2. La distribuzione normale

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1 . La dstrbuzone normale.. Il concetto d dstrbuzone... Frequenze, class, stogramm Comncamo con un esempo. Supponamo d dover elaborare dat relatv ad una prova standardzzata sommnstrata nel corso d una ndagne trasversale su vasta scala ad una popolazone scolastca. Supponamo per fssare le dee che puntegg grezz della prova possano varare da 0 a 00, e che la prova sa stata sommnstrata ad un campone d 000 student. Una volta raccolt tutt puntegg grezz nteressa avere una vsone d sntes dell andamento della prova. questo scopo s può pensare d suddvdere l ntervallo da 0 a 00 n una successone d ntervall d ampezza assegnata, dcamo 0. Qund: da 0 a 0 sarà l prmo ntervallo, da a 0 l secondo, da a 30 l terzo, e così va fno all ultmo da 9 a 00. Cascuno d quest ntervall è detto classe o, pù estesamente, classe d frequenza. Le class n cu suddvdere una popolazone statstca sotto esame devono essere mutuamente esclusve e devono coprre l ntero range d varazone (coè ogn elemento della popolazone deve appartenere ad una e una sola classe). Detto ampezza d una classe l ntervallo fra suo valor estrem, d norma le class devono essere d uguale ampezza (salvo al pù le class estreme: nel nostro caso la prma classe vara da 0 a 0 anzché da a 0). Per ogn classe possamo contare l numero d prove l cu punteggo è entro lmt della classe stessa; nell esempo nella Tab.. seguente, 60 prove hanno conseguto un punteggo fra 0 e 0, 0 prove hanno conseguto un punteggo fra e 0, e così va. Il numero d element contenuto n ogn classe s dce frequenza assoluta, o semplcemente frequenza. Così la frequenza della classe da 3 a 40 è 70. Come s nota, l totale delle frequenze dà 000. Le frequenze vengono n genere smbolzzate con la lettera corsva f. Nel corso d una sntes, pù che le frequenze assolute rsultano espressve le frequenze relatve, coè le percentual. Vengono dette frequenze relatve o frequenze percentual, e sono ndcate col smbolo f %. Le frequenze relatve s calcolano con la semplce formula: f % 00 f f (.) d esempo, la frequenza relatva della classe da 4 a 50 s calcola così: 00 0%. volte nfne è d nteresse calcolare le cosddette frequenze cumulate assolute, ndcate col smbolo F e le corrspondent frequenze cumulate relatve, ndcate con F %. Le frequenze cumulate F s calcolano assommando (coè cumulando) ad ogn frequenza f tutte le frequenze f relatve alle class precedent. Così ad esempo per la classe da a 0 abbamo: F , per la classe da a 30 abbamo F , e così va. In modo analogo s opera per le frequenze relatve F %. S not che la frequenza cumulata F dell ultma classe è sempre par alla numerostà della popolazone (000 nel nostro caso) mentre la corrspondente frequenza F % è sempre 00%. Classe d frequenze f f % F F % da 0 a % % da a % % da a % % da 3 a % % da 4 a % % da 5 a % % da 6 a % % da 7 a % % da 8 a % % da 9 a % % ,0% Tab.. Fg.. Il dagramma a barre vertcal d Fg.. s chama stogramma, e vsualzza una sntes de dat. In pratca per ogn classe vene nnalzata una barra d altezza proporzonale alla sua frequenza. La lettura dell stogramma è mmedata: con un colpo d occho notamo che l grosso delle prove standardzzate raccolte nella statstca s collocano nella zona de puntegg ntermed. Pù c allontanamo sa a snstra che a destra da valor ntermed e pù le frequenze dmnuscono.

