ALGEBRA LINEARE I (A) PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 2006/07, GEMMA PARMEGGIANI

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1 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI Unverstà degl Stud d Padova Dpartmento d Matematca Pura e Applcata va Belzon, Padova Programma del corso. Nota : Operazon elementar sulle rghe d una matrce. Nota : Osservazon sul rango d una matrce. Nota 3: Calcolo d determnant. Esercz Tpo. Eserctazon a grupp. Typeset by AMS-TEX

2 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI PROGRAMMA SVOLTO Il testo d rfermento è: Algebra Lneare, E. Gregoro, S. Salce, ed. Lbrera Progetto Padova 7//6 Matrc. Esemp. Tp partcolar d matrc. Prodotto d una matrce per uno scalare. Somma d due matrc. Propretà della somma e del prodotto per uno scalare. Prodotto d un vettore rga per un vettore colonna. Dal lbro: Da pag. a pag. 7. Esercz per casa: Eserczo delle Eserctazon *. 8//6 Prodotto rghe per colonne d matrc. Esemp. Propretà del prodotto rghe per colonne. Premoltplcazone e postmoltplcazone per matrc dagonal. Il prodotto rghe per colonne non è commutatvo. Trasposta, conugata ed H-trasposta d una matrce. Dal lbro: Da pag. 7 a pag. 4. Esercz per casa: Esercz, 3, 4, 5 delle Eserctazon *. 9//6 Matrc smmetrche, ant-smmetrche, hermtane, ant-hermtane e loro propretà. Parte hermtana ed ant-hermtana d una matrce quadrata. Potenze d matrc quadrate. Esercz teorc. Dal lbro: Da pag. 4 a pag. 6. Esercz per casa: Esercz 6, 7 delle Eserctazon *. 4//6 Sottomatrc. Decomposzone a blocch e operazon a blocch. Cas partcolar d decomposzon a blocch. Scrttura matrcale d un sstema lneare. Operazon elementar sulle equazon d un sstema. Dal lbro: Da pag. 7 a pag.. Esercz per casa: Eserczo 8 delle Eserctazon *. 5//6 Operazon elementar sulle rghe d una matrce. Elmnazone d Gauss (EG. Forma rdotta d Gauss d una matrce, colonne domnant, colonne lbere. Esemp. Dal lbro: Da pag. a pag.. Nota sulle operazon elementar (fle sulla pag. web, Esercz per casa: Esercz e delle Eserctazon *. 6//6 Rsoluzone d sstem lnear. Esemp d sstem lnear senza soluzon, con un unca soluzone, con nfnte soluzon. Esercz Tpo e. Dal lbro: Da pag. 3 a pag. 3. Esercz per casa: Esercz 3 e 4 delle Eserctazon *. //6 Rango d una matrce. Inverse destre, snstre blatere. Esemp. Inverse d matrc. Crtero per l esstenza d una nversa destra e sua costruzone.

3 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 3 Dal lbro: Da pag. 3 a pag. 36. Nota : osservazon sul rango d una matrce (fle sulla pag. web. Esercz per casa: Esercz e delle Eserctazon *3. //6 Eserczo Tpo 3. Come costrure l nversa snstra d una matrce la cu trasposta abba un nversa destra (esempo numerco: eserczo Tpo 3 bs. Crtero per l esstenza d una nversa snstra. Algortmo d Gauss-Jordan per l calcolo dell nversa. Eserczo Tpo 4. Dal lbro: Da pag. 4 a pag. 46. Esercz per casa: Esercz 3, 4 e 5 delle Eserctazon *3. 3//6 Spaz vettoral. Esemp. Sottospaz vettoral. Esemp ed esercz. Dal lbro: Da pag. 63 a metà pag. 7. Esercz per casa: Esercz 6, 7 e 8 delle Eserctazon *3. 8//6 Lo spazo nullo d una matrce. Insem d vettor. Sottonsem ed unon d nsem d vettor. Combnazon lnear. Sottospaz generat da nsem d vettor. Insem d generator. Eserczo Tpo 5. Dal lbro: Da pag. 7 a metà pag. 73. Esercz per casa: Esercz e delle Eserctazon *4. 9//6 Esemp d nsem d generator. Insem d vettor lnearmente dpendent e nsem d vettor lnearmente ndpendent. Eserczo Tpo 6. Dal lbro: Da pag. 73 a pag. 76. Esercz per casa: Esercz 3 e 4 delle Eserctazon *4. //6 Bas. Esemp d bas. Caratterzzazone delle bas come nsem d generator mnmal. Ogn spazo vettorale fntamente generato ha una base. Come estrarre una base da un nseme d generator. Caratterzzazon delle bas come nsem lnearmente ndpendent massmal. Eserczo Tpo 7. Dal lbro: Da pag. 77 a pag. 83 e Teorema 3.3 e 3.4 pag. 86. Esercz per casa: Esercz 5 e 6 delle Eserctazon *4. 8//7 Teorema 3.7 (Teorema d Stentz. Teorema 3. (equpotenza delle bas d uno spazo vettorale fntamente generato. Dmensone d uno spazo vettorale. Enuncato Prop Defnzone d somma e d somma dretta d sottospaz. Applcazon lnear. Esemp. Applcazone lneare ndotta da una matrce. Dal lbro: Da pag. 83 a pag. 9. Esercz per casa: Eserczo 7 delle Eserctazon *4 ed eserczo delle Eserctazon *5. 9//7 Spazo nullo e mmagne d un applcazone lneare. Il caso d un applcazone lneare ndotta da una matrce. Teorema nulltà+rango. Dmensone dello spazo delle colonne e dmensone dello spazo nullo d una matrce. Eserczo Tpo 8. Bas dello spazo delle colonne e dello spazo delle rghe d una matrce. Dal lbro: Da pag. 9 a pag. 3.

4 4 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI Esercz per casa: Esercz, 3 e 4 delle Eserctazon *5. //7 Esercz Tpo 9 e. Propretà del rango. Bas ordnate. Coordnate d un vettore rspetto ad una base ordnata. Esemp. Dal lbro: Teorema 5. a pag.. Da pag. 5 a pag. 6. Esercz per casa: Eserczo 5 delle Eserctazon *5. 5//7 Applcazne delle coordnate. Matrce assocata ad un applcazone lneare rspetto a fssate bas su domno e codomno. Matrce d passaggo da una base ordnata ad un altra. Esercz Tpo e. Dal lbro: Da pag. 6 a pag.. Esercz per casa: Esercz 6 e 7 delle Eserctazon *5. 6//7 Come camba la matrce assocata ad una applcazone lneare rspetto a fssate bas su domno e codomno cambando le bas sul domno e sul codomno. Interpretazone geometrca d R ed R 3. Regola del parallelogramma. Norme d vettor. Le norme.,. e.. Eserczo Tpo 3. Dal lbro: Da pag. a pag. 3. Appendce C: da pag. 87 a pag. 9. Da pag. 9 a pag. 4. Esercz per casa: Eserczo delle Eserctazon *6. 7//7 Il coseno dell angolo tra due vettor d R. Prodott ntern. Il prodotto nterno standard. La norma ndotta da un prodotto nterno. La dseguaglanza d Cauchy-Schwarz (enuncato. Il coseno dell angolo tra due vettor d uno spazo vettorale eucldeo. Esercz Tpo 4 e 5. Dal lbro: Da pag. 5 a pag. 8 e da pag. 3 a pag. 33. Esercz per casa: Esercz, 3 e 4 delle Eserctazon *6. //7 Vettor ortogonal n uno spazo eucldeo. Insem ortogonal e bas ortogonal. Bas ortonormal. L algortmo d Gram-Schmdt. La proezone ortogonale d un vettore d uno spazo eucldeo su d un sottospazo, ed l suo calcolo. Eserczo Tpo 6. Dal lbro: Da pag. 4 a pag. 5. Esercz per casa: Esercz 5 delle Eserctazon *6. 3//7 Il complemento ortogonale d un sottospazo d uno spazo eucldeo. Nota 3: calcolo d determnant e propretà de determnant (fle sulla pag. web. Esercz Tpo 7 e 8. Dal lbro: Da pag. 33 a pag. 35. Esercz per casa: Eserczo 6 delle Eserctazon *7 ed esercz e delle Eserctazon *7.

