Statistica Matematica

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1 1 Statstca Matematca Lo studo de fenomen compless, tpc della realtà ndustrale moderna, comporta l adozone d opportun modell matematc che ne descrvano caratter essenzal, funzonal agl obettv che l suddetto studo s prefgge. Ne rguard d un sstema d produzone d ben e/o servz, è compto dell ngegnera gestonale defnre stratege d ntervento che determnno l mgloramento del cclo produttvo, l uso effcente d rsorse, la scurezza e manutenzone degl mpant, l rspetto dell ambente. Il processo d formazone delle decson fa uso appunto d modell descrttv e d predzone. Quest s ottengono ndvduando le varabl d nteresse e le relazon che ntervengono tra esse. Quest ultmo passaggo è abbastanza complcato ne sstem compless, dove l numero delle varabl che ntervengono nel processo è elevato; d conseguenza s dspone anche d un nseme d dat spermental, ottenuto dalle msure d dette grandezze, molto grande. L anals de dat spermental ha l compto d ndvduare qual tra le varabl msurate sano effettvamente sgnfcatve nel processo n questone, e la complesstà delle relazon che ntervengono tra esse. In tale ambto, la statstca goca un ruolo fondamentale: nel suo aspetto descrttvo e nduttvo permette d dedurre caratter essenzal d una dstrbuzone d valor dall esame d un campone d ess, per po fornre, untamente a rsultat propr della teora della probabltà, una metodologa per la formazone delle decson. I metod statstc ntervengono nell dentfcazone e nella verfca de modell: la prma permette d selezonare l mglor modello d una data classe e la seconda permette d convaldare l modello dentfcato n termn d rappresentatvtà de dat e d potere predttvo. Statstca descrttva Consderamo un apparato d produzone d support n ferro; s vuole caratterzzare la qualtà del prodotto fnto n termn d carco d rottura (Kg/cm ). S esamna un lotto d N 100 pezz ottenendo l' nseme d dat spermental raccolt n Tab.1. Vst così, dat sembrano presentare delle fluttuazon del tutto arbtrare uno dall altro da far sospettare che le caratterstche meccanche del pezzo prodotto sano accdental. Ma questo è frutto d un atteggamento errato, che consste nel confrontare sngol dat tra loro; se analzzamo l nseme da un punto d vsta pù generale, ad una scala pù larga per così dre, potremmo ndvduare una certa regolartà che,

2 opportunamente caratterzzata, permetterà d defnre un numero fnto d parametr caratterstc del lotto n questone. Tab. 1. Untà statstche. Carco d rottura de pezz d un lotto ( kg/cm ) Il carco d rottura mnmo è d 4.6 ed l massmo è d kg/cm Comncamo con l osservare che tutt valor cadono nell ntervallo dell asse reale 40,110, n effett l mnmo valore del carco d rottura è 4.6 Kg/cm mentre l valore massmo è d Kg/cm per cu, per questo espermento consderamo l carco d rottura come una varable aleatora contnua, con ntervallo d defnzone. Dvdamo l ntervallo n sottontervall contgu E, E (n questo esempo sono della stessa ampezza, ma n generale non devono necessaramente esserlo): n questo caso s scelgano M 7 sottontervall d uguale ampezza par a 10; per ogn E s cont l numero n d dat che v cadono all nterno. Il numero n prende l nome d frequenza assoluta dell evento che l generco rsultato cada nell ntervallo E, mentre l rapporto n / N prende l nome d frequenza relatva, o rapporto d frequenza dell evento E. Come è noto dalla teora della probabltà, se N è suffcentemente grande, l rapporto d frequenza è una buona approssmazone della probabltà S not che, ovvamente deve rsultare che p dell evento E. M M n N, 1 1 1

3 3 Rportando su un grafco n ascsse valor della varable ed n ordnate valor delle frequenze relatve ottenamo l classco dagramma a barre 110 grafco Grafco del del carco d d rottura rottura 100 carco d rottura Kg/cm untà esamnate untà esamnate valor del carco d rottura (Kg/cm ) che vene detto stogramma della dstrbuzone camponara d. Il numero e l ampezza de sottontervall devono essere tal che n ognuno d ess cada un numero suffcente d dat che presentno de valor sostanzalmente omogene. Da un lato, un basso numero d sottontervall lasca dat ancora troppo raggruppat nseme, dall altro un ampezza troppo pccola del generco sottontervallo non garantsce che questo possa ntercettare un numero sgnfcatvo d dat all nterno dell nseme dato. 70 Istogramma con numero d class troppo basso (M=3) 30 Istogramma con numero d class troppo elevato (M=13) 60 5 n untà per classe n untà per classe untà untà