2 ... Introduzone ntutva al concetto d dstrbuzone Se con l occho seguamo l proflo descrtto dalla sommtà delle dverse barre che formano l stogramma n Fg.., ruscamo ad nture l esstenza d una lnea curva, dotata d una certa smmetra, la cu sommtà sta n una poszone grosso modo centrale. In genere una raccolta statstca su vasta scala d msurazon quanttatve dà luogo a stogramm caratterzzat da svarat tp d profl curvlne. Da Fg.. a Fg..7 sono mostrat alcun esemp ulteror. In Fg.. la curva presenta una sorta d gobba posta n poszone asmmetrca (verso destra) rspetto al valore medano. Se s tratta d una statstca su puntegg grezz d una prova standardzzata possamo dre che una parte consstente delle prove ha raggunto puntegg puttosto alt. In Fg..3 abbamo la stuazone opposta, caratterzzata da una certa asmmetra a snstra: un consstente numero d prove ha conseguto puntegg puttosto bass. La Fg..4 presenta nvece una spece d schaccamento n senso orzzontale del proflo dell stogramma: le barre hanno tutte pù o meno la stessa altezza: compt mglor, quell peggor e quell med hanno la stessa numerostà. In Fg..5 abbamo ancora uno schaccamento della curva, ma n senso vertcale: notamo un pcco centrale molto alto e molto stretto; n tal caso samo n presenza d un generale appattmento delle prestazon, perché l grosso delle prove s colloca n una zona d medocrtà, con poch cas d eccellenza e altrettanto poche prove d scarso lvello. La Fg..6 llustra una stuazone con due pcch modal, analoga a quella gà llustrata e dscussa nel captolo precedente (Fg..); essa ndca con tutta probabltà la mescolanza d due dstnte popolazon. Infne la Fg..7 llustra una stuazone d problematca nterpretazone e dffclmente rscontrable n realtà; potrebbe essere determnata da un campone troppo esguo. Fg.. Fg..3 Fg..4 Fg..5 Fg..6 Fg..7 Quell passat n rassegna sono alcun esemp d possbl dfferent dstrbuzon statstche. In prma approssmazone possamo dre che una dstrbuzone statstca è una descrzone d nseme delle modaltà con cu dat raccolt s rpartscono all nterno delle dverse class con le rspettve frequenze. Una dstrbuzone è egregamente sntetzzata dal proflo del corrspondente stogramma. Le propretà del proflo curvlneo della dstrbuzone fornscono ulteror nformazon d sntes oltre a quelle che possono essere desunte dalle statstche descrttve ntrodotte nel captolo precedente. Fno a qu abbamo esemplfcato attraverso la dstrbuzone de puntegg grezz d una prova standardzzata, puntegg che possono varare all nterno d una gamma dscreta che va da 0 a 00. Il termne dscreta è stato usato n una accezone che non è quella del lnguaggo comune, ma nella accezone matematca: cò sgnfca che la gamma da 0 a 00 n questo caso non costtusce uno spettro contnuo d valor, ma solo un nseme fnto; nfatt puntegg pres n

3 esame sono solo dvers numer nter compres fra due estrem 0 e 00, e non tutt gl nfnt possbl numer ntermed fra due estrem. Gl esemp llustrat fno qu s rferscono dunque a dstrbuzon dscrete. Esemplfchamo ora (n modo decsamente approssmatvo, vsta la natura non matematca d questa trattazone) una dstrbuzone contnua. Consderamo l caso n cu dat raccolt per una statstca possono, almeno teorcamente, coprre una gamma contnua d valor; ad esempo raccoglamo pes alla nascta de bambn d una data popolazone; ebbene, l organsmo non cresce a salt, coè n modo dscreto, ma con contnutà: natura non fact saltus (almeno nel macroscopco). Teorcamente qund possamo raccoglere una gamma contnua d msurazon. Se dsponamo tutte le nfnte possbl msure d peso lungo un asse orzzontale (una per ogn punto) e per cascun punto nnalzamo (analogamente a quanto fatto con le barre degl stogramm) un semplce segmento, ottenamo alla fne del procedmento un proflo curvlneo detto curva d dstrbuzone. Tutte le dstrbuzon contnue sono caratterzzate da una curva d dstrbuzone che può assumere le forme pù svarate. Le curve d dstrbuzone sono generate da opportune equazon matematche... La dstrbuzone normale... Descrzone nformale d alcune propretà della dstrbuzone normale Rmanendo all esempo della statstca su pes, possamo