Esercizio statistica applicata all ingegneria stradale pag. 1

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1 ESERCIZIO STATISTICA APPLICATA ALLA PROGETTAZIONE STRADALE SINTESI S supponga d avere eseguto 70 sure della veloctà stantanea de vecol che transtano nelle sezon d due strade A e B. S supponga che tal sure sano state esegute n corrspondenza d valor odest del volue d traffco transtante (tal che cascuna sura d veloctà possa essere consderata coe un evento ndpendente dalle altre sure). Assocao a cascuna osservazone l valore della veloctà n k/h, costruendo così una varable aleatora contnua. S vuole ndurre dal capone rlevato la dstrbuzone d probabltà dell ntera popolazone (unverso delle veloctà de vecol transtant nella sezone n condzon d odest volu d traffco). Poché stao osservando una v.a. contnua per operare è necessaro raggruppare le osservazon n class. Il nuero d class deve essere adeguato per una accurata descrzone del fenoeno, a allo stesso tepo non troppo elevato al fne avere osservazon n cascuna classe. Una regola eurstca che spesso vene pegata per sceglere l nuero d class da pegare è: nclass=+3.3log(70)= 8, NC = Log( n) = +3.3 Log(70)= dove NC è l nuero d class; n è la nuerostà del capone estratto. Dvdao pertanto l ntervallo delle veloctà surate n 7 class, per la strada A, e 8 class, per la strada B, d apezza par a Δ =5 k/h. Ordnao le sure effettuate assegnandole alle class prescelte ed ottenao l quadro d seguto rportato. Classe Veloctà Strada A Strada B < v < v < v < v < v < v < v < v Nuero totale osservazon a) Dsegnare l stograa della dstrbuzone delle frequenze (assolute e/o relatve); b) Tabellare e dsegnare la dstrbuzone cuulata delle frequenze assolute o relatve (sle alla funzone d dstrbuzone); c) Trovare la eda (speranza ateatca) e la varanza del capone e valutare l coeffcente d varazone; d) Indcare la edana e la oda della dstrbuzone; e) Valutare l ndce relatvo d dssetra; f) Stare la eda e la varanza della popolazone a cu l capone appartene; g) Confrontare le frequenze relatve (calcolate nel punto a)) con valor fornt dalla legge d probabltà Norale con eda e varanza par a quelle state n base al capone; h) Verfcare attraverso test statstco l potes che la v.a. veloctà sa dstrbuta coe una varable aleatora Norale; ) Ipotzzando che la popolazone, da cu abbao estratto l capone, segua una legge d probabltà norale valutare l 85 percentle della dstrbuzone delle veloctà stantanee. Eserczo statstca applcata all ngegnera stradale pag.

2 Svolgento con rferento alle sure esegute sulla strada B STATISTICA DESCRITTIVA S valutano qund per cascuna classe le frequenze assolute e percentual nonché l valore h=f/δ. Il valore d h è confrontable con l valore della teorca funzone denstà d probabltà della popolazone rcordando che la probabltà che la varable aleatora veloctà assua valor copres n un ntervallo Δ è par a f(x)* Δ. Strada B Classe Veloctà valore frequenza Frequ. Relatve f Frequ. Rel. [ %] h=f /Δ Freq. relatve Cuulate F H = F /Δ 0< v 5 7, ,000 5 < v 30,50 0,08,8 0,000787,8 0,079 30< v 45 37,50 0 0,0588 5,88 0,0039 7,06 0,47 45< v 60 5,50 0 0,76,76 0, ,8,55 60< v 75 67,50 8 0,647 6,47 0, ,9,353 75< v 90 8, ,353 3,53 0, ,8 3,9 90< v 05 97, ,765 7,65 0, ,47 5,098 05< v 0,50 5 0,47 4,7 0, ,8 6,079 0< v 35 7,50 5 0,088 8,8 0, , S rappresenta la dstrbuzone ottenuta con un stograa (ved fgura). S valutano alcun ndc descrttv della dstrbuzone surata; eda, varanza e devazone standard. h 0,08 0,06 0,04 0,0 0,0 0,008 0,006 0,004 0,00 0 7,50,50 37,50 5,50 67,50 8,50 97,50,50 7,50 Veloctà [k/h] Eserczo statstca applcata all ngegnera stradale pag.

