Dipartimento di Matematica per le scienze economiche e sociali Università di Bologna. Ricerca operativa Lezione # 1 6 maggio 2009

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1 Dpartmento d Matematca per le scenze economche e socal Unverstà d Bologna Rcerca operatva Lezone # 1 6 maggo 2009 professor Danele Rtell 1/28?

2 Modello d Wlson Le scorte sono materal che nel processo logstco produttvo aspettano d essere utlzzat (lavorat, assemblat) per essere dstrbut (vendut, adoperat, consumat) 2/28?

3 Modello d Wlson Le scorte sono materal che nel processo logstco produttvo aspettano d essere utlzzat (lavorat, assemblat) per essere dstrbut (vendut, adoperat, consumat) Un grosssta deve gestre la poltca de rfornment d merce al propro magazzno, ndvduando l volume ottmo d ogn approvvgonamento. 2/28?

4 Modello d Wlson Le scorte sono materal che nel processo logstco produttvo aspettano d essere utlzzat (lavorat, assemblat) per essere dstrbut (vendut, adoperat, consumat) Un grosssta deve gestre la poltca de rfornment d merce al propro magazzno, ndvduando l volume ottmo d ogn approvvgonamento. Il suo scopo è mnmzzare cost conseguent alla commercalzzazone de ben trattat n presenza d domanda totale certa, unformemente dstrbuta nel tempo. 2/28?

5 rme modellzzazon quanttatve dovute a: F.W. Harrs 1. How Many arts To Make At Once Factory, The Magazne of Management, 10(2), , 152 (1913) 2. Operatons Cost (Factory Management Seres), Chcago: Shaw (1915) 3/28?

6 rme modellzzazon quanttatve dovute a: F.W. Harrs 1. How Many arts To Make At Once Factory, The Magazne of Management, 10(2), , 152 (1913) 2. Operatons Cost (Factory Management Seres), Chcago: Shaw (1915) La formalzzazone è d R.H: Wlson: 3/28?

7 rme modellzzazon quanttatve dovute a: F.W. Harrs 1. How Many arts To Make At Once Factory, The Magazne of Management, 10(2), , 152 (1913) 2. Operatons Cost (Factory Management Seres), Chcago: Shaw (1915) La formalzzazone è d R.H: Wlson: A Scentfc Routne for Stock Control: Harvard Busness Revew, 13, (1934) 3/28?

8 erché dotars d scorte possbltà d fare econome d scala 4/28?

9 erché dotars d scorte possbltà d fare econome d scala garanza contro ncertezze nelle fornture 4/28?

10 erché dotars d scorte possbltà d fare econome d scala garanza contro ncertezze nelle fornture possbltà d speculare 4/28?

11 Cost conness alle scorte oner fnanzar 5/28?

12 Cost conness alle scorte oner fnanzar cost d mmoblzzo del captale 5/28?

13 Cost conness alle scorte oner fnanzar cost d mmoblzzo del captale oner da rscho: obsolescenza, furto, danneggamento 5/28?

14 Cost conness alle scorte oner fnanzar cost d mmoblzzo del captale oner da rscho: obsolescenza, furto, danneggamento cost asscuratv 5/28?

15 Cost conness alle scorte oner fnanzar cost d mmoblzzo del captale oner da rscho: obsolescenza, furto, danneggamento cost asscuratv cost d mmagazznamento 5/28?

16 Cost conness alle scorte oner fnanzar cost d mmoblzzo del captale oner da rscho: obsolescenza, furto, danneggamento cost asscuratv cost d mmagazznamento cost gestonal 5/28?

17 Modello d Wlson Un soggetto deve gestre la poltca de rfornment d merce al propro magazzno ndvduando l volume ottmo d ogn rapprovvgonamento. 6/28?

18 Modello d Wlson Un soggetto deve gestre la poltca de rfornment d merce al propro magazzno ndvduando l volume ottmo d ogn rapprovvgonamento. Voglamo mnmzzare cost della commercalzzazone de ben trattat se la domanda totale è certa unformemente dstrbuta nel tempo. 6/28?