4 4 L stogramma determna una rappresentazone compatta de dat d partenza, dalla quale è possble estrarre utl nformazon. Da una semplce spezone vsva possamo dre che per l lotto d prodott consderato, la dstrbuzone de valor del carco d rottura s localzza nella classe [70, 80], dove s presenta l massmo della frequenza relatva par a 0.9. Osservamo noltre che valor d sono abbastanza addensat ntorno alla classe centrale (pù dello 0.7 d frequenza relatva nella classe centrale pù le due ad essa contgue) e che s dstrbuscono n modo smmetrco rspetto ad essa. Qund, come s vede, possamo n defntva ndvduare una certa regolartà nel processo d produzone che ad un prmo esame de dat non era parsa evdente; l stogramma è una rappresentazone pù maneggevole de dat nzal, fornendone una classfcazone sgnfcatva. Le qualtà dell stogramma che naturalmente sono rsultate rlevant a fn della caratterzzazone dell nseme d dat analzzato, sono suscettbl d una precsa defnzone analtca, e qund d una valutazone quanttatva. A fn del calcolo, la varable aleatora dell esempo trattato che rguardava una grandezza a valor nel contnuo, può essere approssmata da una varable aleatora, che chameremo ancora, a valor dscret x rappresentat dalle ascsse de punt central delle class frequenze relatve delle class suddette. E, assunt con valor d probabltà dat dalle Il valore medo Questo parametro costtusce una msura della localzzazone della dstrbuzone de valor, n quanto determna quel valore rspetto al quale s dstrbuscono meglo tutt gl altr M x dove x è l ascssa del punto centrale della classe, o sottontervallo, avremmo 1 E. Nell esempo consderato Tab.. Calcolo della meda del carco d rottura ( kg/cm ) classe x x x x

5 Totale ottenendo Kg/cm. Altre msure d localzzazone sono la moda e la medana. La prma defnsce l valore della per cu s ha un massmo locale della frequenza relatva; se s hanno pù massm local s parla d dstrbuzone multmodale. La medana nvece fornsce l valore della che dvde la dstrbuzone n due class contgue d frequenza relatva par 0.5. Nel caso dell esempo, dalla Tab. notamo che l valore 0.5 d frequenza relatva vene raggunto nella classe [70, 80]; nfatt la somma delle untà fno alla classe [60, 70] è d 34, per cu la 50-esma untà (coè l untà medana ne 100 pezz) è la 16-esma della classe [70, 80]; l calcolo della medana (pù facle a fars che a drs) s ottene nel seguente modo 16 m dove 9 sono le untà che compongono la classe [70, 80]. La medana rsulta essere poco sensble alla varazon de termn estrem, n quanto se a termn della prma metà s sosttuscono termn con valore mnore e a quell della seconda metà termn con valore maggore, la medana non camba. La varanza Questa è una msura d quanto valor della dstrbuzone sano pù o meno dspers ntorno al valor medo M 1 x e s ottene come valore medo degl scart al quadrato, per cu è sempre una quanttà postva. Un basso valore d denota che le determnazon della sono addensate ntorno al valor medo, e che qund l processo descrtto dalla ha una bassa varabltà; al contraro un grande valore della varanza, sgnfca che s hanno scart dal valor medo grand, e che qund la è molto dspersa denotando grande varabltà nel fenomeno allo studo.

6 6 S not come la varanza sa una grandezza del secondo ordne, per cu n termn d untà d msura non è omogenea alla ; a tale scopo s è solt consderare la radce quadrata (postva) della varanza che prende l nome d devazone standard, od n nglese root mean square (rms). Per l nseme d dat dell esempo consderato s ha Tab.3. Calcolo della devazone standard del carco d rottura ( kg/cm ) classe x x x r.m.s Totale ottenendo ( Kg/cm ), e Kg/cm. Prma d esamnare altr parametr, vedamo come s modfcano valor medo e varanza quando la varable aleatora cu s rferscono subsce delle semplc trasformazon. Somma d una costante: Y c M M M M y x c x c c Y y x c ( c) x M M M Y y da cu s vede che l valor medo vara propro della costante c addzonata, mentre la varanza resta nalterata. Prodotto per una costante: Y c

7 7 M M M y cx c x c Y M M M Y y y cx c c x c per cu l valor medo rsulta moltplcato per la stessa costante, mentre la varanza è moltplcata per la costante al quadrato. Trasformazone affne: Y a b M M M M y ax b a x b a b Y ( ) ( ) M M M Y y y ax b a b a x a L ultma trasformazone rassume l rsultato ottenuto nelle prme due! Questa è mportante perché permette d effettuare la standardzzazone d una varable aleatora, ovvero la trasformazone n una varable aleatora ' con lo stesso tpo d dstrbuzone, ma con valor medo nullo e varanza par ad uno ' che corrsponde ad una trasformazone affne con a 1/ e b / ; nfatt s ha

8 8 1 ' a b 0 1 a 1 ' L mportanza della standardzzazone sarà chara n seguto. Dssmmetra Questo parametro dà una msura della dssmmetra della curva della dstrbuzone rspetto al valore medo, ed è defnta nel seguente modo M x 3 1 Tuttava per ottenere un ndce admensonale come ndce d dssmmetra (o skewness) s consdera la seguente grandezza d 3 M x 3 1 Valor postv dell ndce denotano che nella dstrbuzone sono pù frequent scart postv dal valor medo; l vceversa vale nel caso d valor d d negatv. Per l esempo trattato s ottene Tab.3. Calcolo della skewness del carco d rottura d ( kg/cm ) classe x x x d

