Matematica Computazionale(6cfu) Ottimizzazione(8cfu) (a.a , lez.9)

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1 Docente: Marco Gavano Corso d Laurea n Infomatca Corso d Laurea n Matematca Matematca Computazonale(6cfu) Ottmzzazone(8cfu) (a.a. 03-4, lez.9)

2 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Problem assocat ad un problema PL Una volta rsolto un problema d PL che modellzza un problema reale e trovata una soluzone ottmale s presentano var tp d opzon legate al fatto che le stuazon real sono vare e dnamche. S parla n tal caso d postottmzzazone. In partcolare possono avers Anals d sensbltà Programmazone parametrca

3 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Anals d sensbltà In questo caso s analzzano gl effett sulla soluzone ottmale prodott da eventual modfche d A, c e d e d eventual ntroduzon d vncol o varabl. Può anche avvenre, dopo aver rsolto l problema orgnale, che dat stess su cu s è costruto l problema PL devono essere modfcat d quanttà dscrete. In certe stuazon non è necessaro partre da capo ma possono essere utlzzat n modo semplce rsultat gà ottenut. S parla allora d rottmzzazone. 3

4 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 S esamnano ora alcune delle stuazon che possono verfcars. Modfca del vettore c Cò equvale alla modfca della funzone obettvo, s passa da c a c+c. Sa la base che fornva la soluzone d base ottmale del problema orgnale. La soluzone d base ottmale (gà trovata) è ancora una soluzone d base ma non è necessaramente ottmale per l nuovo programma. 4

5 Ponamo (9.) Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 z S hanno due cas (c c) z (c c) y z c z c R Se z c 0 ( N ), è ancora un programma d base ottmale. Il nuovo valore della funzone obettvo è z c R Se z c 0 (per almeno un N ), è ancora un programma d base ma non è ottmale. Le formule (9.) permettono d contnuare l applcazone del metodo del smplesso a partre dalla tabella fnale ottenuta nella soluzone del problema orgnale. y. N R 5

6 6 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n. 9 Esempo problema nzale problema modfcato 0, 3 z ma 0, 3 ) ( z ma

7 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Grafcamente s ha. 7

8 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Modfca del vettore d In tal caso s passa da d a d+d e la soluzone d base corrspondente alla base ottmale del problema orgnale soddsfa crter d ottmaltà ma potrebbe non essere una soluzone ammssble. Posto ' S hanno due cas (d d) ' (d d) d 0 allora ' è la nuova soluzone ottmale per qualche componente d ' ' (d d) d 0 d 8

9 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Nel secondo caso se l numero delle component mnor d zero è grande, convene applcare da capo l metodo del smplesso altrment esstono de metod che permettono d utlzzare dat della tavola del smplesso ottenuta con la rsoluzone del problema orgnale 9

10 0 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n. 9 Esempo problema nzale problema modfcato 0, 3 z ma 0, 3 4 z ma

11 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n. 9 Grafcamente s ha.

12 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Introduzone d una nuova varable L ntroduzone d una nuova varable n+ porta ad aggungere una nuova colonna a n+ alla matrce A ed un nuovo elemento c n+ al vettore c. Al termne della applcazone dell algortmo al problema orgnale (per es, con l algortmo del smplesso rvsto) s dspone sa d - sa d c -. Allora se (c - a n+ - c n+ )0 la soluzone d base ottmale del problema orgnale è anche soluzone d base ottmale del nuovo problema (c - a n+ - c n+ )>0 s contnua l applcazone del smplesso a partre dalla tabella fnale ottenuta nella soluzone del problema orgnale.

13 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Modfca de coeffcent a della varable Nel caso n cu è una varable secondara s procede come nel caso dell ntroduzone d una nuova varable. Se è una varable d base, s passa dalla base ad una nuova base ottenuta modfcando la colonna relatva a. Nel caso sa ancora una base e =() - d 0 allora s è n presenza d una nuova soluzone d base. Questa potrà essere ottmale oppure no. Nel seconda caso s contnua con l algortmo del smplesso a partre dalla tabella fnale ottenuta nella soluzone del problema orgnale. Le altre stuazon ( non è una base) sono rsolte con tecnche specfche. Può essere necessaro applcare l smplesso da 3 capo.

