Esercitazioni di Analisi Matematica Prof. A. Bonfiglioli

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1 Eserctazon d Anals Matematca Prof. A. Bonfglol Numer compless Eserczo. Per cascuno de seguent numer compless z, nel pano complesso C, dsegnare z e l suo conugato z; portare z n forma algebrca, se è scrtto n forma d punto d R (ad esempo (, ) dventa ); portare z n forma d punto d R, se è scrtto n forma algebrca (ad esempo 7+ dventa (7, )); trovare l modulo d z e nterpretarlo geometrcamente (sulla gura). Numer comples da consderare (e è l numero d Nepero): ; + ; ; + ; ; π; ; ; 0; e; e; /; /7 e; + e; e; + e; 4 ; + 4 ; 4 ; + 4 ; e + e ; 4 4 ; (, ); (, ); (, 0); (0, 4); (0, 0); (, ); (, ); (e, 0); (0, π); (π, e); (/n, /n) con n =,,, 4, ; (n, n) con n =,,, 4, ; (0, n) con n =,,, 4, ; (, n) con n =,,, 4,. Eserczo. Per cascuna delle seguent coppe d numer compless z e z, trovare n forma algebrca, l prodotto z z e l quozente z z. Rcordare la formula a + b = a b a + b a, b R, (a, b) (0, 0).

2 Coppe d numer da consderare: z =, z = ; z = +, z = ; z =, z = + 4; z = 4, z = ; z = +, z = ; z =, z = ; z = +, z = 4; z = 4, z = + ; z = + 4, z = ; z = + 4, z = + ; z =, z = + ; z = +, z = +. Eserczo. S = {z C : z = }? Qual de seguent numer compless appartengono alla crconferenza trgonometrca ; ; ; 0; + ; + 4; ; + ; ; + ; +. Stessa domanda, consderando compless conugat de numer suddett. Per rsolvere seguent problem è utle tenere a mente che la funzone arctg è dspar: arctg ( x) = arctg x, per ogn x nel domno d arctg, e rcordarne seguent valor notevol: arctg (0) = 0, arctg () = π 4, arctg ( ) = arctg ( ) = π 6, arctg ( ) = π. Eserczo 4. Trovare l'argomento prncpale Arg(z) de seguent numer compless z (s rcord che Arg(z) π/, π/) possblmente senza fare calcol, ma solo da consderazon geometrche (a partre dalla rappresentazone geometrca sul pano complesso e da semplc consderazon d trgonometra):. z = 8. z =. z = + π/ π π/4

3 4. z = +. z = z = + 7. z = 8. z = 9. z = z =. z = 00π. z =. z = 4. z = +. z = + 6. z = + 7. z = z = + 9. z = + 0. z =. z = +. z =. z = 4. z =. z = 6. z = z = 8. z = 9. z = π/4 0 π/6 4π/ π π/4 π/ π/ 0 π/4 π/4 π/6 0 π/4 π/ π/4 π/ π/4 π/ 7π/6 π π/4 π/4 π/4 π/ π/6

4 0. z = + π/ Attenzone! log(/) è un numero reale e negatvo...:. z = log(/). z = log(/). z = log(/) 4. z = log(/) π 0 π/ π/ Eserczo. Trovare l'argomento prncpale Arg(z) de seguent numer compless z (s rcord che Arg(z) π/, π/); anche n questo eserczo basta fare semplc consderazon geometrche.... z = π/4. z = +. z = 4. z =. z = + 6. z = z = + 8. z = z = π π 0. z = e e. z = z = z = e e 4. z = π/6 4π/ π/ π/6 π/4 π/ π/4 7π/6 π/4 π/4 π/4 π/6 π/ Eserczo 6. Trovare l'argomento prncpale Arg(z) de seguent numer compless z (s rcord che Arg(z) π/, π/); n questo eserczo occorre applcare la formula spegata a Lezone... ( 6. z = + 6 arctg ). z = + 6. z = e ( 6 arctg + π ) ( e arctg + π ) 4

5 4. z = 6. z = z = z = z = z = z = z = 4 7. z = 4 7 ( 6 ) arctg arctg () arctg () + π arctg () + π arctg () ( arctg ) ( arctg + π ) ( arctg + π ) ( arctg ) Attenzone! log(/) è un numero reale e negatvo...:. z = + log(/) arctg (log(/)) 4. z = log(/) arctg (log(/)). z = + log(/) arctg (log(/)) + π 6. z = log(/) arctg (log(/)) + π 7. z = log(/) + 8. z = log(/) 9. z = log(/) + 0. z = log(/) ( arctg ( arctg log(/) log(/) ( arctg ( arctg ) + π ) + π log(/) log(/) Eserczo 7. Scrvere n forma trgonometrca o esponenzale (è precsato n cascun caso) seguent numer compless:. z = (forma trg.) (cos (π/) + sn (π/)). z = (forma esp.) ) ) e π. z = 00 (forma esp.) 4. z = +. z = (forma trg.) (forma esp.) 00 e π/ cos (π/6) + sn (π/6) 00 e π/4

6 6. z = (forma trg.) (cos (π/) + sn (π/)) 7. z = π (forma esp.) 8. z = (forma trg.) 9. z = (forma esp.) 0. z = +. z = π π (forma trg.) (forma esp.). z = (forma trg.). z = (forma esp.) π e π/ 00 (cos (π/) + sn (π/)) 7 e π/4 cos (π/6) + sn (π/6) 7π/6 e π 0000 (cos (π/4) + sn (π/4)) 4 e 4π/ Eserczo 8. Scrvere n forma esponenzale seguent numer compless:. z = + 4. z = 4. z = z = 4. z = + 6. z = 7. z = + 8. z = 9. z = + 0. z =. z = +. z =. z = + 4. z =. z = + arctg e (4/) arctg e (4/) π arctg e (4/) π+ arctg e (4/) 9 e arctg (/) 9 e arctg (/) 9 e π arctg (/) 9 e π+ arctg (/) arctg e (/) arctg e (/) π arctg e (/) π+ arctg e (/) e arctg () e arctg () eπ arctg () 6