9 Totale con d.18 / Curtos (o ndce d eccesso) Questo parametro non è molto usato nel nostro ambto, vene rportato per completezza. Per dstrbuzon unmodal, e smmetrche msura l grado d appattmento della dstrbuzone ntorno al valor medo o, corrspondentemente, l assottglamento delle code della dstrbuzone. E defnto nel seguente modo C M x e vale zero per una dstrbuzone gaussana. Una dstrbuzone con Curtos postva vuol dre che ha una dstrbuzone pù appuntta e concentrata ntorno al valor medo rspetto ad una gaussana d par valor medo e varanza; s dce anche n questo caso che la dstrbuzone presenta un eccesso postvo rspetto alla gaussana. Nel caso opposto la dstrbuzone apparrà pù appattta e dspersa n corrspondenza del valor medo rspetto ad una gaussana. Vedamo come la consderazone d quest semplc element descrttv d una dstrbuzone possa permettere d orentarc tra vare stratege d ntervento. Consderamo un tpco esempo n cu un azenda debba decdere tra dvers tp d nvestmento ne rguard della produzone e vendta d un certo prodotto. Nella seguente tabella s rportano, per ognuna delle cnque stratege, le prevson per gl utl annu x ( n euro ) e la dstrbuzone delle frequenze relatve

10 Dalla semplce spezone de dat non ruscamo faclmente a decdere quale stratega sa preferble alle altre. Una buona poltca è quella d sceglere l nvestmento che medamente comport maggor guadagn. Se calcolamo l valore medo de dat present n cascuna colonna della tabella, s ottengono seguent guadagn med annu Stratega Stratega 3700 Stratega Stratega Stratega S vede che le stratege mglor dal punto d vsta de guadagn med annu prevst sono la prma e la quarta, ma quale sceglere tra le due? A questo punto dobbamo valutare la varabltà de dat relatv alle due poltche d nvestmento. Nel caso della stratega n 4 la varabltà è nulla: qund n questo caso s guadagna medamente 4000 euro senza alcun rscho. Per la stratega n 1 s ottene 8000, par al doppo del valor medo; questo ndca una estrema varabltà che rende 1 questa stratega molto rschosa: nel 0% de cas potremmo guadagnare molto, 0000 euro, ma nell 80% de cas guadagn attes potrebbero essere null. Ch ama rschare sceglerà la stratega n 1, mentre ch vuole asscurars sceglerà la stratega n 4. Questo semplce esempo mostra come parametr della dstrbuzone camponara de dat, determnno una rappresentazone concsa dell nformazone contenuta n ess, ed utle alla defnzone d opportune alternatve d decsone ne rguard d un dato problema. In molt cas pratc tuttava l uso dell stogramma non è molto agevole e rsulta pù utle poter sostture alla dstrbuzone emprca un opportuna dstrbuzone analtca ad essa equvalente. Rportamo qund d seguto le dstrbuzon pù utlzzate e le loro propretà!

11 11 Nella ntroduzone della dstrbuzone camponara de dat abbamo vsto come per una v.a. dscreta con un numero fnto N d possbl valor x, x, la dstrbuzone è rappresentata da N valor 1 (masse concentrate) p,, p 1 N P ( x ), N p k p 1 p p N x x k x N Naturalmente gl N valor p devono essere tal che la massa totale valga 1, coè k N p 1. k Nel caso d v.a. contnua la legge d dstrbuzone è data da una funzone p ( ) k 1 x che chameremo funzone d denstà d probabltà. Tale denomnazone derva dal fatto che per l generco valore ammssble x essa fornsce la probabltà dell evento E { ( x, x dx)} d lunghezza nfntesma dx ntorno al punto consderato P ( E) p ( x) dx Consderato po un qualunque altro evento A rappresentato ad esempo da un ntervallo ( ab, ) d lunghezza fnta, la sua probabltà s ottene sommando tutt termn nfntesm del tpo precedente relatv a punt che compongono tale ntervallo b P ( A) p ( x) dx a Da un punto d vsta geometrco l calcolo precedente corrsponde a calcolare l area campeggata n fgura contenuta tra l ntervallo ( ab, ) ed l tratto della curva p ( ) x da esso ndvduato!