ragonevolmente potzzare che la loro dstrbuzone sa del tpo d quella rappresentata n Fg.., coè con l tpco proflo a campana. Le propretà d questa dstrbuzone possono essere sntetzzate così: la maggor parte de pes raccolt tendono a concentrars nella parte centrale della dstrbuzone; man mano che c s allontana da valor d peso central le frequenze tendono a dmnure: è coè ragonevole supporre che quanto pù l peso è anomalo, tanto pù le corrspondent frequenze s abbasseranno; n altre parole: un numero d ndvdu va va decrescente avrà pes va va pù anomal (dstant da quello centrale); la rduzone delle frequenze al crescere dell anomala de pes è smmetrca, coè avvene con analoghe modaltà sa per gl eccess che per dfett d peso. Le aspettatve d questo genere trovano un puntuale rscontro nella rcerca spermentale. Gà dalla seconda metà dell ottocento, ad opera d poner come Galton, s sono esplorate n profondtà le dstrbuzon d msura de pù svarat tratt morfologc; l rsultato d queste rcerche è stato sempre quello d una dstrbuzone dal tpco proflo a campana. La dstrbuzone teorca che meglo s adatta all andamento descrtto sopra è la dstrbuzone normale o gaussana (n onore del grande matematco Gauss). Il grafco della curva corrspondente è n Fg... Con un lnguaggo matematco maggormente formalzzato possamo formulare le tre osservazon precedent dcendo che: la frequenza maggore è quella relatva al valore medo; la curva ha un comportamento asntotco, coè le due code estreme tendono ad avvcnars ndefntamente all asse delle ascsse; la curva è smmetrca rspetto alla vertcale condotta per la meda. Fg..... Equazone matematca della curva d dstrbuzone normale Matematcamente parlando la curva d dstrbuzone normale ha la seguente formulazone: Y f e (.) In questo contesto non utlzzeremo nel calcolo questa formula puttosto complcata. Il motvo per cu è rportata è che auta a convncers del fatto che la dstrbuzone normale dpende da due valor caratterstc della popolazone statstca descrtta, dett parametr (l concetto generale d parametro vene precsato oltre, n 3...): la meda e la devazone standard. Vedamo meglo come vanno le cose. Per quanto rguarda la meda abbamo gà vsto che la campana è centrata su questo valore. Cò sgnfca che a partà d devazone standard due popolazon dstrbute normalmente con mede e dfferent sono rappresentate da due curve d dstrbuzone gaussane della stessa forma, centrate cascuna sulla propra meda, come llustra Fg..3.

4 Fg..3 Fg..4 La devazone standard d una popolazone dstrbuta normalmente determna nvece la larghezza della campana. Questo è ragonevole: nfatt una devazone standard elevata sgnfca grande varabltà, mentre all opposto una pccola devazone standard sgnfca scarsa varabltà; ora, e abbastanza ntutvo capre che se una popolazone è caratterzzata da ampa varabltà la corrspondente curva d dstrbuzone sarà larga, perché le msure corrspondent s dsporranno su una gamma d valor ampa; vceversa, una scarsa varabltà comporta una gamma lmtata d valor e qund una campana stretta. Questo è cò che succede n Fg..4, n cu sono rappresentate due curve d dstrbuzone. S noterà che la curva caratterzzata normal avent la stessa meda, ma dfferent devazon standard, con dalla devazone standard maggore è pù bassa dell altra. La spegazone d questa crcostanza è rnvata al ree sotto la curva d dstrbuzone normale. 3.. ree comprese fra due valor assegnat Comncamo col dre che l area sotto la curva d dstrbuzone normale (la porzone d pano delmtata dall asse delle ascsse e dalla curva stessa) vale, così come vale l area sotto tutte le curve d dstrbuzone che consdereremo successvamente. Il calcolo d questa area è puttosto complcato e qund l lettore deve prendere per buono l rsultato. Prma d procedere damo subto rsposta al questo posto al... Come ma una curva normale pù larga deve per forza essere pù bassa? Perché l area s deve mantenere costante e uguale a. Fatta questa premessa osservamo Fg..5 e Fg..6. Fg..5 Fg..6 Entrambe rappresentano una regone pana delmtata dalla curva d dstrbuzone, dall asse delle ascsse e da due valor d ascssa a e