3 Valutao ora alcun ndc della dstrbuzone (eda, scarto quadratco edo, devazone standard, oda e edana. Classe Valore Frequ. relatva Veloctà x Frequenza assoluta f* X * f* X *f* 0< v 5 7, < v 30,50 0,08 0,655 5, < v 45 37,50 0 0,0588,05 8, < v 60 5,50 0 0,76 6,74 34,35 60< v 75 67,50 8 0,647,75 750, < v 90 8, ,353 9,45 60,506 90< v 05 97, ,765 7, ,853 05< v 0,50 5 0,47 6, ,7344 0< v 35 7,50 5 0,088, ,803 * X = f x = [k/h] * ( x) = f x = [(k/h)^] S ( x) n ( x X ) f n = = = n = = f = S = 5.54 [k/h] 9 * * ( x X ) f = ( x f ) X = Soa= 84, , [(k/h) ] La oda corrsponde alla classe k/h qund s può assocare al valore edo della classe stessa par a 8.50 eda. La classe edana è k/h pertanto l valore edano è: ' f = edana = x + Δ = 8.8 k/h eda ' f dove x è l estreo nferore della classe edana e Δ è l apezza della classe edana. L ndce d dssetra è par a: 9 ( x X ) f = Ds( X ) = 3X = = / 70 =-30. [ [(k/h) 3 ] 9 f = 3 Classe Veloctà valore frequenza Frequ. ass Frequ. % Ds(x) 0< v 5 7, ,0 5 < v 30,50 0,08, ,5 30< v 45 37,50 0 0,0588 5, ,8 45< v 60 5,50 0 0,76, ,0 60< v 75 67,50 8 0,647 6,47-763,9 75< v 90 8, ,353 3,53 -, 90< v 05 97, ,765 7,65 47,4 05< v 0,50 5 0,47 4,7 3.34, 0< v 35 7,50 5 0,088 8,8 7.7,7 TOTALE= -.30, Eserczo statstca applcata all ngegnera stradale pag. 3

4 3 Ds(x) = [k/h] Gl ndc sntetc d varabltà e d dssetra relatv sono: S c = = 0,3034 X Ds( x) 30. d = = = X ( 5.54) L ndce d curtos α rsulta essere par a: α 4 X = 9 = 4 X = 4 ( x X ) 9 = f 4 f = [(k/h)^4] = /(5.54) 4 =.33 σ L osservazone de dat del capone ndca che ess sono dstrbut n anera pressochè setrca (eda edana oda) con una levssa dssetra negatva (valor spostat verso snstra) ed hanno un ndce d curtos leveente pù basso rspetto ad una v.a. d tpo norale (.e. sono ponoral). STATISTICA INDUTTIVA Le ste non dstorte della eda e della varanza della popolazone sono fornte da: μ X = [k/h] n 70 σ S** = S = * = 656, [(k/h) ] n 69 σ= σ = 5.66 [k/h] S ** S confronta la dstrbuzone del capone con la dstrbuzone d una varable aleatora caratterzzata da una legge denstà d probabltà d tpo Norale, avente la stessa eda e la stessa varanza del capone. S nota che l potes d dstrbuzone d tpo norale sebra plausble alla luce del confronto qualtatvo eseguto. Eserczo statstca applcata all ngegnera stradale pag. 4

5 valor funzone denstà d probabltà f(x) 0,08 0,06 0,04 0,0 0,0 0,008 0,006 0,004 0, veloctà [k/h] valor capone dstrb. Teorca S deve verfcare però l potes attraverso un test delle potes (l potes è che l capone ottenuto provenga da una popolazone dstrbuta con legge d probabltà d tpo Norale). Ipotes: π=p Coè che le probabltà ncognte della classe -esa sano ugual alla probabltà che una v.a. Norale, con eda e varanza par a quella del capone, assua un valore copreso nell ntervallo che defnsce la classe -esa. E ntutvo che tanto pù è accettable l potes quanto pù prosse a zero sono le dfferenze: p* -p dove * n p = N coè le dfferenze n N p S dostra che se l potes è vera : k ( n N p ) Χ = χ = N p ha una dstrbuzone χ con ν =k-h- grad d lbertà, dove k è l nuero delle class e h è l nuero de paraetr della dstrbuzone teorca (n questo caso paraetr della legge d probabltà Norale sono μ e σ ). Se rsulta : Χ χ χ α dove χ α è l valore della v.a. χ n corrspondenza del valore della funzone d dstrbuzone par a (α). l potes nulla può essere accettata o eglo non è possble rfutare l potes ad un lvello d sgnfcatvtà par ad α. Eserczo statstca applcata all ngegnera stradale pag. 5

6 E necessaro pertanto calcolare la probabltà p che la v.a. descrtta dalla dstrbuzone teorca d probabltà (dstrbuzone Norale) assua un valore copreso negl estre che caratterzzano l eso ntervallo d veloctà. Tale operazone può essere agevolente eseguta consultando le tavole che fornscono valor della funzone d dstrbuzone d della v.a. norale standardzzata (ved tavola allegata). Per fare cò dobbao trasforare valor relatv agl estre d cascun ntervallo d veloctà ne valor della corrspondente v.a. Norale standardzzata: S x μ = nf x nf e σ x S sup x = sup σ μ Poché l test ha valdtà per class che hanno una frequenza aleno par a 5 nell esecuzone del test vengono accorpate le pre due class d veloctà (5-30 e 30-45) a fn della valutazone della grandezza X χ. Eserczo statstca applcata all ngegnera stradale pag. 6

