Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 10: 21 marzo 2013
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- Floriana Gori
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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 10: 21 marzo 2013 professor Danele Rtell 1/21?
2 ε m = A δ m = A [ ] 1 α n a n m quota captale e quota nteress δ m = δ m 1 c m h m+1 = δ m (1) c m+1 + h m+1 = c m + h m 2/21?
3 ε m = A δ m = A [ ] 1 α n a n m quota captale e quota nteress δ m = δ m 1 c m h m+1 = δ m (1) c m+1 + h m+1 = c m + h m da cu s trova c m+1 = (1 + ) c m, 2/21?
4 ε m = A δ m = A [ ] 1 α n a n m quota captale e quota nteress δ m = δ m 1 c m h m+1 = δ m (1) c m+1 + h m+1 = c m + h m da cu s trova c m+1 = (1 + ) c m, qund per ogn 1 k n s ha: c k = (1 + ) k 1 c 1. 2/21?
5 formula per la generca quota captale: c k = A ( α n ) (1 + ) k 1 le quote captale sono n progressone geometrca 3/21?
6 formula per la generca quota captale: c k = A ( α n ) (1 + ) k 1 le quote captale sono n progressone geometrca formula per la quota nteress: h k = A [α n (1 + ) k 1 ( α n )] 3/21?
7 In ogn ammortamento, deve sussstere la condzone d chusura c c n = A 4/21?
8 In ogn ammortamento, deve sussstere la condzone d chusura c c n = A S ha A = n A ( α n ) (1 + ) k 1 k=1 4/21?
9 In ogn ammortamento, deve sussstere la condzone d chusura c c n = A S ha n A = A ( α n ) (1 + ) k 1 k=1 qund s deve verfcare l denttà n ( 1 = αn ) (1 + ) k 1 k=1 4/21?
10 In ogn ammortamento, deve sussstere la condzone d chusura c c n = A S ha n A = A ( α n ) (1 + ) k 1 k=1 qund s deve verfcare l denttà n ( 1 = αn ) (1 + ) k 1 per eserczo k=1 4/21?
11 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 5/21?
12 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 5/21?
13 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, /21?
14 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, dovendo moltplcare α 5 0,05 per /21?
15 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, dovendo moltplcare α 5 0,05 per occorre una quanttà opportuna d decmal per elmnare ncertezza nell arrotondamento al centesmo d euro. 5/21?
16 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, dovendo moltplcare α 5 0,05 per occorre una quanttà opportuna d decmal per elmnare ncertezza nell arrotondamento al centesmo d euro. α = , /21?
17 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, dovendo moltplcare α 5 0,05 per occorre una quanttà opportuna d decmal per elmnare ncertezza nell arrotondamento al centesmo d euro. α = , = 2 309, /21?
18 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, dovendo moltplcare α 5 0,05 per occorre una quanttà opportuna d decmal per elmnare ncertezza nell arrotondamento al centesmo d euro. α = , = 2 309, = 2 309, 75 5/21?
19 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; 6/21?
20 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; c 2 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 2 1 = 1 900, 24; 6/21?
21 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; c 2 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 2 1 = 1 900, 24; c 3 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 3 1 = 1 995, 25; 6/21?
22 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; c 2 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 2 1 = 1 900, 24; c 3 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 3 1 = 1 995, 25; c 4 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 4 1 = 2 095, 01; 6/21?
23 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; c 2 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 2 1 = 1 900, 24; c 3 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 3 1 = 1 995, 25; c 4 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 4 1 = 2 095, 01; c 5 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 5 1 = 2 199, 76. 6/21?
24 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; c 2 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 2 1 = 1 900, 24; c 3 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 3 1 = 1 995, 25; c 4 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 4 1 = 2 095, 01; c 5 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 5 1 = 2 199, 76. È nteressante verfcare l fatto che sommando le quote captale non rtrovamo esattamente, la somma prestata: c 1 + c 2 + c 3 + c 4 + c 5 = , 01 a causa degl arrotondament 6/21?
