2.1 Parabola nella forma canonica

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1 5 Clc per tutt gl appunt (AUTOMAZIONE TRATTAMENTI TERMICI ACCIAIO SCIENZA delle COSTRUZIONI ) e-mal per suggerment. Paraola nella forma canonca Studamo con metod general la conca nella espressone canonca Ponamo l equazone nella forma: a In coordnate omogenee a Tpo d conca a Matrce caratterstca A Dscrmnante A a a a a A a La conca è una paraola. Essendo A la conca è tangente alla retta mpropra (due punt mpropr concdent) Punto mpropro della conca a a ρ con qualsas ρ Coordnate punto mpropro Posto ρ Punto mpropro paraola P (,,) Concde con la drezone dell asse y ρ

2 5 Centro della conca Come s è rlevato la retta mpropra è tangente alla paraola, qund essa è la polare del punto mpropro. Infatt la polare d P (,,) è ( ) a da cu Qund, essendo l punto mpropro (,,) esso è l centro della conca. P della paraola polo della retta mpropra Asse della paraola fg.6. La retta mpropra, passando per l centro P (,,) C della conca, è un dametro della paraola, ed è conugato rspetto a tutt gl altr dametr, n quanto quest sono polar d punt mpropr che appartengono alla retta mpropra stessa, contenente P (,,) C. Gl ass della conca sono due dametr conugat e ortogonal tra loro. Uno de due dametr è la retta mpropra che ha come polo l punto mpropro P (,,) C della paraola; l altro dametro sarà la polare del punto mpropro P n drezone ortogonale a detto punto mpropro P (,,) C. Per determnare l asse, dverso dalla retta mpropra s può procedere nella seguente manera:. s determna l punto mpropro della paraola P (,l,m) ;. s determna l punto mpropro n drezone ortogonale P (,m, l ) 3. s determna la polare del punto mpropro P (,m, l ) dalla retta mpropra. S procede secondo tre punt precedent Il punto mpropro della paraola s è gà determnato (,,) Il punto mpropro n drezone ortogonale è P P (,, ) ; che è l altro asse dverso

3 53 L asse a è la polare d P (,, ) ( ) a a da cu In coordnate non omogenee L asse a della paraola è l asse y Vertc della paraola Un vertce della paraola, come uno delle ntersezone degl ass con la conca è l suo punto mpropro. L altro vertce s ottene dall ntersezone dell asse a con la conca effettuato n coordnate non omogenee a da cu vertce (, ) Un vertce è qund V (,. ) orgne degl ass L altro vertce (,.) V V punto mpropro paraola Fuoch della paraola I fuoch sono quattro punt d ntersezone delle tangent alla conca condotte da punt cclc J (,, ), J (,, ). Fg.6.

4 54 I punt cclc appartengono alla retta mpropra, che, nel caso della paraola, è tangente alla conca. Ne vene che due delle tangent alla conca, j ', j', condotte da punt cclc, concdono con la retta mpropra. S hanno così seguent punt d ntersezone delle rette sotrope tangent alla conca. j j fuoco reale F j' j' punto mpropro della paraola P C j' j Punto cclco J (,, ) j j' Punto cclco (,, ) J fg.6.3 Nella paraola v è un solo fuoco F nel campo reale al fnto; l altro fuoco reale concde con l punto mpropro della conca. Traccamo le tangent dal punto cclco (,, ) far cò s procede come al solto: J. Per p del punto cclco ( ) s determna la polare j J,, s determnano punt d ntersezone della polare p j con la conca. In questo caso v sarà un punto T j al fnto, l altro punto è l punto mpropro P C della paraola la tangente alla conca nel punto T j è la polare d esso Polare d (,, ) J Equazone conca polare p j a ( ) a a polare p j (6.) a Intersezone della polare p j con la conca

5 a a (6.) Sosttuendo su ha: a a 4 a 4 a 4 a 4 a (6..3) S hanno due soluzon. Sosttuendo nella (6.) s ha Prmo punto ρ con ρ scelto ρ Punto mpropro della paraola ( ),, P Secondo punto 4 a a ρ con ρ scelto ρ 4 a a Secondo punto d ntersezone, 4 a, T j Tangente j alla conca nel punto 4 a, a, T j, condotta dal punto cclco ( ),, J È la polare del punto, 4 a, T j ( ) 4 a a a 55