14 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Introduzone d un nuovo vncolo Questo caso è comune perché s vuole spermentare come vara la funzone obettvo z n rapporto a vncol. L ntroduzone d un vncolo può rdurre l nseme delle soluzon ammssbl e pertanto non può mglorare l valore della funzone z. Il contraro avvene se un vncolo vene elmnato. Nel caso che la soluzone d base ottmale del problema orgnale soddsf l nuovo vncolo allora essa è una soluzone ottmale (non necessaramente d base) anche per l nuovo problema. Anche ora gl altr cas sono rsolt con tecnche specfche e può essere necessaro applcare l smplesso da capo. 4

15 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Programmazone parametrca S consdera ora l caso n cu dat del problema orgnaro vengono modfcat d quanttà che varano con contnutà. Consderamo l caso n cu possono varare valor d o c. Parametrzzazone del vettore d Sa d 0 l vettore della domanda (o dsponbltà) e esso sa modfcato n d=d 0 +, un vettore fsso e 0 Supponamo che ottmale con base. 0 d0 sa una soluzone d base 5

16 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Faccamo varare assegnandole valor postv crescent. Il valore della soluzone d base vara secondo d θ o Il crtero d ottmaltà contnua ad essere soddsfatto poché non ntervene nel calcolo d z -c ma l vettore potrebbe ad un certo punto essere non essere ammssble. S pone la domanda: Per qual valor d, cessa d essere una soluzone ottmale ammssble? 6

17 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Posto = - s ha Se 0 allora contnua ad essere un programma ottmale per ogn valore d 0, Se <0 ( qualche componente d ) esste un valore d, oltre l quale non è una soluzone ammssble poché una sua componente dventa negatva; s ha θ ξ ol l mn s/ξs 0 s I. con 0 d0 0* (0) Volendo ancora studare l problema per valor d > s calcola la soluzone ottmale per = e po s procede con vare tecnche che dpendono dal rsultato ottenuto. ξ os s 7

18 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Parametrzzazone del vettore c Sa c 0 l vettore de cost del problema orgnaro ed esso sa modfcato n c=c 0 +, un vettore fsso e 0 Supponamo che d sa una soluzone d base 0 ottmale con base. Questa varando contnua ad essere una soluzone d base ma non è necessaramente ottmale.i valor z -c corrspondent sono z c c y c (c 0, θγ (c θγ Dove ndca l vettore formato dalle component d che 8 sono nella base. )y 0 )

19 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 S ha z c c 0, y c 0 θ(γ y γ ) z 0 c 0 θ(ζ γ ), con ζ γ y. S ncrement ora a partre da zero.s pone la domanda: Esste un valore crtco = oltre l quale cessa d essere una soluzone ottmale ammssble? La rsposta s deduce dall espressone d z -c. 9

20 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Se Y- 0 la base resta ottmale per ogn valore d 0, Allora - >0 per almeno una d J ed esste un valore d, oltre l quale non è una base ottmale poché almeno un z - c dventa postvo; s ha 0 0 zk ck mn /( k k 0 z Volendo ancora studare l problema per valor d > s calcola la soluzone ottmale per = e po s procede con vare tecnche che dpendono dal rsultato ottenuto. ) 0 c 0 0

21 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Esempo d studo d sensbltà Un produttore d nfss n allumno ha decso d produrre due artcol nuov: una porta ed una fnestra con fnture che rendono l allumno smle al legno. Quest sono prodott ne tre stablment d cu s dspone, n blocch da 0 pezz cascuno. Negl stablment e s producono gl nfss grezz e nello stablmento 3 s opera la rfntura. S conosce la seguente tabella stablmento Temp d produzone Ore dsponbl (porte) (fnestre) Proftto per blocco 3000eu 5000eu

22 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Il problema s modellzza come ma 3 0 z 3 5 L nterpretazone grafca del problema dà 4 8

23 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Il problema n forma standard dventa 3 0 La tabella del smplesso è mn Prma terazone z -c z -c z 3 -c 3 z 4 -c 4 z 5 -c c y y y 3 y 4 y 5 sk/y sk

24 da cu s ha Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 seconda terazone z -c z -c z 3 -c 3 z 4 -c 4 z 5 -c 5 3-5/ c y y y 3 y 4 y 5 sk/y sk / terza terazone z -c z -c z 3 -c 3 z 4 -c 4 z 5 -c / - 0 c y y y 3 y 4 y /3 -/ / /3 /3 sk/y sk 4

25 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 La cu soluzone è =, =6, z=36000 eu Problema duale mnmzza u u 0 u w 4u 3u u 3 3 u 3 5 8u 3 La cu soluzone è u =0, u =3/, u 3 =; w=36000 eu u =0, u =3/, u 3 = sono prezz ombra (shadow prces) 5

26 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 Dato l problema nzale ma 3 0 z 3 s rchede d analzzare la varazone della soluzone cambando le ore dsponbl ne tre stablment: (d (d (d d =4, d = e d 3 =8. 3 ) ) ) 6

27 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 S ncrement d d untà. Grafcamente l problema è La soluzone è ora =4/3, =7, z=39000 eu L ncremento d z è 3 ed è dato da *u = *prezzo ombra corrspondente a d. 7