5 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 5 NOTE Nota : Operazon elementar sulle rghe d una matrce Sa A una matrce m n. S chamano operazon elementar sulle rghe d A le tre seguent operazon: sommare ad una rga un altra rga d A moltplcata per uno scalare, moltplcare una rga d A per uno scalare non nullo, scambare due rghe d A. Notazon Sa B la matrce che s ottene da A sommando alla -esma rga d A la j-esma rga d A moltplcata per lo scalare c, ossa sa B [b kr ] la matrce con tutte le rghe dverse dalla -esma ugual alle corrspondent rghe d A [a kr ], e con -esma rga l vettore rga ( b b... b n ( a + ca j a + ca j... a n + ca jn. Per ndcare che B è la matrce ottenuta dalla matrce A eseguendo l operazone elementare sommare alla -esma rga la j-esma rga moltplcata per lo scalare c, scrvamo: A Ej (c B. Sa B la matrce che s ottene da A moltplcando la -esma rga d A per lo scalare c (c, ossa sa B [b kr ] la matrce con tutte le rghe dverse dalla -esma ugual alle corrspondent rghe d A [a kr ], ed con -esma rga l vettore rga ( b b... b n ( ca ca... ca n. Per ndcare che B è la matrce ottenuta dalla matrce A eseguendo l operazone elementare moltplcare la -esma rga per lo scalare (non nullo c, scrvamo: A E(c B. Sa B la matrce che s ottene da A scambando la -esma rga d A con la j-esma, ossa sa B [b kr ] la matrce con tutte le rghe dverse dalla -esma e dalla j-esma ugual alle corrspondent rghe d A, e con -esma e j-esma rga rspettvamente: ( b b... b n ( a j a j... a jn, ( b j b j... b jn ( a a... a n. Per ndcare che B è la matrce ottenuta dalla matrce A eseguendo l operazone elementare scambare la -esma rga con la j-esma rga, scrvamo: A Ej B. N.B. I smbol E j (c, E (c e E j rappresentano n realtà opportune matrc, dette matrc elementar. Abbamo scelto, con abuso d notazone, d ndcare le operazon elementar sulle rghe d una matrce con gl

6 6 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI stess smbol con cu vengono ndcate le matrc elementar pochè, come s vedrà n un corso superore, v è tra esse una stretta connessone.

7 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 7 Nota : Osservazon sul rango d una matrce Sa A una matrce m n. Se U ed U sono due forme rdotte d Gauss per A, allora l numero delle rghe non nulle d U è uguale al numero delle rghe non nulle d U. Có dpende dal fatto che l esstenza d dverse forme rdotte d Gauss per una matrce dpende esclusvamente dalla eventuale possbltà d fare delle scelte negl scamb d rghe n una EG su A, e gl scamb d rghe non decrescono l numero delle rghe non nulle. Il numero delle rghe non nulle d una forma rdotta d Gauss d A dpende qund esclusvamente da A (e non dalle operazon elementar che s fanno n una EG su A e s chama l rango d A (pú avant nel corso daremo un altra defnzone d rango d una matrce, equvalente a questa. S ndca con l smbolo rk(a. Sano A una matrce m n d rango k ed U una forma rdotta d Gauss per A. Pochè ogn scalno d U è alto una rga, allora k numero delle rghe non nulle d U numero delle colonne domnant d U. 3 Se A una matrce m n d rango k allora k m e k n. Infatt se U è ua forma rdotta d Gauss per A allora U è m n e k numero delle rghe non nulle d U numero delle rghe d U m k numero delle colonne domnant d U numero delle colonne d U n

8 8 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI Nota 3: Calcolo d determnant Sa A una matrce quadrata d ordne n. Il determnante d A è un numero che dpende da A. Esso s ndca con l smbolo det(a, oppure Det(A. Imparamo a calcolarlo, comncando con cas n,, 3. Il caso n. Se A ( a, è Det(A a. a a Il caso n. Se A, è Det(A a a a a a a. 3 Esempo. Il determnante d A è Det(A a a Abbamo detto che Det a a a a a a. Osservamo che a a a ( + Det ( a a ( (la somma degl ndc d a Det ( a a ( (la somma degl ndc d a l determnante della matrce che s ottene da A sopprmendo la a rga e la a colonna d A ( l determnante della matrce che s ottene da A a ( (la somma degl ndc d a sopprmendo la rga e la colonna n cu s trova a e a a a ( + Det ( a a ( (la somma degl ndc d a Det ( a a ( (la somma degl ndc d a l determnante della matrce che s ottene da A sopprmendo la a rga e la a colonna d A ( l determnante della matrce che s ottene da A a ( (la somma degl ndc d a sopprmendo la rga e la colonna n cu s trova a. Indcando con smbol C C la matrce che s ottene da A sopprmendo la a rga e la a colonna, la matrce che s ottene da A sopprmendo la a rga e la a colonna, ed noltre A ( + DetC, A ( + DetC,

9 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 9 abbamo: a a Det a a a A + a A. S tenga a mente che a ed a sono gl element della a rga d A. a a Qund se A, quello che abbamo fatto per calcolare Det(A è stato: a a ( mettere n evdenza gl element della a rga d A: a a, a a ( per cascuna poszone (, j della a rga d A (posto (, e posto (, costrure la matrce C j (ottenuta sopprmendo da A la a rga e la j esma colonna d A, calcolare Det(C j, calcolare ( +j, calcolare A j ( +j Det(C j, (3 calcolare l prodotto ( a a ( A A. Il caso n3. Sa A a a a 3 a a a 3. Per calcolare Det(A procedamo come abbamo fatto nel caso a 3 a 3 a 33 n. ( Mettamo n evdenza gl element della a rga d A: a a a 3 a a a 3. a 3 a 3 a 33 ( per cascuna poszone (, j della a rga d A (posto (,, posto (, e posto (, 3 costruamo la matrce C j (ottenuta sopprmendo da A la a rga e la j esma colonna d A: a a C 3 a a, C a 3 a 3 a a, C 33 a 3 a a 3 a 3 calcolamo Det(C j, usando l caso n, ossa l caso precedente a quello che stamo analzzando ora (che è n 3: a a DetC Det 3 a a 3 a a 33 a 3 a 3, 33 a a DetC Det 3 a a 3 a a 33 a 3 a 3, 33 a a DetC 3 Det a a 3 a a 3 a a 3, 3

