il prmo campone, che è quello esamnato fnora ( Y 3.098,68, s.56,4, è costtuto da negoz che hanno attuato, come attvtà promozonale, l esposzone d cartell pubblctar. Il secondo campone è costtuto da 3 negoz che hanno dstrbuto campon gratut del prodotto ( Y.980,68, s.05,3. Tal rsultat consentono d affermare, a un lvello d sgnfcatvtà del 5% che esste una dfferenza nel volume medo mensle delle vendte del prodotto tra negoz che hanno attuato le due dverse tpologe d attvtà promozonal, o la dfferenza rlevata ne due campon è attrbuble al solo errore d camponamento? Ipotzzamo che nelle categore n esame l volume delle vendte s dstrbusce normalmente con scarto quadratco medo σ.60 e σ.0. H 0 : μ μ H : μ μ n34 Y 3.098,68 σ.60 m3 Y.980,43 σ.0 Lo stmatore dfferenza tra mede camponare ( ( Y Y s dstrbusce sotto H 0 come una normale con valore atteso 0 e varanza σ n + σ m Per verfcare l potes sulla dfferenza possamo utlzzar la seguente statstca test ( Y Y ( μ μ Z ~N(0; σ n + σ m 3.098,68.980,43 8,5 Z , ,70 8,5,77 9,6 z 0,05,645 z>z α rfuto H 0 Il volume delle vendte de negoz che hanno esposto cartellon pubblctar è sgnfcatvamente dverso da quello de negoz n cu sono stat dstrbut campon gratut.

6 Negozo Vendte (Y Prezzo ( Promozone ( Y * Y ( Y Y * Yˆ * ˆ ( Y Y ( ( Yˆ ( ˆ * * Y Y TOT , ,5 8.75, ,77 Mede 3.098,68 77,8 388,4 Y regressone semplce regressone multpla * regressone semplce Y ,4 48, ,94 37, , 85,76 8,5 Y ,94 9,6,77 Y , ,59 b -56,7 b -53, b 0 7.5,35 b 3,6 R 0, b ,5 R 0,76