Dipartimento di Scienze Statistiche Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 15: 12 marzo 2014

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1 Dpartmento d Scenze Statstche Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 15: 12 marzo 2014 professor Danele Rtell 1/15?

2 Calendaro prossme lezon 13 marzo aula C 17 marzo aula C 18 marzo aula C 20 marzo aula C 24 marzo aula C 25 marzo aula C 26 marzo aula C 27 marzo aula C 2/15?

3 Debto resduo nell ammortamento artmetco δ m = α m+1 + ρ 2 (1 + ) (n m) (α n + (1 + )ρ) 2 3/15?

4 Rmborso a due stad La somma 2A vene rmborsata, al tasso con 2n rate, calcolate secondo le modaltà seguent: dalla scadenza 1 alla scadenza n le rate sono: α = ( α 2n + ) A dalla scadenza n + 1 alla scadenza 2n le rate sono: β = ( ) α 2n + α n A 4/15?

5 S può verfcare che le rate α, β rmborsano 2A 2A = αa n + βa n (1 + ) n coé: 2 = a n ( α2n + ) + a n (1 + ) n ( α 2n + α n ) 5/15?

6 S può verfcare che le rate α, β rmborsano 2A 2A = αa n + βa n (1 + ) n coé: ( 2 = a n α2n + ) + a n (1 + ) n ( ) α 2n + α n Se m n s ha che l debto resduo è: δ m = A ( ) 1 + α 2n a 2n m Se n < m 2n s ha: δ m = A ( ) α n a n m + α 2n a 2n m 5/15?

7 Eserczo La somma A = vene rmborsata n 120 mes al tasso = 0, Che versamento ntegratvo F va fatto all epoca 60 n modo da dmezzare la rata pagata per l tempo rmanente all estnzone del debto? 2. Se s desderasse, dopo aver versato F n 60, contnuare a versare la rata nzale, n che epoca n s estnguerebbe l debto? 3. In rfermento al punto precedente quale è l pagamento d accomodamento? 6/15?

8 Soluzone δ 60 = α 120 1, /12 1a 60 1, /12 1 = , /15?

9 Soluzone δ 60 = α 120 1, /12 1a 60 1, /12 1 = , Il versamento ntegratvo è δ 60 /2 = , /15?

10 Soluzone δ 60 = α 120 1, /12 1a 60 1, /12 1 = , Il versamento ntegratvo è δ 60 /2 = , S applca ( ln 1 A α n = ln (1 + ) con = 1, /12 1 = 0, 00327, A = δ 60 /2 = , , α = α 120 1, /12 1 = 504, da cu s trova n = 28, 5332 ) 7/15?

11 er concludere dopo 28 pagament l debto resduo è δ 88 = , (1 + 0, 00327) , 42171s 28 0,00327 = 268, /15?

12 er concludere dopo 28 pagament l debto resduo è δ 88 = , (1 + 0, 00327) , 42171s 28 0,00327 = 268, 3065 qund l pagamento fnale è 268, 3065(1 + 0, 00327) = 269, /15?

13 er concludere dopo 28 pagament l debto resduo è δ 88 = , (1 + 0, 00327) , 42171s 28 0,00327 = 268, 3065 qund l pagamento fnale è 268, 3065(1 + 0, 00327) = 269, S verfca che 504, 42171a 88 0, , (1 + 0, 00327) , 18386(1 + 0, 00327) 89 = /15?

14 Eserczo Una rendta perpetua, con scadenze annue ha l prmo termne (epoca 1) d 99 e termn successv sono aumentat d 1 ogn anno: c 1 = 99, c 2 = 100, c 3 = 101,... Quale è l suo valore attuale A al tasso = 0, 1? 9/15?

15 Eserczo Una rendta perpetua, con scadenze annue ha l prmo termne (epoca 1) d 99 e termn successv sono aumentat d 1 ogn anno: c 1 = 99, c 2 = 100, c 3 = 101,... Quale è l suo valore attuale A al tasso = 0, 1? Il valore attuale al tasso d una rendta perpetua con termn n progressone artmetca d prmo termne C e ragone ρ è V 0 ( ) = [C + (n 1)ρ] (1 + ) n = C + ρ 2 n=1 9/15?