10 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI calcolamo ( +j : ( +, ( +, ( +3, calcolamo A j ( +j Det(C j : A ( + DetC a a 33 a 3 a 3, A ( + DetC (a a 33 a 3 a 3, A 3 ( +3 DetC 3 a a 3 a a 3. (3 Il determnante d A è l prodotto Det a a a 3 a a a 3 ( a a a 3 A A a A + a A + a 3 A 3 a 3 a 3 a 33 A 3 a ( + DetC + a ( + DetC + a 3 ( +3 DetC 3 Esempo. Calcolamo l determnante della matrce A In questo caso abbamo per cu C DetA 3( + Det a 3, a, a 3, 4 4, C 6 3, C ( ( + Det 6 3 ( 6, 4 + ( +3 Det 3 3(3 4 + ( ( ( 8 + ( 3( Quello che abbamo fatto è qund: (a per le matrc porre Det( a a, (b dare una formula che permetta d calcolare l determnante delle matrc sapendo come calcolare l determnante delle matrc, ossa dare una formula che permetta d calcolare l determnante delle matrc nel caso n sapendo come calcolare l determnante delle matrc nel caso precedente, coè l caso n (s veda l punto (a, (c dare una formula che permetta d calcolare l determnante delle matrc 3 3 sapendo come calcolare l determnante delle matrc, ossa dare una formula che permetta d calcolare l determnante delle matrc nel caso n 3 sapendo come calcolare l determnante delle matrc nel caso precedente, coè l caso n (s veda l punto (b. Procedamo qund allo stesso modo, dando una formula che permetta d calcolare l determnante delle matrc n n sapendo come calcolare l determnante delle matrc (n (n, ossa dare una formula

11 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI che permetta d calcolare l determnante delle matrc nel caso n sapendo come calcolare l determnante delle matrc nel caso precedente, coè l caso n. Sa dunque A ( a j una matrce n n. Comncamo con l dare la seguente defnzone: Def.. Per ogn n e j n s chama matrce complementare dell elemento a j od anche matrce complementare d posto (,j n A, e s ndca con l smbolo C j, la matrce che s ottene da A sopprmendo la -esma rga e la j-esma colonna. Dunque C j è una matrce (n (n Esempo 3. Se A , allora toglendo la a rga e la 4 a colonna C toglendo la a rga 3 4 e la 5 a colonna C Def.. Per ogn n e j n s chama cofattore d posto (,j d A, e s ndca con l smbolo A j, l numero A j ( +j Det (C j, dove C j è la matrce complementare d posto (, j n A. S ha: Formula del determnante d una matrce svluppato rspetto alla a rga se A ( a j è una matrce n n allora DetA a A + a A a,n A,n + a n A n dove A, A,..., A,n, A n sono cofattor d A d post (,, (,,..., (, n, (, n (ossa post della a rga rspettvamente Esempo 4. Calcolamo l determnante della matrce A. 7 5

12 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI Usando la formula dello svluppo del determnante rspetto alla a rga d A abbamo: DetA A + ( 5 A + A A 4 A 5A + 3A 4. Dobbamo qund calcolare A,A ed A 4. A ( + Det Det ( ( + Det 5 Dunque ottenamo: + ( + Det ( + 4(, A ( + Det Det 5 ( (6( + Det 5 + ( + Det (6( + 4( ( 6 4, A 4 ( +4 Det Det 7 5 ( (6( + Det ( + Det (6( ( (. + 4( +3 Det 7 + 4( +3 Det + ( +3 Det DetA A 5A + 3A ( S puó dmostrare l seguente Teorema. Sa A una matrce n n. Allora, fssato {,..., n} s ha che a A + a A a,n A,n + a n A n a A + a A a,n A,n + a n A n, ossa che ( DetA a A + a A a,n A,n + a n A n.

13 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 3 ( s chama lo svluppo d Laplace del determnante d A rspetto alla -esma rga d A. Qund, per calcolare l determnante d una matrce A, s puó partre mettendo n evdenza gl element d una rga qualunque, e non necessaramente la a, come abbamo fatto fno ad ora. a a Esempo 5. Sa A una matrce. Svluppamo l determnante d A rspetto alla a a a rga d A: mettamo n evdenza gl element della a a a rga d A:, a a C è la matrce che s ottene da A toglendo la a rga e la a colonna, qund C ( a ; C è la matrce che s ottene da A toglendo la a rga e la a colonna, qund C ( a. Allora a A + a A a ( + DetC + a ( + DetC a Det ( a + a Det ( a a a + a a a a a a dà lo stesso rsultato che abbamo ottenuto partendo dalla a rga. Convene qund svluppare l determnante rspetto alla rga che contene pú zer Esempo 6. Rconsderamo la matrce dell Esempo 4, A, 7 5 determnante rspetto alla 3 a rga (che contene due zer. Allora e calcolamo l suo DetA ( ( 3+ Det ( 3+4 Det Calcolamo separatamente Det e Det 5 6. Per entrambe queste matrc 3 3 non è convenente calcolare l determnante rspetto alla 3 a rga, ma è ndfferente sceglere la a o la a. Per fare eserczo sceglamo n entramb cas la a rga: Det ( + 3 Det + 4( +3 5 Det ( 5 4( Det 5 ( 6 6( + 5 Det ( 5 + ( ( + Det 5 Qund Det(A ( 3 + ( 6 58 (lo stesso numero che avevamo ottenuto svluppando l determnante rspetto alla a rga.

14 4 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI Cosí come s puó svluppare l determnante d una matrce rspetto ad una qualunque sua rga, lo s puó svluppare rspetto ad una qualunque sua colonna, dal momento che vale l seguente Teorema. Sa A una matrce n n. Allora, fssat j {,..., n} e s ha che ( DetA a j A j + a j A j a n,j A n,j + a nj A nj. ( s chama lo svluppo d Laplace del determnante d A rspetto alla j-esma colonna d A. Convene qund svluppare l determnante rspetto alla rga oppure alla colonna che contene pú zer Esempo 7. Rconsderamo la matrce degl Esemp 4 e 6, A, e calcolamo l suo 7 5 determnante rspetto alla 3 a colonna (che contene tre zer. Allora DetA ( +3 Det ( +3 Det ( 3+3 Det ( 4+3 Det Det Calcolamo Det 6 4, ad esempo rspetto alla a colonna: Det ( 5( + Det ( + Det ( 5( ( ( ( 3+ Det qund Det(A ( (s not che è lo stesso numero che abbamo ottenuto svluppando l determnante rspetto alla a oppure alla 3 a rga. Propretà del determnante. Sa A una matrce n n. ( Se A ha una rga (rsp. una colonna nulla, oppure se A ha due rghe (rsp. due colonne ugual, allora Det(A.