12 1 p ( x ) a b x x dx Come pù volte precsato, non è tanto mportante poter calcolare la probabltà d un qualsas evento legato ad una v.a. quanto caratterzzare la legge d dstrbuzone con un numero lmtato d parametr che ne descrvano l carattere globale. Quest parametr sono dat da moment della dstrbuzone, e sono una msura delle seguent caratterstche. 1. Valor medo. E l momento del prmo ordne e s calcola nel seguente modo E( ) xp ( x) dx, x p k k k 1 N nel caso contnuo e nel caso dscreto. Fornsce l barcentro della dstrbuzone, ovvero quel valore compreso n rspetto al quale s rpartscono n modo equlbrato valor assunt dalla.. Varanza. E l momento centrato del secondo ordne: ovvero detta E( ) la v.a. centrata, ovvero lo scarto della v.a. rspetto al suo valor medo, la varanza è data da N E( ) ( ) ( ), ( ) x p x dx x p k k k 1

13 13 In altre parole la varanza è lo scarto quadratco medo rspetto a ed è una msura della dspersone de valor della : una varanza grande ndca che possamo trovare con buona probabltà valor della lontan dal valor medo, mentre una bassa varanza vuol dre che p (x) p (x) 0.3 = = valor della v.a. sono addensat ntorno al valor medo e valor dstant da esso occorrono con bassa probabltà. Dalle fgure vedamo che la prma dstrbuzone è molto pù dspersa ntorno al valor medo della seconda dstrbuzone; la prma ha certamente una varanza maggore della seconda. Tuttava osservamo che parlare d enttà della dspersone n assoluto non ha molto senso; nfatt occorre rapportare l valore della varanza all enttà del valor medo: per esempo se consderassmo due dstrbuzon con stessa varanza par 10, ma una con valor medo par a 0 e l altra con valor medo par 1000 vedremmo che l enttà dello scarto rspetto al valor medo sarebbe nel prmo caso del 50%, nel secondo caso del 1%. S è solt qund ntrodurre un fattore d forma della curva della dstrbuzone che valuta l enttà della varanza rspetto al valor medo cv, 0 che vene detto coeffcente d varazone della v.a. ; n esso compare la radce quadrata della varanza per poter confrontare grandezze omogenee, e prende l nome d devazone standard. Il cv n defntva fornsce lo scarto medo de valor della rspetto alla meda n percentuale del valore della meda stessa: un valore del 1% ndca una dstrbuzone molto

14 14 concentrata ntorno al valor medo, mentre un valore del 50% ndca che valor d possono essere anche abbastanza lontan da. 3. Skewness (smmetra). Un altro elemento mportante del carattere d una dstrbuzone è costtuto dal fatto che valor della v.a. s dstrbuscano n modo smmetrco rspetto alla meda. Questo comporta che s debbano rtenere equprobabl sa scart postv che scart negatv rspetto al valor medo. In caso contraro sgnfca che preferblmente valor della v.a. saranno a destra o a snstra della meda. Il grado d smmetra s msura consderando l valor medo centrato del terzo ordne 3 3 N 3 3 k k k 1 E( ) ( x ) p ( x) dx, E( ) ( x ) p ed è dato dal seguente parametro d 3 3 E ( ) che prende appunto l nome d skewness. Le dstrbuzon smmetrche hanno skewness nulla; un valore postvo d d ndca che valor della s dstrbuscono prncpalmente a destra della meda m, coè sono pù frequent scart postv rspetto a ; al contraro se d è negatva sgnfca che sono pù frequent scart negatv rspetto a 0.1 p (x) p (x) d > d <

15 15 4. Tghtness (Curtos). Questo parametro msura quanto una dstrbuzone s dscost da una gaussana; n partcolare dce se le code della dstrbuzone vadano zero pù o meno rapdamente d quelle d una gaussana. S deve consderare l momento centrato del quarto ordne da cu 4 4 N 4 4 k k k 1 E( ) ( x ) p ( x) dx, E( ) ( x ) p E( ) C leptocurtca normale platcurtca Per una gaussana C vale 0; se una dstrbuzone ha C 0 s dce pergaussana (leptocurtca) ed ntorno alla meda è pù appuntta d una gaussana ed ha code pù alte, coè che vanno meno rapdamente a zero d quelle d una gaussana ; vceversa essa s dce pogaussana (platcurtca) e rsulta d andamento pù dolce ntorno alla meda, ma con code che vanno rapdamente a zero. 5. Percentl. S è detto che nota la dstrbuzone d una v.a. è possble calcolare la probabltà d un qualunque evento legato ad essa. Tuttava nteressano n pratca solo alcun tp d event, che vengono utlzzat ne test d potes. In partcolare s è nteressat a event del tpo mx con probabltà P m x %

16 16 La precedente relazone va utlzzata specfcando l valore % della probabltà e calcolando l valore dell ascssa per cu l evento consderato ha probabltà appunto %. S not che l vene calcolato sempre con rfermento alla v.a. standardzzata m Tal ascsse vengono dette percentl della dstrbuzone n quanto sono valor della per cu l evento del tpo consderato ha un assegnato % d probabltà! Quest vengono fornt n tabelle dsponbl su tutt test d statstca per le dstrbuzon normalmente usate ne test statstc, come la gaussana, la, la t -Student e la F -Fsher. Prma d passare n rassegna le dstrbuzon d pù largo uso, llustramo un altro metodo per rappresentare n manera concsa le propretà statstche d un nseme d dat. Box Plot. In tale rappresentazone vengono rportat: la medana, percentl 0.5 e 0.75 (s chamano anche quartl per va che corrspondono a valor d probabltà multpl d 0.5) valor massmo e mnmo de dat, eventual outlers.