b, e sono relatve ad una medesma popolazone: pù precsamente rappresentano la dstrbuzone delle msure d un determnato tratto (ad esempo del peso corporeo) nella popolazone esamnata. S nota subto che la prma delle due superfc ombreggate è pù estesa della seconda. Ora passamo a consderare le corrspondent popolazon. Quant ndvdu della popolazone normale rappresentata hanno una msura del tratto sotto osservazone compresa fra l valore a e l valore b nel prmo e nel secondo caso? Questo non può essere detto, ma è ntutva una cosa: nel caso d Fg..5 saranno pù che nel caso d Fg..6; pù precsamente è ntutvo e ragonevole accettare che l numero d ndvdu della popolazone con una msura fra a e b del tratto sotto osservazone (peso) è proporzonale all area sotto la curva d dstrbuzone compresa fra valor a e b. Questa affermazone mplca una mportante conseguenza. Supponamo d estrarre a caso dalla nostra popolazone un ndvduo. Quale è la probabltà P che questo ndvduo abba un valore tra a e b della msura osservata? La probabltà è proporzonale all area compresa fra a e b. Pù precsamente: la probabltà è data dal rapporto fra l area ab delmtata da a e b e l area tot totale (coè l area sotto l ntera curva d dstrbuzone); qund: P ab tot Questo semplce rsultato è d mportanza decsva, e una sua generalzzazone charrà nel Cap. 3 quale sa l sgnfcato delle aree sotto una qualsas curva d dstrbuzone. Per ora possamo concludere così: l area delmtata da due valor a e b sotto una curva d dstrbuzone normale, relatva alle msurazon d un certo tratto n una popolazone, esprme la probabltà d ottenere, camponando a caso nella popolazone stessa, un valore della msura compreso fra a e b. Vedamo ora n partcolare cosa possamo dre crca alcune aree partcolar sotto la dstrbuzone normale. ab ab

5 Fg..7 Osservamo la Fg..7. Come sappamo la dstrbuzone normale è centrata sul valore medo. Ora, allontanamoc da d una devazone standard ; raggungamo qund due valor e. Calcolando con opportun metod l area sotto la curva compresa fra quest due valor ottenamo approssmatvamente 0.687, che equvale al 68.7% dell area totale (che vale ). Questo sgnfca che camponando a caso n una popolazone normalmente dstrbuta ho una probabltà par al 68.7% d ottenere un valore compreso fra e. In altr termn pù d metà dell ntera popolazone non s allontana da per pù d. In modo analogo, se calcolamo l area fra e ottenamo l valore , par al 95.44% dell area totale. Questo sgnfca che pù del 95% degl element d una popolazone normalmente dstrbuta non s allontanano da per pù d. Infne, calcolando l area fra 3 e 3 ottenamo l 99.73% dell area totale, coè: la quas totaltà d una popolazone normalmente dstrbuta non s allontana dalla propra meda per pù d 3 devazon standard ree esterne a due valor assegnat Fno ad ora c samo occupat dell area compresa fra due valor a e b. In statstca tuttava è spesso utle conoscere l area esterna a due valor assegnat, quella che vene chamata area sotto le code della dstrbuzone. d esempo, consderamo ancora valor e, ma occupamoc questa volta dell area sotto le code della dstrbuzone determnate da quest due estrem. Tal aree sono evdenzate n Fg..8. Fg..8 Essendo gà nota l area sotto la curva normale compresa fra due valor (par a ) ed essendo nota l area totale (par a ) l calcolo delle aree sotto le due code s ottene con una banale sottrazone, e rsulta par a , coè corrsponde al 4.56% dell area totale. Se nvece nteressa l area sotto una sola delle due code, rcordando che la curva d dstrbuzone è smmetrca, basta dvdere per due valor ottenut sopra, ottenendo 0.08, par al.8% dell area totale. Quanto detto può essere espresso, a seconda che consderamo le due code oppure una sola, ad esempo quella d destra, al modo seguente: caso a due code: la probabltà d ottenere camponando a caso n una popolazone normalmente dstrbuta un valore che s allontan dalla meda per pù d due devazon standard è par a (4.56%); caso a una coda: la probabltà d ottenere camponando a caso n una popolazone normalmente dstrbuta un valore maggore d è par a (4.56%);

