Modelli di oligopolio. Docente: Matteo Alvisi Corso di Microeconomia Laurea in Scienze Politiche, Sociali e Internazionali

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1 Modell d olgopolo Docente: Matteo Alvs Corso d Mcroeconoma Laurea n Scenze Poltche, Socal e Internazonal Aprle 2019

2 1 Duopolo 11 Il modello d Cournot 111 Le potes C sono due sole mprese sul mercato, l mpresa 1 e l mpresa 2, che sono dentche: Entrambe producono un bene omogeneo Entrambe hanno la stessa funzone d costo totale lneare C (Q ) = cq, dove = 1, 2 Entrambe hanno la stessa funzone d costo margnale (e medo) costante C (Q ) = CM (Q ) = c Le mprese fronteggano la funzone d domanda d mercato P (Q) = a bq dove Q = Q 1 + Q 2 Le mprese hanno come obettvo la massmzzazone del proftto: cascuna mpresa scegle la quanttà ottmale da produrre Q al fne d massmzzare l propro proftto π Le mprese scelgono smultaneamente la quanttà da produrre: l mpresa 1 scegle Q 1 senza conoscere Q 2 e vceversa 112 La domanda resduale Supponamo che l mpresa 1 s aspett che l mpresa 2 produca una quanttà par a Q e 2 L mpresa 1 massmzza l propro proftto tenendo conto d questa aspettatva Data Q e 2, la domanda che l mpresa 1 s aspetterà d dover soddsfare è P (Q 1 ) = a bq e 2 }{{} a bq 1 L mpresa 1 s comporta come un monopolsta sulla propra funzone d domanda resduale Massmzza l proftto eguaglando l propro costo margnale al propro rcavo margnale Il rcavo margnale derva dalla curva d domanda resduale consderando la stessa ntercetta vertcale a bq e 2 e l doppo della pendenza b 113 La funzone d reazone Eguaglando rcavo margnale e costo margnale dell mpresa 1 s ottene R 1 a bq e 2 Q 1 = c C 1

3 Rsolvendo per l unca varable Q 1 s ottene Q 1 (Q e 2) = a c bqe 2 Rpetendo lo stesso procedmento per qualsas lvello atteso d Q 2 s ottene la funzone d reazone dell mpresa 1, che descrve l output dell mpresa 1 che massmzza l proftto dell mpresa 1 per ogn data quanttà d output prodotta dall mpresa 2: Q 1 (Q 2 ) = a c bq 2 Smmetrcamente, la funzone d reazone dell mpresa 2 sarà Q 2 (Q 1 ) = a c bq 1 Nello spazo (Q 1, Q 2 ), la funzone d reazone dell mpresa 1 è una retta negatvamente nclnata, con pendenza par a 2, ntercetta vertcale (0, a c b a c ) e ntercetta orzzontale (, 0) La funzone d reazone dell mpresa 2, nvece, ha nclnazone par a 1/2, ntercetta vertcale (0, a c ) e ntercetta orzzontale ( a c b, 0) 114 L equlbro L equlbro s determna quando entrambe le mprese massmzzano propr proftt basandos su d una aspettatva corretta del comportamento della rvale, ovvero quando Q C 1 = Q e 1 e Q C 2 = Q e 2 L equlbro consste nella combanzone (Q 1, Q 2) che s trova nel punto d ntersezone tra le due funzon d reazone S trova rsolvendo l sstema Q 1 = a c bq2 Q 2 = a c bq1 Poché le due mprese sono dentche, n equlbro la quanttà d output prodotta dalle due mprese sarà uguale Qund, l sstema precedente è equvalente a Q 1 = a c bq2 Q 2 = Q 1 Le quanttà ottmal sono dunque Q C 1 = a c 3b La quanttà d mercato è par a Q C = Q C 1 + Q C 2 = Q C 2 = 2(a c) 3b Sosttuendo nella funzone d domanda s ottene l prezzo d equlbro ( ) 2(a c) P C = a b = a + 2c 3b 3 2