17 17 Se la medana non è equdstante dal prmo e terzo quartle la dstrbuzone non è smmetrca. Il Box Plot permette un rapdo confronto tra le propretà statstche prncpal d pù nsem d dat che possano rguardare uno stesso fenomeno. La dstrbuzone gaussana. Tale dstrbuzone assume valor n(, ) ed è completamente caratterzzata dal valor medo m e dalla varanza ; vene detta anche dstrbuzone normale ed ndcata con l smbolo Nm (, ) 1 ( x m) Nm (, ) exp E una dstrbuzone smmetrca ( 0); n partcolare tutt moment centrat dspar sono null, 3 mentre per quell par s ha k k ( ) 135 ( 1) ( ), 1,,3, E k k da cu s vede subto che 4 E [ ] 3.

18 18 I percentl vengono tabulat n rfermento alla v.a. standardzzata N (0,1)

19 19 La dstrbuzone. Consderamo n v.a. gaussane standard N (0,1) ndpendent; la v.a. è defnta nel seguente modo n 1 Il parametro n defnsce l numero de grad d lbertà della v.a., che assume valor n (0, ). E generalmente una dstrbuzone non smmetrca, che tende a dventare smmetrca all aumentare d n. Essa ha andamento monotono decrescente per n, mentre per n è unmodale con l massmo d ascssa ( n ) 1 p y y e y ( n /) n/1 y/ ( ), 0 n / dove () è la funzone specale gamma-eulerana. Essa possede moment d qualunque ordne k E( y ) n( n) ( nk ) per cu l valor medo è m n e la varanza n

20 0 I percentl vengono tabulat per numero crescente d grad d lbertà e s rferscono ad event del tpo ( ) La dstrbuzone d Student. Consderamo n 1 v.a. gaussane ndpendent 1 seguente v.a x,,, tutte N(0, ) n e costruamo la t x 1 n 1 n che prende l nome d dstrbuzone t Student a n grad d lbertà ed ha la seguente denstà d probabltà

21 1 n 1 ( 1)/ 1 n t p () t 1, t 0 T n n n E mportante notare che la dstrbuzone è ndpendente dalla varanza delle component. Essa ha valor medo nullo ed è smmetrca, qund con tutt moment dspar null, con moment par (per n ) dat da k k 13 (k 1) n Et ( ) ( n)( n4) ( n k) per cu la varanza vale n/( n )

22 Al solto percentl vengono tabulat per numero crescente d grad d lbertà e s rferscono ad event del tpo ( t ). La dstrbuzone d Fsher. Consderamo m n v.a. gaussane ndpendent,,,,, tutte N(0, ). La v.a. 1 m 1 n F 1 m 1 n m 1 n 1 ha dstrbuzone che prende l nome d dstrbuzone d Fsher, che rsulta ndpendente dalla varanza delle component. Assume valor n (0, ) con valor medo e varanza dat da

23 3 n EF ( ), n n F n n m mn ( ) ( n4) ( ), n 4

24 4 I percentl vengono tabulat per dvers valor d m ed n.

25 5 Il teorema fondamentale della convergenza stocastca Questo teorema è anche noto con l nome d teorema del lmte centrale. Sa successone d v.a. ndpendent con k una e s consder la seguente v.a. E k k, E k k n n n n k S, n k S n k k1 k1 k1 S con Se valgono le seguent potes lm n S n E k C, allora la dstrbuzone della v.a. standardzzata ( S )/ per n tende ad una gaussana standard N(0,1). n S S n n Il rsultato d questo teorema è d notevole nteresse n quanto stablsce che, sotto le due potes fatte, la somma d un numero elevato d v.a. ndpendent tende a dstrburs come una gaussana, ndpendentemente dalla dstrbuzone delle sngole component. Le due potes n pratca stablscono che la somma deve essere determnata da varabl ndpendent (prma potes) nessuna predomnante rspetto alle altre (seconda potes). In partcolare la seconda potes è verfcata se le v.a. component hanno tutte la stessa dstrbuzone. Questo teorema assegna una mportanza centrale della dstrbuzone gaussana nell nseme delle legg d dstrbuzone della varabl aleatore e spega l largo mpego della dstrbuzone gaussana come modello statstco nella maggor parte de process consderat nell ambto ngegnerstco!