7 6. z = 7. z = + 8. z = 9. z = + 0. z = eπ+ arctg () arctg (4/) e arctg (4/) e arctg (4/) eπ arctg (4/) eπ+ Eserczo 9. Trovare le radc quadrate complesse de seguent numer (è rchesta almeno la forma esponenzale; per alcun cas è possble anche dare la rappresentazone algebrca n termn molto esplct, senza bsogno d rcorrere alle funzon sn/cos):. z =. z = 4. z = 4. z = 6. z = + 6. z = z = + 4 z 0 =, z = z 0 = e π/4 = +, z = z 0 = z 0 = e π/4 = / /, z = z 0 = / + / z 0 = 6, z = 6 z 0 = 6 6 e π/6 = +, z = z 0 = z 0 = e z 0 = 0 4 e π/ = 4 ( + ), z = z 0 arctg (4/), z = z 0 = arctg (4/) e + π 8. z = + 9. z = z = 7. z = 7. z = + z 0 = 4 4 e z 0 = 4 68 e z 0 = 4 e arctg (/), z = z 0 = 4 arctg (/) 4 e π arctg (4), z = z 0 = 4 π arctg (4) 68 e π + arctg (7/), z = z 0 = 4 π + arctg (7/) e z 0 = 4 0 e z 0 = 4 e arctg (7), z = z 0 = 4 arctg (7) 0 e arctg (/), z = z 0 = 4 arctg (/) e + π + π + π + π + π 7

8 . z = + 4. z =. z = z 0 = 4 e z 0 = 4 e z 0 = 4 e π arctg (/), z = z 0 = 4 π arctg (/) e π + arctg (/), z = z 0 = 4 π + arctg (/) e arctg (/), z = z 0 = 4 arctg (/) e + π + π + π Eserczo 0. alcune sono a coecent real): Trovare le soluzon complesse delle seguent equazon d secondo grado (d cu. z + = 0 z, = ±. z = 0 z, = ±. z + 4 = 0 z, = ± 4. z 4 = 0 z, = ±. z + = 0 z, = ± 6. z = 0 7. z + = 0 8. z = 0 9. z 4 = 0 0. z + + = 0 z, = ±e π/4 = ± z, = ±e π/4 = ± z, = ± ( ( + ) ) ( ) z, = ± e π/4 = ± + z, = ± 4 0 e π + arctg (/). z + z + = 0 z, = ± 4 7 e arctg (4). z + z + = 0. z + z + = 0 z, = ± z, = ± 4 4 e π + arctg () 4. z + z + + = 0 z, = ± e π + arctg (4/). z + ( + ) z + + = 0 z, = + ± 4 64 e π + arctg (/) 8

9 6. 4 z + 4 ( + ) z + = 0 7. z z = 0 z, = + z, = ± ± 4 e e arctg (/) π + arctg (4/) Eserczo. Trovare le radc n-esme complesse (con n speccato d volta n volta) de seguent numer compless ω:. n = ; ω = + z k = 6 arctg (/) + kπ e con k = 0,,. n = 4; ω = 4 +. n = 4; ω = z k = 4 π arctg (/4) + kπ e 4 con k = 0,,, z k = e kπ 4 con k = 0,,, 4. n = 4; ω = s not che qu z 0 =, z =, z =, z = π/ + kπ z k = e 4 con k = 0,,,. n = 4; ω = dsegnare queste radc nel pano complesso π/ + kπ z k = e 4 con k = 0,,, 6. n = 4; ω = dsegnare queste radc nel pano complesso z k = e π + kπ 4 con k = 0,,, 7. n = 6; ω = dsegnare queste radc nel pano complesso z k = e kπ 6 con k = 0,,..., 8. n = 4; ω = n = ; ω = 4 0. n = ; ω =. n = 6; ω = + per qual valor d k qu vengono le due radc real e? z k = 8 π arctg (/) + kπ 0e 4 con k = 0,,, z k = 0 arctg (/) + kπ 0e con k = 0,,,, 4 z k = arctg (/) + kπ e con k = 0,,,, 4 z k = π/4 + kπ e 6 con k = 0,,..., 9

10 . n = 7; ω = +. n = 8; ω = 4. n = 9; ω = +. n = 0; ω = n = 6; ω = 64( 4) 7. n = ; ω = n = 6; ω = n = 4; ω = 8 8 z k = 4 π/4 + kπ e 7 con k = 0,,..., 6 z k = 6 π/4 + kπ e 8 con k = 0,,..., 7 π/ + kπ z k = e 9 con k = 0,,..., 8 z k = π/6 + kπ 0e 0 con k = 0,,..., 9 z k = 6 arctg (4/) + kπ e 6 con k = 0,,..., π/ + kπ z k = e con k = 0,, z k = π/ + kπ e 6 con k = 0,,..., 4π/ + kπ z k = e 4 con k = 0,,, 0. n = ; ω = +. n = ; ω = n = ; ω = esprmere queste radc anche n forma algebrca π/ + kπ z k = e con k = 0,,..., 4 π/ + kπ z k = e con k = 0,,..., 4 z k = π/ + kπ 7e con k = 0,,..., 4 0