Analisi Matenatica Lezione 1 23 settembre 2013

Transcript

1 Dpartmento d Scenze Statstche Anals Matenatca Lezone 1 23 settembre 2013 prof. Danele Rtell danele.rtell@unbo.t 1/24?

2 Codce docente Codce corso Anals Matematca roflo scentfco del docente 2/24?

3 rogramma 1. Inseme R de numer real. Sottonsem notevol d R: numer natural, nter e razonal. Assoma d completezza. ropretà archmedea. 2. Successon e sere d numer real. Lmt d successon. Successon monotone e numero e. Regole d Cesaro Stolz. Sere geometrca. Sere a termn postv e crter d convergenza. Sere a termn altern. Cenno alle frazon contnue ed a prodott nfnt. 3/24?

4 3. Funzon real d una varable reale. Lmt. Funzon elementar. Infntesm e nfnt e loro confronto. 4. Funzon contnue. Teorema d Bolzano su valor ntermed, teorema degl zer, teorema d Weerstrass. 5. Il concetto d dervata. Teorem fondamental sulle funzon dervabl n un ntervallo: Rolle, Lagrange, Cauchy e De l Hoptal. Studo d funzone. Estrem relatv ed assolut, Concavtà e convesstà, Fless, Asntot. olnom d Taylor. 4/24?

5 6. Integrale d Remann. I teorem fondamental del calcolo. Metod d ntegrazone. Integral generalzzat. 7. Successon e sere d funzon. Convergenza semplce e unforme. Teorem d passaggo al lmte sotto l segno d ntegrale. Sere d potenze. Sere d Taylor 5/24?

6 Rcevmento Il rcevmento va prenotato per e-mal S terrà prevalentemente l mercoledì salvo accord dvers sempre possbl non s tratta d un metodo d dssuasone ma dell ottmzzazone del tempo d tutt 6/24?

7 Lbr d testo Francesca G. Alesso, ero Montecchar. Note d Anals Matematca uno. Esculapo Marco Bramant. Eserctazon d Anals Matematca 1. Esculapo Davd Brannan. A Frst Course n Mathematcal Analyss. Cambrdge Unversty ress Kennet A. Ross. Elementary Analyss: the theory of calculus. Second edton. Sprnger 7/24?

8 Durante l corso verrà reso dsponble materale ddattco va nternet 8/24?

9 Modaltà d esame La verfca dell apprendmento avvene attraverso una prova scrtta d 2 ore, durante la quale è ammesso l uso d lbr, appunt, calcolatrc, support elettronc, e una successva prova orale. È prevsta la suddvsone n due prove scrtte parzal del prmo appello d esame. rmo parzale 5 novembre 2013 Secondo parzale dcembre 2013 rmo appello gennao 2014 Secondo appello febbrao 2014 da confermare da defnre dopo Statstca da defnre 9/24?

10 La prova scrtta mra ad accertare le abltà acquste nel rsolvere problem nell ambto delle tematche affrontate. Essa vene valutata attraverso un gudzo che deve rsultare postvo per consentre l accesso alla prova orale. La valdtà della prova scrtta superata è lmtata agl appell d una stessa sessone d esame. 10/24?

11 La prova scrtta è costtuta da 10 test a rsposta multpla (per complessv 10 punt) e da tre esercz (per complessv 20 punt) da svolgere, motvando e commentando adeguatamente passagg. La prova orale mra a verfcare l acquszone delle dmostrazon presentate nel corso. Il voto fnale, espresso n trentesm, tene conto delle valutazon rportate n entrambe le prove. 11/24?

12 Attenzone lezon 8 e 10 ottobre spostate n Aula Magna d pazza Scaravll eserctazone 10 ottobre aula V d va Ranzan martedì 22 ottobre 9-11 eserctazon govedì 24 ottobre lezone 12/24?

13 Insem relazon funzon La nozone d nseme è per no ntutva, le attrbuamo l sgnfcato d collezone d oggett, che per nostr nteress saranno la maggor parte delle volte de numer. A1 Assoma d esstenza Esste ameno un nseme 13/24?

14 A2 Assoma d estensonaltà fra nsem Due nsem A e B sono ugual, A = B, se ogn oggetto che appartene ad A appartene anche a B e vceversa ogn oggetto che appartene a B appartene anche ad A A3 Assoma d specfcazone er ogn nseme A e per ogn condzone, esste l nseme B costtuto da tutt e sol gl oggett d A che soddsfano la condzone. L assoma A2 ne asscura l unctà 14/24?