6 56 Tangente j 8 a Come noto alla tangente j condotta dal punto cclco J (,, ) tangente complessa e conugata j condotta dal punto cclco j (,, ) Tangente j 8 a, v corrsponde una Il fuoco reale F è l punto d ntersezone delle due tangent complesse e conugate j, j 8 a 8 a n coordnate non omogenee 8 a 8 a Sommando memro a memro 4 a 4 a Sottraendo memro a memro da cu da cu Fg.6.4 Il fuoco reale ha coordnate Fuoco paraola F, (6.3) 4 a

7 57 Drettrce della paraola La drettrce è la polare del fuoco; n coordnate omogenee F,, ( ) a 8a 4 a n coordnate non omogenee 4 a Equazone drettrce (6.4) 4 a Eccentrctà della paraola Fg.6.5 Come esposto ne punt , le conche sono caratterzzate dal valore d una costante e, denomnata eccentrctà, data dal rapporto tra la dstanza PF d un punto P della curva dal fuoco F e quella PH dello stesso punto dalla drettrce d. e PF PH Consderato l vertce O della paraola, s ha: a PO e 4 PD a 4 Come ga noto, le paraole hanno eccentrctà e

8 58 Paraola come luogo geometrco. Fg.6.6 Da quanto esposto la paraola s può defnre come l luogo geometrco de punt del pano l cu rapporto costante e, denomnato eccentrctà, tra la dstanza da un punto fsso detto fuoco F e quella da una retta denomnata drettrce d è par all untà. Da cu: PF (6.5) PH PF PH (6.6) Dalla espressone (6,6) s può defnre la paraola come: l luogo geometrco de punt del pano equdstant da un punto fsso F detto fuoco e da una retta d detta drettrce. S consder la fg.6,6. Sa F l fuoco e d la retta drettrce, dstant p l uno dall altra. S assumano, come rfermento, due ass cartesan, con l asse y passante per l fuoco F perpendcolare alla retta drettrce d, l orgne O sull asse y a metà dstanza tra fuoco e drettrce, l asse, ovvamente, passante per l orgne e perpendcolare all asse y.. Dal rfermento assunto ne vene che: Il fuoco ha coordnate p F, p (6.7) Equazone della drettrce è: p (6.8) L orgne O, essendo equdstante dal fuoco e dalla drettrce, appartene alla paraola P generco delle curva; affnché appartenga alla paraola occorre che rspett la condzone espressa dalla (6,6): Consderamo un punto (, y) dove: PF sosttuendo nella (6.6) ( ) PF PH (6.6) y p PH y p

9 59 ( ) elevando al quadrato y p y p p p p p y y y y p p y 4 4 (6.9) p Posto a (6.) p l equazone della paraola è nella forma canonca p y a (6.) Dalla (6.) la dstanza p del fuoco dalla drettrce è espresso rspetto al coeffcente a : p a Sosttuendo nella (6.7), (6.8) s ottene l fuoco e l equazone delle drettrce rspetto al coeffcente a Fuoco F, a F, (6.) Drettrce a (6.3)

10 6. Studo della paraola nella forma In coordnate omogenee y a c Tpo d conca a c Matrce caratterstca A c a Dscrmnante A a a a A a La conca è una paraola. Essendo A la conca è tangente alla retta mpropra (due punt mpropr concdent) Punto mpropro della conca Intersecando con la retta mpropra a c a ρ con qualsas ρ Coordnate punto mpropro Posto ρ Punto mpropro paraola (,,) Concde con la drezone dell asse y ρ P (6.4) Centro della conca Come s è rlevato la retta mpropra è tangente alla paraola, qund essa è la polare del punto mpropro. Infatt la polare d P (,,) è