26 6 Test statstc d potes I test statstc consstono n procedure per valdare potes d modello rguardant le caratterstche statstche d dat spermental ottenut come rsultat d un dato fenomeno aleatoro. Un esempo charrà meglo l senso del problema. Sa una varable aleatora che descrva valor d un certo attrbuto d un prodotto o d un servzo, ed abba dstrbuzone gaussana con varanza nota e valor medo m ncognto. Tutto quello che s sa a proposto del valor medo è che potrebbe avere o un valore m 1 oppure un valore m. Un caso come questo s può presentare ad esempo se s valuta la rsposta d un test per un tpo d vrus nfluenzale n una popolazone: la rsposta de soggett san e de soggett nfett avrà grosso modo la stessa varabltà, ma le rsposte de soggett nfett devono localzzars ntorno ad un valore medo sgnfcatvamente dfferente dal valor medo della rsposta de soggett san (l test è tanto pù dscrmnante quanto pù questa dfferenza è accentuata). Ora andamo no stess a fare l'anals per vedere se abbamo preso l'nfluenza: l rsultato del test fornrà qund un dato spermentale x (l nostro!) della varable aleatora. S vuole decdere se sa pù verosmle che l dato osservato derv dalla dstrbuzone con meda m 1 ( e qund saremmo san) oppure dalla dstrbuzone con meda m (e qund saremmo nfettat dal vrus). L'potes che m m1 vene chamata potes nulla, ed ndcata con H 0, mentre l'potes che m m vene chamata potes alternatva, ed ndcata con H 1 (ovvamente s poteva

27 7 sceglere anche nell'altro modo). Come faccamo a prendere tale decsone? Tutto dpende da dove s localzza l dato osservato. Nel caso n cu x m1 potremmo senza dubbo accettare l'potes H0 e rtenerc san perché la dstrbuzone con meda m assegna ad x un valore d probabltà veramente trascurable ( è ben dentro la coda della dstrbuzone n rosso) rspetto a quello assegnato dalla dstrbuzone con meda m. Rcordamo che questo valore d probabltà è approssmato come p ( x), dove è un 1 pccolo ntorno d x. Allo stesso modo, nel caso n cu fosse x m, con analogo ragonamento, potremmo certamente accettare l'potes H1 e rtenerc nfett. Nel caso ntermedo m 1 x m le cose sono meno ovve; entramb le dstrbuzon assegnano valor d probabltà confrontabl per cu dobbamo stablre un valore d compreso tra m 1 e m per cu se x accettamo H 0 e rfutamo H 1 (notamo che questa regola comprende anche valor x m1), se x rfutamo H 0 e accettamo H 1 (questa regola nclude anche valor x m ). Tuttava, comunque venga scelto, s può notare che le regole precedent comportano l rscho d prendere una decsone sbaglata. Infatt, se rsulta x s rfuta H 0 ; ma osservando la fgura seguente s vede come la dstrbuzone che corrsponde all'potes nulla assegna all'evento x una probabltà fnta data dall'area della zona campeggata n rosso. Questo

28 8 sgnfca che se l'potes H0 è vera, per cu la meda della dstrbuzone è effettvamente m 1, c'è comunque una probabltà non trascurable d poter ottenere dat spermental d ampezza pù grande del valore, che qund c farebbero rfutare l'potes H 0. Tale errore vene detto errore d tpo 1: s rfuta H 0 quando è vera. La probabltà d commettere questo errore è data dalla probabltà dell'evento x sotto l'potes H ( xm ) Px ( H) e dx e vene detta lvello d sgnfcatvtà del test. L'nseme de valor x per cu s rfuta l'potes nulla prende l nome d set crtco del test. Normalmente n un test d potes s fssa l lvello d sgnfcatvtà del test (usualmente 0.05, n alcun cas 0.01), qund s determna l set crtco. Dobbamo qund trovare l valore d per cu rsult

29 9 1 e ( xm1) dx Questo può essere ottenuto faclmente esprmendo la dstanza m1 secondo la scala tpca d varazone d, e coè n untà d devazone standard m 1 0 Ora qund dobbamo trovare l valore d per cu rsult Px ( H0) Px ( m10). Ma questo è faclmente ottenble dalla tabella de percentl d una gaussana. Infatt l'evento equvale al seguente e qund l valore d 0 per cu xm1 0 x m 1 x m Px ( m 1 1 0) P( 0) è propro l percentle della gaussana (s rcord che per le dstrbuzon smmetrche x m1 usualmente percentl sono tabulat n corrspondenza agl event blateral 0 ). In defntva se la rsposta x della nostra anals per l'nfluenza supera l valore m 1 0 dobbamo concludere d essere nfett, e qund seguremo la proflass per l'nfluenza, sapendo che con una probabltà par ad samo nvece non affett dal vrus e prenderemmo delle medcne nutlmente. Faccamo ora un passo ulterore: che fne ha fatto l'potes alternatva? Questa n effett entra n goco quando x per cu accettamo H 0. Come s vede dalla fgura seguente, la dstrbuzone che corrsponde all'potes alternatva assegna una probabltà fnta all'evento x data da 1 1 ( x m ) Px ( H) e dx Per cu, se l'potes H 0 è falsa per cu la meda della dstrbuzone è effettvamente par a m, c'è comunque una probabltà non nulla d osservare valor spermental x che sano mnor d e per qual effettvamente accetteremmo H 0. Tale errore prende l nome d errore d tpo : s accetta H0 quando è falsa (attenzone non è l complementare dell'errore d tpo 1). La quanttà

