Qualità dell adattamento di una funzione y=f(x) ad un insieme di misure (y in funzione di x)

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1 Qualtà ell aattamento una funzone y=f() a un nseme msure (y n funzone ) Date N msure coppe valor elle granezze e y, legate alla relazone y=f(;a,b), nell potes che le ncertezze sulle sano trascurabl e y abbano funzone enstà probabltà Gaussana con varanza s y, possamo etermnare la mglor stma A,B mnmzzano la sommatora: N y f ( ; A, B) s y A B A=A* B=B* C omanamo ora: Quanto è buono l accoro tra la funzone etermnata e at? E vala l potes fatta? ( che y=f() sa la relazone sussstente tra e y, che le y abbano funzone enstà probabltà Gaussana con varanza s y ) Marta Calv Lezone 8, pag.

2 Possamo are una rsposta n termn probablstc. Per farlo obbamo guarare l valore che la varable assume opo la mnmzzazone coè l suo valore calcolato n corrsponenza e parametr che abbamo etermnato: A*,B*, e confrontarlo con l valore prevsto per l nel caso n cu l potes sa vala. C omanamo allora: qual è l valore atteso per nel caso n cu l aattamento sa buono? S tratta una varable casuale. Per rsponere evo conoscere qual è la funzone enstà probabltà P( ) che escrve la varable. Marta Calv Lezone 8, pag.

3 Funzone enstà probabltà per l La efnzone generale ella granezza è la seguente: Date varabl casual, npenent tra loro, cascuna con funzone enstà probabltà Gaussana, con mea m e varanza s casuale ( somma quaratca egl scart stanarzzat):. La nuova varable m s è etta ch quaro e è caratterzzata a una specfca funzone enstà probabltà che ha la seguente forma analtca: P ( ) ( ) e Il parametro prene l nome numero gra lbertà ella strbuzone, K è l coeffcente normalzzazone, che pene a. Marta Calv Lezone 8, pag. 3

4 Propretà ella funzone: P( ) = Valore meo: P( ) = = 3 = 5 = Varanza: s ( ) P( ) Sono tante curve, una per cascun valore. 5 5 Per grane ( 3) la funzone enstà probabltà el è ben approssmata a una funzone Gauss con: X=, s =. Marta Calv Lezone 8, pag. 4

5 Marta Calv Lezone 8, pag. 5 Il coeffcente K è efnto alla conzone normalzzazone: ) ( ) ( ) ( ) ( e e e aveno ntrootto la funzone Gamma: / ) ( P ) ( ) ( e z z La funzone Gamma è una generalzzazone e fattoral. Per n ntero:! ) ( n n

6 Test el come verfca potes La strbuzone el vene usata per valutare se at spermental sostengono una etermnata potes. Se le potes fatte sono vale, per varabl casual npenent, l valore osservato ( o ) ovrebbe essere vcno al valor meo atteso: o. Se nvece s trova o >> sgnfca che almeno una elle potes fatte non è vala. Per renere quanttatvo l test, s utlzza l ntegrale ella funzone enstà probabltà el e s etermnare la probabltà che sa > o. P( ) o P ( ) = Probabltà( o ) o L ntegrale P( ) n ntervall efnt è calcolable numercamente, s può ottenere anche consultano opportune tabelle. Marta Calv Lezone 8, pag. 6

7 Integral el rotto Le tabelle s rferscono a valor el ch quaro rotto efnto come: ~ con numero gra lbertà. Il valore meo atteso per l ch quaro rotto è: ~ Le funzon..p. el sono tante, una per cascun valore, ma usano ~ le tabelle possono essere scrtte n moo pù compatto. Dalla tabella s rcava l valore : ~ ~ P P( ) o ~ o Marta Calv Lezone 8, pag. 7

8 Test el per l aattamento una funzone y=f() a un nseme msure (,y) Date N msure coppe valor elle granezze e y, legate alla relazone y=a+b, nell potes che le ncertezze sulle sano trascurabl, y abbano funzone enstà probabltà Gaussana con varanza s y, possamo etermnare la mglor stma A,B mnmzzano la sommatora: N ( y A B ) s y A B A*,B* I termn (y A* B* ) rappresentano le stanze e punt msurat alla retta etermnata. Sono ett resu. C s aspetta che sano vcn a zero, crca una s y ya*b* Marta Calv Lezone 8, pag. 8

9 Calcolamo allora l valore el ch quaro n corrsponenza e parametr A* e B* trovat (ch quaro al mnmo): N ( y A* B* ) o ~ s o y e quello rotto: o c aspettamo che sa: ~ o Calcolamo la probabltà trovare un ~ valore maggore ~ : o P o ~ o P( ~ ) ~ Fssato arbtraramente un valore lmte e (es. e = 5%) se P o > e se P o < e P( ) accettamo l potes, l accoro è buono rgettamo l potes, l accoro non è buono. o Marta Calv Lezone 8, pag. 9

10 In questo caso l numero gra lbertà è: = N v, con N numero elle msure e v numero e parametr rspetto a qual l è stato mnmzzato. Se la funzone è una retta: y=a+b, allora v= e = N. Rgettare l potes sgnfca negare una o pù elle affermazon orgnal: - la funzone non è quella aatta a escrvere at - gl scart non sono tpo gaussano, - valor elle varanze non sono corrett (a esempo sono sottostmat). Marta Calv Lezone 8, pag.

