BOLLETTINO UNIONE MATEMATICA ITALIANA

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1 BOLLETTINO UNIONE MATEMATICA ITALIANA Renata Spanccat Tavole d moltplcazone rdotte d un gruppo. Bollettno dell Unone Matematca Italana, Sere 3, Vol. 2 (966), n., p Zanchell < 86_0> L utlzzo e la stampa d questo documento dgtale è consentto lberamente per motv d rcerca e studo. Non è consentto l utlzzo dello stesso per motv commercal. Tutte le cope d questo documento devono rportare questo avvertmento. Artcolo dgtalzzato nel quadro del programma bdm (Bbloteca Dgtale Italana d Matematca) SIMAI & UMI

2 SEZIONE STORICO-DIDATTICA Tavole d noltplcazoae rdotte d un gruppo RBNATA. SPANICCIATI ("Roraa) (*) Suuto. - Nella présente nota s espone un nuovo metodo dovuto al Tamar d rappresentazone de grupp medante tavole d moltplcazone rdotte. Nel n. s accenna alla teora générale sulla elmnazone d rghe e colonne n un quadrato latno. Nel n. 2 s applcano rsultat d tae teora ale tavole d moltplcazone de grupp e s ottengono cos le partcolar taoelle rdotte, d cu s dà tm esempo nel n. 3. Premessa. - Dato un gruppo fnto G, ndchamo con a Y = e, a 8,..., a n suo element. L'operazone (. ) d G puô essere défnta o rappresentata da una tavola d moltplcazone, coè da una tabella quadrata d n* element, nella quale l prodotto a t a 5 è scrtto nell'ntersezone déla ma rga con la j ma colonna e s ndca con a tj. S puô anche usare la tavola detta d forma normale [] che s costrusee nel modo seguente: s scrvono gl element e, a 2,..., a n d G n questo ordne a partre dal basso nella prma colonna a snstra déla tavola, nella prma rga n basso s pongono non pù gl element, ma loro nvers pres nello stesso ordne. Allora nell'ntersezone déla * ma colonna con laj ma rga s ha: a fj = aï a 5. Ebbene, svluppando alcune premesse de TAMARI e de GTINZBURG [2], [3], s arrva a costrure déle tavole d moltplcazone con un mnor numéro d caselle (rdotte), che prendono l nome d tavole d moltplcazone generalzzate normal. Esse sono degl estratt suffcent d una tavola d gruppo normale, nella quale s sono soppresse n un dato modo déle rghe e déle colonne. (*) Lavoro svolto nelpanbto de gruppo d rcerca n. 7.

3 TAVOLE DI MOLTIPLICAZIONE RIDOTTE DI UN GRUPPO Sa S n un quadrato latno ( ) arbtraro relatvo ad n element \a lt a 8,..., a n \. Una rga ed una colonna d questo quadrato s dcono corrspondent quando s ntersecano nella dagonale prncpale (coè la dagonale che nza dall'angolo snstro pù basso). Dopo aver cancellato n 6 rghe arbtrare e le corrspondent colonne, rmane un quadrato T b con 6-6 = ¾ 8. Un tae quadrato è chamato mnore prncpale. S ndch con K l9.. mt q ( 9 2,..., q =, 2,..., n tutt dvers) l numéro déle colonne che contengono contemporaneamente n T b gl element a lt a 2..., a q : sa K {q> l mnmo fra K u...,*,. Dat due numer K q) ed n (nter postv) c s chede: qua è l mnmo numéro 6, tae che da un arbtraro S n s possa estrarre «n T b con l prescrtto K q) $ ERDOS e GhN/ZBUftG hanno ottenuto la seguente dsuguaglanza [4]: Se s vuole che la dagonale prncpale sa occupata da un determnato elemento a,, la () dventa <2) (Y) 6^* (q> (Y) 2. - Allora, data una tabella d forma normale S n, s vuole -estrarre da essa una tavola T b n cu ogn coppa d element a h, a s de gruppo G compaa n almeno uua colonna: questo mplca <;he n T b esste a* a s. Infatt, se a k e a 8 compaono n una mede- sma colonna d ndce * d T b, essteranno bene j ed r tal che: aj a s ~ a k aj a y = a s con j ed r ndc d rghe conservate nel passaggo da S n a T b. D conseguenza, dato l modo u cu T b è stato estratto da S n esstono n T b anche le colonne j ma ed r ma d S. Ne segue -che esste Ok l *a s9 pochè: a/7 a s = (aj a,) (aï * a,) = aj a,.. «e aj l a r è l prodotto che sta nelpncroco déla colonna j ma e déla rga r ma. Nel nostro caso, g = 2e K^ = K^\ con K =. Facendo uso déla () oppure déla (2), ponendo a x = e nella dagonale prncpale, s ottengono faclmente 6 per tavole T b con ( ) S chama quadrato latno S n una tabella quadrata d n n element, n cu ogn elemento compare una e una sola volta n cascuna rga e n «ascuna colonna.

4 88 BEN ATA SPANICCIATI g = 2e K (2) =. Cosï s vede che se Forane de gruppo è n < 4 r s avrà 6 = 3, se n < 6 6 = 4, ecc. Le tavole cos ottenute prendono l nome d tavole d moltpl* cazone normal generalzzae, 3. - Per rcostrure l prodotto n tal tavole s puô segurequesta va. Se allora a k = a f j a a,- e a s = a r = a% a,. «A a s = a^a r = a jr. l e pertanto l prodotto d a/ t per a s s trova nella casella nella quale s ncrocano la colonna corrspondente alla rga nella quale sta a k e la rga nella quale sta a s. Fratcamente, dat a* e a s s trov una colonna nella quale stano a k = a â e a s = a,,.;.s vada da a k sulla rga fno alla dagonale prncpale, s percorra la colonna corrspondente fno ad ncontrare la rga nella quale sta a,: cos s trova al a,. Per esempo, consderato l gruppo de quaternon jzfcl, ±, Hr y, dbfc d ordne 8, s scrva la sua tavola n forma normale con 64 caselle Dalle formule d ERDÔS e GINZBTJRG s ha 6 = 5, coè s possono* cancellare tre rghe e tre colonne corrspondent e s ha cosï la t. m. n. g. d ordne 5. k & 3 3 * y * 3 * h k 5 Allora per rcostrure ad es. l prodotto *j secondo quanto detto> sopra, s cerca una colonna contenente e j ed è la 4, po s va lungo la rga 2 fno alla dagonale prncpale e po lungo la

5 TAVOLE DI MOLTIPLICAZIONE RIDOTTE DI UN GRUPPO 89 colonna 2, all'ncroco d questa cou la rga 5 c'è k che è propro l prodotto -j. BIBLIOGRAFIA [] P. DUBRÉIL, Algèbre. [2] D. TAMARI, Représentatons somorphes par des systèmes de relatons - Systèmes assocatfs. Comptes rendus, 232, 95, p [3] A. GINZBURG, A note on cayley loops. Oan. J. Math., vol. 6, p. 77, 964. [4] P. ERDÔS - A. GINZBURG, On a combnatoral problem n latn squares, Publ. Math. Inst. Hungaran Academy of Scences, vol. VIII, Séres A> Fasc. 3, 963. Pervenuta alla Segretera dell'u.mj. l 2 febbrao 966.