15 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 5 ( Se A è la matrce che s ottene da A medante lo scambo d due rghe (rsp. due colonne allora Det(A Det(A. (3 Se A è la matrce che s ottene da A sommando ad una rga (rsp. ad una colonna d A un altra rga (rsp. un altra colonna d A moltplcata per un numero c, allora Det(A Det(A. (4 Se A è la matrce che s ottene da A moltplcando una rga (rsp. una colonna d A per un numero c, allora Det(A cdet(a. (5 Det(A T Det(A. (6 Se B è un altra matrce n n allora Det(ABDet(A Det(B. (7 A è non sngolare se e solo se Det(A, e se A è non sngolare s ha Det(A Det(A. N.B. ( Per quanto rguarda la propretà (7, s rcord che avevamo gà osservato che una matrce A a b è non sngolare se e solo se l numero ad bc, e tale numero è propro Det(A. c d Eserczo. S prov che l determnante d una matrce trangolare superore (rsp. nferore è l prodotto degl element dagonal. Sa T una matrce n n trangolare superore (la dmostrazone è smle per le matrc trangolar nferor: t t t 33 T t O t nn. Chamamo: T la matrce che s ottene da T sopprmendo la a rga e la a colonna (T è trangolare superore (n (n : t t 33 T t O... t nn T la matrce che s ottene da T sopprmendo la a rga e la a colonna (T è trangolare superore,

16 6 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI (n (n : t 33 t 44 T...., O... t nn e cosí va per ogn k,..., n chamamo T k la matrce che s ottene da T k sopprmendo la a rga e la a colonna. T k è una matrce trangolare superore (n k (n k. Svluppamo l determnante d T rpetto alla a colonna d T: DetT t ( + DetT t DetT. Svluppamo l determnante d T rpetto alla a colonna d T : DetT t DetT t (t ( + DetT t t DetT. Cosí procedendo ottenamo: DetT t t DetT t t t 33 DetT 3 t t t 33 t 44 DetT 4... t t... t n,n DetT n t t... t n,n Det ( t nn t t... t n,n t nn. In partcolare da có segue: Il determnante d una matrce dagonale è l prodotto degl element dagonal, pochè le matrc dagonal sono partcolar matrc trangolar superor. Eserczo. Sa A una matrce n n. S prov che per ogn scalare c s ha: Det(cA c n Det(A. S ha: Det(cA Det((cI n A Det(cI n Det(A. cac(ina(cin A propretà 6 del det. Pochè ci n è una matrce scalare n n, n partcolare una matrce dagonale, per l eserczo precedente s ha che Det(cI n prodotto degl element dagonal d ci n. Tal element sono tutt ugual a c, ed l loro prodotto ha n fattor (perchè ci n è n n, dunque Det(cI n c n, per cu Det(cA c n Det(A.

17 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 7 ESERCIZI TIPO ESERCIZIO TIPO Rsolvere l sstema lneare Ax b ne tre seguent cas: (a A 4 3 e b ; (b A e b 4 ; (c A e b 3. 5 (a Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema: (A b 4 3 E3( 3E( E( E 3( (U d Pochè d è domnante, allora Ux d, e qund anche Ax b, non ha soluzon. (Infatt: l sstema Ax b è equvalente al sstema Ux d, che è una scrttura compatta per x + x + x 3 ( x 3, e pochè l ultma equazone d ( non ha soluzon, ( non ha soluzon. (b Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema: (A b E3( E( E ( U d. Il sstema Ax b è equvalente al sstema Ux d, che è una scrttura compatta per x + 3x x 3 + x 4 + x 5 4 x 3 + x 4 + 4x 5 8. x 5

18 8 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI Pochè d è lbera, Ux d ammette soluzon. Pochè U ha esattamente due colonne lbere (la a e la 4 a, Ux d ha soluzon. Sceglamo come parametr le varabl corrspondent alle colonne lbere d U e con la sosttuzone all ndetro ottenamo: x h x 4 k x 5 x 3 x 4 4x k k x 3x + x 3 x 4 x h + ( k k + 4 3h 5k Dunque l nseme delle soluzon d Ux d, e qund anche d Ax b, è 3h 5k h k h, k C. k (c Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema: (A b E3( E( E( E 3( 3 (U d Il sstema Ax b è equvalente al sstema Ux d, che è una scrttura compatta per x x + x 3 x x 3 3. x 3 Pochè d è lbera, Ux d ammette soluzon. Pochè U non ha colonne lbere, Ux d ha esattamente una soluzone. Con la sosttuzone all ndetro ottenamo: x 3 x x x x x Dunque l unca soluzone d Ux d, e qund anche d Ax b, è l vettore 8 5.

19 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 9 ESERCIZIO TIPO S rsolva l sstema lneare A(αx b(α dpendente dal parametro complesso α dove α α α A(α e b(α + C 4. α α + α α α Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema. α α α (A(α b(α + E4(α+E3( α α + α α α α α α + (B(α c(α. α + α + α + CASO α (B( c( è una forma rdotta d Gauss per ( A( b(, qund A( x b( è equvalente a B( x c( che è una forma compatta per { x x ( x Pochè c( è lbera, B( x c( ammette soluzon. Pochè B( ha esattamente una colonna lbera, B( x c( ha soluzon. Sceglamo come parametro la varable corrspondente alla colonna lbera d B( (la 3 a e con la sosttuzone all ndetro da ( ottenamo x 3 h x x x L nseme delle soluzon del sstema B( x c( ( e qund l nseme delle soluzon del sstema A( x b( è h C. h CASO α α α α (B(α c(α + E3( α+ α + α + α +

20 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI α α α α α + E4( α+ α + (C(α d(α. α + α Sottocaso α (C( d( è una forma rdotta d Gauss per ( A( b(, qund A(x b( è equvalente a C(x d( che è una forma compatta per ( Pochè d( è lbera, C(x d( ammette soluzon. x x x 3 Pochè tutte le colonne d C( sono domnant, C(x d( ammette un unca soluzone. L unca soluzone d C(x d( ( e qund d A(x b( è v. α α α Sottocaso α / {, } (C(α d(α + E4( α α α α α + ( D(α e(α è una forma rdotta d Gauss per ( A(α b(α. Pochè e(α è domnante, D(αx e(α ( e qund d A(αx b(α non ammette soluzon.

21 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 3 S trovno tutte le nverse destre della matrce A. 3 Un nversa destra d A è una matrce 3 R tale che se R (c c, allora c è soluzone d ( Ax e e c è soluzone d ( Ax e (. Cerchamo tutte le soluzon d ( e (. E ( E ( (A I 3 3 E ( (U b 6 b. ( è equvalente a ( Ux b che è una forma compatta per { x + x x 6x 3 Sceglamo come parametro la varable corrspondente all unca colonna lbera d U (la 3 a e con la sosttuzone all ndetro ottenamo x 3 h x 6x 3 + 6h + x x + (6h + + 3h L nseme delle soluzon d ( è 3h 6h + h C. h ( è equvalente a ( Ux b che è una forma compatta per { x + x x 6x 3 Sceglamo come parametro la varable corrspondente all unca colonna lbera d U (la 3 a e con la sosttuzone all ndetro ottenamo x 3 k x 6x 3 6k x x (6k 3k +

22 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI L nseme delle soluzon d ( è 3k + 6k k C. k Le nverse destre d A sono esattamente tutte le matrc del tpo R(h,k varare d h, k C. 3h 3k + 6h + 6k, al h k ESERCIZIO TIPO 3 bs S trovno tutte le nverse snstre della matrce A. 3. Ponamo B A T.. Cerchamo tutte le nverse destre d B. Dall ESERCIZIO TIPO 3 sappamo che sono tutte e sole le 3h 3k + matrc del tpo 6h + 6k con h, k C. h k 3. Una matrce è nversa snstra d A se e solo se è la trasposta ( d una nversa destra d B. Qund le 3h 6h + h nverse snstre d A sono esattamente tutte le matrc del tpo al varare d h, k C. 3k + 6k k

23 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 3 ESERCIZIO TIPO 4 Sa A(α α α α, dove α C. Per quegl α C per cu A(α è non sngolare, s calcol A(α. (A(α I 3 α α α E( αe( α α : A( non ha nversa α α α E3 α α α E ( α α E3( α α : A( non ha nversa α α α α α α α ( α ( α α α α α α α( α α ( α ( α α( α ( α α E 3( α+ α( α α E 3( E( α ( α α ( I 3 A(α. Se α / {, } A(α α( α α + + α α α α( α. α α