19 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 7/28?

20 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 2. costo gestonale proporzonale al carco del magazzno 7/28?

21 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 2. costo gestonale proporzonale al carco del magazzno Osservazone 7/28?

22 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 2. costo gestonale proporzonale al carco del magazzno Osservazone a causa d 1 è convenente fare poche ordnazon 7/28?

23 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 2. costo gestonale proporzonale al carco del magazzno Osservazone a causa d 1 è convenente fare poche ordnazon a causa d 2 è convenente fare molte ordnazon 7/28?

24 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 2. costo gestonale proporzonale al carco del magazzno Osservazone a causa d 1 è convenente fare poche ordnazon a causa d 2 è convenente fare molte ordnazon S tratta d blancare queste due opposte esgenze ordnando ogn volta né troppo né troppo poco 7/28?

25 Notazon h = costo mantenmento nell untà d tempo 8/28?

26 Notazon h = costo mantenmento nell untà d tempo A = costo per ordnatvo 8/28?

27 Notazon h = costo mantenmento nell untà d tempo A = costo per ordnatvo δ = domanda per untà d tempo (ntenstà costante) 8/28?

28 Notazon h = costo mantenmento nell untà d tempo A = costo per ordnatvo δ = domanda per untà d tempo (ntenstà costante) Q = volume del lotto 8/28?

29 Notazon h = costo mantenmento nell untà d tempo A = costo per ordnatvo δ = domanda per untà d tempo (ntenstà costante) Q = volume del lotto C = cost complessv per untà d tempo 8/28?

30 h è costtuto da oner fnanzar, asscuratv, d conservazone della merce, dal costo dello spazo fsco destnato al magazzno 9/28?

31 h è costtuto da oner fnanzar, asscuratv, d conservazone della merce, dal costo dello spazo fsco destnato al magazzno A cost ammnstratv, cost d trasporto 9/28?

32 h è costtuto da oner fnanzar, asscuratv, d conservazone della merce, dal costo dello spazo fsco destnato al magazzno A cost ammnstratv, cost d trasporto La merce è dsponble mmedatamente all atto dell ordnazone: qund è nullo l tempo d consegna. 9/28?

33 h è costtuto da oner fnanzar, asscuratv, d conservazone della merce, dal costo dello spazo fsco destnato al magazzno A cost ammnstratv, cost d trasporto La merce è dsponble mmedatamente all atto dell ordnazone: qund è nullo l tempo d consegna. La scorta, dunque decrescerà fno ad annullars n quanto non c è motvo d ordnare prma dell esaurmento della scorta, vsto che cò farebbe aumentare l costo d magazzno senza alcun vantaggo essendo nullo l tempo d consegna. 9/28?

34 S ordna una certa quanttà d merce, dopodché la scorta andrà a dmnure fno ad annullars. 10/28?

35 S ordna una certa quanttà d merce, dopodché la scorta andrà a dmnure fno ad annullars. I var ccl fra una una ordnazone e l altra saranno tutt dentc dal momento che potzzamo che cost d magazzno restno mmutat 10/28?

36 S ordna una certa quanttà d merce, dopodché la scorta andrà a dmnure fno ad annullars. I var ccl fra una una ordnazone e l altra saranno tutt dentc dal momento che potzzamo che cost d magazzno restno mmutat Il costo dpenderà dalla certa quanttà d merce ordnata 10/28?

37 Fgura 1: ordnata: lvello degl stock Q, ascssa: tempo nq/δ 11/28?

38 Dalle potes derva che essendo la domanda costante nel tempo la quanttà da acqustare (lotto Q) sarà pure costante. 12/28?

39 Dalle potes derva che essendo la domanda costante nel tempo la quanttà da acqustare (lotto Q) sarà pure costante. Abbamo così a che fare con un fenomeno perodco che ndvdua ccl d approvvgonamento d egual durata, dunque l ntervallo fra due emsson d ordn sarà costante 12/28?