11 6 da cu c ( ) a Qund, essendo l punto mpropro (,,) esso è l centro della conca. P della paraola polo della retta mpropra (,,) C P (6.5) Asse della paraola Come s è precedentemente rlevato l asse della paraola è la polare del punto mpropro P n drezone ortogonale al punto mpropro P (,,) C della conca. Il punto mpropro della paraola s è gà determnato P (,,) Il punto mpropro n drezone ortogonale è P L asse a è la polare d P (,, ) (,, ) c ( ) a a a n coordnate non omogenee (6.6) a è una retta parallela asse y

12 6 Vertc della paraola Un vertce della paraola, come uno delle ntersezone degl ass con la conca è l suo punto mpropro. L altro vertce s ottene dall ntersezone dell asse a con la conca effettuato n coordnate non omogenee Fg.6.7 y a c a c a c c ( c) Ponamo c s ha: (6.7) dalle (6.6). (6.7) s ha l vertce della paraola V a, (6.8) Come noto, l altro vertce della paraola è lpunto mpropro V (,.) Fuoch della paraola Per completezza s rpete qu cò che è stato esposto nel punto precedente (potete anche saltare) I fuoch sono quattro punt d ntersezone delle tangent alla conca condotte da punt,, J,, cclc J ( ), ( ). I punt cclc appartengono alla retta mpropra, che, nel caso della paraola, è tangente alla conca. Ne vene che due delle tangent alla conca, j ', j', condotte da punt cclc, concdono con la retta mpropra. S hanno così seguent punt d ntersezone delle rette sotrope tangent alla conca.

13 63 Fg.6.8 j j fuoco reale F j' j' punto mpropro della paraola P C j' j Punto cclco J (,, ) j j' Punto cclco (,, ) J fg.6.9 Nella paraola v è un solo fuoco F nel campo reale al fnto; l altro fuoco reale concde con l punto mpropro della conca. Traccamo le tangent dal punto cclco (,, ) far cò s procede come al solto: J. Per p del punto cclco ( ) s determna la polare j J,, s determnano punt d ntersezone della polare p j con la conca. In questo caso v sarà un punto T j al fnto, l altro punto è l punto mpropro P C della paraola la tangente alla conca nel punto T j è la polare d esso Polare d (,, ) J Equazone conca a c

14 ( ) a c a ( ) a In coordnate non omogenee Polare j p ( ) a (6.9) Intersezone della polare j p con la conca ( ) a c a (6.) sosttuendo ( ) ( ) c a a ( ) ( ) c a S hanno due soluzon ( ) c a a S hanno due soluzon. Sosttuendo nella (6.) s ha Prmo punto ( ) ρ a con ρ ρ 64

15 65 scelto ρ Punto mpropro della paraola P (,,) Secondo punto ( ) a ( ) a a c In coordnate non omogenee svluppando a ( ) c a ( ) c a ( ) ( c) S pone c Le coordnate del secondo punto d ntersezone della polare campo reale al fnto, sono: p j con la conca, nel a ( ) (6.) Secondo punto d ntersezone, ( ), T j a (6.) La tangente alla conca nel punto T j è la polare d esso

16 Polare del punto ( ), a, T j ( ) ( ) a a c con ac 4 Svluppandos ha: ( ) ( ) c c 8a c 8ac 8a c ( ) 8a c con ac 4 8a Retta sotropa j 8a (6.3) Come noto, alla retta sotropa j, tangente alla conca, condotta dal punto cclco ( ),, J, v corrsponde una retta j complessa e conugata condotta dal punto cclco ( ),, J Retta sotropa j 8a (6.4) Il fuoco F è l ntersezone delle due rette j e j j j F 66

17 67 Intersezone j j 8a 8a (6.5) Sommando memro a memro s ha: 8a da cu In coordnate non omogenee: Sottraendo la (6.5) memro a memro s ha: da cu a In coordnate non omogenee: a Coordnate del fuoco F a Fuoco F a, (6.6) Drettrce della paraola La drettrce è la polare del fuoco Polare d F a, F c a, ( ) a a

18 68 c a a c c 8a 8ac c 8a c 8a c c da cu ( c) posto c In coordnate non omogenee: Drettrce d (6.7) Retta parallela asse y Element della paraola della paraola y a c Fg.6. Asse a Vertce V a, Fuoco F a, Drettrce