6 .4. Standardzzazone. 4.. Il concetto d standardzzazone Comncamo con un esempo. bbamo sommnstrato una prova oggettva e sulla base de puntegg grezz voglamo formulare delle valutazon. Il punteggo grezzo esprme d fatto una valutazone rferta a crtero della sngola prova. Con questa espressone s ntende che l punteggo grezzo esprme una msura n termn assolut (su una scala ad ntervall) delle competenze dmostrate dal sngolo studente; n altr termn l punteggo grezzo esprme l lvello d padronanza raggunto dallo studente, eventualmente anche n termn percentual. Ora samo nteressat ad avere anche una valutazone rferta a norma. Coè nteressa valutare rsultat dal sngolo studente n rapporto a rsultat ottenut da tutt gl altr; sotto questo aspetto non nteressa tanto sapere cosa n assoluto l sngolo conosce e sa fare, quanto puttosto come s colloca la sua prestazone all nterno delle prestazon general della classe. Per arrvare a questo rsultato occorrerà consderare:. come medamente è andata la prova (rferendoc n qualche modo alla meda);. che grado d omogenetà sussste fra rsultat e come sono dstrbut puntegg (rferendoc alla devazone standard). In pratca: detto Y l punteggo dello studente -esmo, e detta la meda de puntegg della classe, rsulta del tutto spontaneo rcorrere alla dfferenza, che esprme la dstanza fra l punteggo -esmo ed l punteggo medo. Y Oltre tutto la dfferenza può essere sa postva che negatva, a seconda che Y sa maggore o mnore della meda, e questo fa senz altro comodo. Tuttava questa dfferenza non è ancora soddsfacente. Per capre questo aspetto osservamo la Fg..9, n cu sono vsualzzat puntegg grezz n due dfferent stuazon a confronto; var puntegg ottenut nella prova oggettva sono rappresentat da opportune tacche lungo un asse; la tacca relatva al punteggo Y è stata accentuata per facltarne l ndvduazone, così come per la poszone del punteggo medo. Fg..9 La dfferenza Y assume lo stesso valore ne due cas, vsto che la dstanza fra le due tacche è la stessa; tuttava la poszone relatva del punteggo Y è ben dversa ne due cas: nel caso samo n presenza d un dstacco netto dello studente -esmo dal resto della classe; nvece nel caso B, pur offrendo una prestazone scadente, lo studente è ancora n qualche modo aggancato al resto della classe. Dunque la sola dfferenza Y non dà conto delle due dverse stuazon perché non tene n consderazone l dverso grado d dspersone de puntegg: nel caso B la dspersone è nfatt maggore che non nel caso. Questo suggersce d rapportare la dfferenza Y alla devazone standard, arrvando così alla formulazone matematca z Y (.3) Il rapporto esprme quante devazon standard sono contenute nella dstanza fra Y e ; dunque è come se questa dstanza vensse msurata n untà d devazon standard. Statstcamente parlando la trasformazone delle varate Y n valor z attraverso la (.3) vene detta standardzzazone; valor z sono dett puntegg standard, o anche valor standardzzat delle varate Y. Qualche esempo numerco servrà a renders meglo conto del sgnfcato della standardzzazone. Supponamo che parametr d una popolazone sano: 3 e Consderamo l valore Y 4. 5 ; è facle notare che s trova a tre devazon standard dalla meda, n quanto Se standardzzamo l valore Y attraverso la (.3) ottenamo z 3. Questo esprme esattamente l fatto che Y è a tre devazon standard da.. Ora supponamo d dover standardzzare l valore Y. Rspetto a, Y sta ad due devazon standard n detro, n quanto Standardzzando ottenamo z. ncora una volta l valore standardzzato esprme la poszone d Y rspetto a n untà d devazon standard. llo stesso modo possamo dunque affermare che se z. allora l corrspondente valore d Y supera la meda della popolazone d poco pù d