11 Esempo Sono ate tre msure y n corrsponenza tre valor ella granezza. Le ncertezze sulle msure sono trascurabl, mentre le msure y sono caratterzzate a funzon enstà probabltà Gaussane con s y =,. ) Supponeno che la relazone tra e y sa tpo lneare, etermnare la mglor stma e parametr A e B che nvuano la retta y=a+b. ) Utlzzare l test el per verfcare la bontà ell aattamento ella funzone a at. k k y k k k y k f k =A+B k (y k -f k ) /s y 5, 4, 5,7, 3 7, 9,6 7,7, ,9 6 35,6 8,97, 3 k 9, 9 67,4,66 ) Con l metoo e mnm quarat etermno: A=,37,44 B=,9,4 ) Per la retta trovata calcolo =,66, =3-=, con Probabltà 4%, l accoro è buono. Marta Calv Lezone 8, pag.

12 Aattamento una retta a un nseme msure: stma a posteror elle ncertezze Se le ncertezze sulle msure ella granezza y sono tutte ugual, abbamo vsto che s possono calcolare parametr A e B anche senza conoscerle a pror. Infatt A e B non penono, n tal caso a s y. Tuttava è necessaro conoscere s y se volglamo calcolare s A, s B, s AB. Il problema s può rsolvere calcolano a posteror le ncertezze s y a partre alla spersone osservata e punt attorno la retta, coè a resu. Procemento: ) S assume vala l potes y= f() = A+B. ) S assume che gl error sano tpo gaussano e tutt ugual s y s y S calcola la mglor stma A e B, pur senza conoscere l valore s y 3) S calcola l corrsponente valore osservato: o. 4) S mpone o = N e s rsolve l equazone n funzone s y Marta Calv Lezone 8, pag.

13 Marta Calv Lezone 8, pag. 3 ( ) N y N y N B A y B A y * * * * s s ( ) * * N B A y N s y E mportante notare che: l test el e l calcolo a posteror elle ncertezze sono n alternatva. Se non s conoscono a pror le ncertezze sulle y NON s può effettuare l test el. Per calcolare le ncertezze a posteror s mpone = N qun l valore el non è pù una ncognta! ya*b*

14 Compatbltà un stogramma msure con una funzone Dat N valor ella granezze, abbamo vsto come costrure un stogramma che le rappresent. C omanamo ora quale funzone enstà probabltà rappresent la strbuzone lmte corrsponente a questo stogramma. Se s tratta msure rpetute ella stessa granezza, affette solo a error casual, tale funzone ovrebbe essere una Gaussana. Se s tratta contegg attes n un certo ntervallo tempo ovrebbe essere una funzone Posson, ecc.. In ogn caso, fatta un potes su quale sa la funzone che escrve l stogramma elle msure s pongono ue queston: ) Come etermnare la mglor stma e parametr a che nvuano la funzone aatta a escrvere l stogramma? ) Quanto buono è l accoro fra la funzone così etermnata e l stogramma? Marta Calv Lezone 8, pag. 4

15 Dat N valor assocat alla granezza : { }, N n cascuno e qual caano O k msure (frequenza assoluta): suvs n M ntervall M k O k N Sa f(;a) la funzone enstà probabltà attesa per la granezza, con a =A,B,C parametr. La probabltà trovare una msura nel k esmo ntervallo, estrem (a k,b k ), è: p k = Probablt à( b ) f ( ; a) Come veremo successvamente, quano s effettuano N prove, se p k è la probabltà ottenere un successo n una prova, la probabltà ottenere n success su N prove è ata a una strbuzone Bnomale, che, n questo caso( p k pccolo ma Np k grane) può essere approssmata con una Gaussana con valore meo E k = N p k e varanza s k= N p k. Allora: Il numero meo msure attese nell ntervallo k esmo è: E k = N p k L ncertezza su tale valore è: s k Np k a k k b a k k Marta Calv Lezone 8, pag. 5

16 Allora posso scrvere la somma quaratca elle M varabl casual stanarzzate: M M ( ) Ok Npk Ok Ek k Npk k Ek Possamo ora rsponere alle omane che c eravamo post: ) Come etermnare la mglor stma e parametr a che nvuano la funzone che escrve l stogramma? Dovrò mnmzzare l espressone el rspetto parametr ella funzone. Questa operazone s svolge abtualmente numercamente, con opportun programm al calcolatore. -)Quanto buono è l accoro fra una funzone etermnata e l stogramma? Devo calcolare l valore o che rsulta usano valor E k = N p k corrsponent alla funzone n questone, calcolare la probabltà: P o o P ( ) e confrontarla con un valore e fssato a pacere. Marta Calv Lezone 8, pag. 6

17 se P o > e se P o < e l accoro è buono (accetto l potes), l accoro non è buono (rgetto l potes). In questo caso l numero gra lbertà è: = M v, con M numero egl ntervall e v numero e parametr che sono stat (eventualmente) rcavat a at stess. Osservazone: Nel k esmo ntervallo, n cu caono O k msure, ne sono attese E k =Np k. nca la fluttuazone che c s aspetta sul numero msure n quell ntervallo. O k Marta Calv Lezone 8, pag. 7

18 = numero gra lbertà: numero elle varabl casual npenent sommate. Se sommo su N varabl casual che non sono npenent perché legate a v equazon (es. compaono v parametr ottenut rsolveno v equazon che legano tra loro tal N varabl) allora è uguale al numero varabl sommate mnuto el numero vncol: = N v. A esempo, nel caso el confronto tra N msure con un valore atteso, se l valore atteso non è un valore noto a pror, ma è ottenuto come mea elle stesse N msure, allora = N. Marta Calv Lezone 8, pag. 8