28 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 S ncrement ora d d 6 e 8 untà. Grafcamente s ha caso La soluzone è ora =0, =9, z=45000 eu L ncremento d z è 9 ed è dato da 6*u = 6*prezzo ombra corrspondente a d. caso La soluzone è ancora =0, =9, z=45000 eu L ncremento d d d 8 untà (al posto d 6) non ncrementa l valore nella funzone obettvo. 8

29 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.9 S ncrement d d untà. Grafcamente l problema è La soluzone è ora =, =6, z=36000 eu L ncremento è 0 ed è dato da *u = *prezzo ombra corrspondente a d. I prezz ombra con valor grand s chamano sensbl 9

30 Docente: Marco Gavano Corso d Laurea n Infomatca Corso d Laurea n Matematca Matematca Computazonale(6cfu) Ottmzzazone(8cfu) (a.a. 03-4, lez.0) 30

31 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Il metodo duale del smplesso Nella letteratura sono stat propost numeros metod sml all algortmo del smplesso. Il metodo duale del smplesso opera sul problema prmale e genera programm d base non ammssbl sfruttando teorem sulla dualtà. S consderno seguent problem prmale e duale problema PL I mnmzza z c problema duale II massmzza w ud A 0 d ua c u qualsas 3

32 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Supponamo d conoscere una base del problema prmale: (a,...,a s,...a ), con (,..., m ) m e d sa un programma d base non necessaramente ammssble tale che u c è un programma duale; nfatt (z =c b - a ) ua c, J N I S ha che se u non è ottmale allora s 0 per almeno un si. In tal caso s può trovare un nuovo programma duale n cu la funzone obettvo è maggore; Ossa s può passare da u z a c u' 0, con J N I ud u'd. I 3

33 33 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Sa li tale che e s ndch con l la rga l d -. Sa da cu ovvero θβ u ' u l θ l ud 'd u N J I θβ a ua 'a u l. ' ' ' ',, l l l l s s s s l l c z a u a u l I s c z ua a u J y z y ua a u l 0,

34 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Pochè u'd ud, θ 0 Allora due cas sono possbl ) y l 0 (J) In tal caso u' è un programma duale per ogn valore d e la funzone obbettvo w tende a + per. Per l teorema d esstenza della dualtà l problema prmale non ha alcun programma ammssble. ) y l <0 (per almeno un J). Allora u' rmane un programma duale se e solo se z θy l c ossa θ z mn /yl 0 c y l, J 34

35 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Se s prende esattamente s ha θ z k c y lk k z mn /yl 0 c y l, J u'a k c k S consdera allora la matrce ottenuta da sosttuendo la colonna a k con la colonna a l ; poché y lk 0, è una base. L nseme degl ndc delle sue colonna è dato da I =I-{l}+{k}. 35

36 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 S ha u'' c' da cu u' c' (') La nuova soluzone d base è data da ' (') d Allora se ' 0 s ha un programma d base ottmale per l problema prmale se ' s 0 (per almeno un si ) l processo può essere rpetuto per ottenere un nuovo programma u'' con valore della funzone obbettvo maggore del valore n u ' 36

37 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Pertanto escludendo l caso che possa avers =0 s arrva dopo un numero fnto d terazon ad uno de due cas ) 0 s è trovato un programma ottmale del prmale ) l 0 (li) e yl 0 (J); l prmale non ha alcun programma ammssble. 37

38 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Per ottenere n cascuna terazone l ncremento massmo della funzone obbettvo duale s dovrebbe sceglere l ndce l n modo che sa massma l espressone Come per l algortmo del smplesso s prefersce la scelta pù semplce d l l mn s/ 0 per si S descrve ora l algortmo n pseudocodce s l z k c y s lk k 38

39 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Algortmo duale del smplesso nput, (base del prmale), tale che z -c 0, J con J l nseme degl ndc delle varabl non d base. I=N-J e z=c y, Y= - R(y ). Calcola loop f d 0 (progr. corrente ottmale), stop end I I sa l nseme degl ndc per cu s 0; f y s 0 per almeno un si ed ogn J (l probl. prmale non ha un programma ammssble), stop, 39

40 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 elsef y s <0 per almeno un J ed ogn si determna l e k tal che z l k c y lk mn si k, (crtero d uscta) /y s mn l 0, J (crtero d entrata) calcola la nuova base sosttuendo la colonna a k con a l n. l nuovo programma d base ',Y' e z'. end end z c y l, 40

41 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Nel caso non s conosca una base nzale per cu valga z -c 0, J esstono metod sml a quello vsto per l algortmo del smplesso (costruzone d problem artfcal) che permettono d ottenerla. 4

