Analisi agli elementi finiti di campi vettoriali

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1 Anals agl element fnt d camp vettoral Carlo Forestere December, 04 Formulazone n forma debole d equazon d campo vettorale Sa R un domno bdmensonale Fg. rempto da un materale lneare, sotropo, tempo nvarante, non-dspersvo spazalmente, caratterzzato dalla permttvtà ε e dalla permeabltà magnetca µ 0. Sa Γ la frontera d ed n l vettore normale a tale curva nel pano. La curva Γ consste nell unone d due curve Γ = Γ D Γ N. Sa J mp la denstà d corrente mpressa all nterno del domno. Il campo elettromagnetco n E, H deve Fgure : Domno del problema e relatva frontera Γ. Γ è costtuta da due part: Γ D su cu vene mposta condzone d Drclet e Γ N su cu vene mposta una condzone d tpo mpedenza. soddsfare le equazon d Maxwell: E = ωµ 0 H, a H = +ωεe + J mp, b ɛe = ω J mp, c µ 0 H = 0. d

2 e le condzon al contorno: n E = P su, Γ D a µ 0 n E + γn n E = Q su Γ N. b Combnando l equazon d Maxwell a rotor,.e. a e b, s ottene l eq d Helmoltz: E µ 0 εω E = µ 0 ωj mp.. Formulazone debole Al fne d determnare la formulazone debole del problema, moltplcamo l eq. per una funzone d test W ed ntegramo sul domno. W E ds ω µ 0 εw E ds = µ 0 ω W J mp ds 4 Sfruttando l denttà vettorale W E = W E W E 5 ed l teorema d Gauss s ottene: W E ds ω µ 0 µ 0 ω W J mp ds + εw E ds = Γ D Γ N W E n dl 6 usando le condzon al contorno s pervene alla formulazone n forma debole del problema: W E ds ω µ 0 εw E ds = µ 0 ω W J mp ds+ n W E + µ 0 Q W dl + µ 0 γ n W n E dl Γ D Γ N Γ N Edge Elements. Rcam funzon a tenda Con rfermento alla Fg., sa ϕ e la restrzone della funzone nodale assocata al nodo e rstretta all elemento T e. Essa è defnta delle seguent propretà ϕ e lneare n T e, 7

3 Fgure : Numerazone locale de nod n blue e de lat rosso dell elemento trangolare T e. L orentazone scelta de lat è rportata con frecce. ϕ e = δ {,, },. D conseguenza rsulta ce ϕ e + ϕ e + ϕ e =. La funzone d base ϕ e puo essere espressa n termn geometrc nel modo seguente: dove ϕ e = A e A e tot A e = A e = A e = A tot = {,, }, 8 ẑ, 9a ẑ, 9b ẑ, 9c ẑ. 9d In Fg. rportamo una rappresentazon delle tre funzon ϕ e, ϕe, ϕe E mmedato scrvere l gradente della restrzone delle funzon nodal: ϕ e = ẑ = ĥ, A tot 0a ϕ e = ẑ = ĥ, A tot 0b Il gradente ϕ e ϕ e = A tot ẑ = ĥ. gode delle seguent propreta 0c S not ce s e assunta un orentazone antorara de nod del trangolo. Nel caso d orentazone orara de nod del trangolo cascuna delle Eq. 9 cambera segno ma l loro rapporto dato dall Eq. 8 restera nalterato.

4 Fgure : Funzon nodal ϕ e snstra, ϕ e centro, ϕ e destra ϕ e costante n cascun elemento, d valore par all nverso dell altezza relatva al nodo drezonato secondo l altezza al nodo ed orentato verso l nodo Fg. 4 Fgure 4: Gradente delle funzon nodal ϕ e snstra, ϕ e centro, ϕ e destra con rfermento all orentazone locale de nod d Fg.. Edge Elements su element trangolar La restrzone dell edge-element N e assocato all -esmo lato orentato della mes all elemento trangolare T e ved Fg. è defnta tramte le funzon nodal ϕ e : N e = ϕ e ϕe ϕ e ϕe a N e = ϕ e ϕe ϕ e ϕe b N e = ϕ e ϕe ϕ e ϕe c d Le funzon N e sono rappresentate n Fg. 5. Come traspare dalla fgure, le funzon N e ammettono una componente tangenzale dversa da zero solo lungo l edge al quale esse sono assocate. E mmedato dmostrare ce tale 4

5 Fgure 5: Restrzone degl edge Elements relatv al trangolo T e componente tangente e d valore par al recproco della lungezza del lato corrspondente. Inoltre, la funzone d base globale N e dversa da zero solo su trangol ce condvdono l lato. Inoltre sul lato condvso tra due trangol adacent tale componente tangente è contnua. Pocè abbamo ce ϕ e + ϕ e + ϕ e = gl edge elements possono essere scrtt solo n funzone d φ e φ ovvero: con N e N e N e = N N N N N N.4 Metodo d Galerkn = N N N N N N ϕ e ϕ e ϕ e ϕ e ϕ e ϕ e ϕ e ϕ e, S consder l nseme de lat della mes ce o sono ntern al domno o cadono su Γ N, e s ndc con N la generca funzone d base assocata al - esmo elemento d questo nseme e sa n e la dmensone d quest nseme. S consder po l nseme de lat ce cadono su Γ D lungo qual la componente tangente d E è nota e s ndc con N D la generca funzone d base assocata al -esmo elemento d questo nseme e sa n D la dmensone a d quest nseme. Allora l campo elettrco sul domno puo dunque essere espresso n termn delle funzon d base: n e E = x N + = n D = x D ND, 4 dove x D sono coeffcent not per la condzone al contorno a. Seguendo l metodo d Galerkn sceglamo le funzon peso W = N e sosttuendo 5