7 Classe Valore v.a. NS Funz. Dstrb. v.a. NS Veloctà frequenza Valore nf Val. sup z nf z sup F(z nf ) F(z sup ) F(z sup )-F(z nf ) N*P (n-n*p)^/np 5 < v ,700 -,5 0, ,07 0,04 30< v ,5 -,59 0,078 0, ,046 7,798 0,74 45< v ,59-0,944 0, ,763 0,0 8,63 0,0 60< v ,944-0,358 0,7634 0, ,87 3,866 0,469 75< v ,358 0,7 0, ,5899 0,30 39,07 0,0 90< v ,7 0,83 0,5899 0,7986 0,0 34,33 0,546 05< v ,83,398 0, ,990 0,7,66 0,530 0< v ,398,984 0, , ,057 9,75,85 4,668 Il valore n corrspondenza del quale la funzone d dstrbuzone della v.a. con 4 grad d lbertà (7--) assue un valore par a 0.05 è (ved tavole allegate) che rsulta aggore del valore d k n N p = < N p L potes, che le veloctà stantanee sulla strada B s dstrbuscano seguendo una legge d probabltà d tpo Norale, non può qund essere rfutata al lvello d sgnfcatvtà par a 5% Se s consdera una probabltà d falso rfuto o un grado sgnfcatvtà pù basso, par ad esepo a 0.0 (%), ovvaente s ha che l valore n corrspondenza del quale la funzone d dstrbuzone della v.a. con 4 grad d lbertà (7--) assue un valore par a 0.0 è che rsulta aggore del valore d Eserczo statstca applcata all ngegnera stradale pag. 7

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10 ESERCIZIO N. Un osservatore regstra l nuero de vecol che passano n una sezone stradale durante un ntervallo d 30 sec. Rpete l osservazone 0 volte (coè tene sotto controllo la sezone stradale coplessvaente per un ora) e regstra rsultat delle osservazon nella tabella seguente: nuero classe x (nuero d vecol che passano n un ntervallo d 30 sec) f frequenza assoluta (nuero d ntervall n cu sono gunt x vecol) a) Dsegnare l dagraa a segent della dstrbuzone delle frequenze (assolute e relatve); b) Tabellare e dsegnare la dstrbuzone cuulata delle frequenze assolute e/o relatve (sle alla funzone d dstrbuzone); c) Trovare la eda (speranza ateatca), la varanza del capone e l ndce d dssetra; d) Indvduare la edana e la oda della dstrbuzone; e) Valutare gl ndc relatv d dspersone e d dssetra; f) Sare eda e varanza della popolazone a cu l capone appartne; g) Confrontare le frequenze relatve (calcolate nel punto a)) con valor fornt dalla legge d probabltà d Posson avente eda uguale a quella del capone osservato; h) Verfcare attraverso un test statstco l potes che la v.a. sa dstrbuta coe una varable aleatora d Posson; ) Ipotzzando che la popolazone segua una legge d probabltà d Posson valutare: la probabltà che s abba un dstanzaento teporale tra vecol sec., l dstanzaento teporale tra vecol che ha 80% d probabltà d non essere superato (funzone d dstrbuzone esponenzale).

11 ESERCIZIO N.3 Vene eseguto uno studo n cu s selezona opportunaente un capone sgnfcatvo d gudator. A tal gudator vene chesto d percorrere una psta alla veloctà costante d 90 k/h. Sul percorso degl utent vengono poszonat degl ostacol e vene surato l tepo d percezone e reazone degl utent stess. I dat ottenut, suddvs n class sono rportat nella tabella seguente. Classe Tepo d percezone e reazone Nuero d valor surat Estreo nferore [sec] Estreo superore [sec] appartenent a cscuna classe,5 0,5,3 0,3,45 0,45,6 3,6,75,75,9 7,9,05 6,05, 9,,35 3,35,5,5,65 0,65,8 0,8,95 0,95 3, 0 3, 3,5 0 3,5 3,4 0 3,4 3,55 0 Totale sure esegute = Consderando coe v.a. la grandezza ln(t): a) Dsegnare l stograa della dstrbuzone delle frequenze (assolute e/o relatve); b) Tabellare e dsegnare la dstrbuzone cuulata delle frequenze assolute o relatve (sle alla funzone d dstrbuzone); c) Trovare la eda (speranza ateatca) e la varanza del capone; d) Indcare la edana e la oda della dstrbuzone; e) Stare la eda e la varanza della popolazone a cu l capone appartene f) Confrontare le frequenze relatve (calcolate nel punto a)) con valor fornt dalla legge d probabltà Norale con eda e varanza par a quelle state n base al capone; g) Verfcare attraverso test statstco l potes che la v.a. ln(t) sa dstrbuta coe una varable aleatora Norale; h) Ipotzzando che la popolazone, da cu abbao estratto l capone, segua una legge d probabltà norale valutare l tepo d percezone e reazone che ha l 90% d probabltà d non essere superato (.e. l valore corrspondente al 90 percentle).