24 4 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 5 ( S prov che S v ;v 3 6 ;v 3 ;v 4 ;v 5 è un nseme d 4 generator d R 3. ( Sa S w ;w ;w 3 ;w 4 ;w S dca se S è un nseme d generator d R 3. ( Per provare che S è un nseme d generator d R 3 occorre provare che per ogn α, α, α 3, α 4, α 5 R tal che a b c α v + α v + α 3 v 3 + α 4 v 4 + α 5 v 5 α + α α 3 + α α 5 ossa che l sstema lneare α + 3α + α 3 a ( α + 6α + α 4 b 4α 3 α 4 + α 5 c nelle ncognte α, α, α 3, α 4, α 5 ha soluzone qualunque sano a, b, c R. a b R 3 esstono c α + 3α + α 3 α + 6α + α 4 4α 3 α 4 + α 5 Facendo una elmnazone d Gauss sulla matrce aumentata del sstema s ottene 3 a 6 b 3 a b a E 4 c ( 4 c 3 a / (a b/ (U d. E 3( 4E ( / c 4a + b Pochè d è lbera qualunque sano a, b, c R, allora ( ha soluzone qualunque sano a, b, c R, per cu S è un nseme d generator d R 3. ( Per sapere se S è o meno un nseme d generator d R 3 dobbamo verfcare se per ogn esstano o meno α, α, α 3, α 4, α 5 R tal che a b c α w + α w + α 3 w 3 + α 4 w 4 + α 5 w 5 α + α + α 3 + α 4 + α a b c α + α + α 3 + α 4 + 4α 5 α + α + α 4 + 3α 5 α 3 + α 4 + α 5 R 3

25 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 5 ossa se l sstema lneare ( α + α + α 3 + α 4 + 4α 5 a α + α + α 4 + 3α 5 b α 3 + α 4 + α 5 c nelle ncognte α, α, α 3, α 4, α 5 abba o meno soluzone per ogn a, b, c R. Se ( avesse soluzone per ogn a, b, c R allora S sarebbe un nseme d generator d R 3, n caso contraro (ossa se esstono a, b, c R per cu ( non ha soluzone no. Facendo una elmnazone d Gauss sulla matrce aumentata del sstema s ottene 4 a 3 b 4 a b a E c ( c E 3( E ( 4 a a b c + b a (U d. Pochè esstono a, b, c R per cu d è domnante (ad esempo s prendano a b e c, allora S non è un nseme d generator d R 3 (n altre parole: pochè esstono de vettor d R 3 che NON s possono esprmere come combnazone lneare degl element d S, ad esempo l vettore, allora S NON è un nseme d generator d R 3.

26 6 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 6 Sano v, v 3, v 4 3, v 4 S dca se S {v ;v ;v 3 ;v 4 } C 4 è lnearmente dpendente o lnearmente ndpendente.. ( Sano α, β, δ, γ C tal che αv + βv + δv 3 + γv 4 α Allora ( equvale a ( 3 α + β + δ β + δ γ 3α + 4β + δ + γ α + δ γ + β + δ + γ 4 ( è un sstema lneare nelle ncognte α, β, δ, γ. ( ha sempre la soluzone nulla (ossa α β δ γ.. α + β + δ β + δ γ 3α + 4β + δ + γ α + δ γ Se essa dovesse essere l unca soluzone d ( (qund se ( avesse un unca soluzone allora S sarebbe L.I., altrment, se ( ha anche una soluzone non nulla (qund se ( ha pú d una soluzone allora S è L.D. Cerchamo allora le soluzon d (. Facendo una elmnazone d Gauss sulla sua matrce aumentata s ottene 3 4 E 4(E 3( 3 (U E 4( E 3( { α + β + δ Dunque ( è equvalente ad ( β + δ γ Sceglendo come parametr le varabl corrspondent alle colonne non domnant d U (la 3 a e la 4 a, con γ h δ k la sosttuzone all ndetro s ottene β δ + γ k + h α β δ ( k + h k k h k h Il sstema ( ha k + h soluzon: tutt gl element dell nseme h, k C k. h.

27 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 7 Prendendo ad esempo h e k s ottene α, β γ, δ e v + v + v 4. Qund {v ;v ;v 3 ;v 4 } è lnearmente dpendente.

28 8 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI S ESERCIZIO TIPO 7 Sa W l nseme delle matrc real trangolar superor. L nseme { C ;C 3 ;C 3 ;C 4 ;C 5 è un nseme d generator d W. S trov una base d W contenuta n S. ;C 6 } 4 4 MODO Restrngamo un nseme d generator d W. passaggo. Esstono n S vettor che sano combnazon lnear degl altr vettor d S? C 4 è senz altro combnazone degl altr: C 4 O C + C + C 3 + C 5 + C 6, per cu toglamo subto C 4 (toglamo comunque subto tutt gl eventual vettor d S che sano null, e ponamo S { C ;C 3 ;C 3 ;C 5 ;C 6 } 4. 4 passaggo. S è ancora un nseme d generator d W. Esstono n S vettor che sano combnazon lnear degl altr vettor d S? Pochè C C 6 C + C 3 + C 5 C 6 ma anche C 6 C C + C + C 3 + C 5 possamo toglere da S l vettore C, oppure possamo toglere da S l vettore C 6, ottenendo ancora un nseme d generator d W. Dunque, guardamo se tra vettor d S c sano coppe d vettor d cu l uno è multplo dell altro, e per cascuna d queste eventual coppe toglamo uno d due vettor. In questo caso abbamo ndvduato la coppa C,C 6 e sceglamo d toglere C. Ponamo S { C 3 ;C 3 ;C 5 ;C 6 } passaggo. S è ancora un nseme d generator d W. Esstono n S vettor che sano combnazon lnear degl altr vettor d S? Sa α C + α C 3 + α 3 C 5 + α 4 C 6 O una combnazone lneare nulla de vettor d S. Allora da 3 4 α +α +α 3 +α 4 4 α + α + α 3 + α 4 3α + α 4α 4 α 3 4α 4

29 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 9 s ottene l sstema lneare, nelle ncognte α, α, α 3, α 4 α + α + α 3 + α 4 3α + α 4α 4 α 3 4α 4 Facendo una E.G. sulla sua matrce aumentata s ha: 3 4 E( 3E( per cu l sstema è equvalente al sstema α + α + α 3 + α 4 ( α + 3α 3 + 4α 4 α 3 4α 4 E( l cu nseme delle soluzon è h 6h h R 4h h 6 Prendendo una sua soluzone non nulla, ad esempo (s ponga h, s ottene 4 C 6C 3 + 4C 5 + C 6 O, 3 4, 4 per cu C,C 3, C 5 e C 6 sono combnazon lnear degl altr element d S e cascuno d loro puó essere scelto come elemento da elmnare da S. Sceglamo d toglere da S la matrce C (combnazone lneare degl altr element d S e ponamo S 3 { C 3 ;C 5 ;C 6 } passaggo. S 3 è ancora un nseme d generator d W. Esstono n S 3 vettor che sano combnazon lnear degl altr vettor d S 3? Sa α C 3 + α C 5 + α 3 C 6 O una combnazone lneare nulla de vettor d S 3. Allora da 4 α + α α + α + α 3 + α 3 α 4α 3 4 α 4α 3 s ottene l sstema lneare, nelle ncognte α, α, α 3 α + α + α 3 α 4α 3 α 4α 3