6 l espansone 4 n 7 s ottene l sstema lneare d n e equazon n n e ncognte: dove s a, {,..., n e }, A = b = µ 0 ω n D = N N ds ω µ 0 Ax = b, 5 N J mp ds + µ 0 Γ N N Qdl+ x D N N D ds ω µ 0 εn N ds µ 0 γ n N n N dl, Γ N n D = x D 6 εn N D ds. 7 S not ce l ntegrale su Γ D nell eq. 7 è nullo, pocè n N = 0 su Γ D {,..., n e }..5 Autovalor ed autovettor n una cavtà Consderamo l problema agl autovalor, ce s ottene a partre dalle equazon -, assumendo ε = ε 0 n, Q = 0, γ = 0, Γ = Γ N, coè: E = k E, n E = 0 on Γ. 8 Il problema dscretzzato dvene dunque: Sx = k Mx, 9 dove le matrc d stffness S e d massa M sono defnta come segue: S = M = N N ds, 0 N N ds. Il calcolo delle matrc s stffness e d massa può essere effettuato localmente su cascun elemento a patto d preservare la stessa orentazone de lat su scala globale e locale. 6

7 Calcolo degl element della matrce d massa Consderamo l calcolo della matrce d massa locale relatva all elemento trangolare T e. Con rfermento alla Fg. la generca occorrenza M e della matrce d massa locale M e s ottene consderando l nterazone tra l edge element N e assocato al lato e l edge element N e assocato al lato,, {,, },.e.: M e = Usando le Eq. nella Eq. s a: M e = = k= ϕ e ϕe k N e T e N e ds. T e N x, y N k x, y dxdy. Gl ntegral a secondo membro possono essere calcolat tramte la trasfor- Fgure 6: Trasformazone lneare-affne T del trangolo T e nel trangolo standard T 0. mazone lneare-affne T del trangolo T e nel trangolo standard T 0,.e. x ˆx ˆx = x y r ŷ ŷ y + ˆx, ŷ 4 caratterzzata dal determnante Jacobano: det J = Dunque la dventa: M e = det J ẑ. 5 ϕ e ϕ e P + ϕ e ϕ e P + ϕ e ϕ e P 6 7

8 dove: P = P = x x 0 0 N x, y N x, y dy dx {, }, 7a N x, y N x, y + N x, y N x, y dy dx. 7b Procedamo, a ttolo d esempo al calcolo d P. Rcordamo ce nel sstema d rfermento x, y le funzon nodal assumono la forma: ϕ e x, y = x, 8a x, y = y. 8b ϕ e Usando la defnzone delle funzon N e N data n Eq. e l espressone delle funzon nodal data n Eq. 8, la Eq. 7a per = dventa: P = P = P = P = P = P = ovvero, n forma compatta: Analogamente s ottene: P = x x x x x x 0 0 P = y dy dx =, 9a y y dy dx =, y dy dx =, 9b 9c y dy dx =, 9d y y dy dx =, 9e y dy dx = ; +, P = 9f

9 Calcolo degl element della matrce d stffness Consderamo l calcolo della matrce d stffness locale relatva all elemento trangolare T e. Con rfermento alla Fg. la generca occorrenza S e della matrce d stffness locale S e s ottene consderando l nterazone tra l edge element N e assocato al lato e l edge element N e assocato al lato,, {,, },.e.: S e = N e T e N e ds. Usando le Eq., e l fatto ce = 0, l Eq. dventa: [ ] [ ] N e = N ϕ e + N ϕ e = N ϕ e + N ϕ e, per la regola d dervazone delle funzon composte s a: N ϕ x, y, ϕ x, y = [ ϕ ϕ,ϕ N x, ϕ x ed analogamente s ottene, ϕ,ϕ N ϕ y, ϕ ] y N ϕ x, y, ϕ x, y = N Sosttuendo le Eqs. 4-5 nella s a: N e = N ϕ e ϕ e ϕe + N ϕ e ϕ e = N ϕ e ϕe = ẑ det J ϕ e ϕ e, 4 ϕ e. 5 N ϕ e N ϕ e 6 dove abbamo usato l fatto ce: ϕ e ϕ e = 4A = ẑ tot det J. 7 La matrce d Stffness n Eq. dventa dunque S e = N e T e det J e T e N e ds = N ϕ e N ϕ e N ϕ e N ϕ e dxdy = R det J e, 8, 9

10 dove: R = N ϕ e N R = ϕ e N ϕ e N ϕ e, 9 40 References [] Jan-Mng Jn, Teory and Computaton of Electromagnetc Felds, Wley-IEEE Press 00 [] Anders Bondeson, Tomas Rylander, Pär Ingelström Computatonal Electromagnetcs, Sprnger 005. [] Partal Dfferental Equaton Toolbox Manual [4] G. Mano, Note d Modell Numerc per Camp 0