19 69 Eserczo Data la conca 3 3y y 7 Determnare l tpo d conca e tutt suo parametr caratterstc: centro ass ecc o Conca n coordnate omogenee Tpo d conca Matrce caratterstca A 7 Dscrmnante A a La conca è un ellsse Centro della conca 3 5 a a 5 3 A 3 3 ( 5) 44 > S ottene dall ntersezone d due dametr, polar d punt mpropr. Per semplctà s,,,, consderano le polar de punt mpropr degl ass cartesan X ( ), ( ) Y 7 3 Polare X (,, ) ( ) n coordnate non omogenee Polare Y (,, ) ( ) n coordnate non omogenee 5 3

20 7 Coordnate del centro Intersezone dametr Ass della conca C (, ) (6.8) Gl ass della conca sono due dametr conugat e ortogonal. La condzone d conugo e ortogonaltà per loro parametr drettor è data dalla (4..6) ( a a ) l m a m a l 5l ( 3 3) lm 5m l 5l 5m 5 5 m l m l m ± s hanno due soluzon l l ρ ρ m ρ m ρ con ρ scelto ρ Parametr drettor l l m m (6.9) punt mpropr ortogonal A A (,, ) (,, ) (6.3) Gl ass sono le rette passant per l centro (, ) dalla (6.9) C e avent parametr drettor dat y y (6.3) (6.3) Gl ass dell ellsse sono due rette nclnate rspettvamente: d 45, settrce del prmo e terzo quadrante; d 45, settrce del secondo e quarto quadrante.

21 7 Vertc dell ellsse I vertc sono le ntersezon degl ass con la conca Vertc sull asse Fg y y 7 (6.33) S hanno vertc sull asse 3 ± (6.34) 3 3 V, 3 3 V, (6.35) Vertc sull asse 3 3y y 7 (6.33) S hanno vertc sull asse ± (6.36) V V (, ) (, ) (6.37)

22 7 Fuoch dell ellsse Sono quattro punt d ntersezone delle tangent alla conca condotte da punt cclc (,, ) J,,. Ved Fg6.. J, ( ) Fg.6. Fg.6.3 Come al solto, le tangent s ottengono con lo stesso procedmento pù volte esposto. Così J,, (ved fgura concettuale (Fg.6.3) per la tangente j condotta dal punto cclco ( ) s determna la polare j p del punto cclco (,, ) s determnano punt d ntersezone della polare p j con la conca. In questo caso v sarà un punto T j al fnto, l altro punto è l punto mpropro P C della paraola la tangente alla conca nel punto T j è la polare d esso J 7 3 Polare d J (,, ) ( ) 3 5 ( 3 5) ( 5 3) ( 3 5) ( 5 3) n coordnate non omogenee Polare p J 3 5 (6.38) 5 3 c

23 73 3 3y y 7 (6.39) 3 3 ( 3 5) ( 5 3) ( 5 3) 3 ( 3 5) ( 3 5) ( 5 3) ( 5 3) 7 [ ] 7 ( 5 ) ( 5 3 ) ( 5 3 ) ( 5 3 ) ( 5 3) (6.4) Rcordamo Svluppo o S applca la formula d De Movre n ( cosϕ senϕ ) z ρ n n z z ρ cos π n n così: ( ϕ kπ ) sen ( ϕ k ) z ϕ kπ ρ cos n sen ϕ kπ n per z ρ π ϕ π kπ cos sen π kπ

24 74 s hanno due soluzon che s rpetono perodcamente k π π cos sen 4 4 ( ) k π π cos π sen π 4 4 ( ) o Sosttuendo nella (6.39) due valor della ntersezone T j, T della polare ' j p J con la conca, s hanno le ascsse de due punt d Runendo le due soluzon j j' ( ) ( 5 3) ( ) ( 5 3) ± ( ) ( 5 3) 4 ± ( ) ± ( 8 8) Ascsse de, puntt j, ' j (6.4) T ± ( 9 4) Sosttuendo nel sstema (6.39) s ottengono le ordnate de punt T j, T ' j ± ( 9 4) ± ± ± ±

