Università di Verona Prof. S. De Marchi Verona, 6 febbraio 2006

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1 LABORATORIO DI CALCOLO NUMERICO : Gruppo A Autovalor d matrc: II Unverstà d Verona Prof. S. De March Verona, 6 febbrao 2006 Data una matrce quadrata A n n, a coeffcent real, cu autovalor possono essere ordnat come segue: λ 1 > λ 2 λ 3 λ n. Abbamo vsto la scorsa volta come con l metodo delle potenze con shft sa possble cercare l autovalore d A, pù vcno ad numero η fssato. In pratca s trattava d applcare l metodo delle potenze nverse per l calcolo dell autovalore mnmo λ mn (A η ) della matrce A η = A η I. L autovalore cercato, dpente da η, è λ η = λ mn (A η ) + η. Per ndvduare un valore η da cu partre, s possono costrure cerch d Gerschgorn, C (r) e C (r), = 1,..., n, assocat alle rghe e alle colonne d A. C (r) C (c) = {z C : z a, = {z C : z a, n j=1,j n j=1,j a,j }, a j, }, Usare l allegato codce CerchGerschgorn.m per costrure cerch d Gerschgorn per la matrce dpente dal parametro α dell eserctazone del Qund ndvduare gl opportun shft per calcolarne tutt gl autovalor. Se s desderano tutt gl autovalor d una matrce, bsogna rcorrere a tecnche che consentono dapprma d rdurre la matrce ad una forma pù semplce medante trasformazon per smltudne perveno a una forma trangolare superore o dagonale: l calcolo degl autovalor dventa così notevolemente semplfcato. Questa è la flosofa delle trasformazon con matrc ortogonal d Householder o Gvens. Su tale flosofa s basa nfatt l metodo QR e le sue varant per autovalor. Il metodo QR funzona come segue. Sa A R n n ; data Q (0) R n n ortogonale (coè Q T Q = I) e posto T (0) = (Q (0) ) T AQ (0), per k = 1, 2,... fnché converge fare seguent pass medante la fattorzzazone QR d A (usare qr), determnare T (k 1) = Q (k) R (k) ; qund porre T (k) = R (k) Q (k). Se A ha autovalor real e dstnt n modulo l metodo converge ad una matrce trangolare superore cu autovalor stanno sulla dagonale prncpale. Poché l metodo ha lo scopo d 1

2 annullare gl element della parte trangolare nferore sotto la dagonale prncpale parto dall elemento n basso a snstra, un possble test d arresto è quello d verfcare che gl tutt gl element della sottodagonale sano n modulo mnor d una prescelta tolleranza ɛ (vedas l eserczo 1.) Se A ha qualche autovalore uguale n modulo, l metodo converge verso una matrce quastrangolare superore a blocch detta anche decomposzone reale d Schur d A. Rsolvo po l problema degl autovalor su blocch, s avranno tutt gl autovalor d A (vedas l eserczo 2). In tal caso convene applcare la cosdetta tecnca dello shft. Il metodo QR con shft consste nella seguente terazone: dato lo scalare µ R, T (0) = (Q (0) ) T AQ (0), matrce n forma d Hessenberg superore. Qund, per k = 1, 2,... medante la fattorzzazone QR d A (usare qr), determnare T (k 1) µi = Q (k) R (k) ; qund porre T (k) = R (k) Q (k) + µi. Dalla teora sul metodo QR con shft, sappamo che se µ vene scelto coscchè λ n µ < λ µ, = 1,..., n 1 allora l elemento t (k) n,n 1 generato dalla precedente terazone te rapdamente a zero al crescere d k. Al lmte se µ fosse un autovalore della matrce T (k), e ovvamente anche d A, t (k) n,n 1 = 0 e t (k) n,n = µ. Questo suggersce d sceglere µ = t (k) n,n. Con questa scelta la convergenza del metodo è quadratca. D questo fatto possamo tenere conto durante l esecuzone del metodo QR con shft, controllando l valore d t (k) n,n 1 e ponolo uguale a zero se rsulta ( ) t (k) n,n 1 < ɛ t (k) n 1,n 1 + t(k) n,n. (1) Questo sarà l test da usare nell mplementazone del metodo QR con shft. Se, la matrce A è n forma d Hessenberg superore, l azzeramento d a (k) n,n 1 mplca che t(k) n,n sarà una buona approssmazone d λ n. Qund, noto λ n la rcerca de rmanent autovalor s farà sulla matrce T (k) (1 : n 1, 1 : n 1), rduco d volta n volta la dmensone del problema fno a determnare tutt gl autovalor d A. In pratca una stratega d deflazone. 2

