Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa lezione 17: 8 maggio 2012

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa lezone 17: 8 maggo 2012 professor Danele Rtell 1/20?

2 Costture n regme semplce al tasso = 0, 025 l captale con trenta versament n progressone artmetca, n modo che l trentesmo versamento sa l doppo del prmo. 2/20?

3 Costture n regme semplce al tasso = 0, 025 l captale con trenta versament n progressone artmetca, n modo che l trentesmo versamento sa l doppo del prmo. Bsogna mporre che l montante della rendta n progressone artmetca sa scrvendo la formula per n = 30 untamente alla condzone C 30 = 2C 2/20?

4 Costture n regme semplce al tasso = 0, 025 l captale con trenta versament n progressone artmetca, n modo che l trentesmo versamento sa l doppo del prmo. Bsogna mporre che l montante della rendta n progressone artmetca sa scrvendo la formula per n = 30 untamente alla condzone C 30 = 2C V 30 = C( ) + ρ( ) C 30 = C + 29ρ = 2C 2/20?

5 Sosttuendo l tasso = 0, 025 = 1 40 ottengo l sstema 327C ρ = C = 29ρ 3/20?

6 Sosttuendo l tasso = 0, 025 = 1 40 ottengo l sstema 327C ρ = C = 29ρ C = , 5263, ρ = /20?

7 Sosttuendo l tasso = 0, 025 = 1 40 ottengo l sstema 327C ρ = C = 29ρ C = NB la somma netta de versament è ( ) 19 50, 5263, ρ = = , 68 3/20?

8 Montante d una rendta n progressone artmetca Regme composto Sa ρ la ragone e C l prmo termne C k = C + (k 1)ρ. C C+! C+ k! C+ (n - 1)! O k n 4/20?

9 Montante d una rendta n progressone artmetca Regme composto Sa ρ la ragone e C l prmo termne C k = C + (k 1)ρ. C C+! C+ k! C+ (n - 1)! O k n Il montante è: V n = ( C + ρ ) s n n ρ (1) 4/20?

10 er provare (1) dobbamo fssare un pao d denttà. La prma rguarda le somme fnte e può essere dedotta utlzzando la formula: n k x n k = k=1 La (2) vale per ogn n N e per ogn x 1. n (n + 1)x + xn+1 (1 x) 2. (2) 5/20?

11 er provare (1) dobbamo fssare un pao d denttà. La prma rguarda le somme fnte e può essere dedotta utlzzando la formula: n k x n k = k=1 La (2) vale per ogn n N e per ogn x 1. La dmostrazone d (2) s basa su: n (n + 1)x + xn+1 (1 x) 2. (2) n k x n k = n 1 (n k)x k = n 1 n x k n 1 k x k, (3) k=1 k=0 k=0 k=0 5/20?

12 l prmo addendo d (3) s determna con la formula per la somma de prm termn d una progressone geometrca l secondo con la relazone dervata e allora abbamo n k x n k = n 1 xn 1 x x (n 1) xn n x n (1 x) 2, k=1 6/20?

13 La seconda denttà è: s n+1 = s n + (1 + ) n. (4) 7/20?

14 La seconda denttà è: s n+1 = s n + (1 + ) n. (4) Dmostrazone: Esplctamo s n nel secondo membro d (4): s n + (1 + ) n = (1 + )n 1 = (1 + )n (1 + ) 1 + (1 + ) n = (1 + )n 1 + (1 + ) n = (1 + )n+1 1 = s n+1. 7/20?

15 rocedamo con la dmostrazone d (1): V n = n [C + (k 1)ρ] (1 + ) n k. k=1 8/20?

16 rocedamo con la dmostrazone d (1): V n = n k=1 [C + (k 1)ρ] (1 + ) n k. Eseguendo calcol all nterno della sommatora rtrovamo s n : V n =C n (1 + ) n k + ρ n k (1 + ) n k ρ n (1 + ) n k k=1 n k=1 k=1 (5) =Cs n + ρ k (1 + ) n k ρs n. k=1 8/20?

17 Resta da esplctare trovamo: n ρ k (1 + ) n k = ρ k=1 n k (1 + ) n k. Sfruttando (2) con x = 1 +, k=1 [ ] (1 + ) n+1 n 1 = ρ [ sn+1 n 1 ]. 9/20?

18 Resta da esplctare trovamo: n ρ k (1 + ) n k = ρ k=1 Da (4) s trova ρ n k (1 + ) n k. Sfruttando (2) con x = 1 +, k=1 [ ] (1 + ) n+1 n 1 n k (1 + ) n k = ρ k=1 = ρ [ sn+1 n 1 ]. [ sn + (1 + ) n n 1 ]. 9/20?

19 Sosttuamo n (5): V n = Cs n + ρ [ sn + (1 + ) n n 1 ] ρs n ( = C + ρ ) s n n ρ [ (1 + ) n ] + ρ 1 s n ( = C + ρ ) s n n ρ. 10/20?

20 S vuole costture, n regme composto e al tasso, l captale K, medante vent versament, n progressone artmetca, n modo che l ventesmo versamento sa l doppo del prmo. 11/20?

21 S vuole costture, n regme composto e al tasso, l captale K, medante vent versament, n progressone artmetca, n modo che l ventesmo versamento sa l doppo del prmo. Bsogna mporre che l montante della rendta n progressone artmetca sa K e la condzone sulla progressone C 20 = 2C; K e s ntendono fssat: (1) dvene: ( C + ρ ) s ρ = K. 11/20?