30 3 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI Facendo una E.G. sulla sua matrce aumentata s ottene: 4 E( 6 E3( E( E3( 6 L unca soluzone del sstema è quella nulla, per cu S 3 è lnearmente ndpendente, ed è una base d W contenuta n S. MODO Invece d toglere successvamente vettor che sano combnazon lnear d quell rmast, ossa nvece d restrngere nsem d generator, s puó allargare nsem L.I. Ad esempo:. C per cu {C } è L.I. Tenamo C. Chamamo S S.. {C ;C } è L.I. Tenamo C. Chamamo S S. 3. {C ;C ;C 3 } è L.I. Tenamo C 3. Chamamo S 3 S. 4. {C ;C ;C 3 ;C 4 } è L.D. Toglamo C 4. Chamamo S 4 S 3 \ {C 4 } {C ;C ;C 3 ;C 5 ;C 6 }. 5. {C ;C ;C 3 ;C 5 } è L.D. Toglamo C 5. Chamamo S 5 S 4 \ {C 5 } {C ;C ;C 3 ;C 6 }. 6. {C ;C ;C 3 ;C 6 } è L.D. Toglamo C 6. Chamamo S 6 S 5 \ {C 6 } {C ;C ;C 3 }. Dunque S 6 {C ;C ;C 3 } è una base d W contenuta n S.

31 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 3 ESERCIZIO TIPO 8 S trov una base dello spazo nullo N(A della matrce A Pochè N(A N(U per ogn forma rdotta d Gauss U d A, trovamo una base dello spazo nullo d una forma rdotta d Gauss per A. A 3 E ( 3 U U è una forma rdotta d Gauss per A. Per l teorema nulltà + rango s ha Pochè dm N(U (numero delle colonne d U - rk(u 5 3. x x x x 3 N(U x 4 x 5 { x + x + x 3 + 3x 5 x 3 + x 4 4x 5 sceglendo come parametr le varabl corrspondent alle colonne lbere d U (la a, la 4 a e la 5 a con la sosttuzone all ndetro s ottene Qund x h x 4 k x 5 w x 3 x 4 + 4x 5 k + 4w x x x 3 3x 5 h ( k + 4w 3w h + k 7w N(A N(U h + k 7w h k + 4w k w h, k C e chamando v l elemento d N(A che s ottene ponendo h e k w, v l elemento d N(A che s ottene ponendo h w e k, e v 3 l elemento d N(A che s ottene ponendo h k e w, s ha che una base d N(A è v ;v ;v

32 3 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 9 4 α + α + 4 Sa A α α + α, dove α C. + 9 α + α + α + α Per ogn α C s dca qual è rk(a α e s trovno una base B α d C(A α ed una base D α d R(A α. 4 4 α + α + 4 A α α + α E3( E( α + α α α B + α α + α + α + α α + α + α + α o CASO α 4 4 α + α + B α α α E4( α E( α+ + α α C + α α + α + α + α α α o Sottocaso α, 4 4 C α α α E4( E43( α E 3( α + α α o Sottocaso α rk(a α 4, D α ; ; 4 α α + α + B α ; ; α ; + α + α + α + rk(a 3, D 4 C U 4 ; ; α + α + α ; 4 4 α + 9 α U α 4 4 B ; ; 9

33 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 33 o CASO α 4 B E( E4 4 E3( 4 U rk(a 3, D 4 ; ; B ; + ; 4 4 8

34 34 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO Sa B {v ;v ;...;v n } K n, dove K {R, C}. Per vedere se B è una base o meno d K n s puó procedere nel seguente modo: ( s costrusce la matrce n n A (v v... v n le cu colonne sono gl element d B; ( dal momento che sappamo che esste una base d C(A contenuta n B, dm C(A rk(a n ogn base d C(A ha n element B è una base d C(A; (3 osservamo che se V è uno spazo vettorale ed U un suo sottospazo, s ha che U V dm U dm V. Da ( e (3 segue che per la matrce A costruta n ( s ha: rk(a n B è una base d K n. ESERCIZIO S dca per qual α R l nseme B α α ; ; α + è una base d R3. α + Costruamo una matrce le cu colonne sano gl element d B α : A α α α +. Il problema α + dventa stablre per qual α R s ha che rka α 3. Faccamo un elmnazone d Gauss su A α. A α α α + E3( E( α α B α α + α CASO: α B U, rk(a rk(u 3 B NON E una base d R 3. CASO: α B α α E3(/αE( /α /α U α α rk(a α rk(u α 3 B α E una base d R 3.

35 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 35 ESERCIZIO TIPO S consder l applcazone lneare f : C C 3 defnta da a f 4a + b 3a. b a b S determn la matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate { } B ; e D ; 3 ; 6 4 su domno e codomno rspettvamente. La matrce che cerchamo è A f 6 a, b 6 ( C D (f( 4 6 ( 6 C D (f. Pochè 4, f(( 4 a, b 4 4 6, allora A C D ( 4 6 C D ( 4 6. Puttosto che calcolare separatamente C D ( 8 3 e 3 C D ( 6, e calcolamo C D ( a b per un generco vettore a b R 3, e specalzzamo la formula ottenuta 8 c c a due dvers vettor 4 6 e 4 6. Pochè C D ( a b α β a b α + β 3 + δ α + δ 3β c δ c α δ allora α + δ a α (a + c/ 3β b β b/3 C D ( a (a + c/ b b/3. α δ c δ (a c/ c (a c/ Ponendo a 4, b 6 e c ottenamo C D ( 4 6 ; ponendo a 4, b 6 e c ottenamo C D ( Qund A 7. 3

36 36 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO S calcol la matrce d passaggo M B B da B a B, dove B e B sono le seguent bas ordnate d R 3 : B ; 3 ;, B 3 ; 3 ; 5. La matrce d passaggo M B B da B a B è M B B C B ( 3 C B ( 3 C B ( 5. Nell ESERCIZIO TIPO abbamo calcolato C B ( a b c (a + c/ b/3 (a c/. Specalzzando la formula ottenuta a tre dvers vettor 3, 3, 5 ottenamo C B ( 3, C B ( 3, C B ( 5 3. Dunque M B B 3.

37 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 37 ESERCIZIO TIPO S calcol la matrce d passaggo M B B da B a B, dove B e B sono le seguent bas ordnate d R 3 : B ; 3 ;, B 3 ; 3 ; 5. La matrce d passaggo M B B da B a B è M B B C B ( 3 C B ( 3 C B ( 5. Nell ESERCIZIO TIPO abbamo calcolato C B ( a b c (a + c/ b/3 (a c/. Specalzzando la formula ottenuta a tre dvers vettor 3, 3, 5 ottenamo C B ( 3, C B ( 3, C B ( 5 3. Dunque M B B 3.

