Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa lezione 14: 18 aprile 2012

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa lezone 14: 18 aprle 2012 professor Danele Rtell 1/19?

2 Schema algebrco de fluss d cassa con v = (1 + ) 1 A = α 1 v + α 2 v 2 + α 3 v 3 Metodo d Newton per trovare lo zero d f(v) = α 3 v 3 +α 2 v 2 +α 1 v A Iterazone della funzone F (v) = v f(v) f (v) = v α 3v 3 + α 2 v 2 + α 1 v A 3α 3 v 2 + 2α 2 v + α 1 2/19?

3 3 = 3 1, α 3 3 = 0, α = 341, 051 qund F (v) = v 342, 051v , 051v , 051v , 15v , 102v + 343, 051 3/19?

4 Tasso d partenza: aumentamo d un punto j 3 = 3 1, = 0, /19?

5 Tasso d partenza: aumentamo d un punto j 3 = 3 1, = 0, e trasformamo n v 0 = (1 + j 3 ) 1 = 0, /19?

6 Tasso d partenza: aumentamo d un punto j 3 = 3 1, = 0, e trasformamo n v 0 = (1 + j 3 ) 1 = 0, F (0, ) = 0, /19?

7 Tasso d partenza: aumentamo d un punto j 3 = 3 1, = 0, e trasformamo n v 0 = (1 + j 3 ) 1 = 0, F (0, ) = 0, F (0, ) = 0, /19?

8 Tasso d partenza: aumentamo d un punto j 3 = 3 1, = 0, e trasformamo n v 0 = (1 + j 3 ) 1 = 0, F (0, ) = 0, F (0, ) = 0, Il tasso effettvo trmestrale qund è e quello annuo 3 = 1 0, = 0, = (1 + 3) 3 1 = 0, /19?

9 Tasso effettvo d un prestto Nel rmborsare A vengono pagate m rate d mporto α e n m rate d mporto β s ha l equazone del rea: A = α a m x + β (1 + x) m a n m x 5/19?

10 Esempo rmborsat n dodc ann, rate mensl tasso = 0, 055 Dopo 6 ann la rata passa a 484 allora l tasso passa a: 1. 0, , , , /19?

11 Esempo rmborsat n dodc ann, rate mensl tasso = 0, 055 Dopo 6 ann la rata passa a 484 allora l tasso passa a: 1. 0, , , , A = α a m x + β (1 + x) m a n m x 6/19?

12 Esempo rmborsat n dodc ann, rate mensl tasso = 0, 055 Dopo 6 ann la rata passa a 484 allora l tasso passa a: 1. 0, , , , A = α a m x + β (1 + x) m a n m x A = , n = 144, m = 72, β = 484 ma 6/19?

13 Esempo rmborsat n dodc ann, rate mensl tasso = 0, 055 Dopo 6 ann la rata passa a 484 allora l tasso passa a: 1. 0, , , , A = α a m x + β (1 + x) m a n m x A = , n = 144, m = 72, β = 484 ma manca α 6/19?

14 α = Aα , /19?

15 α = Aα ,055 1 = , /19?

16 α = Aα ,055 1 = , = 471, 68 7/19?

17 α = Aα ,055 1 = , = 471, 68 allora A = α a m x + β (1 + x) m a n m x dventa = 471, 68 a 72 x + β (1 + x) 72 a 72 x 7/19?

18 α = Aα ,055 1 = , = 471, 68 allora A = α a m x + β (1 + x) m a n m x dventa = 471, 68 a 72 x + β (1 + x) 72 a 72 x se al posto d x metto 12 1, (alternatva 4) l secondo membro vale ,27 7/19?

19 α = Aα ,055 1 = , = 471, 68 allora A = α a m x + β (1 + x) m a n m x dventa = 471, 68 a 72 x + β (1 + x) 72 a 72 x se al posto d x metto 12 1, (alternatva 4) l secondo membro vale ,27 se al posto d x metto 12 1, (alternatva 3) l secondo membro vale ,27 7/19?

20 Non serve a nulla provare la alternatva 2 perché l tasso è nferore a quello della 4 8/19?

21 Non serve a nulla provare la alternatva 2 perché l tasso è nferore a quello della 4 Il tasso cercato non può che essere l prmo 8/19?

22 Non serve a nulla provare la alternatva 2 perché l tasso è nferore a quello della 4 Il tasso cercato non può che essere l prmo In ogn caso qu lo s può verfcare 8/19?

23 Non serve a nulla provare la alternatva 2 perché l tasso è nferore a quello della 4 Il tasso cercato non può che essere l prmo In ogn caso qu lo s può verfcare a , = 61, /19?

24 Non serve a nulla provare la alternatva 2 perché l tasso è nferore a quello della 4 Il tasso cercato non può che essere l prmo In ogn caso qu lo s può verfcare a , = 61, qund 471, 68 a , = , 090 8/19?

25 po (1, ) 72 a , = 43, /19?

26 po e qund (1, ) 72 a , = 43, , = , 902 9/19?

27 po e qund sommando (1, ) 72 a , = 43, , = , , , 902 = , 992 9/19?