7 devazon standard, qualunque sa l valore de parametr e ; oppure se z 0. 5 concludamo che l corrspondente Y precede la meda d mezza devazone standard, qualunque sa l valore de parametr e Puntegg standardzzat e scala pentesmale Supponamo d voler catalogare n cnque class d frequenza le prove oggettve d cu s è parlato n. 4.., suddvdendo rsultat a seconda de puntegg; la prma classe sarà quella de puntegg Bass (B), po a segure: Medo Bass (MB), Med (M), Medo lt (M) e lt (). L ampezza d ogn classe sa par a una devazone standard. La classe M sarà centrata sulla meda, e dunque raccoglerà gl elaborat cu puntegg standardzzat z varno da 0.5 a 0.5 (qund l ampezza dell ntervallo fra due valor standardzzat è par a, corrspondente a una devazone standard). Fssat valor lmte della classe centrale M (n punt z), è facle fssare l lmt della classe M (da 0.5 a.5) e MB (da 0.5 a.5); nella classe estrema B cadranno tutt valor standardzzat mnor d.5, e smmetrcamente nella classe cadranno tutt valor superor a.5. In Fg..0 sono rappresentate le 5 class con relatv lmt espress n punt z. Fg..0 S not che le class pentesmal non esprmono un valore assoluto; nell esempo de rsultat delle prove oggettve, l fatto d essere n classe non esprme necessaramente che la corrspondente prova sa eccellente, anz, potrebbe trovars n classe anche una prestazone scarsa: semplcemente n tal caso tutte le altre prove della classe sarebbero andate ancora peggo. nalogamente, l fatto che una prova sa catalogata n classe B non sgnfca che sa scadente, ma solo che tutte le altre sono andate meglo. S rcord nfatt che è utle rcorrere alla standardzzazone de puntegg quando s vuole operare una valutazone rferta a norma e non a crtero. Esstono altr mportant ambt applcatv della standardzzazone de dat che verranno llustrat successvamente. Il Box. rassume n un esempo tutta l operatvtà relatva alla standardzzazone ntrodotta fno a questo punto. S tratta d un nseme d dat d cu s elabora la standardzzazone e la classfcazone pentesmale La normale standardzzata e le sue tavole statstche Consderamo una popolazone dstrbuta normalmente, con parametr e. Immagnamo d standardzzare tutt suo valor Y, ottenendo così una nuova popolazone d valor z. La nuova popolazone è anch essa dstrbuta normalmente. Qual sono suo parametr? Il calcolo è presto fatto; l valore medo della nuova popolazone sarà l corrspondente standardzzato del valore medo della prma popolazone, dunque, standardzzando con la (.3) ottenamo 0 ; dunque l valore medo della nuova popolazone è 0. Per capre quale sa la nuova devazone standard possamo standardzzare l valore Y (un valore ad una devazone standard dalla meda) della prma popolazone, sempre utlzzando la (.3); ottenamo: Y z. Questo sgnfca che la devazone standard della popolazone de valor z è. Dunque la nuova popolazone, ottenuta standardzzando tutt valor della popolazone d partenza, ha parametr 0 e. Nel caso partcolare n cu 0 e l equazone (.) s semplfca nella seguente: f e La dstrbuzone corrspondente è chamata normale standardzzata. Qund: standardzzando dat relatv ad una dstrbuzone normale ottenamo una nuova popolazone dstrbuta secondo una normale standardzzata. In ppendce sono rportate due tavole statstche relatve alla dstrbuzone normale standardzzata. Tavola rporta valor d ordnata corrspondent ad un dato valore d ascssa z assegnata nella parte postva della normale standardzzata, come mostra Fg.. (le ordnate corrspondent a valor s z negatv sono gl stess de corrspondent postv, vsta la smmetra della curva). Y (.4)

8 Fg.. Fg.. Nella Tavola c è una colonna ntestata con z, e altre dec ntestate con le cfre da 0 a 9. La colonna z contene successv valor d ascssa z da 0 fno a 3.9. Se desderamo sapere l ordnata corrspondente al valore z =., senza dover esegure un laboroso calcolo attraverso la (.4), cerchamo. nella colonna z, po, spostandoc n orzzontale sulla colonna 0 a lato, ottenamo l valore d ordnata Se nvece l valore d z ha due decmal dopo la vrgola, ad esempo z =.7, c ponamo sempre sulla rga corrspondente a., ma c spostamo orzzontalmente fno alla colonna ntestata come l ultmo decmale, 7 nell esempo, e trovamo l valore d ordnata Un ultmo esempo. Per avere l valore d ordnata corrspondente a z = -.35 cerchamo sulle tavole quello corrspondente all omologo postvo z =.35, e ottenamo Nella Tavola abbamo nvece valor delle aree sotto la curva normale standardzzata comprese far valor 0 e z, come llustra Fg... nche n questo caso la tavola rporta