42 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Il metodo prmale-duale Questo metodo utlzza l algortmo del smplesso come sottoprocedura e opera smultaneamente sul problema PL e sul suo duale. S consderno solt problem: prmale e duale problema PL I mnmzza z c problema duale II massmzza w ud A 0 d ua c u qualsas 4

43 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 S defnscono problem auslar prmale e duale problema prmale auslare problema duale auslare mnmzza a 0, ξ d a a, 0, m a,...,m,,...,m d 0 massmzza w ua 0, u, m d,...,n,...,m u 43

44 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Vale l seguente Teorema Una condzone suffcente affnché l programma del problema prmale auslare ed l programma u del problema duale II sano ottmal per l problema I e II è =0, (ua -c ) =0, =,,n. 44

45 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Dato un vettore u 0 che sa un programma del duale II s defnsce l nseme P come P={ u 0 a -c =0} ( N-P={ u 0 a -c <0}) s defnscono problem mnmzza a 0, 0 problema prmale auslare lmtato ξ d a per a,,...,m, 0,,...,m N P m a d 0 problema duale auslare lmtato massmzza ua 0, u, w m d P,...,m u Da notare che nel prmale lmtato s opera come se non esstessero le varabl l cu ndce è n N-P. 45

46 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Il prmale auslare lmtato può essere rsolto medante l algortmo del smplesso. Il programma nzale è dato da a d Ottenuta la soluzone ( ) del prmale auslare lmtato sono possbl due cas Caso. Il valore d è zero. Il programma ottmale è anche un programma del prmale auslare e (per la defnzone del prmale auslare lmtato) vale la relazone (u 0 a -c ) =0, =,,n. Pertanto per l teorema, ( è anche ottmale del prmale I. Inoltre u 0 ) è ottmale per l duale II. 46

47 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Caso. Il valore d è maggore d zero. Alla fne dell applcazone dell algortmo del smplesso s ottengono a come soluzone fnale valor,, u qual anche per l applcazone del teorema debole degl scart vsto nella lezone 8 soddsfano le relazon () ua u 0,, P; se,...,m; se 0, a ua 0, 0 ; u ; Dalla soluzone θ θ duale u (u ),, a,,...,m u s deduce un nuovo programma dato da θ 0 u u θ u, con un parametro scalare.,...,m 47

48 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 S ottene u θ a c (u 0 a c ) θ ua, per cu valgono le relazon P 0 u a ua N P c 0 u 0 a 0 per la defnzone d P c per le relazon precedent 0 per la defnzone d P e s hanno cas a) se ua per ogn (N-P), u 0, è un programma duale (rspetto a problem I e II) per ogn 0, b) se per almeno un (N-P) può defnrs l valore ua 0, 48

49 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 θ u a c 0 k k mn ua k ua 0 u 0 a ua c 0 e u è un programma duale per ogn valore 0<. Nel caso a) u è un programma del duale auslare. a Pertanto,, u costtuscono una copa d programm de problem prmale e duale auslar. Poché soddsfano le potes del teorema debole degl scart costtuscono due programm ottmal per problem auslar. Pertanto poché >0 l problema prmale I non ammette un programma ammssble. 49

50 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 Nel caso b) s consder u dato da 0 u u θu questo è un nuovo programma del problema duale II. A questo s procede a partre da u come s era fatto da u 0 creando un nuovo problema auslare lmtato. S dmostra che l programma ottmale del precedente problema lmtato può essere utlzzato per avere un programma programma d base nzale per l nuovo problema auslare lmtato. Procedendo teratvamente (ed escludendo l fenomeno d soluzon degener) s arrva o al caso oppure alla stuazone ξ 0 e ua 0 per,..,n che ndca la non esstenza d un 50 programma ammssble per l prmale I

51 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 S descrve ora l algortmo n pseudocodce Algortmo prmale-duale Input: programma nzale u 0 per l problema duale II. t=; loop Assoca al programma duale u t- l problema auslare lmtato secondo la condzone u t- a -c <0 =0. Indca con N-P t l nseme degl ndc che verfcano la condzone. Trova medante l algortmo del smplesso la soluzone ottmale del problema auslare lmtato utlzzando come programma d base nzale la soluzone ottmale della precedente terazone (la prma terazon pon =0 a =d). t Sano e u le soluzon trovata de problem auslar (prmale e 5 duale) lmt trovate.

52 Matematca Computazonale, Ottmzzazone, a.a. 03-4, Lezone, n.0 f =0 (valore della funzone obbettvo) t- stop ( e u sono le soluzon ottmale de problem I e II). else Calcola u t a t f u a 0 per ogn (N-P t ) stop (non esste soluzone ammssble per l problema I) else t J t (N-P t ) sa l nseme degl ndc tal che u a 0. Sa t- u a c θ mn t t J u a t t t- t Pon u u θu end end 5 end