30 30 ( x m ) 1 Px H 1 e dx 1 ( ) prende l nome d potenza del test, e corrsponde alla probabltà del set crtco sotto l'potes alternatva H 1 : Px ( H1). S può dmostrare (lemma d Neyman-Pearson) che, assegnato l lvello d sgnfcatvtà del test, l set crtco scelto xm1 è quello a cu corrsponde la mnma probabltà d commettere l'errore d tpo, e qund la massma potenza; per cu potremmo anche dre che l set crtco scelto fornsce l test pù potente d lvello. Nell'esempo trattato abbamo consderato l caso che m fosse maggore d m 1 ; nella stuazone complementare n cu rsult m mnore d m 1, con ragonament analogh a quell fatt s otterrebbe l seguente test pù potente d lvello x m m 1 1

31 31 Se nfne l'potes alternatva fosse stata H1: m m1, avremmo dovuto contemplare contemporaneamente le due stuazon precedent. Con facl ragonament s arrverebbe al seguente set crtco blaterale x m 1 x m 1 ottenendo ancora l set crtco pù potente d lvello.

32 3 I test d potes del tpo d quello analzzato vengono dett test d potes semplce: n quest la forma della dstrbuzone è nota, l vettore de suo parametr è ncognto ma può assumere valore solo n un punto 0 per l'potes nulla e un punto 1 per l'potes alternatva. Nel caso n cu, per almeno una delle due potes, l vettore de parametr della dstrbuzone potesse assumere valor n un nseme d punt s parlerebbe d test d potes composta. Altr tp d test d potes semplce e composta saranno affrontat nel seguto del corso. In molte stuazon, l'potes da verfcare rguarda propro la forma della dstrbuzone nel suo nseme. Qund, da un nseme d dat, s vuole stablre se la varable aleatora cu ess s rferscono abba o meno una dstrbuzone p ( x ) assegnata. Nel caso che la forma potzzata della dstrbuzone sa gaussana Nm (, ), esste un semplce metodo grafco per testare questa potes, l Q-Q Plot (Quantle-Quantle Plot). Il grafco rporta n ascsse quantl della Nm (, ) ( usualmente ad ntervall d 0.1 ) ed n ordnate gl stess quantl ottenut dalla dstrbuzone camponara de dat. Quanto pù quantl sono ugual tanto pù dat confermano l'potes d gaussantà. In questo caso l Q-Q plot s presenta come un nseme d punt abbastanza allneat lungo la bsettrce (ved fgura). Nel caso n cu punt non fossero adeguatamente allneat lungo la bsettrce s dovrebbe rfutare l'potes che la loro dstrbuzone sa Nm (, ). E' un metodo dcamo abbastanza eurstco n quanto s basa su un gudzo soggettvo, ma è d rapda applcazone e d mmedata nterpretazone. Il Q-Q plot è presente n un qualsas applcatvo, come ad es. Matlab.

33 33 Test d Pearson. In questo test l'potes nulla H consste nello specfcare la dstrbuzone p ( x ) d una 0 varable aleatora. Dvdamo l'nseme ammssble de valor della dstrbuzone allo studo n r sottontervall S, S 1, r dsgunt, non necessaramente tutt ugual. Quest sono event elementar d cu s possono defnre le probabltà secondo l'potes H 0 p p ( x) dx, 1,, r S rsultando peraltro che r 1 p 1. In congruenza con la decomposzone dell'nseme de possbl rsultat effettuata, dvdamo ora l campone osservato n grupp d dat ottenut contando per ogn sottontervallo S l numero n d rsultat fra gl N possbl che appartengono ad esso. Possamo a questo punto costrure un stogramma della dstrbuzone camponara p ( x ) S 1 S S r rportando n corrspondenza degl S valor d frequenza realtva n / N, che ovvamente verfcano r 1. Da un punto d vsta ntutvo se l'potes H è vera, per N abbastanza 0 1 grande le frequenze relatve dovrebbero non dscostars molto da valor d probabltà p, calcolat con la dstrbuzone potzzata. Una msura della devazone della dstrbuzone camponara (stogramma) dstrbuzone potzzata può essere la seguente dalla

34 34 D r 1 N r p n Np p 1 Np dove vengono consderat gl scart al quadrato tra valor potzzat d probabltà e quell determnat da dat spermental. Il rsultato notevole ottenuto da Pearson consste nell'aver dmostrato che al crescere d N, la dstrbuzone d D tende ad una dstrbuzone lmte che è ndpendente da quella potzzata. In effett s dmostra che tale dstrbuzone lmte corrsponde ad una con r 1 grad d lbertà. S not che questo non vuol dre che la v.a. dvent una (n partcolare non è vero che rsult essere la somma de quadrat d gaussane standard ndpendent) ma solo che la probabltà degl event legat alla D può essere valutata medante la dstrbuzone lmte, con approssmazone tanto mglore quando maggore è N. A questo punto s può determnare quel valore percentle a cu corrsponde una probabltà % d ottenere una devazone D