25 ano d ammortamento m α c m h m δ m ε m , 00 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 99 0, , 00 7/21?
26 Se s vuole rmborsare lo stesso debto con dec rate semestral equvalent, occorre l tasso semestrale 2 : 8/21?
27 Se s vuole rmborsare lo stesso debto con dec rate semestral equvalent, occorre l tasso semestrale 2 : (1 + 2 ) 2 = 1 + 0, 05. 8/21?
28 Se s vuole rmborsare lo stesso debto con dec rate semestral equvalent, occorre l tasso semestrale 2 : (1 + 2 ) 2 = 1 + 0, 05. L ammortamento è ndvduato da n = 10 e da 2 = 0, /21?
29 m α c m h m δ m ε m , 00 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 28 80, , , , , 46 54, , , , , 30 27, 49 0, , 00 9/21?
30 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 10/21?
31 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 10/21?
32 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 < 2 309, 75 10/21?
33 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 < 2 309, 75 Cò è conseguenza del fatto che la frequenza de pagament semestrale dmnusce pù rapdamente le quote captal e d conseguenza la quota pagata per nteress dvene mnore. 10/21?
34 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 < 2 309, 75 Cò è conseguenza del fatto che la frequenza de pagament semestrale dmnusce pù rapdamente le quote captal e d conseguenza la quota pagata per nteress dvene mnore. Ad esempo la rata mensle equvalente è: 10/21?
35 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 < 2 309, 75 Cò è conseguenza del fatto che la frequenza de pagament semestrale dmnusce pù rapdamente le quote captal e d conseguenza la quota pagata per nteress dvene mnore. Ad esempo la rata mensle equvalente è: α 60 0, = 188, 20 10/21?
36 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 < 2 309, 75 Cò è conseguenza del fatto che la frequenza de pagament semestrale dmnusce pù rapdamente le quote captal e d conseguenza la quota pagata per nteress dvene mnore. Ad esempo la rata mensle equvalente è: α 60 0, = 188, 20 mentre: 188, = 2 258, 40 10/21?
37 Cambamento nelle condzon d rmborso La conoscenza del debto resduo consente d gestre varazon sul rmborso d un prestto. 11/21?
38 Cambamento nelle condzon d rmborso La conoscenza del debto resduo consente d gestre varazon sul rmborso d un prestto. Consderamo l rmborso qunquennale d , = 0, /21?
39 Cambamento nelle condzon d rmborso La conoscenza del debto resduo consente d gestre varazon sul rmborso d un prestto. Consderamo l rmborso qunquennale d , = 0, 05. α = , /21?
40 Cambamento nelle condzon d rmborso La conoscenza del debto resduo consente d gestre varazon sul rmborso d un prestto. Consderamo l rmborso qunquennale d , = 0, 05. α = , Supponamo che, dopo l terzo pagamento. l tasso pass a k = 0, /21?
41 Cambamento nelle condzon d rmborso La conoscenza del debto resduo consente d gestre varazon sul rmborso d un prestto. Consderamo l rmborso qunquennale d , = 0, 05. α = , Supponamo che, dopo l terzo pagamento. l tasso pass a k = 0, 06. Il quarto e l qunto pagamento rsulteranno modfcat. 11/21?
42 Cambamento nelle condzon d rmborso La conoscenza del debto resduo consente d gestre varazon sul rmborso d un prestto. Consderamo l rmborso qunquennale d , = 0, 05. α = , Supponamo che, dopo l terzo pagamento. l tasso pass a k = 0, 06. Il quarto e l qunto pagamento rsulteranno modfcat. δ 3 = 4 294, 77 va ora pensato come somma prestata che va rmborsata con due rate costant al nuovo tasso k = 0, /21?