38 38 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 3 Sa A 7 la matrce assocata ad un applcazone lneare 3 f : C C 3 rspetto alle bas ordnate B { } ; 6 4 e D ; 3 ; su domno e codomno rspettvamente. S determn la matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate { } B 6 ; e D 3 ; 3 ; su domno e codomno rspettvamente. La matrce che cerchamo è A M D D AM B B dove M D D è la matrce d passaggo da D a D, e M B B è la matrce d passaggo da B a B. Nell ESERCIZIO TIPO abbamo calcolato M D D 3. Calcolamo la sua nversa: (M D D I 3 3 E3 3 E 3( E3( E3( Calcolamo a Calcolamo C B ( b vettor ( 6 8 e ( 4 E3( M D D M D D M B B per un generco vettore. Pochè ( a C B ( b α β 3 3. (I 3 M D D. ( 6 C B C 8 B. 4 a C b, e specalzzamo la formula ottenuta a due dvers a α b + β 6 4 α + β 6α 4β

39 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 39 rsolvendo l sstema lneare { α + β a 6α 4β b (nelle ncognte α e βs ottene ( a a+b C B b 3a b. ( 6 Ponendo a 6 e b 8 ottenamo C B ; ponendo a e b 4 ottenamo C 8 B ( Qund Dunque M B B A M D D AM B B ( 6 C B C 8 B 4 (

40 4 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 4 S verfch che φ : R R defnta da φ( φ( φ + +. Sa v ( a a. Pochè φ(v, per provare che ( a v φ(v > a a + a + a a è una norma. basta provare che ossa basta provare che Ora: φ(v ( a v a { a + a a a v φ(v, φ(v v. { a + a a a a a v. a αa φ(αv φ(α φ αa a αa + αa + αa αa α a + a + α a a α ( a + a + a a α φ(v. 3 Sano v ( a a e w ( b b. a + b φ(v + w φ( (a a + b + b + (a + b + (a + b (a + b (a + a + (b + b + (a a + (b b a + a + b + b + a a + b b φ(v + φ(w.

41 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 4 ESERCIZIO TIPO 5 Sa A. S verfch che ( 7.. : C C C defnta da (x y x H Ay è un prodotto nterno. Osservazone: se x ( ( x x ( x x ( y y e y ( y y, allora H x y ( x x 7 y x y ( x 7x x y y + 7x y ( 7 y y (y x? (x y x,y C Pochè (y x y H Ax C allora (y x (y x T, per cu (y x (y x H. Dunque (y x (y x H (y H Ax H x H A H y A H A x H Ay (x y. N.B. S poteva verfcare usando la defnzone del prodotto nterno (ossa l Osservazone: x y Sano x e y C. x y (y x? (x y (y x y x + 7y x y x + 7y x (x y. (x αy + βz? α(x y + β(x z x,y,z C, α, β C (x αy + βz x H A(αy + βz x H Aαy + x H Aβz αx H Ay + βx H Az α(x y + β(x z. N.B. S poteva verfcare usando la defnzone del prodotto nterno (ossa l Osservazone: x y w Sano x, y, w C x y w e α, β C. (x αy + βw? α(x y + β(x w (x αy + βw x (αy + βw + 7x (αy + βw αx y + βx w + 7αx y + 7βx w α(x y + 7x y + β(x w + 7x w α(x y + β(x w.

42 4 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 3 (? x x x? (x x R + > ( H A H (x x x x + 7x x x + 7 x Essendo x, s ha che x oppure x, per cu x R + > oppure x R + >. Qund x + 7 x R + >.

43 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 43 ESERCIZIO TIPO 6 S trov una base ortonormale del sottospazo d C 4 V ; ; ;. MODO Trovamo una base B d V. Ponamo w, w, w 3, w 4 e costruamo la matrce A (w w w 3 w 4, ossa una matrce tale che C(A V. A E 3( E 4(E 3( U E 34 E 3( Dunque B {w,w,w 4 } è una base d C(A V. Trovamo una base ortogonale B d V : ponamo v w,v w e v 3 w 4, e applchamo l algortmo d Gram-Schmdt a {v ;v ;v 3 }.

44 44 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI u v u v α u, u α (u v (u u u v α u v u (u v u H v ( (u u u H u ( α / u 3 v 3 α 3 u α 3 u, u α 3 (u v 3 (u u (u v 3 u H v 3 ( α 3 u α 3 (u v 3 (u u (u v 3 u H v 3 ( (u u u H u ( 5 α 3 5

45 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 45 B {u ;u ;u 3 }, dove è una base ortogonale d V. u 3 v 3 α 3 u α 3 u v u + 5 u, u 5 3, u 3 5, 3 3 Trovamo una base ortonormale B d V, normalzzando gl element d B. u (u u u (u u 5/ u 3 (u 3 u 3 u H 3 u 3 5 ( B { u u ; u u ; u 3 u 3 }, dove u, u è una base ortonormale d V. u u, u 3 u 3 5, 3 MODO Costruamo dapprma un nseme d generator ortogonale d V: ponamo v, v, v 3, v 4 e applchamo l algortmo d Gram-Schmdt a {v ;v ;v 3 ;v 4 }. Otterremo 4 vettor, u,u,u 3,u 4, e l nseme {u ;u ;u 3 ;u 4 } sarà un nseme d generator ortogonale d V.

46 46 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI Per sapere se alcun degl u saranno null, e n tal caso qual, trovamo nnanztutto una forma rdotta d Gauss U della matrce A che ha come colnne v,v,v 3,v 4 : le eventual colonne lbere d U corrsponderanno agl u null. A (v v v 3 v 4 E 3( E 4(E 3( U E 34 E 3( Pochè U ha come unca colonna lbera la 3 a, allora applcando l algortmo d Gram-Schmdt a {v ;v ;v 3 ;v 4 } otterremo u 3. u v u v α u, u α (u v (u u u v α u v u (u v u H v ( (u u u H u ( α /

47 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 47 u 3 v 3 α 3 u α 3 u, u α 3 (u v 3 (u u (u v 3 u H v 3 ( (u u α 3 u α 3 (u v 3 (u u (u v 3 u H v 3 ( 5 (u u u H u ( α 3 5 u 3 v 3 α 3 u α 3 u v 3 u + u + u 4 v 4 α 4 u α 4 u α 34 u 3 u α 4 (u v 4 (u u (u v 4 u H v 4 ( α 4 u α 4 (u v 4 (u u

48 48 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI (u v 4 u H v 4 ( (u u u H u ( 5 u 4 v 4 α 4 u v u α 4 5 u 3 α 34 per def. Dunque u ;u d V. ;u 3 ;u è un nseme d generator ortogonale Costruamo una base ortogonale d V toglendo dall nseme d generator ortogonale d V trovato al punto gl eventual u null. In questo caso ponamo: w u, w u, w 3 u L nseme w ;w ;w è una base ortogonale d V. 3 Costruamo base ortonormale d V normalzzando la base ortogonale trovata al punto, ossa dvdendo cascun elemento della base ortogonale trovata n per la propra norma eucldea. Comncamo con l calcolare la norma eucldea d w,w,w 3 :

49 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 49 Allora B { w w ; w (u u w (u u 5/ w 3 (u 4 u 4 w w ; w 3 w 3 }, dove w, w è una base ortonormale d V. u H 4 u 4 5 ( 3 5 w w, w 3 w , 3

50 5 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 7 3 S calcol la proezone ortogonale del vettore v sul sottospazo U ; ; ; 4 d C 4. Trovamo una base ortonormale d U. Dall ESERCIZIO TIPO 6 ottenamo che u u u ;u u u è una base ortonormale d U. 3 La proezone ortogonale d v su U è 4 ;u 3 u 3 P U (v (u vu + (u vu + (u 3 vu 3 u dove (u v (u H v 3 ( ( 4 (u v (u H v 3 ( ( (u 3 v (u 3 H v 3 ( 3 ( Qund P U (v 5 u

51 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 5 ESERCIZIO TIPO 8 z z Sa A(z, dove z C. z S dca per qual z C la matrce A(z è non sngolare. A(z è non sngolare se e solo se Det(A(z. Calcolamo dunque Det(A(z. Det(A(z svluppato rspetto alla a rga svluppato rspetto alla 3 a colonna ( +3 Det z z z (z ( +3 Det z z (z (z z Qund A(z è non sngolare se e solo se (z (z z. S osserv che (z (z z se e solo se o z, e qund z, oppure z z, e qund z z. Pochè z z z R, allora e qund Concludendo Det(A(z Det(A(z z R {} z / R {}. A(z è non sngolare z / R {}.