40 Dalle potes derva che essendo la domanda costante nel tempo la quanttà da acqustare (lotto Q) sarà pure costante. Abbamo così a che fare con un fenomeno perodco che ndvdua ccl d approvvgonamento d egual durata, dunque l ntervallo fra due emsson d ordn sarà costante la sua ampezza s ottene con questa consderazone: ndcato con I(t) l lvello delle scorte al tempo t e, ndcato l tasso d varazone costante della domanda con δ > 0, deve valere: 12/28?

41 Dalle potes derva che essendo la domanda costante nel tempo la quanttà da acqustare (lotto Q) sarà pure costante. Abbamo così a che fare con un fenomeno perodco che ndvdua ccl d approvvgonamento d egual durata, dunque l ntervallo fra due emsson d ordn sarà costante la sua ampezza s ottene con questa consderazone: ndcato con I(t) l lvello delle scorte al tempo t e, ndcato l tasso d varazone costante della domanda con δ > 0, deve valere: I (t) = δ, I(0) = Q, 12/28?

42 da cu s trova, ntegrando l equazone dfferenzale I(t) = Q δ t 13/28?

43 da cu s trova, ntegrando l equazone dfferenzale I(t) = Q δ t qund T = Q/δ è l tempo d rordno,.e. l tempo d svuotamento del magazzno. 13/28?

44 da cu s trova, ntegrando l equazone dfferenzale I(t) = Q δ t qund T = Q/δ è l tempo d rordno,.e. l tempo d svuotamento del magazzno. Il recproco ν = 1/T = δ/q esprme l numero d ordn nell untà d tempo. 13/28?

45 I cost per la consegna nell untà d tempo sono dat da: C c = δ Q A. 14/28?

46 I cost per la consegna nell untà d tempo sono dat da: C c = δ Q A. Il costo per l mantenmento del magazzno s ottene moltplcando l costo untaro h per l valor medo del lvello delle scorte nell ntervallo temporale d rfermento. 14/28?

47 I cost per la consegna nell untà d tempo sono dat da: C c = δ Q A. Il costo per l mantenmento del magazzno s ottene moltplcando l costo untaro h per l valor medo del lvello delle scorte nell ntervallo temporale d rfermento. er ottenere questo valor medo potrebbe bastare la consderazone che l lvello medo delle scorte passando queste da Q a zero è µ = Q/2. 14/28?

48 anche se la cosa può dar l mpressone d una complcazone non necessara, posto che nel prmo cclo d rfermento [0, Q/δ] l magazzno evolve secondo la legge affne I(t) = Q δ t l valor medo s calcola con la formula della meda ntegrale: 15/28?

49 anche se la cosa può dar l mpressone d una complcazone non necessara, posto che nel prmo cclo d rfermento [0, Q/δ] l magazzno evolve secondo la legge affne I(t) = Q δ t l valor medo s calcola con la formula della meda ntegrale: µ = 1 Q/δ Q/δ 0 (Q δt) dt = Q 2 15/28?

50 I cost total, somma de cost d ordnazone e d magazzno n un ntervallo untaro dpendono allora dal volume de lott medante somma de cost d mantenmento e del costo per ordnatvo secondo la legge 16/28?

51 I cost total, somma de cost d ordnazone e d magazzno n un ntervallo untaro dpendono allora dal volume de lott medante somma de cost d mantenmento e del costo per ordnatvo secondo la legge C = C(Q) := Q 2 h + δ Q A 16/28?

52 I cost total, somma de cost d ordnazone e d magazzno n un ntervallo untaro dpendono allora dal volume de lott medante somma de cost d mantenmento e del costo per ordnatvo secondo la legge C = C(Q) := Q 2 h + δ Q A Il problema è così condotto alla mnmzzazone della funzone C(Q) rspetto a Q > 0. 16/28?