43 Cambamento nelle condzon d rmborso La conoscenza del debto resduo consente d gestre varazon sul rmborso d un prestto. Consderamo l rmborso qunquennale d , = 0, 05. α = , Supponamo che, dopo l terzo pagamento. l tasso pass a k = 0, 06. Il quarto e l qunto pagamento rsulteranno modfcat. δ 3 = 4 294, 77 va ora pensato come somma prestata che va rmborsata con due rate costant al nuovo tasso k = 0, 06. α 2 0,06 = 0, /21?
44 Cambamento nelle condzon d rmborso La conoscenza del debto resduo consente d gestre varazon sul rmborso d un prestto. Consderamo l rmborso qunquennale d , = 0, 05. α = , Supponamo che, dopo l terzo pagamento. l tasso pass a k = 0, 06. Il quarto e l qunto pagamento rsulteranno modfcat. δ 3 = 4 294, 77 va ora pensato come somma prestata che va rmborsata con due rate costant al nuovo tasso k = 0, 06. α 2 0,06 = 0, nuova rata: β = 2 342, 53 11/21?
45 Eserczo. Semprono Mevo rceve un fnanzamento d qundc ann d che rmborsa con rate annual al tu = 0, Dopo quattro ann l contratto prevede per Semprono Mevo l passaggo a rate mensl con tasso equvalente. Quale è la nuova rata d ammortamento? 12/21?
46 Eserczo. Semprono Mevo rceve un fnanzamento d qundc ann d che rmborsa con rate annual al tu = 0, Dopo quattro ann l contratto prevede per Semprono Mevo l passaggo a rate mensl con tasso equvalente. Quale è la nuova rata d ammortamento? C occorre l debto resduo δ 4. 12/21?
47 Eserczo. Semprono Mevo rceve un fnanzamento d qundc ann d che rmborsa con rate annual al tu = 0, Dopo quattro ann l contratto prevede per Semprono Mevo l passaggo a rate mensl con tasso equvalente. Quale è la nuova rata d ammortamento? C occorre l debto resduo δ 4. δ 4 = α 15 0,0529 a 11 0, /21?
48 Eserczo. Semprono Mevo rceve un fnanzamento d qundc ann d che rmborsa con rate annual al tu = 0, Dopo quattro ann l contratto prevede per Semprono Mevo l passaggo a rate mensl con tasso equvalente. Quale è la nuova rata d ammortamento? C occorre l debto resduo δ 4. δ 4 = α 15 0,0529 a 11 0,0529 = , , /21?
49 Eserczo. Semprono Mevo rceve un fnanzamento d qundc ann d che rmborsa con rate annual al tu = 0, Dopo quattro ann l contratto prevede per Semprono Mevo l passaggo a rate mensl con tasso equvalente. Quale è la nuova rata d ammortamento? C occorre l debto resduo δ 4. δ 4 = α 15 0,0529 a 11 0,0529 = , , = , /21?
50 Eserczo. Semprono Mevo rceve un fnanzamento d qundc ann d che rmborsa con rate annual al tu = 0, Dopo quattro ann l contratto prevede per Semprono Mevo l passaggo a rate mensl con tasso equvalente. Quale è la nuova rata d ammortamento? C occorre l debto resduo δ 4. δ 4 = α 15 0,0529 a 11 0,0529 = , , = , 79. Il tasso mensle equvalente è 12 = 0, /21?
51 Eserczo. Semprono Mevo rceve un fnanzamento d qundc ann d che rmborsa con rate annual al tu = 0, Dopo quattro ann l contratto prevede per Semprono Mevo l passaggo a rate mensl con tasso equvalente. Quale è la nuova rata d ammortamento? C occorre l debto resduo δ 4. δ 4 = α 15 0,0529 a 11 0,0529 = , , = , 79. Il tasso mensle equvalente è 12 = 0, , qund la rata mensle, a partre dal prmo mese dopo l quarto anno, calcolata per = 132 pagament è δ 4 α 132 0, = , 79 0, = 307, 79 12/21?