4 Il proftto d cascuna mpresa è dato da π C = (P c)q C o ( a + 2c π C = 3 ) a c c = 3b (a c)2 9b 3

5 12 Il modello d Stackelberg 121 Le potes Sono le stesse rspetto al modello d Cournot, tranne che la scelta delle quanttà da produrre è sequenzale L mpresa 1 scegle per prma la propra quanttà Q 1 L mpresa 1 è leader L mpresa 2 osserva Q 1 e scegle Q 2 L mpresa 2 è follower Per rsolvere l modello e determnare l equlbro s procede per nduzone a rtroso S parte dall ultma tappa e s rsale alla prma 122 La funzone d reazone dell mpresa 2 Nel secondo stado, l mpresa 2 osserva Q 1 e deve determnare la quanttà Q 2 che massmzza l propro proftto L mpresa 2 agsce qund seguendo la propra funzone d reazone 123 La domanda resduale dell mpresa 1 Q 2 (Q 1 ) = a c bq 1 Nel prmo stado, l mpresa 1 deve sceglere Q 1 per massmzzare l propro proftto L mpresa 1 sa però che qualsas sa l lvello d output prodotto, l mpresa 2 reagrà n base a Q 2 (Q 1 ) Qund l mpresa 1 nsersce la funzone d reazone dell mpresa 2 all nterno della funzone d domanda e determna così la propra domanda resduale La domanda resduale dell mpresa 1 è P (Q 1 ) = a bq 1 bq 2 (Q 1 ) ovvero ( ) a c bq1 P (Q 1 ) = a bq 1 b = a + c bq 1 2 L mpresa 1 è monopolsta rspetto alla propra domanda resduale e qund massmzza l proftto eguaglando l costo margnale al rcavo margnale (ottenuto a partre dalla funzone d domanda resduale, consderando la stessa ntercetta vertcale e l doppo della pendenza), ovvero 124 L equlbro R 1 a + c 2 bq 1 = c C Rsolvendo per Q 1 s trova la quanttà prodotta n equlbro dall mpresa 1 che è Q S 1 = a c 4

6 (la stessa quanttà che produrrebbe un monopolsta) Prendendo Q S 1 e sosttuendola nella funzone d reazone dell mpresa 2 Q 2 = a c b ( ) a c s ha la quanttà d equlbro dell mpresa follower che è Q S 2 = a c 4b La quanttà d mercato è par a Q S = Q S 1 + Q S 2 = a c = 1 2 QS 1 + a c 4b = 3(a c) 4b Sosttuendo nella funzone d domanda s ottene l prezzo d equlbro ( ) 3 (a c) P S = a b = a + 3c 4b 4 Il proftto dell mpresa leader è dato da π S 1 = (P c)q S 1 ovvero ( a + 3c π1 S = 4 Il proftto dell mpresa follower è uguale a ) a c c = (a c)2 8b π S 2 = (P c)q S 2 = 1 2 πs 1 o ( a + 3c π2 S = 4 ) a c (a c)2 c = 4b 16b 5

7 13 Il modello d Bertrand 131 Le potes Sono dentche a quelle del modello d Cournot tranne che le due mprese scelgono smultaneamente l prezzo e non la quanttà 132 La domanda resduale Supponamo che l mpresa 1 s aspett che l mpresa 2 fss un prezzo par a P2 e L mpresa 1 massmzza l propro proftto sceglendo P 1 e tenendo conto d questa aspettatva Dato P2 e, l mpresa 1 ha tre possbl opzon: Se fssa un prezzo P 1 > P2 e, s aspetta che tutt consumator acqustno l bene dall mpresa 2 La domanda resduale dell mpresa 1 è par a zero e l mpresa 2 soddsfa l ntera domanda d mercato Se fssa un prezzo P 1 = P2 e, s aspetta che consumator s dvdano (equamente) tra l mpresa 1 e l mpresa 2 La domanda resduale dell mpresa 1 è la metà della domanda d mercato Se fssa un prezzo P 1 < P2 e, s aspetta d sottrarre tutt consumator all mpresa 2 e d servre l ntero mercato L mpresa 1 massmzza l proftto sceglendo la terza opzone e fssando un prezzo par a P 1 = P e 2 ε dove ε è una quanttà molto pccola (ad esempo, un centesmo) 133 L equlbro L mpresa 2, essendo dentca all mpresa 1 e agendo smultaneamente, gungerà alla stessa conclusone S nnesca qund una corsa al rbasso de prezz tra le due mprese che avrà fne soltanto quando entrambe le mprese fsseranno un prezzo par al costo margnale Qund prezz d equlbro sono P B 1 = P B 2 = c La quanttà d mercato rsolve P = c = a bq ovvero Q B = a c b Entrambe le mprese s spartscono l mercato e qund ma fanno proftt null Q B 1 = Q B 2 = a c Bastano due sole mprese che competono smultaneamente nel prezzo per rstablre la conclusone dell equlbro compettvo d lungo perodo 6

8 14 La collusone 141 Le potes Sono le stesse del modello d Cournot, tranne che le mprese s accordano sulla quanttà da produrre per massmzzare proftt congunt Le mprese agscono come se fossero un monopolsta che opera con due mpant dentc 142 L equlbro Le mprese scelgono la quanttà d mercato n modo da eguaglare l costo margnale al rcavo margnale totale da cu Il prezzo d mercato sarà come n monopolo R a Q = c C Q COLL = a c P COLL = a + c 2 Le mprese s spartranno po equamente l mercato producendo cascuna Q COLL 1 = Q COLL 2 = 1 2 QCOLL = a c 4b e facendo proftt π COLL = (P c) Q COLL π COLL = (P c) Q COLL o ( ) a + c a c π COLL = c = 2 4b (a c)2 8b 7

9 15 Confronto tra rsultat Per quanto rguarda le quanttà prodotte a lvello d sngola mpresa: I prezz d mercato son tal che Q COLL = Q S 2 < Q C < Q S 1 = Q B P B < P S < P C < P COLL I proftt ndvdual sono ordnat nel modo seguente π B < π S 2 < π C < π S 1 = π COLL 8