53 I cost total, somma de cost d ordnazone e d magazzno n un ntervallo untaro dpendono allora dal volume de lott medante somma de cost d mantenmento e del costo per ordnatvo secondo la legge C = C(Q) := Q 2 h + δ Q A Il problema è così condotto alla mnmzzazone della funzone C(Q) rspetto a Q > 0. S tratta d una questone ben posta matematcamente? 16/28?

54 Abbamo dc dq = h 2 Aδ Q 2 17/28?

55 Abbamo qund: dc dq = h 2 Aδ Q 2 dc 2Aδ dq = 0 Q = ± h 17/28?

56 Abbamo dc dq = h 2 Aδ Q 2 qund: dc 2Aδ dq = 0 Q = ± h Interessa al problema solo la determnazone postva d Q, qund consderamo l punto: Q + = 2Aδ h 17/28?

57 Abbamo dc dq = h 2 Aδ Q 2 qund: dc 2Aδ dq = 0 Q = ± h Interessa al problema solo la determnazone postva d Q, qund consderamo l punto: 2Aδ Q + = h s tratta effettvamente d un mnmo perché per ogn Q è: d 2 C dq 2 = 2Aδ Q 3 > 0 17/28?

58 Q + = 2Aδ h 18/28?

59 2Aδ Q + = h vene chamato Economc Order Quantty o Lotto Economco. 18/28?

60 2Aδ Q + = h vene chamato Economc Order Quantty o Lotto Economco. S cta la formula per l Lotto Economco come Formula d Wlson 18/28?

61 Interessa anche calcolare C(Q + ): 19/28?

62 Interessa anche calcolare C(Q + ): C := C(Q + ) = Aδh 2 + Aδh 2 = 2Aδh. 19/28?

63 Interessa anche calcolare C(Q + ): Aδh Aδh C := C(Q + ) = = 2Aδh. n corrspondenza dell ottmo, cost d stoccaggo uguaglano cost per la consegna della merce 19/28?

64 20/28?

65 Una volta determnato l Lotto Economco 2Aδ Q + = h come servrsene operatvamente? 21/28?

66 Una volta determnato l Lotto Economco 2Aδ Q + = h come servrsene operatvamente? Il costo ottmale è dato dalla formula C = C(Q + ) = 2Aδh 21/28?

67 Una volta determnato l Lotto Economco 2Aδ Q + = h come servrsene operatvamente? Il costo ottmale è dato dalla formula C = C(Q + ) = 2Aδh s consdera la funzone Q C(Q) C C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh 21/28?

68 faccamo cont 22/28?

69 faccamo cont C C = 22/28?

70 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh 22/28?

71 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh = Q 2 h 2Aδ + 1 2Aδ 2Q h 22/28?

72 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh = Q 2 h 2Aδ + 1 2Aδ 2Q h Il comportamento del costo relatvo è una funzone dalla struttura assa semplce del rapporto x = Q Q. 22/28?

73 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh = Q 2 h 2Aδ + 1 2Aδ 2Q h Il comportamento del costo relatvo è una funzone dalla struttura assa semplce del rapporto x = Q Q. f(x) = 1 ( x + 1 ) 2 x 22/28?

74 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh = Q 2 h 2Aδ + 1 2Aδ 2Q h Il comportamento del costo relatvo è una funzone dalla struttura assa semplce del rapporto x = Q Q. f(x) = 1 ( x + 1 ) 2 x f (x) = x2 1 2x 2 22/28?

75 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh = Q 2 h 2Aδ + 1 2Aδ 2Q h Il comportamento del costo relatvo è una funzone dalla struttura assa semplce del rapporto x = Q Q. f(x) = 1 ( x + 1 ) 2 x f (x) = x2 1 2x 2 s ha un mnmo d coordnate (1, 1) 22/28?

76 Fgura 2: grafco d x + 1/x, x > 0 23/28?

77 Devazon anche puttosto sgnfcatve dal lotto economco danno ncrement d costo abbastanza contenut. Ad esempo se x = Q Q = 3 2 C l corrspondente valore d C è: 24/28?