3 Rassumo, l metodo QR con shft s può mplementare come segue: [Q,R]=qr(A); T=Q*R; ter=1; for k=n:-1:2, I=eye(k); whle convergenzaqrshft(t,tol,k)==0 & ter <= ter_max, mu=t(k,k); [Q,R]=qr(T(1:k,1:k)-mu*I); T(1:k,1:k)=R*Q+mu*I; ter=ter+1; T(k,k-1)=0; dove l test d convergenza, s farà mplementando una funzone Matlab chamata convergenzaqrshft per la dsuguaglanza (??). 1. Calcolare con l metodo QR su descrtto tutt gl autovalor d A=[ ; ; ; ];. Determnare anche l numero d terazon fatte. 2. S consder ora la matrce A (tratta dal testo d Quarteron, Sacco e Saler Matematca Numerca, p. 178) A = , cu autovalor (arrotondat a due decmal ) sono λ 1 = 65, λ 2,3 = ±21.28 e λ 4,5 = ± Calcolare tutt gl autovalor sa con l metodo QR che con l metodo QR con shft. Osservare la veloctà d convergenza che con la tecnca dello shft è notevolmente accelerata. Tempo massmo: 2 ore. 3

4 % CerchGerschgorn.m clear % % Costruamo cerch d Gerschgorn d una matrce A % tol=1.e-10; alfa=nput( Damm alfa = ) %A=[alfa ; ; ; ]; % -> Matrce testo Quarteron e Saler, pag. 149 <-- A=[alfa ; ; ; ]; % % -> Matrce testo Quarteron e Saler, pag. 155 <-- % A=[ ; ; ; ]; % Amod=abs(A); n=max(sze(a)); ragg=sum(amod,2)-dag(amod); xc=real(dag(a)); yc=mag(dag(a)); % angol per l dsegno de cerch th=[0:p/100:2*p]; x=[]; y=[]; fgure(1); clf; axs equal; hold on; for =1:n, x=[x; ragg()*cos(th)+xc()]; y=[y; ragg()*sn(th)+yc()]; patch(x(,:),y(,:), red ); % dsegno l bordo e l centro de cerch for =1:n, plot(x(,:),y(,:), k,xc(),yc(), ok ); xmax=max(max(x));ymax=max(max(y)); xmn=mn(mn(x));ymn=mn(mn(y)); hold off; fgure(2); clf; axs equal; hold on; % % I cerch lungo le colonne... sono quell della matrce trasposta % ragg=sum(amod)-(dag(amod)) ; x=[]; y=[]; for =1:n, x=[x; ragg()*cos(th)+xc()]; y=[y; ragg()*sn(th)+yc()]; patch(x(,:),y(,:), green ); 4

5 % dsegno l bordo e l centro de cerch for =1:n, plot(x(,:),y(,:), k,xc(),yc(), ok ); %Determno l boundng box per l plot ottmale xmax=max(max(max(x)),xmax); ymax=max(max(max(y)),ymax); xmn=mn(mn(mn(x)),xmn); ymn=mn(mn(mn(y)),ymn); hold off; axs([xmn xmax ymn ymax]); fgure(1); axs([xmn xmax ymn ymax]); 5