25 75 y ± ( 8 8) ± ( 9 4) Ordnate de, puntt j, ' j (6.4) T ± ( 9 4) Per le (6.4) e (6.4) punt d ntersezone T j, T della polare ' j p J con la conca sono: Tj T j' ( 9 4), ( 9 4) ( 9 4), ( 9 4) (6.43) Tangente alla conca nel punto Tj S ottene determnando la polare del punto Polare del punto T j (tangente j alla conca nel puntot j ) Fg.6.3 In coordnate omogenee : Equazone conca Punto j T ( ) ( ) T j, 9 4, 9 4 Polare d j 7 3 T ( ) 3 5 ( 9 4) 5 ( 9 4) 7 3 ( 9 4) 5 ( 9 4) 5 ( 9 4) 3 ( 9 4) Tangente j (6.44)

26 76 Tangente j alla conca conugata d j Come s è dmostrato, alla tangente j alla conca, condotta dal punto cclco J (,, ), v corrsponde una tangente j, complessa conugata, condotta dal punto cclco J (,, ) S ha qund Tangente j (6.45). Tangente alla conca nel punto T j ' Equazone conca Punto T ( ) ( ) j' T j, 9 4, 9 4 Polare d j 7 3 T ( ) 3 5 ( 9 4) 5 ( 9 4) 7 3 ( 9 4) 5 ( 9 4) 5 ( 9 4) 3 ( 9 4) Tangente j' (6.46) Tangente j' alla conca conugata d j' Alla tangente ' tangente, complessa conugata ' j alla conca, condotta dal punto cclco J (,, ) j, condotta dal punto cclco J (,, ), v corrsponde una. S ha qund Tangente j' (6.47) S hanno così le quattro tangent alla conca J (,, ). J (,, ) j, j, j', j' date dalle rette (6.44), (6.45), (6.46), (6.47):, condotte da punt cclc

27 77 Tangente j (6.44) Tangente j (6.45) Tangente j' (6.46) Tangente j' (6.47) Fuoch real Sono le ntersezon delle rette sotrope, complesse conugate, condotte da punt cclc J (,, ). J (,, ) e tangent alla conca. Fuoco F Intersezone j j Sommando memro a memro: n coordnate non omogenee: (6.48) Sottraendo memro a memro: S ha l sstema: n coordnate non omogenee: (6.49)

28 78 (6.5) Coordnate del fuoco F F, (6.5) Fuoco F Intersezone j' j' Sommando memro a memro: n coordnate non omogenee: (6.5) Sottraendo memro a memro: n coordnate non omogenee: (6.53) S ha l sstema: (6.54)

29 79 Coordnate del fuoco F F, (6.55) I due fuoch F F sono sull asse dell ellsse Fuoch mmagnar Sono le ntersezon delle rette sotrope, non complesse conugate, condotte da punt cclc J (,, ). J (,, ) e tangent alla conca. S hanno le ntersezon F ntersezone j j' F ntersezone j' j Fuoco F Intersezone j j' Sommando memro a memro: n coordnate non omogenee: (6.56) Sottraendo memro a memro:

30 8 n coordnate non omogenee: (6.57) S ha l sstema: (6.58) Coordnate del fuoco F, (6.59) F Fuoco F Intersezone j' j Sommando memro a memro: n coordnate non omogenee: (6.6) Sottraendo memro a memro: n coordnate non omogenee: (6.6)

31 8 S ha l sstema: (6.6) Coordnate del fuoco F, (6.63) F I due fuoch mmagnar F, F sono punt compless conugat la cu retta d congunzone è l asse reale della conca Drettrc della conca Sono le polar de fuoch. Consderamo solamente fuoch real Polare del fuoco F, In coordnate omogenee: F,, 7 3 Polare ( ) In coordnate omogenee Drettrce d y 8 8

32 È una retta parallela all asse dell ellsse y Polare del fuoco, F In coordnate omogenee:,, F Polare ( ) In coordnate omogenee Drettrce d 8 y 8 y È una retta parallela all asse dell ellsse y Parametr della conca Fg.6.4 Ass y a y a Centro ( ) C, Vertc 3, 3 V 3, 3 V 3, 3 V 3, 3 V 4 3 Drettrc 8 y d 8 y d 8

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