78 Devazon anche puttosto sgnfcatve dal lotto economco danno ncrement d costo abbastanza contenut. Ad esempo se x = Q Q = 3 2 C l corrspondente valore d C è: C C = 1 ( ) = = /28?

79 Devazon anche puttosto sgnfcatve dal lotto economco danno ncrement d costo abbastanza contenut. Ad esempo se x = Q Q = 3 2 C l corrspondente valore d C è: C C = 1 ( ) = = ad esempo un errore del 50% nello sceglere l quanttatvo ottmale produce una crescta de cost dell 8,3% 24/28?

80 roduzone nterna Se la merce vene prodotta, l lotto vene evolve secondo un tasso d produzone p > δ 25/28?

81 roduzone nterna Se la merce vene prodotta, l lotto vene evolve secondo un tasso d produzone p > δ La varazone del magazzno ha l andamento 25/28?

82 roduzone nterna Se la merce vene prodotta, l lotto vene evolve secondo un tasso d produzone p > δ La varazone del magazzno ha l andamento Fgura 3: (Q/p, Q(1 δ/p)) 25/28?

83 Analzzamo l prmo cclo. 26/28?

84 Analzzamo l prmo cclo. Nell ntervallo [0, Q/p] gl stock crescono al tasso p δ fno ad arrvare al massmo lvello ottenuto rsolvendo 26/28?

85 Analzzamo l prmo cclo. Nell ntervallo [0, Q/p] gl stock crescono al tasso p δ fno ad arrvare al massmo lvello ottenuto rsolvendo y = Q δt y = (p δ)t 26/28?

86 Analzzamo l prmo cclo. Nell ntervallo [0, Q/p] gl stock crescono al tasso p δ fno ad arrvare al massmo lvello ottenuto rsolvendo y = Q δt t = Q p = y = (p δ)t y = Q ( 1 δ ) p 26/28?

87 Analzzamo l prmo cclo. Nell ntervallo [0, Q/p] gl stock crescono al tasso p δ fno ad arrvare al massmo lvello ottenuto rsolvendo y = Q δt t = Q p = y = (p δ)t y = Q ( 1 δ ) p Nell ntervallo [Q/p, Q/δ] lo stock decresce al tasso δ 26/28?

88 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno 27/28?

89 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno o s calcola rgorosamente valutando la meda ntegrale 27/28?

90 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno o s calcola rgorosamente valutando la meda ntegrale µ = δ Q Q/δ 0 mn {(p δ)t, Q δt} dt 27/28?

91 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno o s calcola rgorosamente valutando la meda ntegrale µ = δ Q = δ Q Q/δ 0 mn {(p δ)t, Q δt} dt ( Q/p (p δ)t dt + 0 Q/δ Q/p (Q δt) dt ) 27/28?

92 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno o s calcola rgorosamente valutando la meda ntegrale µ = δ Q = δ Q Q/δ 0 mn {(p δ)t, Q δt} dt ( Q/p (p δ)t dt + 0 Q/δ Q/p (Q δt) dt ) = (p δ)q 2p 27/28?

93 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno o s calcola rgorosamente valutando la meda ntegrale µ = δ Q = δ Q Q/δ 0 mn {(p δ)t, Q δt} dt ( Q/p (p δ)t dt + 0 Q/δ Q/p (Q δt) dt ) = (p δ)q 2p oppure s ragona geometrcamente sul prmo trangolo della fgura precedente 27/28?

94 n presenza d un attvtà produttva lneare l modello d Wlson è modfcato come segue: 28/28?

95 n presenza d un attvtà produttva lneare l modello d Wlson è modfcato come segue: mnmzzare per Q [0, Q/δ] C 1 (Q) = (p δ)q 2p h + δ Q A. 28/28?

96 n presenza d un attvtà produttva lneare l modello d Wlson è modfcato come segue: mnmzzare per Q [0, Q/δ] C 1 (Q) = (p δ)q 2p h + δ Q A. Qund C 1(Q) = 0 se e solo se Q = Q + := 2Aδp h(p δ). 28/28?