valor per le sole ascsse z postve; ancora, valor d z possono avere fno a due decmal dopo la vrgola, con meccansmo d rcerca analogo a quello della Tavola. d esempo, cerchamo l area sotto la normale standardzzata compresa fra 0 e.4, e trovamo l valore 0.4, par al 4,% dell area totale. Se nteressano aree delmtate da estrem d cu uno non sa 0 occorre decomporle facendo n modo che uno degl estrem sa 0. d esempo, per avere l area compresa fra.5 e.3 occorre calcolare le aree da 0 a.3 e da 0 a.5, e successvamente sommarle. Oppure, per avere l area compresa fra.6 e 3.8 occorre cercare l area da 0 a 3.8, a cu po s sottrae l area da 0 a.6. Infne, per l calcolo dell area sotto una coda della normale standardzzata, ad esempo per l area da 3. n avant, basta rcordare che l area da 0 n avant vale 0.5 (metà dell area totale che vale ); dal valore 0.5 basta po sottrarre l area da 0 a 3.. ncora utlzzando la Tavola trovamo che l area compresa fra 0 e è 0.343; moltplcando per due ottenamo l area compresa fra e, che vale che, salvo mprecson dovute ad arrotondament, concde col valore dell area tra e + dato nel. 3. (s rcord che n una normale standardzzata = 0 e = ). nalogh calcol possono essere condott per rtrovare sa l valore dell area fra e + che l valore dell area fra 3 e + 3. Il calcolo delle aree è utle n quanto permette d realzzare calcol d probabltà. d esempo: che probabltà ho, camponando a caso n una popolazone dstrbuta come la normale standardzzata, d ottenere un valore compreso fra.5 e.3? Basta calcolare appunto l area sotto la normale standardzzata fra.5 e.3. S potrà obettare che l calcolo sa d utltà puramente accademca, vsto che è assa mprobable che una dstrbuzone d nteresse reale abba parametr 0 e come la normale standardzzata. Coè: come facco a calcolare la probabltà d camponare a caso da una popolazone normalmente dstrbuta con parametr e 0. 6 un valore compreso fra 0 e 0.9? Il problema è rsolto pratcamente nel Box.. La stratega è quella d rportars, attraverso una semplce standardzzazone de due estrem 0 e 0.9 ad una normale standardzzata, sotto cu samo n grado attraverso la Tavola d calcolare le aree. S facca attenzone ad un dettaglo forse scontato ma molto mportante: tutt calcol descrtt nel paragrafo e nel corrspondente Box. hanno sgnfcato solo nella msura n cu la dstrbuzone d rfermento è normale; questa potes soggace mplctamente a tutt ragonament che abbamo condotto; cò comporta che l calcolo ora descrtto, applcato ad una popolazone la cu dstrbuzone non sa normale, sarebbe napproprato (e dunque naffdable).

9 Box.. Standardzzazone de dat e classfcazone pentesmale Puntegg grezz d 0 prove oggettve: Calcolo della meda e della devazone standard de 0 puntegg grezz. n 0 Y Y 54. n 0 Y y Y Y n n y Standardzzazone de puntegg. Utlzzando la (.3) ottenamo: z Y, da cu rcavamo la standardzzazone d tutt puntegg con una z Y. semplce sosttuzone. d esempo, per l prmo valore: Classfcazone pentesmale Per l attrbuzone delle class pentesmal s rcorre alle convenzon del. 4.. rassunte n Fg..0. d esempo, per z.97 abbamo z. 5, dunque la classe competente è B; per z abbamo.5 z e z. 8 abbamo 0.5 z. 5 8 e dunque la classe pentesmale la classe d appartenenza è dunque MB; per 9 corrspondente è M. Y z Classfcazone pentesmale B -.88 B MB MB MB M M M M M M M M M M M M M Rf.:. 4..;. 4..

10 Box.. Calcolo della probabltà d ottenere una valore compreso fra due estrem a e b assegnat, camponando a caso n una popolazone normalmente dstrbuta con parametr e assegnat. Sa e Sano noltre a 0 e b Standardzzazone de valor a e b Utlzzando la.4 ottenamo: z a z b Calcolo delle aree sotto la normale standardzzata L area fra 3.33 e.83 s calcola sottraendo all area tra 0 e 3.33 l area tra 0 e.83; queste due ultme aree sono ugual (per la smmetra della dstrbuzone normale) a quelle fra 0 ed corrspondent valor d z postv. Dunque, utlzzando Tavola : da cu l calcolo dell area cercata: ab Dunque la probabltà d camponare casualmente un valore fra 0 e 0.9 da una popolazone normalmente dstrbuta con e 0. 6 è , par a 3.35%. Rf.:. 3..;