16 Eserczo Una rendta perpetua, con scadenze annue ha l prmo termne (epoca 1) d 99 e termn successv sono aumentat d 1 ogn anno: c 1 = 99, c 2 = 100, c 3 = 101,... Quale è l suo valore attuale A al tasso = 0, 1? Il valore attuale al tasso d una rendta perpetua con termn n progressone artmetca d prmo termne C e ragone ρ è V 0 ( ) = [C + (n 1)ρ] (1 + ) n = C + ρ 2 n=1 essendo = 1 10, ρ = 1 e C = 99 abbamo v 0 ( ) = = /15?

17 Eserczo Un prestto d deve essere ammortzzato medante rate semestral costant. Sapendo che la quarta e la settma quota captale sono rspettvamente d 2 183, 80 e d 2 317, 46, determnare: 1. l tasso annuo 2. la durata del prestto 3. la rata semestrale costante 4. la rata mensle costante equvalente 10/15?

18 Soluzone Sappamo che n un ammortamento a rate costant le quote captale varano n progressone geometrca, seguendo la relazone: C k = C 1 (1 + x) k 1, k = 1,..., n, n cu x denota l generco tasso untaro d nteresse. 11/15?

19 Soluzone Sappamo che n un ammortamento a rate costant le quote captale varano n progressone geometrca, seguendo la relazone: C k = C 1 (1 + x) k 1, k = 1,..., n, n cu x denota l generco tasso untaro d nteresse. Nel nostro caso, ndcando con 2 l tasso semestrale, abbamo: C 7 C 4 = (1 + 2 ) 3 = 2 317, , 80 = 1, /15?

20 Soluzone Sappamo che n un ammortamento a rate costant le quote captale varano n progressone geometrca, seguendo la relazone: C k = C 1 (1 + x) k 1, k = 1,..., n, n cu x denota l generco tasso untaro d nteresse. Nel nostro caso, ndcando con 2 l tasso semestrale, abbamo: C 7 C 4 = (1 + 2 ) 3 = 2 317, , 80 = 1, da cu: 2 = 3 1, = 0, 02 = = (1 + 2 ) 2 1 = (1, 02) 2 1 = 0, 0404 = 4, 04% 11/15?

21 er determnare la durata del prestto, nzamo determnando la prma quota captale. Sappamo che: C 4 = C 1 (1 + 2 ) 3 = 2 183, 80 = 1, C 1 da cu C 1 = 2 057, /15?

22 er determnare la durata del prestto, nzamo determnando la prma quota captale. Sappamo che: C 4 = C 1 (1 + 2 ) 3 = 2 183, 80 = 1, C 1 da cu C 1 = 2 057, 84. Se n denota l numero delle rate a rmborso e A la somma prestata, sappamo che: A = n k=1 C k = C 1 n k=1 (1 + 2 ) k 1 = C 1 (1 + 2 ) n /15?

23 er determnare la durata del prestto, nzamo determnando la prma quota captale. Sappamo che: C 4 = C 1 (1 + 2 ) 3 = 2 183, 80 = 1, C 1 da cu C 1 = 2 057, 84. Se n denota l numero delle rate a rmborso e A la somma prestata, sappamo che: A = n C k = C 1 k=1 n k=1 Ma, allora, possamo scrvere: (1 + 2 ) k 1 = C 1 (1 + 2 ) n C 1 A + 1 = (1 + 2 ) n. (*) 12/15?

24 Sosttuendo rspettv valor numerc n (*), ottenamo l equazone esponenzale: 0, = (1, 02)n 2 057, 84 13/15?

25 Sosttuendo rspettv valor numerc n (*), ottenamo l equazone esponenzale: vale a dre: assando a logartm: 0, = (1, 02)n 2 057, 84 1, = (1, 02) n. ln (1, 48595) = n ln (1, 02) = n = ln (1, 48595) ln (1, 02) = 20, 0001 = 20. Il prestto è così rmborsato n vent semestr, coè dec ann. 13/15?

26 A questo punto possamo calcolare la rata semestrale α 20 costante: α 20 = A α = A = , = 3 057, (1 + 2 ) 20 14/15?

27 A questo punto possamo calcolare la rata semestrale α 20 costante: α 20 = A α = A = , = 3 057, (1 + 2 ) 20 er determnare la rata annua α 10 equvalente, s usa l tasso annuo equvalente = 0, 0404 : α 10 = Aα 10 = A = , = 6 176, 83 1 (1 + ) 10 14/15?

28 er la rata mensle equvalente occorre 12. S ha: ( ) 6 = = 12 = 0, /15?

29 er la rata mensle equvalente occorre 12. S ha: ( ) 6 = = 12 = 0, α 120 = A α = 505, 44 15/15?