22 S vuole costture, n regme composto e al tasso, l captale K, medante vent versament, n progressone artmetca, n modo che l ventesmo versamento sa l doppo del prmo. Bsogna mporre che l montante della rendta n progressone artmetca sa K e la condzone sulla progressone C 20 = 2C; K e s ntendono fssat: (1) dvene: ( C + ρ ) s ρ = K. Imponendo C 20 = 2C ottenamo: ( C + ρ ) s ρ = K, C + 19ρ = 2C, 11/20?

23 da cu s trova: C = 19 K s s 20 20, ρ = K s s /20?

24 Valore attuale d una rendta n progressone artmetca Regme composto Sa ρ la ragone e C l prmo termne C k = C + (k 1)ρ. C C+! C+ k! C+ (n - 1)! O k n V 0 = ( C + nρ + ρ ) a n n ρ (6) La s ottene rcordando che V 0 = (1 + ) n V n 13/20?

25 Rendta perpetua n progressone artmetca Valore attuale [C + (n 1)ρ] (1 + ) n = C + ρ 2 n=1 14/20?

26 Rendta perpetua n progressone artmetca Valore attuale Serve la formula n=1 [C + (n 1)ρ] (1 + ) n = C + ρ 2 nx n = n=1 x (1 x) 2, x < 1 14/20?

27 Rmborso n progressone artmetca Regme composto S rmborsa la somma A con n rate costtuent una progressone artmetca d prmo termne α 1 e ragone ρ. Il rmborso del debto vene determnato uguaglando l valore attuale della rendta annua mmedata d n termn α k = α 1 + (k 1) ρ, 1 k n alla somma prestata 15/20?

28 rcordando la formula (6) ottenamo: ( α 1 + nρ + ρ ) a n n ρ = A (7) 16/20?

29 rcordando la formula (6) ottenamo: ( α 1 + nρ + ρ ) a n n ρ = A (7) una equazone n due ncognte ha nfnte soluzon. Se s fssa α 1, rcavando ρ s trova: ρ = A α 1 a n (1 + n) a n n (7 a ) 16/20?

30 rcordando la formula (6) ottenamo: ( α 1 + nρ + ρ ) a n n ρ = A (7) una equazone n due ncognte ha nfnte soluzon. Se s fssa α 1, rcavando ρ s trova: ρ = se s fssa ρ l prmo termne è: A α 1 a n (1 + n) a n n α 1 = A α n ρ (1 + n) a n n a n (7 a ) 16/20?

31 α 1 e ρ non possono essere fssat n modo completamente arbtraro. er prma cosa α 1 non può superare la quanttà A (1 + ) altrment la prma rata supererebbe l montante del debto, noltre occorre tutte le rate sano postve, qund s dovrà mporre anche che la quanttà α 1 + (n 1)ρ, che rappresenta l ultma rata, sa postva. 17/20?

32 Se s scegle d prendere l prmo termne α 1 concdente con la rata d ammortamento francese, α = A α n da (7 a ) s trova che deve essere ρ = 0 n sostanza s rtrova l ammortamento a rate costant. Inoltre, da (7 a ) s vede che: { α1 < Aα n = ρ > 0, α 1 > Aα n = ρ < 0. 18/20?

33 Debto resduo In generale s ha per 1 m < n δ m = n m s=1 α m+s (1 + ) s 19/20?

34 Debto resduo In generale s ha per 1 m < n δ m = n m s=1 α m+s (1 + ) s Nel caso n esame α s = α 1 + (s 1)ρ qund δ m = n m s=1 [α 1 + (m + s 1)ρ] (1 + ) s 19/20?

35 Debto resduo In generale s ha per 1 m < n δ m = n m s=1 α m+s (1 + ) s Nel caso n esame α s = α 1 + (s 1)ρ qund conclusone δ m = n m s=1 [α 1 + (m + s 1)ρ] (1 + ) s δ m = ρ + α m+1 [ρ + (ρ + α n )] (1 + ) m n 2 19/20?

36 Eserczo Rmborsare c n progressone artmetca d ragone 1 con 100 rate al tasso = 0, 003 e calcolare la quota nteress dell ultma rata 20/20?

37 Eserczo Rmborsare c n progressone artmetca d ragone 1 con 100 rate al tasso = 0, 003 e calcolare la quota nteress dell ultma rata Fssata la ragone l prmo termne della progressone è dato dalla formula α 1 = A α n ρ (1 + n) a n n a n = 68, /20?

38 Eserczo Rmborsare c n progressone artmetca d ragone 1 con 100 rate al tasso = 0, 003 e calcolare la quota nteress dell ultma rata Fssata la ragone l prmo termne della progressone è dato dalla formula α 1 = A α n ρ (1 + n) a n n a n = 68, er trovare l ultma quota nteress serve l debto resduo dopo 99 rate δ m = ρ + α m+1 [ρ + (ρ + α n )] (1 + ) m n 2 = 167, /20?

39 Eserczo Rmborsare c n progressone artmetca d ragone 1 con 100 rate al tasso = 0, 003 e calcolare la quota nteress dell ultma rata Fssata la ragone l prmo termne della progressone è dato dalla formula α 1 = A α n ρ (1 + n) a n n a n = 68, er trovare l ultma quota nteress serve l debto resduo dopo 99 rate δ m = ρ + α m+1 [ρ + (ρ + α n )] (1 + ) m n 2 = 167, h 100 = δ 99 = 0, , = 0, /20?

40 Eserczo Rmborsare c n progressone artmetca d ragone 1 con 100 rate al tasso = 0, 003 e calcolare la quota nteress dell ultma rata Fssata la ragone l prmo termne della progressone è dato dalla formula α 1 = A α n ρ (1 + n) a n n a n = 68, er trovare l ultma quota nteress serve l debto resduo dopo 99 rate δ m = ρ + α m+1 [ρ + (ρ + α n )] (1 + ) m n 2 = 167, h 100 = δ 99 = 0, , = 0, NB α 100 = 167, /20?