15 Se A è un nseme e a è un elemento d A scrvamo a A e leggamo la formula dcendo a appartene ad A. 15/24?

16 Se A è un nseme e a è un elemento d A scrvamo a A e leggamo la formula dcendo a appartene ad A. Se a non è elemento d A scrvamo a / A e leggamo a non appartene ad A. 15/24?

17 Gl nsem s descrvono elencando loro element all nterno d parentes graffe: l nseme de prm quattro numer natural dspar è A = {1, 3, 5, 7}. 16/24?

18 Gl nsem s descrvono elencando loro element all nterno d parentes graffe: l nseme de prm quattro numer natural dspar è A = {1, 3, 5, 7}. anche quando lavoramo con nsem nfnt, ad esempo l nseme de numer natural N = {1, 2, 3,...} o l nseme de numer dspar D = {1, 3, 5, 7,...} possamo rappresentare gl element d un nseme per elencazone 16/24?

19 Altro modo d defnre un nseme è usando una propretà posseduta da tutt suo element. L nseme D de dspar può essere ntrodotto anche come D = {n N : n 1 è dvsble per 2} = {2n 1 : n N}. due punt s leggono tale che 17/24?

20 Un nseme costtuto da una solo elemento, detto sngoletto, è cosa dversa dall elemento stesso, qund avremo che a {a}. 18/24?

21 Sottonsem B è sottonseme d A se x B = x A. In tal caso scrveremo B A oppure A B 19/24?

22 Sottonsem B è sottonseme d A se x B = x A. In tal caso scrveremo B A oppure A B Con questa defnzone abbamo che A A. Se nteressa rappresentare la stuazone n cu B A e B A scrveremo semplcemente B A e dremo che B è un sottonseme propro d A. 19/24?

23 Sottonsem B è sottonseme d A se x B = x A. In tal caso scrveremo B A oppure A B Con questa defnzone abbamo che A A. Se nteressa rappresentare la stuazone n cu B A e B A scrveremo semplcemente B A e dremo che B è un sottonseme propro d A. L nseme d tutt sottonsem d un dato nseme A s chama nseme delle part d A (o anche nseme potenza d A) e lo s denota con l smbolo (A). S osserv che l nseme ( ) è non vuoto n quanto possede l elemento ed ha due sottonsem dstnt, e { }. 19/24?

24 Unone Dat due nsem A e B entramb sottonsem d un stesso nseme M la loro unone A B è: A B = {m M : m A o m B} 20/24?

25 Unone Dat due nsem A e B entramb sottonsem d un stesso nseme M la loro unone A B è: A B = {m M : m A o m B} Qu la congunzone o va ntesa nclusvamente, vale a dre che s ntende m A oppure m B o entrambe. 20/24?

26 Intersezone S ha po che l ntersezone de due nsem A e B è defnta da A B = {m M : m A e m B} 21/24?

27 Intersezone S ha po che l ntersezone de due nsem A e B è defnta da A B = {m M : m A e m B} Quando l ntersezone d due nsem è l nseme vuoto, dremo che due nsem sono dett dsgunt 21/24?

28 Complementare Se A è un sottonseme d M l complementare d A n M è l nseme A c = M \ A = {m M : m / A} 22/24?

29 Complementare Se A è un sottonseme d M l complementare d A n M è l nseme A c = M \ A = {m M : m / A} Dalla defnzone d complementare abbamo le due propretà A A c = M, A A c = 22/24?

30 rodotto cartesano Il prodotto cartesano d due nsem A e B s ndca con l smbolo A B ed è defnto da A B = {(a, b) : a A, b B} È l nseme d tutte le coppe ordnate (a, b) n cu a A e b B. 23/24?

31 rodotto cartesano Il prodotto cartesano d due nsem A e B s ndca con l smbolo A B ed è defnto da A B = {(a, b) : a A, b B} È l nseme d tutte le coppe ordnate (a, b) n cu a A e b B. Dat due nsem A e B una relazone da A a B è un sottonseme R d A B. Scrveremo arb quando (a, b) R. Nel caso partcolare, ma d grande nteresse, n cu A = B, la relazone R è detta bnara. 23/24?

32 Equvalenze. Supponamo A = B = X. Una relazone bnara su X s dce relazone d equvalenza su X se soddfa le tre seguent propretà: a) per ogn x X, x x b) se x y allora y x c) se x y e y z allora x z 24/24?