52 5 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI A GRUPPI TESTI ESERCITAZIONI* D cascuna delle seguent matrc s dca se è scalare, dagonale, trangolare superore, trangolare nferore o nessuna delle precedent: 6 6, 6, 6 3, 6 6 6, 6 6, , 6 6, Sano A, B 8 9, C 3 e D. S 5 calcol 3A + 4D(CA + B. 3 x y 3 Sa A. S trovno tutte le matrc real B tal che AB BA. z t 4 Sano A una matrce reale n non nulla n cu la seconda colonna è l doppa della prma. S trovno tutte le matrc real dagonal D tal che AD abba tutte le colonne ugual. 5 Sano A 3 +, B ( +, C , D. 3 (a D cascuna delle precedent matrc s calcolno la trasposta, la conugata e la H-trasposta. (b S calcol (A H C + B T B + ( + 3D H. 6 D cascuna delle seguent matrc s dca se è smmetrca, ant-smmetrca, hermtana, ant-hermtana o nessuna delle precedent: ( ( ,,,,, S calcolno la parte hermtana e la parte ant-hermtana della matrce complessa A ( Sano B una matrce quadrata d ordne n e v,w vettor colonna con n coordnate. S consder la matrce a blocch A vt. S prov che se A O, allora v T Bw. w B w.

53 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 53 ESERCITAZIONI* Sano A e B 4. S trovno forme rdotte d Gauss per A e B. 4 3 α Sa A(α α + 9 α, dove α C. Per ogn α C s trov una forma rdotta d α + 8 4α Gauss U(α per A(α e s dca qual sono le colonne domnant e qual sono le colonne lbere d U(α. 3 S rsolva l sstema lneare Ax b dove A 7 4 e b S rsolva l sstema lneare A(αx b(α dpendente dal parametro reale α dove α α + α + A(α e b(α α α α α α + α α +.

54 54 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI* 3 Sa A +. S calcol A. S dca per qual α C la matrce A(α d A(α. 3 Sa A(α calcol A(α. α 4, α α + 4 S trovno tutte le nverse destre della matrce A α + 3 è non sngolare. Per tal α, s trov l nversa α + 3 α dove α R. Per quegl α R per cu A(α è non sngolare, s S trovno tutte le nverse snstre della matrce A Sa W {A M n (C A A T } l nseme delle matrc smmetrche (complesse d ordne n. S prov che W è un sottospazo dello spazo vettorale delle matrc quadrate (complesse d ordne n. 7 Sa W {A M n (C A H A} l nseme delle matrc ant-hermtane (complesse d ordne n. S prov che W non è un sottospazo dello spazo vettorale delle matrc quadrate (complesse d ordne n.

55 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ancora un eserczo delle ESERCITAZIONI* 3 8 Sa V R 3 (spazo vettorale reale. S dca quale de seguent sottonsem d V è un sottospazo vettorale d V : S ; S ; ; S 3 a a, b R ; S 4 a a, b R ; b b S 5 a a b a, b R ; S 6 a a R ; S 7 a a R. a + a

56 56 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI* 4 Sa W { } a a R l nseme delle matrc real ant-smmetrche d ordne. a. S prov che W è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale reale M (R.. S prov che W non è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale M (C. 3. S dca qual de seguent sottonsem d M (R è un nseme d generator per W: { } { } {} 3 (a ; (b ; (c 3 S dca se S v ;v 3 4 ;v 3 è un nseme d generator d R S dca quale de seguent sottonsem d R 3 è lnearmente ndpendente: v 4 ;v 4 6 ;v 3, w 3 4 ;w ;w 3 ;. 4 Sano V uno spazo vettorale ed S {v ;v ;v 3 } un nseme lnearmente ndpendente d vettor d V. S dca quale de seguent nsem d vettor d V è lnearmente ndpendente: ( S {v + v 3 ;v + v 3 ;v + v + v 3 }, ( S {v v 3 ;v + v ;v + v 3 }. 5 Sa V l sottospazo d R 3 generato da S v S trov una base d V contenuta n S. ;v 3 3 ;v 3 ;v 4 ;v 5. 6 Sa W l nseme delle matrc real smmetrche. L nseme S { C ;C 3 ;C 3 3 ;C 4 ;C 5 è un nseme d generator d W. S trov una base d W contenuta n S. ;C 6 7 Qual è la dmensone dello spazo vettorale delle matrc real smmetrche? }

57 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI 57 ESERCITAZIONI* 5 S dca quale delle seguent poszon, al varare d A M (C, defnsce un applcazone lneare da M (C n M (C: f (A AA T, f (A A I, f 3 (A A, f 4 (A A, e quale delle seguent poszon, al varare d A M (C, defnsce un applcazone lneare da M (C n C : g (A Ae, g (A Ae +e. Sa A una matrce complessa tale che A A. (a S prov che C(A I N(A. (b S prov che se noltre O A I allora C(A I N(A. 3 Sano A una matrce complessa m n ed f A : C n C m l applcazone lneare ndotta da A. S prov che f A è nettva se e solo se A ha un nversa snstra. 4 Sa A 3 7. S trov una base dello spazo nullo N(A d A Sa A α α 3 α +, dove α C. 3 3α 3 α + 3 Per ogn α C s dca qual è rk(a α e s trovno una base B α d C(A α ed una base D α d R(A α. a b a + b c 6 Sa f : M (R R defnta da f. c d a + b (a S prov che f è un applcazone lneare. (b S determn la matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate B { ; ; ; } e D { } ; su domno e codomno rspettvamente. 7 Sano B v ;v ;v 3 e B v ;v ;v 3. ( S prov che B e B sono due bas ordnate d R 3. ( S calcolno le matrc d passaggo M B B da B a B e M B B da B a B.

58 58 ALGEBRA LINEARE I (A PER SCIENZE STATISTICHE, SGI E SPS, A.A. 6/7, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI* 6 Sa A 6 la matrce assocata ad un applcazone lneare f : R R 3 rspetto alle { } bas ordnate B v ;v e D w ;w ;w 3 su domno e codomno rspettvamente. S determn la matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate { } 4 3 B v ;v e D 5 w ;w ;w 3 su domno e codomno rspettvamente. S verfch che φ : C 3 R defnta da φ( a b a b + a + c + b è una norma. c 3 Sa V M (C. S verfch che (.. : V V C defnto da è un prodotto nterno. a a ( b b a 3 a 4 b 3 b 4 4 a b 4 Sa. : M (C R la norma ndotta dal prodotto nterno (.. : M (C M (C C defnto. nell eserczo precedente. S calcol S trov una base ortonormale del sottospazo d C 4 V ; ; ;. 6 6 S calcol la proezone ortogonale d v sul sottospazo U ; ; d C 4.