35 35 (area della coda della dstrbuzone a destra d ). Qund se nel nostro espermento, a fronte degl N dat prelevat, con N suffcentemente grande, dovessmo ottenere un valore D mnore del prescelto, dovremmo rtenere la dstrbuzone camponara consstente con l'potes, con un lvello d sgnfcatvtà par a % ; un valore superore a sarebbe consderato un valore d devazone troppo grande, tale da rtenere che l'evdenza spermentale non support l'potes. Nell'applcazone pratca del test d Pearson, bsogna saper sceglere opportunamente l numero r de sottontervall n cu è decomposto l'nseme ammssble, ed l numero N che stablsce la dmensone del campone d dat da analzzare. Il test d Pearson s basa sul confronto tra l'stogramma della dstrbuzone camponara del campone d N dat ed l proflo della dstrbuzone potzzata. Dpendentemente da quest'ultmo, un stogramma con un numero troppo basso d sottontervall darebbe luogo comunque ad una grossa devazone ndpendentemente dalla numerostà del campone; la pratca suggersce d sceglere un numero d sottontervall non nferore a 5. Per ogn sottontervallo S po deve rsultare Np 10 che permette d sceglere N. E' ovvo che dovendo ottenere una nformazone molto sofstcata quale l'andamento della dstrbuzone, c s debba aspettare valor d N molto grand. Valor grand d N sono anche rchest dal fatto che l test d Pearson non è un test esatto, l'approssmazone alla dstrbuzone lmte è tanto mglore quanto pù N è grande. Il vantaggo d questo test è che la statstca del test non dpende dall'potes da testare, e che noltre parametr dell'potes da testare possono anche essere stmat da dat; n questo caso la statstca lmte sarà una r cdove c è par al numero de parametr da stmare aumentato d uno. Test d Kolomogorov-Smrnov (K-S test) Questo test esegue l confronto tra la dstrbuzone cumulatva potzzata e quella ottenuta da dat. Come è noto, valor della prma s ottengono nel modo seguente x F( x) p ( t) dt per cu, se x 1, x,, xn sono dat raccolt, calcoleremo N valor della dstrbuzone cumulatva d probabltà potzzata x F( x) p( t) dt, 1,, N

36 36 Per calcolare valor corrspondent della dstrbuzone cumulatva camponara basta ordnare dat n valore crescente x1x xn, s ottene subto 1 Fc( x) N che corrsponde al numero de dat che hanno valore mnore d x dvso l numero totale de dat. A questo punto la statstca del test è ottenuta nel modo seguente max D F( x ) F ( x ), F ( x ) F( x ) 1 N 1 N c c 1 1 max F( x), F( x) N N I percentl che corrspondono alla statstca del test sono fornt da opportune tabelle. Ogn tabella è costruta rspetto ad opportune varazon d scala della statstca; qund bsogna fare attenzone, quando s usa una d queste tabelle, d scalare la D come prevsto dalla tabella. C'è da dre che anche questo test s trova gà mplementato (tabelle ncluse) n tutt gl applcatv d anals de dat n commerco. Il test qund va eseguto nel solto modo, s fssa l lvello d sgnfcatvtà, dalle opportune tabelle s rcava l percentle corrspondente, l'potes vene rfutata se Come l test del D., anche l K-S test è ndpendente dall'potes da testare. Esso è però un test esatto n quanto la sua statstca non è una statstca lmte, per cu normalmente è rchesto un numero N d dat moderato (qualche decna). Vedamo dfett. Il test s può esegure solo per dstrbuzon contnue e la dstrbuzone deve essere completamente specfcata, coè suo parametr debbono essere not e non stmat da dat. Quest'ultmo n effett rappresenta un dfetto sostanzale. Inoltre l test è maggormente sensble a valor central della dstrbuzone e meno a quell sulle code. Test d Anderson -Darlng (A-D test) Questo test rmuove tutt dfett del K-S test ed è una sua estensone. E' un test esatto che da pù peso a valor della dstrbuzone sulle code, parametr della dstrbuzone potzzata possono essere stmat da dat, va bene anche per le dstrbuzon dscrete. L'unco dfetto è che l test dpende dall'potes da testare, per cu avremo tabelle de percentl dfferent a seconda della dstrbuzone potzzata da testare (gaussana, log-normale, esponenzale, Webull, logstca,...). Anche qu le tabelle possono rferrs ad opportune varazon d scale della statstca del test.

37 37 Con le stesse notazon ntrodotte nel K-S test, la statstca del test d Anderson-Darlng è data da N 1 D N ln F ( x ) ln 1 F ( xn 1 ) N 1 dove dat sono ovvamente ordnat per valor crescent. Il test è affdable anche con un numero d dat esguo, ntorno a 0.