28 Se nvece s vuol rsolvere l equazone A = α a m x + β (1 + x) m a n m x 10/19?

29 Se nvece s vuol rsolvere l equazone A = α a m x + β (1 + x) m a n m x S pone e s trova: v = (1 + x) 1 (α β)v m+1 + βv n+1 (A + α)v + A = 0 10/19?

30 Se nvece s vuol rsolvere l equazone A = α a m x + β (1 + x) m a n m x S pone v = (1 + x) 1 e s trova: (α β)v m+1 + βv n+1 (A + α)v + A = 0 ottendo la funzone d terazone d Newton nβv n+1 + m(α β)v m+1 A F (v) = (n + 1)βv n + (m + 1)(α β)v m (α + A) 10/19?

31 Caso partcolare, ma molto mportante α = β F (v) = A nv n+1 α A + α nαv n αv n 11/19?

32 Eserczo Un prestto d vene ammortzzato n venttrè ann con l metodo francese pagando rate mensl d mporto 400. Dopo dec ann e 15 gorn l debtore effettua un versamento straordnaro che gl consente d prosegure l operazone versando rate d mporto par alla metà delle precedent. Determnare: 12/19?

33 1. l mporto del versamento straordnaro 2. la rata che s ottene nel caso n cu, dopo due ann dall erogazone, sa concessa al debtore una sospensone d pagament d se mes senza cambare l numero complessvo delle rate dovute e l tasso effettvo n questo caso 13/19?

34 La somma degl nteress è = /19?

35 La somma degl nteress è = Occorre determnare l tasso, mplctamente defnto dal fatto che vengono estnt da 276 = rate da 400. Va terata la funzone: F (v) = A nv n+1 α A + α nαv n αv n, ove v = /19?

36 La somma degl nteress è = Occorre determnare l tasso, mplctamente defnto dal fatto che vengono estnt da 276 = rate da 400. Va terata la funzone: F (v) = A nv n+1 α 1 A + α nαv n αvn, ove v = nel caso specfco A = , n = 276, α = /19?

37 Scelta del valore nzale: la cosa mglore è far de tentatv. rendo 12 = 0, 001 e calcolo 67000α = 277, /19?

38 Scelta del valore nzale: la cosa mglore è far de tentatv. rendo 12 = 0, 001 e calcolo 67000α = 277, 913 Aumento l tasso rendo 12 = 0, 003 e calcolo 67000α = 357, /19?

39 Scelta del valore nzale: la cosa mglore è far de tentatv. rendo 12 = 0, 001 e calcolo 67000α = 277, 913 Aumento l tasso rendo 12 = 0, 003 e calcolo 67000α = 357, 311 Come valore nzale sceglamo: v 0 = , 003 = 0, /19?

40 n modo che l terazone porta valor v 1 = F (v 0 ) = 0, v 2 = F (v 1 ) = 0, v 3 = F (v 2 ) = 0, /19?

41 n modo che l terazone porta valor v 1 = F (v 0 ) = 0, v 2 = F (v 1 ) = 0, v 3 = F (v 2 ) = 0, assando da v a trovamo l tasso mensle 12 = 0, = = 0, /19?

42 n modo che l terazone porta valor v 1 = F (v 0 ) = 0, v 2 = F (v 1 ) = 0, v 3 = F (v 2 ) = 0, assando da v a trovamo l tasso mensle 12 = 0, = = 0, er dmezzare la rata d ammortamento n corrspondenza d una scadenza l versamento non è la metà del debto resduo. La prma scadenza successva al versamento straordnaro ha valuta 121 ove vale: δ 121 = , /19?

43 vsto che l versamento straordnaro è fatto 15 gorn prma della scadenza 121, δ 121 va attualzzato ed l versamento è: V s = (1 + 0, 00397) 1/ , = , /19?

44 vsto che l versamento straordnaro è fatto 15 gorn prma della scadenza 121, δ 121 va attualzzato ed l versamento è: V s = (1 + 0, 00397) 1/2 α = δ 24 ( ) 6 α = 409, , = , /19?

45 vsto che l versamento straordnaro è fatto 15 gorn prma della scadenza 121, δ 121 va attualzzato ed l versamento è: V s = (1 + 0, 00397) 1/2 α = δ 24 ( ) 6 α = 409, , = , 0986 Il tasso effettvo è non accade nulla che lo possa far varare 17/19?

46 restt con due camb d rata Se, per rmborsare A vengono pagate m rate d mporto α, p m rate d mporto β e n p rate d mporto γ, essendo 0 < m < p < n s ha l equazone: A = α a m + β (1 + ) m a p m + γ (1 + ) p a n p 18/19?

47 restt con due camb d rata Se, per rmborsare A vengono pagate m rate d mporto α, p m rate d mporto β e n p rate d mporto γ, essendo 0 < m < p < n s ha l equazone: A = α a m + β (1 + ) m a p m + γ (1 + ) p a n p Usando v = (1 + ) 1 s trova: γv n+1 + (β γ)v p+1 + (α β)v m+1 (A + α)v + A = 0 18/19?

48 che porta all terazone d Newton: F (v) = m(α β)v m+1 + nγv n+1 + p(β γ)v p+1 A (m + 1)(α β)v m + (n + 1)γv n + (p + 1)(β γ)v p (A + α) 19/19?