52 Rate costant e tass varabl Fgura 1: Credto emlano autunno / L2 3M 33 22?
53 S fa l ragonamento A = α a n = ( ln 1 A ) α n = ln (1 + ) 14/21?
54 S fa l ragonamento A = α a n = ln n = ( 1 A α ln (1 + ) = 4, 14% comporta che 12 = 12 1, = 0, po da A = , n = 240 s trova α = , = 731, 195 osservamo che nel volantno la rata è 728, 50 che corrsponde ad un tasso effettvo del 4, 09586% ) 14/21?
55 Ammettamo che dopo 6 mes l tasso pass a h = 0, 0439 calcolamo δ 6 δ 6 = α a = 731, , = , /21?
56 Ammettamo che dopo 6 mes l tasso pass a h = 0, 0439 calcolamo δ 6 δ 6 = α a = 731, , = , 2684 Applchamo la formula: ln n = ( 1 h 12 δ 6 α ln (1 + h 12 ) n cu h 12 = h 1 = 0, ) 15/21?
57 Ammettamo che dopo 6 mes l tasso pass a h = 0, 0439 calcolamo δ 6 δ 6 = α a = 731, , = , 2684 Applchamo la formula: ln n = ( 1 h 12 δ 6 α ln (1 + h 12 ) n cu h 12 = h 1 = 0, , n = ) = 241, /21?
58 qund pagament complessv sono Se, vceversa, s desdera aumentare la rata senza cambare l numero d rate a rmborso s trova β = δ 6 α h12 = 161, , = 746, /21?
59 Rfnanzament Al tempo t = 0 vene prestata la somma A, per la quale è prevsto un rmborso, al tasso, con n rate d mporto α = A α n Il contratto d ammortamento prevede d spese d mporto p > 0 n caso d antcpata estnzone. 17/21?
60 Al debtore converrà pagare la penale, se può ottenere un nuovo fnanzamento, detto rfnanzamento, ad un tasso mnore, n modo che le rate a rmborso della somma rfnanzata, par al debto resduo pù le spese, calcolate n modo che l numero complessvo d rate non camb, sano nferor alle rate nzal. 18/21?
61 Eserczo Un prestto d è rmborsato n sette ann con rate semestral costant al tasso 2 = 0, 025. Dopo tre ann l debtore vene a conoscenza del fatto che un secondo sttuto d credto concede fnanzament a rate semestral postcpate al tasso k 2 = 0, 022. La spese mpostea dal prmo sttuto d credto n caso d estnzone antcpata sono 1/100 del debto resduo. Motvare cosa convene fare al debtore calcolando la rata pagata ne prm tre ann e la rata (eventuale) relatva a second quattro ann. 19/21?
62 Comncamo calcolando la rata α del fnanzamento a tasso 2. S ha: α = α 14 2 = , = 1 710, /21?
63 Comncamo calcolando la rata α del fnanzamento a tasso 2. S ha: α = α 14 2 = , = 1 710, 73. Il debto resduo dopo tre ann (se semestr) è: δ 6 = α 14 2 a = , , = , 10 20/21?
64 Comncamo calcolando la rata α del fnanzamento a tasso 2. S ha: α = α 14 2 = , = 1 710, 73. Il debto resduo dopo tre ann (se semestr) è: δ 6 = α 14 2 a = , , = , 10 Se s vuole ottenere la rduzone del tasso da 2 a k 2 s devono pagare 1 otto nuove rate a partre dal debto resduo δ 6 aumentato d 100 ; s ha: allora δ 6 = δ 6 = , 76 20/21?
65 α = δ 6 α 8 k 2 = , 76 0, = 1 705, 80 21/21?
66 α = δ 6 α 8 k 2 = , 76 0, = 1 705, 80 Osservato che α < α, se ne conclude che ha senso pagare la penale, perchè le nuove rate restano comunque nferor a quelle che s pagherebbero proseguendo ne pagament concordat con l prmo sttuto d credto. 21/21?
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